STABILNOŚĆ ROZWIĄZAŃ PEWNEGO PROBLEMU SZEREGOWANIA Z PROBABILISTYCZNYMI CZASAMI WYKONYWANIA ZADAŃ

Transkrypt

1 STABILNOŚĆ ROZWIĄZAŃ PEWNEGO PROBLEMU SZEREGOWANIA Z PROBABILISTYCZNYMI CZASAMI WYKONYWANIA ZADAŃ Wocech BOŻEJKO, Paweł RAJBA, Meczysław WODECKI Streszczene: W pracy badano stabność rozwązań wyznaczonych przez agorytmy oparte na metodze poszuwana z tabu (tabu serach), da pewnego NP-trudnego ednomaszynowego probemu szeregowana. Czasy wyonywana zadań są determnstyczne ub zmennym osowym. Da rozładów Eranga osowe zaburzena danych powoduą pogorszene wynów zaedwe o a procent. Słowa uczowe: szeregowane zadań, agorytm przeszuwana z tabu, spóźnene zadana, rozład Eranga.. Wstęp W weu zagadnenach zwązanych z procesem podemowana decyz z dzedzny panowana, zarządzana oraz sterowana występuą duże trudnośc w ednoznacznym oreśenu parametrów procesu ub też dane pochodzą z neprecyzynych urządzeń pomarowych. Podemowane decyz w warunach nepewnośc (t. brau doładnych wartośc parametrów) est węc codzennoścą. Prowadzone od udzesęcu at badana dotyczą główne mode determnstycznych. Stosowana w nch oga dwuwartoścowa ne est odpowedna do modeowana współczesne rzeczywstośc. W ostatnch atach można zaobserwować duże zanteresowane metodam sztuczne ntegenc: secam neuronowym, agorytmam ewoucynym, tp. Symuuą one występuące w przyrodze naturane procesy prowadzące (pommo cznych załóceń) do bardzo orzystnych strateg. Jedna eementy neednoznacznośc (nedetermnzmu) występuą w tych agorytmach edyne w procese przegądana zboru rozwązań dopuszczanych. Ja wsazuą esperymenty obczenowe (zameszczone np. w pracy []) wyznaczane tym metodam rozwązana są mało stabne. Newea zmana parametrów powodue znaczną zmanę wartośc func ceu. W przypadu nepewnych danych, przyęce pewne weośc (spośród weu możwych) rozwązane w ten sposób otrzymanego zadana determnstycznego prowadz do mało stabnych rozwązań ([2]). Probemy optymazacyne z nepewnym danym można rozwązywać stosuąc transformacę probemu nedetermnstycznego do pewnego zboru probemów determnstycznych. Do rozwązywana ta wygenerowanych zagadneń można wówczas stosować znane agorytmy determnstyczne. W wynu taego podeśca otrzymuemy zbór rozwązań dopuszczanych (determnstycznych). Na ch na podstawe naeży dopero sonstruować rozwązane probemu nedetermnstycznego, zachowuące sę w marę stabne przy zaburzanu danych. Ze wzgędu na złożoność obczenową probemów optymazac dysretne (zwye są one sne NP-trudne) metoda ta est mało efetywna. 7

2 Obczena są czasochłonne, a wyn zameszczone w teraturze wsazuą na bra stabnośc wyznaczanych rozwązań. Bardze obecuące są metody bazuące na eementach probabsty ub teor zborów rozmytych. Pozwaaą na uwzgędnene nepewnośc uż na etape budowy modeu matematycznego oraz bezpośredno w onstruowanych agorytmach. Nepewne parametry mogą być przedstawane za pomocą rozładów zmennych osowych ub czb rozmytych. To perwsze podeśce [6], [] [3] wymaga znaomośc pewnych danych statystycznych, a z ch uzysanem weryfacą mogą być duże trudnośc. W pewnych edna dzedznach gospodar tach a: transport, budownctwo, ronctwo, hande czy turystya netóre parametry zachodzących tam procesów maą ze swe natury charater osowy (zaeżą np. od pogody, popytu, tp.). Posadaą długą hstorę stnee możwość oreśena rozładów prawdopodobeństw nepewnych danych. W weu edna probemach optymazac dysretne nepewność danych ne ma charateru osowego, ecz wyna np. z unanośc procesu. Parametry (weośc czbowe) są oreśane wówczas przez esperta. W tym przypadu naturanym sposobem reprezentowana nepewnośc są czby rozmyte ([3],[8]). Nepewna nformaca może być przedstawana, ao czba rozmyta, na wee sposobów. Istnee taże wee metod porównywana czb rozmytych. Z powodu brau ednoznacznośc, prowadz to do znaczne różnących sę rozwązań. W pracy rozpatruemy ednomaszynowy probem szeregowana zadań z napóźneszym termnam zaończena oraz mnmazacą sumy osztów zadań spóźnonych. Czasy wyonywana zadań są determnstyczne ub zmennym osowym o rozładze Eranga. Na baze tego probemu badana est odporność na osową zmanę parametrów rozwązań onstruowanych według metaheurysty przeszuwana z tabu. 2. Sformułowane probemu oraz metoda rozwązana Agorytmy oparte na metodze przeszuwana z tabu są od weu at z powodzenem stosowane do rozwązywana NP-trudnych probemów optymazac ombnatoryczne. Są proste w mpementac, a wyn porównawcze zameszczone w teraturze wsazuą, że wyznaczone przez te agorytmy rozwązana tyo neznaczne różną sę od naepszych. 2.. Jednomaszynowy probem szeregowana zadań W rozpatrywanym probeme, ażde z n zadań (ponumerowanych czbam,...,n) naeży wyonać bez przerywana na maszyne, tóra w dowone chw może wyonywać co nawyże edno zadane. Da zadana, nech p, d, w będą odpowedno: czasem wyonywana, oczewanym czasem zaończena oraz arą za spóźnene zadana (t. gdy czas ego zaończena przeroczy d ). Naeży wyznaczyć taą oeność wyonywana zadań, aby suma ar była a namnesza. Nech J={,2,...,n} będze zborem wszystch zadań, a Π zborem permutac eementów z J. Da dowone permutac π Π przez C π(), ( C ( ) = p ( ) ) oznaczmy π = π czas zaończena wyonywana zadana w permutac π, (t. gdy zadana są wyonywane w oenośc występowana w π). Wówczas U 0, gdy C d,, w przecwnym przypadu, π ( ) π ( ) π ( ) = () 72

3 nazywamy spóźnenem zadana, a wπ ( ) Uπ ( ) arą za spóźnene. Przez n = = F( π ) w U, 73 π ( ) π ( ) oznaczamy oszt permutac. W rozważanym probeme, naeży węc wyznaczyć permutacę optymaną (o mnmane arze) w zborze wszystch permutac Π. W teraturze est on oznaczany przez wu naeży do asy probemów sne NPtrudnych (Karp [6]). Agorytmy optymane ego rozwązywana oparte na metodze programowana dynamcznego przedstawono w pracach: Lwera Moore [5] - agorytm pseudoweomanowy o złożonośc obczenowe O( n mn{ p, max { d }}) oraz Sarnego [9] (da danych całowtoczbowych agorytm ten ma złożonośc O ( n mn{ p, w,max { d }}), a oparte na metodze podzału ogranczeń w pracach Pottsa van Wassenhove [7], Vareaa Buna [0] oraz Wodecego [2]. Agorytmy doładne pozwaaą na efetywne wyznaczene rozwązań optymanych edyne wówczas, gdy czba zadań ne przeracza 50 (80 w środowsu weoprocesorowym [2]). W pratyce stosue sę agorytmy przybżone (onstrucyne ub typu popraw). W węszośc są one adaptacam agorytmów rozwązywana bardze znanego częśce badanego probemu ednomaszynowego oznaczanego przez wt ([2]). Jest taże wee prac pośwęconych szczegónym przypadom rozpatrywanego w pracy probemu, da tórych stneą agorytmy optymane o weoma-nowe złożonośc obczenowe Agorytm przeszuwana z tabu Do rozwązywana NP-trudnych probemów optymazac ombnatoryczne stosue sę obecne nema wyłączne agorytmy przybżone. Wyznaczane przez te agorytmy rozwązana są, z puntu wdzena weu zastosowań, w pełn zadawaaące (często różną sę od naepszych rozwązań o zaedwe a procent). Naepsze z nch naeżą do grupy metod poszuwań oanych (oca search), tórych dzałane sprowadza sę do bezpośrednego przegądana pewnego obszaru zboru rozwązań dopuszczanych. Jedną z reazac te metody est przeszuwane z tabu (tabu search), tórego podstawowym eementam są: otoczene podzbór zboru rozwązań dopuszczanych, ruch funca, tóra przeształca edno rozwązane w nne, sta tabu sta zaweraąca atrybuty pewne czby rozpatrywanych rozwązań. Nech π Π będze permutacą startową, L stą tabu, a π naepszym do te pory znaezonym rozwązanem. Agorthm Tabu Search () repeat 2 Wyznaczyć otoczene N( π ) permutac π ; 3 Usunąć z N( π ) permutace zaazane przez stę L ; 4 Wyznaczyć permutacę N( π ), taą że 5 F( ) = mn{ F( β ) β N ( π )};

4 6 f ( F( ) < F( π ) ) then π := ; 7 Umeścć atrybuty na śce L ; 8 π := 9 unt (warune_zaończena). Złożoność obczenowa agorytmu zaeży przede wszystm od sposobu generowana przegądana otoczena. Ponże przedstawamy główne eementy agorytmu. Ruch otoczene Nech π = ( π (),, π ( n)) będze permutacą ze zboru Π. Przez π (, =, 2,, n ) oznaczamy permutacę otrzymaną z π przez zamanę pozycam w π eementu π ( ) z π ( ). Mówmy wówczas, że permutaca zameń π została wygenerowana z π przez ruch typu s (t. permutaca π = s ( π ) ). Dae, nech M ( π ( )) będze zborem ruchów typu zameń eementu π ( ) w permutac π, a =Uπ ( ) L ( π ) M ( π ) M ( π ( )), zborem wszystch tach ruchów. Lczba eementów tego zboru est z góry ogranczone przez ( n ) / 2. Otoczenem eementu π Π est zbór permutac { } N( π) = s ( π ) : s M ( π) L( π ), gdze L( π ) = { π ( ) : Cπ ( ) > dπ ( ) } est zborem zadań spóźnonych w π. Przy mpementac agorytmu z otoczena usuwa sę permutace, tórych atrybuty znaduą sę na śce ruchów zaazanych L. Lsta ruchów zaazanych Aby zapobec powstanu cyu, pewne atrybuty ażdego ruchu zapamętue sę na śce ruchów zaazanych. Obsługwana est ona na zasadze oe FIFO. Wyonuąc ruch s M ( π ) (t. generuąc z π Π permutacę π ) na stę tabu L zapsuemy atrybuty r r tego ruchu, czy tróę ( π ( r),, F ( π )). Załóżmy, że rozpatruemy ruch s M ( β ) generuący z β Π permutacę na śce 74 r β. Jeże L est tróa ( r,,ψ) taa, że β ( ) = r, = oraz F( β ) Ψ, to ruch ta est zaazany usuwany ze zboru M ( β ). 3. Probabstyczne parametry zadań W teraturze rozpatrywano probemy szeregowana z osowym czasam zadań, główne o rozładze normanym ub ednostanym (Van den Aer and Hoogeveen []) oraz wyładnczym Pnedo [6].

5 Nech J = {, 2,, n } będze zborem zadań do wyonana na edne maszyne. Załadamy, że czasy wyonywana zadań p ( =, 2,, n ) są nezaeżnym zmennym osowym. Wówczas, da ustaone oenośc występowana zadań w permutac π, czas zaończena wyonywana zadana C = π p est zmenną osową. Zmennym π osowym są taże spóźnene oraz funca ceu ( ) = ( U π ( ) = 0, gdy C π ( ) dπ ( ) oraz U π ( ) =, gdy C > π ( ) dπ ( ) n = F ( π ) = w π ( ) U π ( ). (3) W agorytme przeszuwana z tabu, wyberaąc naepszy eement z otoczena (nstruca 5), porównue sę wartośc func ceu. Poneważ (3) est zmenną osową, datego zastąpmy ą ombnacą wypułą wartośc oczewane oraz odchyena standardowego W ( π ) = c E( F ( π )) + ( c) D( F ( π )) ( c [0, ]). (4) W probabstyczne wers agorytmu naeży w mesce func ce F (nstruca 5 6) wstawć funcę W zdefnowaną w (4). 3. Czasy wyonywana zadań o rozładze Eranga Załadamy, że czas wyonywana zadana ma rozład Eranga p Ε ( α, λ), J. Rozład ten epe nż nne rozłady modeue rzeczywsty charater zaws występuących w probemach szeregowana zwązanych z budownctwem, transportem, producą małoseryną, tp. Tym bardze, że w pratyce częśce następue wydłużene czasu wyonywana zadana, nż ego srócene. Puntem wyśca są dane determnstyczne ( p, w, d ) ( =, 2,, n). Proces randomzac poega na wyznaczenu tach zmennych o rozładze Eranga p Ε ( α, λ), aby wartość oczewana Ε ( p ) = p. Przymuemy węc parametr 2 λ = max{,} mn{ p : n oraz α = p λ. Wówczas, termn zaończena wyonywana zadana J (w permutac π = (, 2,, n) ) C = p Ε ( α + + α, λ). = 75

6 Nech F ( x) F ( x ) będze dystrybuantą czasu zaończena wyonywana -tego = p % + + p % zadana C. Wówczas wartość oczewana oraz E( U ) 0 ( ) ( = P C d + P C > d ) = F ( d ) n n n E( F( π )) = E w = ( U w E U ) = w ( F ( d )). (8) = = = Łatwo zauważyć, że E( U 2 ) = F ( d ), węc waranca Wobec tego n = D ( U ) ( ) ( ) ( ( = D w U = E U E U )) = F ( d )( F ( d )). n 2 D F π = w ( ) +, F d F d w w U U = < ( ( )) ( )( ( )) 2 cov( ). Kowarancę cov( U, U ) pomędzy zmennym U oraz U obczamy ze wzoru cov( U, ) = ( ) ( ) ( U E U U E U E U ). Ostateczne n = 2 D ( F ( π )) = w ( F ( d )( F ( d ))) + < 2 w w ( FI + SI ( F ( d ))( F ( d ))), (9) gdze d FI = f ( x) f ( y) dydx, oraz SI = f ( x) f ( y) dydx. d d x d 0 Wartośc FI oraz SI można łatwo poczyć sprowadzaąc e do postac wyrażone przez dystrybuanty zmennych osowych. Wobec tego, aby obczyć wartość func W ( π ) oreśone przez (4), naeży sorzystać ze wzoru (8) oraz (9) (ustaaąc wcześne esperymentane parametr c [0,] ). 76

7 4. Stabność agorytmów W tym rozdzae wprowadzamy pewną marę pozwaaącą na badane wpływu zmany parametrów zadań na wartośc func ceu (2), t. stabność rozwązań. Nech = (( p, w, d ),, ( pn, wn, dn )) będze przyładem danych (determnstycznych) da rozpatrywanego probemu szeregowana. Przez D ( ) oznaczamy zbór danych generowanych z przez zaburzene czasów wyonywana zadań. Zaburzene poega na zmane tych czasów na osowo wyznaczone wartośc. Zaburzone dane γ D ( ) są węc postac γ = (( p, w, d ),, ( p n, wn, dn )), gdze czas wyonywana p ( =,, n ) est reazacą zmenne osowe p o rozładze Eranga Ε ( λ, α ) (Rozdzał 3), przy czym wartość oczewana E( p % ) = p. Nech A = { AD, AP }, gdze AD AP est odpowedno agorytmem determnstycznym oraz probabstycznym (t. rozwązuącym przyłady z determnstycznym ub osowym czasam wyonywana zadań) da rozpatrywanego probemu. Przez π oznaczamy rozwązane (permutacę) wyznaczoną przez agorytm A da danych. Dae, nech F( A, π, ϕ) będze osztem wyonana zadań (2) da przyładu ϕ w oenośc oreśone przez rozwązane (permutacę) przez agorytmem A da danych. Wówczas π wyznaczoną F ( A, π, ϕ) F ( AD, πϕ, ϕ) ( A,, D ( )) =, D ( ) F( AD, π, ϕ) ϕ D ( ) ϕ nazywamy stabnoścą rozwązana π (przyładu ) wyznaczonego przez agorytm A na zborze danych zaburzonych D ( ). Wyznaczaąc permutacę π ϕ, za rozwązane startowe w agorytme A przyęto π (wówczas, F( π, ϕ) F( π, ϕ) 0 ). Wyrażene (5) est średnm błędem wzgędnym naepszego rozwązana π w stosunu do naepszych rozwązań wyznaczonych, da ażdego przyładu danych zaburzonych ϕ D ( ). Jeże ( A,, D ( )) = 0 to oznacza, że da ażdego przyładu danych ϕ D ( ), permutaca π est naepszym rozwązanem. Nech Ω będze zborem przyładów determnstycznych da rozpatrywanego probemu szeregowana zadań. Współczynn stabnośc agorytmu A na zborze Ω defnuemy następuąco: S( A,Ω ) = ( A,, D ( )). (0) Ω Ω Jest to średn błąd wzgędny rozwązań determnstycznych w stosunu do naepszych rozwązań danych zaburzonych wyznaczonych przez agorytm determnstyczny. Jeże S( A, Ω ) = 0 to oznacza, że rozwązana wyznaczane przez agorytm A, da danych determnstycznych ne są wrażwe na zaburzena. Innym słowy, naepsze rozwązane 77 ϕ

8 wyznaczone da dowonych danych determnstycznych Ω est taże naepszym rozwązanem da ażdych danych zaburzonych ϕ D ( ). Do oceny wrażwośc rozwązań na zaburzena parametrów można stosować taże nne mary, np. oparte o błąd średnowadratowy. 5. Wyn porównawcze agorytmów Przedstawone w pracy agorytmy były testowane na weu przyładach. Dane determnstyczne generowano (podobne a w pracy Potts n. [7]) w następuący sposób. Da ustaone czby zadań n (n=40, 50, 00) wyznaczano n tróe (p,w,d ), =,2,...,n, gdze czas wyonana zadana p oraz oszt w są reazacą zmenne osowe o rozładze ednostanym odpowedno z przedzału [,00] oraz [,0]. Podobne, ne rytyczne są osowane z przedzału [P(-TF-RDD/2,P(-TF+RDD/2] zaeżnego od parametrów RDD, n TF=0.2,0.4,0.6,0.8,.0 przy czym, P = p. Da ażde pary parametrów RDD, TF = (tach par est 25) generowano 5 przyładów. W sume, zbór danych determnstycznych Ω zawera 375 przyładów (po 25, da ażdego n). Przy uruchamanu ażdego agorytmu rozwązanem startowym była permutaca naturana π = (, 2,, n). Ponadto, przyęto następuące parametry: długość sty ruchów zaazanych: n, masymana czba terac agorytmu (Warune_Zaończena): n, we wzorze (4) parametr, c = Obczena agorytmu determnstycznego AD wyonano na przyładach ze zboru Ω, a agorytmu probabstycznego AP (rozłady Eranga) na przyładach ze zboru Ω. W ceu zbadana stabnośc agorytmów (t. wyznaczena wartośc parametru (0)), da ażdego przyładu danych determnstycznych Ω wygenerowano 00 przyładów danych zaburzonych ( D ( ) = 0 ) (sposób ch generowana est przedstawony w poprzednm rozdzae). Każdy z tych przyładów został rozwązany przez agorytm AD. Na baze tych obczeń wyznaczono współczynn stabnośc obu agorytmów. Wyn porównawcze przedstawono w Tabe. Tabea. Stabność agorytmów (średn błąd wzgędny S( A,Ω ) (0)). czba zadań n determnstyczny AD 78 Agorytm probabstyczny AP 40 0,72 0, ,64 0, ,53 0,06 średno 0,63 0,07 Po wyonanu n terac średn współczynn stabnośc agorytmu determnstycznego S( AD, Ω ) = 0, 63, a probabstycznego S ( AP, Ω ) = 0, 07. Oznacza to, że zaburzene rozwązana wyznaczonego przez agorytm AD powodue pogorszene sę wartośc func ceu średno o 63%. W przypadu agorytmu AP pogorszene to wynos

9 średno edyne 7%. Ta węc średn błąd agorytmu determnstycznego est 9 razy węszy od średnego błędu agorytmu probabstycznego. Masymany błąd agorytmu AP ne przeracza 3%, a agorytmu detrmnstycznego AP wynos ponad 600%. Wyonano taże obczena da węsze czby terac. Współczynn stabnośc agorytmów uegły edyne newee poprawe. Lczba n terac agorytmu opartego na metodze przeszuwana z tabu est bardzo mała. Dzę temu średn czas obczeń ednego przyładu, na omputerze osobstym z procesorem Pentum 2,6 GHz, ne przeracza edne seundy. Przeprowadzone esperymenty obczenowe wyazały ednoznaczne, że rozwązana wyznaczone przez agorytm probabstyczny z czasam wyonywana zadań o rozładze Eranga są bardzo stabne. 5. Podsumowane W pracy zaproponowano metodę modeowana nepewnych danych przy pomocy zmennych osowych o rozładze Eranga. Przedstawono onstrucę agorytmu opartego na metodze poszuwana z tabu, da rozwązywana pewnego ednomaszynowego probemu szeregowana zadań z probabstycznym parametram. Opsano metodę generowana danych testowych (z osowo zaburzonym czasam wyonywana zadań) oraz zbadano stabność agorytmów, t. wpływ zmany czasów wyonywana zadań na wartośc func ceu. Otrzymane wyn ednoznaczne wsazuą, że znaczne stabneszy est tzw. agorytm probabstyczny Praca częścowo fnansowana z proetu badawczego MNSW N Lteratura. Bożeo W., Wodec M.: Lczby rozmyte w probemach szeregowana zadań, Komputerowo Zntegrowane Zarządzane, WNT, Warszawa 2002, Bożeo W., Wodec M.: Stabność metaheurysty da wybranych probemów szeregowana zadań, Komputerowo Zntegrowane Zarządzane, WNT, Warszawa 200, Itoh T., Ish H.: Fuzzy due-date schedung probem wth fuzzy processng tmes, Int. Trans. Oper. Res., 6, 999, Karp R.M.: Reducbty among Combnatora Probems, Compexty of Computatons, R.E. Merand J.W. Thatcher (Eds.), Penum Press, New Yor, 972, Lawer E.L., Moore J.M.: A Functona Equaton and ts Appcatons to Resource Aocaton and Sequencng Probems, Management Sc., 6, 969, Pnedo M.: Schedung: Theory, Agorthms, and Systems, Prentce Ha, Potts C.N., Van Wassenhove L.N.: A Branch and Bound Agorthm for the Tota Weghted Tardness Probem, Operatons Research, 33, 985, Prade H.: Usng fuzzy set theory n a schedung probem, Fuzzy Sets and Systems, 2, 979, Sahn S.K.: Agorthms for Schedung Independent Jobs, J.Assoc. Comput. Mach., 23, 976, Varea F.J., Bufn R.L.: Schedung a Snge Machne to Mnmze the Weghted Number of Tardy Jobs, IE Trans., 5, 983,

10 . Van den Aer M., Hoogeveen H.: Mnmzng the number of ate obs n a stochastc settng usnga chance constrant, Journa of Schedung,, 2008, Wodec M.: A Branch-and-Bound Parae Agorthm for Snge-Machne Tota Weghted Tardness Probem, J. Adv. Manuf. Technoogy, 2008, Zhu X., Ca X.: Genera Stochastc Snge-Machne Schedung wth Reguar Cost Functons, Math. Comput. Modeng, Vo. 26, No. 3, 997, Dr Wocech BOŻEJKO Instytut Informaty Automaty Roboty Potechn Wrocławse u. Janszewsego /7, Wrocław e-ma: wbo@ct.pwr.wroc.p Mgr Paweł RAJBA Instytut Informaty Unwersytetu Wrocławsego u.joot-cure Wrocław e-ma: pawe.raba@.un.wroc.p Dr Meczysław WODECKI Instytut Informaty Unwersytetu Wrocławsego u.joot-cure Wrocław e-ma: mwd@.un.wroc.p 80