PROBLEM DYSTRYBUCJI W SYSTEMIE JIT Z LOSOWYMI PARAMETRAMI

PROBLEM DYSTRYBUCJI W SYSTEMIE JIT Z LOSOWYMI PARAMETRAMI Wojcech BOśEJKO Paweł RAJBA Meczysław WODECKI Streszczee: W pracy jest rozpatryway probem dystrybucj z ajwcześejszym oraz ajpóźejszym termam dostawy Zbyt wczesa ub zbyt późa dostawa geeruje oszty zwązae z magazyowaem PoewaŜ trudo jest jedozacze oreść etóre parametry (p czasy przejazdu datego są oe reprezetowae przez rozłady zmeych osowych Probem poega wyzaczeu harmoogramu dostaw mmazującego sumę osztów Rozpatrywae zagadee jest stotym uogóeem probemu omwojaŝera Przedstawamy agorytm oparty a metodze przeszuwaa z tabu oraz badamy jego ogóą stabość tj wpływ osowego zaburzaa daych a wartośc fucj ceu Słowa uczowe: dystrybucja towaru etermowa dostawa rozład ormay przeszuwae z tabu Wstęp Pommo postępującej od at gobazacj w weu dzedzach gospodar moŝa zaobserwować zwęszający sę popyt a moco zróŝcowae produty usług uwzgędające dywduae oczewaa odborców Wymusza to duŝą eastyczość termowość róte sere oraz zaczą róŝorodość ofert Rodz to podobe probemy jae pojawły sę w atach 80 dwudzestego weu w zwązu z wprowadzaem systemów producj opartych a de JIT (ag Just Tme tj dołade a czas poewaŝ coraz węszą roę odgrywała orgazacja dostaw oraz dystrybucj gotowego produtu Geeruje to wee owych probemów optymazacyjych se powązaych ze zmeającym sę cąge otoczeem Pommo Ŝe dotyczy to producj usług często o charaterze regoaym to jeda są to probemy złoŝoe z duŝą czbą ograczeń ereguarym fucjam ceu zazwyczaj se NP-trude Staową oe sprację do rozwoju owych metod ostruowaa szybch agorytmów aprosymacyjych uwzgędających epewe (często osowe parametry Jedą z dyamcze zmeających sę w ostatch atach dzedz gospodar jest przemysł spoŝywczy zwązay z producją wyrobów o rótm orese przydatośc do spoŝyca (bez sztuczych oserwatów Są to produty e podegające magazyowau tóre w rótm czase aeŝy dostarczyć do odborcy W procese producj stosuje sę bardzo rygorystycze ormy stadardy przez co proces te jest ema w peł zdetermoway przez techoogę Datego teŝ stote zaczee w ostateczym rachuu eoomczym mają oszty dystrybucj Przy czym podstawowym wymagaem jest dostarczee produtu do aŝdego z weu odborców w ścśe oreśoym przedzae czasowym Mamy w tym przypadu do czyea z stotym uogóeem se NPtrudego probemu omwojaŝera Podobe probemy pojawają sę w pratyce budowaej gdze z przyczy techoogczych ub z powodu brau mejsca a pacu budowy pewe materały (p 3

beto ub eemety (p ostrucje o zaczych rozmarach e mogą być magazyowae NaeŜy je dostarczać bezpośredo w ścśe oreśoych przedzałach czasowych Zbyt wczese ub zbyt późe ch dostarczee geeruje dodatowe oszty zwązae z reazacją otratu Wymusza to orgazację procesu budowaego podobe ja w systemach producj JIT z uwzgędeem ograczeń typu E/T (ag earess/tardess Wodec [] Stosowae do tej pory asycze metody harmoogramowaa w budowctwe CPM PERT są juŝ ewystarczające Na podstawe praty zarządzaa powszeche uwaŝa sę Ŝe w duŝej częśc przypadów mamy do czyea z epewym daym Zdarza sę poadto Ŝe juŝ w trace reazacj uegają zmae pewe wartośc parametrów co zazwyczaj prowadz do wyraźego pogorszea sę efetywośc a sute utraty optymaośc Nepewość moŝe meć charater osowy wówczas przyjmuje sę Ŝe wartośc daych czbowych są reazacjam zmeych osowych o zaych ub ezaych parametrach Prowadz to do teresujących trudych probabstyczych mode optymazacyjych bazujących często a zaczących uogóeach asyczych zaych w teraturze probemów W pracy rozpatrujemy probem w tórym aeŝy dostarczyć pewe produt z magazyu do weu odborców Zae są czasy przejazdu pomędzy magazyem a aŝdym z odborców oraz pomędzy odborcam Ze wzgędu a specyfę produtu (czas ezbędy a rozprowadzee aeŝy go dostarczyć do odborcy w z góry oreśoym przedzae czasowym Zbyt wczesa dostawa geeruje oszty zwązae z jego magazyowaem a zbyt późa e gwaratuje zbytu całośc a węc taŝe geeruje dodatowe oszty PoewaŜ trudo jest jedozacze oreść etóre parametry (p czasy przejazdu datego są oe reprezetowae przez rozłady zmeych osowych Probem poega a tam zapaować harmoogramu dostaw aby suma osztów była mmaa Jest węc stotym uogóeem se NP-trudego probemu omwojaŝera Do jego rozwązaa stosujemy agorytm oparty a metodze przeszuwaa z tabu (ag Tabu Serach w sróce TS Przedstawamy dwe wersje agorytmu odpowedo da daych determstyczych probabstyczych (reprezetowaych przez rozłady zmeych osowych Badamy taŝe ch ogóą stabość tj wpływ osowego zaburzea daych a wartośc fucj ceu Nejsza praca staow otyuację studów autorów (Rajba Wodec [ 3] ad zastosowaem eemetów probabsty w modeowau oraz rozwązywau probemów optymazacj ombatoryczej Probemom optymazacj probabstyczej są pośwęcoe obszere rozprawy dotorse Deaa [4] Vodráa [5] Probem dystrybucj Day jest zbór odborców J = { } magazy ozaczay cyfrą 0 a taŝe spełająca warue trójąta macerz symetrycza czasów przejazdów Z = ( z j = 0 j= 0 pomędzy magazyem aŝdym z odborców oraz pomędzy poszczegóym odborcam Da dowoego odborcy J ( = przez e d u w oraz p ozaczamy odpowedo: ajwcześejszy ajpóźejszy Ŝąday term przybyce współczy ary za zbyt wczese ub zbyt późe przybce oraz czas rozładuu JeŜe ustaoa jest oejość odborców (trasa oraz C ( = jest termem przybyca to 4

0 jeŝe C e V = jeŝe C < e 0 jeŝe C d U = jeŝe C > d azywamy odpowedo przyśpeszeem spóźeem Wówczas V u jest arą za zbyt wczese a T w - zbyt późe przybyce Rozpatryway w pracy probem dystrybucj w systeme JIT (w sróce ozaczay przez DET poega a wyzaczeu taej oejośc odborców da tórej całowta ara = ( u V + wu jest mmaa Nech Φ będze zborem wszystch permutacj eemetów z J Koszt permutacj π Φ (tj suma ar gdy odborcy są odwedza w oejośc π wyos π ( π ( π ( π ( ( = W ( π = ( z V + w U przy czym term przybyca do odborcy π ( J C = c + p π ( π ( j π ( j+ π ( j j= 0 j= Perwsza suma jest czasem przejazdu z magazyu do odborcy π ( a druga sumą czasów rozładuu u odborców π ( π ( π ( Rozpatryway probem sprowadza sę węc do wyzaczea permutacj optymaej π Φ czy taej da tórej 5 W ( π = m W ( π π Φ Probem te ma bezpośred zwąze z probemem omwojaŝera ja probemem szeregowaa zadań a jedej maszye z przezbrojeam (ozaczaym w teraturze przez s w T BoŜejo Wodec [6] oraz probemem szeregowaa zadań a jedej j maszye z ajwcześejszym ajpóźejszym termam zaończea (ozaczaym przez ( u E + w T Wodec [] PoewaŜ jest uogóeem aŝdego z powyŝszych se NP-trudych probemów aeŝy węc taŝe do asy probemów se NP-trudych Agorytmy dołade pozwaają a efetywe wyzaczee rozwązań optymaych da podobych probemów jedye wówczas gdy rozmar zagadee e przeracza 50 (80 w środowsu weoprocesorowym Wodec [7] Datego w pratyce stosuje sę agorytmy przybŝoe (główe typu popraw Z tego powodu do rozwązywaa będze stosoway agorytm przybŝoy oparty a metodze przeszuwaa z tabu (ag Tabu Serach Jest to metoda w peł determstycza tórą z powodzeem stosowao przy rozwązywau podobych zagadeń Wodec [8]

Metoda przeszuwaa z tabu Do rozwązywaa probemów NP-trudych stosowae są przede wszystm agorytmy przybŝoe Z pratyczego putu wdzea są oe zupełe wystarczające bowem wee z ch zajduje rozwązaa jedye ezacze róŝące sę od optymaych Często w ostrucjach tach agorytmów jest stosowaa metoda przeszuwaa z tabu Jej główym eemetam są: otoczee podzbór zboru rozwązań dopuszczaych tórego eemety są przeszuwae ruch fucja przeształcająca jedo rozwązae w e sta tabu sta zawerająca atrybuty pewej czby ostato rozpatrywaych rozwązań mpemetowaa zazwyczaj jao oeja FIFO warue zaończea często oreśay przez czbę teracj Nech W będze fucją ceu π Φ dowoą permutacją (startową L TS stą tabu a π ajepszym do tej pory zaezoym rozwązaem (za rozwązae startowe π oraz moŝa przyjąć dowoą permutację π Agorytm_Tabu_Search do Wyzaczyć otoczee N ( π ; 3 Usuąć z N ( π permutacje tórych atrybuty są a śce L TS ; 4 Zaeźć N ( π tae Ŝe W ( = m{ W ( β : β N( π } ; 5 f W( < W ( π the π := ; 6 Umeścć atrybuty a śce L TS ; 7 π := ; 8 whe (warue zaończea W daszej częśc róto przedstawmy główe eemety agorytmu Ruch otoczee Nech π = ( π ( π ( będze permutacją (oejoścą odwedzaa odborców P( π = { π ( : C < e ub C > d } zborem odborców do tórych dotarto zbyt a π ( π ( π ( π ( wcześe ub zbyt późo Da zadaa π ( P( π ech π ( = + + będze permutacją otrzymaą z π przez zamaę mejscam π ( z π ( Mówmy Ŝe permutacja π została wygeerowaa przez ruch zameń (ag swap move Przez M ( ( eemetu π ( oraz ech s (tj π = s ( π typu π ozaczmy zbór wszystch tach ruchów M ( π = M ( π ( π ( M ( π Otoczeem permutacj π jest zbór 6

{ } N( π = s ( π : s M ( π Przy mpemetacj agorytmu z otoczea usuwa sę permutacje tórych atrybuty zajdują sę a śce ruchów zaazaych L TS Lsta ruchów zaazaych Aby zapobec powstawau cy (powrotu do tej samej permutacj po eweej czbe teracj pewe atrybuty aŝdego ruchu zapamętuje sę a śce ruchów r zaazaych Obsługwaa jest oa a zasadze oej FIFO Wyoując ruch s M ( π r (tj geerując z π Φ permutację π j a stę tabu zapsujemy atrybuty tego ruchu czy r tróję ( π ( r j W ( π ZałóŜmy Ŝe rozpatrujemy ruch s M ( β geerujący permutację j β JeŜe a śce jest trója ( v jψ taa Ŝe β ( = v = j oraz W ( β Ψ to ruch ta usuwamy ze zboru M ( β Do rozwązywaa rozpatrywaego w pracy probemu DET zaadoptowao bardzo efetywy agorytm rozwązywaa probemu wt tórego dołady ops przedstawoo w pracy [9] 3 Radomzacja W pracy jest rozpatryway taŝe mode osowy probemu w tórym czasy rozładuu Ŝądae termy przybyca oraz czasy przejazdu są oreśoe przez ezaeŝe zmee osowe o rozładze ormaym W teraturze rozpatrywao probemy optymazacj ombatoryczej (w tym szeregowaa zadań zazwyczaj jedye z pojedyczym osowym parametram Rozładem jedostajym ub ormaym (Va de Aer Hoogevee [5] ub wyładczym (Pedo [0] + Nech (( p u w e d ( z będze przyładem daych determstyczych da = j = 0 j= 0 rozpatrywaego w pracy probemu Proces radomzacj poega a wyzaczeu zmeych osowych reprezetujących poszczegóe parametry PoewaŜ załadamy Ŝe wartośc oczewae tych zmeych są rówe odpowedm wartoścą determstyczym datego przyjmujemy astępujące rozłady: p% N( p σ d % N( d σ e% N ( e σ p d j e z% N ( z σ (odchyea stadardowe zostaą zdefowae w daszej częśc pracy j j z j Wówczas da dowoej permutacj π Φ term przybyca do odborcy π ( jest zmeą osową postac: C % = p % + z % π ( π ( j j= j = 0 j j+ a fucj ceu ( odpowada zmea osowa ( W ( π = u π ( V π ( + wπ ( U π ( ( = 7

W tam przypadu do ocey rozwązań (porówań permutacj ze zboru Φ stosuje sę zazwyczaj waŝoe ombacje owe mometów cetraych zmeej osowej ( Z przeprowadzoych esperymetów obczeowych wya Ŝe wystarczy uwzgędć jedye wartość oczewaą oraz ewetuae odchyee stadardowe (momety wyŝszych rzędów mają ewe wpływ a otrzymae wy W zwązu z tym do ocey rozwązaa będzemy stosowa dwe fucje: = π ( π π π π W ( π = E( W ( = u E( V% + w E( U% (3 ( ( ( ( = W ( π = E ( W ( π + D ( W ( π = ( uπ ( E Vπ ( + D Vπ ( + wπ ( E Uπ ( + D Uπ ( ( ( % ( % ( ( % ( % (4 W ceu uproszczea zapsu w daszej częśc tego rozdzału przyjmujemy Ŝe rozpatrywaa permutacja π jest toŝsamoścowa tj π = ( Korzystając z defcj rozładów zmea osowa reprezetująca term przybyca do -tego odborcy ma rozład ormay j + j j+ p + j z j j j= j= 0 j = j= 0 C % N p z σ σ + (5 Defujemy zmee osowe reprezetujące zbyt wczese ub zbyt późe przybyca 0 jeŝe C% e V% % = jeŝe C% < e% 0 jeŝe C% d% U% = jeŝe C% > d% oraz pomocczo zaresy G % = C % e% H % = C % d % Na podstawe defcj obu zmeych oraz rówośc (5 moŝa zauwaŝyć Ŝe powyŝsze fucje mają taŝe rozłady ormae j j j σ p σ j z σ + + + + j j+ e j = j= 0 j= j= 0 G% N p z e j j j σ p σ j z σ + + + + j j+ d j= j= 0 j= j = 0 H% N p z d Po wyoau daszych obczeń moŝa udowodć rówośc: 8

E V % % oraz ( = E( V E U % % ( = E( U Korzystając z ch otrzymujemy gdze E( V% = P( C% < e% = P( C% e% < 0 = Φ % (0 G D ( V% = P( G% < 0 ( P( G% < 0 = Φ (0 ( Φ (0 = Φ (0( Φ (0 G G G% G% E( U% = P( C% > d% = P( H% > 0 = Φ % (0 H D ( U% = P( C% > d% P( C% > d% = Φ (0 ( Φ (0 = ( Φ (0 Φ (0 H% H% H% H% Φ H % oraz odpowedo: Φ G % są dystrybuatam zmeych osowych o rozładze ormaym G % H % oraz Ostatecze fucje W W oreśoe odpowedo przez (3 (4 przyjmują postać: = ( W ( π = u E( V% + w E( U% = ( u (0 w ( ( (0 G N h σ h = Φ % + Φ (6 = ( ( ( W ( π = u E( V% + D ( V% + w E( U% + D ( U% = ( u ( (0( (0 ( ( (0 w G G H = Φ % Φ % + Φ % (7 Nech AD będze agorytmem (azywaym daej determstyczym opartym a metodze przeszuwaa z tabu rozwązywaa probemu dystrybucj DET z ryterum optymaośc ( tórego główe eemety opsao w Rozdzae Przez AP ozaczamy modyfację agorytmu AD da osowych daych tj agorytm w tórym jao ryterum porówawcze rozwązań przyjmuje sę fucje (6 ub (7 W daszej częśc agorytmy te będzemy azywa probabstyczym 4 Stabość agorytmów Stabość jest pewą marą umoŝwającą oszacowae wpływu zaburzeń daych a zmay wartośc fucj ceu W perwszej oejośc przedstawamy metodę geerowaa zboru daych a baze tórych będze badaa stabość agorytmów + Nech = (( p u w e d ( z będze pewym przyładem daych = j = 0 j= 0 (determstyczych da rozpatrywaego probemu dystrybucj a D( zborem daych geerowaych z przez zaburzee odpowedch parametrów Zaburzee poega a zmae parametrów p e d z j a osowo wyzaczoe wartośc (tj czby geerowae zgode z pewym przyjętym rozładem p jedostajym ormaym td Dowoy 9

eemet zboru D( jest postac (( p u ' w' e ( z ' gdze zaburzoe + d = j = 0 j= 0 parametry p e d z j są reazacjam ustaoych zmeych osowych Wobec tego zbór D( zawera przyłady daych determstyczych da probemu DET róŝące sę pomędzy sobą wartoścam pewych parametrów Nech A = { AD AP} gdze AD AP są odpowedo agorytmem determstyczym oraz probabstyczym da probemu DET Przez π ozaczamy rozwązae (permutację wyzaczoą przez agorytm A da daych Daej ech W ( A π ϕ będze osztem dystrybucj ( da przyładu ϕ w oejośc dostawy oreśoej przez rozwązae (permutację π wyzaczoą przez agorytmem A da daych Wówczas W ( A π ϕ W ( AD πϕ ϕ ( A D( = D( W ( AD π ϕ ϕ D( ϕ azywamy staboścą rozwązaa π (przyładu wyzaczoego przez agorytm A a zborze daych zaburzoych D( Wyzaczając π ϕ za rozwązae startowe w agorytme popraw A przyjęto π (wówczas W ( π ϕ W ( π ϕ 0 Wartość wyraŝea ( A D( jest średm błędem wzgędym ajepszego rozwązaa π w stosuu do ajepszych rozwązań wyzaczoych da aŝdego przyładu daych zaburzoych ϕ D( Nech Ω będze zborem przyładów determstyczych da rozpatrywaego probemu DET Współczy stabośc agorytmu A a zborze Ω defujemy astępująco: S( AΩ = ( A D( (8 Ω Przedstawoa powyŝej metoda badaa stabośc agorytmów była stosowaa w pracach [0] [3] 5 Esperymety obczeowe W ceu zbadaa stabośc przedstawoych w poprzedch rozdzałach agorytmów: determstyczego AD oraz probabstyczego AP przeprowadzoo esperymety obczeowe Dae determstycze wygeerowao a baze przyładów pobraych z bbote OR-Lbrary [9] (są to dae da jedomaszyowego probemy szeregowaa zadań z mmazacją sumy osztów spóźeń w T Da aŝdego = 40 50 00 dae te zawerają po 5 przyładów (tróje ( p w d = geerowaych Ω osowo według rozładu jedostajego Wartośc p z przedzału [ 00] w z przedzału [ 0] a d z przedzału [ P( TF RDD / P( TF + RDD / ] gdze ϕ P = RDD TF {0 0 4 0 6 0 8 0} Da aŝdej pary RDD TF geerowao 5 stacj = p 30

W sume daje to 375 przyładów Następe aŝdy przyład uzupełoo o wartośc ajwcześejszych Ŝądaych termów przybyca e oraz współczy fucj ary u geerowae jedostaje odpowedo z przedzału [0 / ] [ 0] ( = a taŝe tabcę czasów przejazdu d + ( z j = 0 j = 0 tórej poszczegóe eemety geerowao przedzału [ 00] Przez Ω ozaczmy ta wyzaczoy zbór daych determstyczych da probemu dystrybucj Da aŝdego przyładu daych determstyczych Ω wyzaczoo odpowadający mu przyład daych probabstyczych % tj odpowede cąg zmeych osowych o rozładze ormaym przy czym: p% N( p c p e% N( e c e d % N( d c d z % j N( zj c zj gdze c {0 0 0 0 0 0 3 0 4 0 5} (metoda radomzacj została opsaa w rozdzae 3 Zbór tych daych (zwaych probabstyczym ozaczymy przez Ω Obczea agorytmu determstyczego AD wyoao a przyładach ze zbory Ω a agorytmu probabstyczego AP a przyładach ze zboru Ω % Aby porówać stabość obu agorytmów da aŝdego przyładu daych determstyczych = (( p u w e d ( z Ω wygeerowao 00 przyładów daych = j = 0 j= 0 zaburzoych tórych zbór ozaczamy przez D( Zaburzee poega a zmae wartośc p e d zj a osowo wyzaczoe weośc geerowae zgode z odpowedm rozładam: N( p c p N( e c e N( d c d N( s c z W sume wyzaczoo 75000 przyładów daych zaburzoych (po 37500 da aŝdego przyładu ze zboru Ω Przyłady te zostały astępe rozwązae przez agorytm AD Otrzymae wy staowły podstawę do wyzaczea współczya stabośc (8 Przy aŝdym uruchomau agorytmu za permutację startową przyjęto π = ( a poadto: długość sty ruchów zaazaych: czba teracj agorytmu: / ub W tabe przedstawoo wy agorytmu determstyczego AD oraz dwóch wersj agorytmu probabstyczego AP W wersj perwszej jao ryterum porówawcze rozwązań jest stosowaa wartość oczewaa fucj ceu (6 a w drugej suma wartośc oczewaej odchyea stadardowego (7 Obczea wyoao da czby teracj agorytmów (warue zatrzymaa rówej / oraz Tab Stabośc (8 agorytmu determstyczego AD oraz probabstyczego AP Lczba Lczba teracj / Lczba teracj zadań AD AP * AP ** AD AP * AP ** 40 039 03 033 050 037 040 50 040 034 034 050 04 04 00 050 037 037 058 048 047 Średa 043 034 035 053 04 043 * ryterum W ( ( π = u ( E( ( w ( E( ( π V π + = π U π ** ryterum W ( ( ( = uπ ( E( V π ( + D ( V π ( + wπ ( E( U π ( + D ( U π ( π = j ( j 3

Na podstawe zameszczoych wyów moŝa stwerdzć Ŝe bez wzgędu a czbę teracj agorytm probabstyczy (w obu wersjach ma mejszy o adzesąt procet współczy stabośc Ŝ agorytm determstyczy Proporcje te są podobe zarówo da / ja da teracj Nestety a podstawe zameszczoych wyów e moŝa jedozacze stwerdzć tóre z ryterum wyboru (6 czy (7 stosowae w agorytme probabstyczym daje stabejsze rozwązaa Porówując wy pewym zasoczeem moŝe być zwęszae sę współczya stabośc (tj pogorszee stabośc wraz ze wzrostem czby teracj Dotyczy to zarówo agorytmu determstyczego ja probabstyczego Wya to z fatu Ŝe epsze rozwązaa (a tae otrzymao po dwurotym zwęszeu czby teracj są bardzej wraŝwe a wszee zaburzea daych Po prostu da słabego rozwązaa zaburzee daych moŝe spowodować wręcz poprawę wartośc fucj ceu 6 Uwag wos W pracy przedstawoo metody modeowaa epewych daych przy pomocy zmeych osowych o rozładze ormaym tóry dobrze opsuje aturaą osowość zaeŝą od pogody popytu tp Przedstawoo ostrucję agorytmu opartego a metodze przeszuwaa z tabu da pewego probemu optymazacj ombatoryczej poegającego a dostarczeu produtów z magazyu do odborców w ścśe oreśoych przedzałach czasowych Przeprowadzoo esperymety obczeowe w ceu zbadaa stabośc agorytmów tj wpływu zaburzeń parametrów a zmay wartośc fucj ceu Otrzymae wy jedozacze wsazują Ŝe zacze stabejsze są agorytmy probabstycze tj agorytmy w tórych za ryterum porówawcze rozwązań przyjęto sumę mometów cetraych osowej fucj ceu Zastosowae eemetów probabsty w adaptacj metody przeszuwaa z tabu pozwaa sutecze rozwązywać probemy z epewym daym Dotyczy to weu trudych pratyczych zagadeń Dodatowe formacje Praca częścowo fasowaa z projetu badawczego MNSW Nr N N54 337 Lteratura BoŜejo W Wodec M Sovg Permutatoa Routg Probems by Popuato- Based Metaheurstcs Computers & Idustra Egerg 57 009 s 69-76 Dea BC Approxmato agorthms for stochastc schedug probems PhD thess MIT 005 3 OR Lbrary http://wwwmscacu/fohtm 4 Pedo M: Stochastc Schedug wth Reease Dates ad Due Dates Operatos Research Vo 3 No 3 983 s 559-57 5 Rajba P Wodec M Jedomaszyowy probem szeregowaa zadań z probabstyczym czasam Automatyzacja Procesów Dysretych Teora zastosowaa (red A Śwera J Kryste 00 s 35-4 6 Rajba P Wodec M Stabty of schedug wth radom process tmes o oe mache Appcatoes Mathematcea (w druu 00 7 Va de Aer M Hoogevee H Mmzg the umber of ate jobs a stochastc settg usga chace costrat J Sched 008 59 69 3

8 Vodrá J Probabstc methods combatora ad stochastc optmzato PhD MIT 005 9 Wodec M A boc approach to earess-tardess schedug probems Iteratoa Joura o Advaced Maufacturg Techoogy 40 009 s 797-807 0 Wodec M A Brach-ad-Boud Parae Agorthm for Sge-Mache Tota Weghted Tardess Probem Iteratoa Joura o Advaced Maufacturg Techoogy 37 Nr 9-0 008 s 996-004 Wodec M Metody agregacj w probemach optymazacj dysretej Ofcya Wydawcza Potech Wrocławsej Wrocław 009 Dr Wojcech BOśEJKO Istytut Iformaty Automaty Roboty Potecha Wrocławsa 50-37 Wrocław u Jaszewsego /7 e-ma: wbo@ctpwrwrocp Mgr Paweł RAJBA Istytut Iformaty Uwersytet Wrocławs 50-383 Wrocław ujoot-cure e-ma: pawerajba@uwrocp Dr Meczysław WODECKI Istytut Iformaty Uwersytet Wrocławs 50-383 Wrocław ujoot-cure e-ma: mwd@uwrocp 33