Transformacje stabilizujące wariancję

Podobne dokumenty
Nadokreślony Układ Równań

Zadanie 1. Rzucamy symetryczną monetą tak długo, aż w dwóch kolejnych rzutach pojawią się,,reszki. Oblicz wartość oczekiwaną liczby wykonanych rzutów.

Michał Pazdanowski Instytut Technologii Informacyjnych w Inżynierii Lądowej Wydział Inżynierii Lądowej Politechnika Krakowska.

R, R, R n itd. przestrzenie wektorowe, których elementami są wektory określone przez długość, kierunek i zwrot.

Rozkłady prawdopodobieństwa 1

Prawdopodobieństwo i statystyka r.

Wykład 6. Stabilność układów dynamicznych

Metody numeryczne w przykładach

( X, Y ) będzie dwuwymiarową zmienną losową o funkcji gęstości

INFORMATYKA W CHEMII Dr Piotr Szczepański

TESTY NORMALNOŚCI. ( Cecha X populacji ma rozkład normalny). Hipoteza alternatywna H1( Cecha X populacji nie ma rozkładu normalnego).

będą niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym 2 x

PERMUTACJE Permutacją zbioru n-elementowego X nazywamy dowolną wzajemnie jednoznaczną funkcję f : X X X

DOPASOWANIE ZALEŻNOŚCI LINIOWEJ DO WYNIKÓW POMIARÓW

N ( µ, σ ). Wyznacz estymatory parametrów µ i. Y które są niezależnymi zmiennymi losowymi.

UWAGI O ROZKŁADZIE FUNKCJI ZMIENNEJ LOSOWEJ.

Automatyka i Robotyka Analiza Wykład 27 dr Adam Ćmiel

Statystyka Matematyczna Anna Janicka

JEDNOWYMIAROWA ZMIENNA LOSOWA

1. Relacja preferencji

ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH

4/1. Wnioskowanie statystyczne: hipotezy 1 Statystyka w zadaniach. Małgorzata Podogrodzka

są dyspersjami wartości mierzonych parametrów A

. Wtedy E V U jest równa

Prawdopodobieństwo i statystyka r.

W zadaniu nie ma polecenia wyznaczania estymatora nieobciążonego o minimalnej wariancji. σ σ σ σ σ = =

W loterii bierze udział 10 osób. Regulamin loterii faworyzuje te osoby, które w eliminacjach osiągnęły lepsze wyniki:

Weryfikacja hipotez dla wielu populacji

ma rozkład normalny z nieznaną wartością oczekiwaną m

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE

Regresja liniowa. (metoda najmniejszych kwadratów, metoda wyrównawcza, metoda Gaussa)

Zadanie 1. ), gdzie 1. Zmienna losowa X ma rozkład logarytmiczno-normalny LN (, . EX (A) 0,91 (B) 0,86 (C) 1,82 (D) 1,95 (E) 0,84

65120/ / / /200

Równania liniowe. gdzie. Automatyka i Robotyka Algebra -Wykład 8- dr Adam Ćmiel,

Prawdopodobieństwo i statystyka r.

Stanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Wykład 6

Nr: 1. Metody obliczeniowe - Budownictwo semestr 2 - wykład nr 1. Metody obliczeniowe

( ) ( ) 2. Zadanie 1. są niezależnymi zmiennymi losowymi o. oraz. rozkładach normalnych, przy czym EX. i σ są nieznane. 1 Niech X

Wnioskowanie statystyczne dla korelacji i regresji.

będą niezależnymi zmiennymi losowymi z rozkładu o gęstości

ma rozkład normalny z wartością oczekiwaną EX = EY = 1, EZ = 0 i macierzą kowariancji

Przegląd wybranych testów

Analiza Matematyczna Ćwiczenia. J. de Lucas

MECHANIKA BUDOWLI 13

Zasada wariacyjna mechaniki kwantowej

X i T (X) = i=1. i + 1, X i+1 i + 1. Cov H0. ( X i. k 31 ) 1 Φ(1, 1818) 0, 12.

ĆWICZENIE 5 TESTY STATYSTYCZNE

Tablica Galtona. Mechaniczny model rozkładu normalnego (M10)

r h SSE EKONOMETRIA - WZORY p pk Opracowała: Joanna Kisielińska 1 Metody doboru zmiennych Metoda Nowaka Metoda Hellwiga Metoda momentów

Projekt 3 3. APROKSYMACJA FUNKCJI

Całkowanie numeryczne Zadanie: obliczyć przybliżenie całki (1) używając wartości funkcji f(x) w punktach równoodległych. Przyjmujemy (2) (3) (4) x n

W zadaniu nie ma polecenia wyznaczania estymatora nieobciążonego o minimalnej wariancji. σ σ σ σ σ = =

i = 0, 1, 2 i = 0, 1 33,115 1,698 0,087 0,005!0,002 34,813 1,785 0,092 0,003 36,598 1,877 0,095 38,475 1,972 40,447 i = 0, 1, 2, 3

Statystyczne charakterystyki liczbowe szeregu

Pomiary bezpośrednie i pośrednie obarczone błędem przypadkowym

Rozpraszania twardych kul

Kwadratury numeryczne

Stanisław Cichocki Natalia Nehrebecka. Zajęcia 7-8

SYSTEMY ROZMYTO-NEURONOWE REALIZUJĄCE RÓŻNE SPOSOBY ROZMYTEGO WNIOSKOWANIA

Mh n. 2 ε. h h/ n n. Ekstrapolacja Richardsona (szacowanie błędu) błąd. ekstrapolowana wartość całki I. kwadratury z adaptowanym krokiem

Estymacja to wnioskowanie statystyczne koncentrujące się wokół oszacowania wartości parametrów rozkładu populacji.

Metody numeryczne. Wykład nr 7. dr hab. Piotr Fronczak

11. Aproksymacja metodą najmniejszych kwadratów

wyniki serii n pomiarów ( i = 1,..., n) Stosując metodę największej wiarygodności możemy wykazać, że estymator wariancji 2 i=

STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 5 WERYFIKACJA HIPOTEZ NIEPARAMETRYCZNYCH

6. *21!" 4 % rezerwy matematycznej. oraz (ii) $ :;!" "+!"!4 oraz "" % & "!4! " )$!"!4 1 1!4 )$$$ " ' ""

Miary położenia wskazują miejsce wartości najlepiej reprezentującej wszystkie wielkości danej zmiennej. Mówią o przeciętnym poziomie analizowanej

INSTYTUT ENERGOELEKTRYKI POLITECHNIKI WROCŁAWSKIEJ Raport serii SPRAWOZDANIA Nr LABORATORIUM TEORII I TEHCNIKI STEROWANIA INSTRUKCJA LABORATORYJNA


Spójne przestrzenie metryczne

L.Kowalski zadania ze statystyki matematycznej-zestaw 1 ZADANIA - ZESTAW 1

Parametry zmiennej losowej

) będą niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie normalnym z następującymi parametrami: nieznaną wartością 1 4

ω a, ω - prędkości kątowe członów czynnego a i biernego b przy

Matematyczny opis ryzyka

Ą ć


ż ż ć ż ż ż ć Ć ć ż ż ć ż

L.Kowalski PODSTAWOWE TESTY STATYSTYCZNE WERYFIKACJA HIPOTEZ PARAMETRYCZNYCH

W praktyce często zdarza się, że wyniki obu prób możemy traktować jako. wyniki pomiarów na tym samym elemencie populacji np.

Podprzestrzenie macierzowe

SZTUCZNA INTELIGENCJA

Projekt 6 6. ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ NIELINIOWYCH CAŁKOWANIE NUMERYCZNE

Podstawowe pojcia. Metody probabilistyczne i statystyka Wykład 7: Statystyka opisowa. Rozkłady prawdopodobiestwa wystpujce w statystyce.

EKSTREMA FUNKCJI EKSTREMA FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ. Tw. Weierstrassa Każda funkcja ciągła na przedziale domkniętym ma wartość najmniejszą i największą.

Stanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Wykład 6

POPULACJA I PRÓBA. Próba reprezentatywna. Dr Adam Michczyński - METODY ANALIZY DANYCH POMIAROWYCH 5 1

Natalia Nehrebecka. Zajęcia 4

UOGÓLNIONA ANALIZA WRAŻLIWOŚCI ZYSKU W PRZEDSIĘBIORSTWIE PRODUKUJĄCYM N-ASORTYMENTÓW. 1. Wprowadzenie

Problemy jednoczesnego testowania wielu hipotez statystycznych i ich zastosowania w analizie mikromacierzy DNA

Badanie współzależności dwóch cech ilościowych X i Y. Analiza korelacji prostej

Wykład 6 Całka oznaczona: obliczanie pól obszarów płaskich. Całki niewłaściwe.

Rys. 1. Interpolacja funkcji (a) liniowa, (b) kwadratowa, (c) kubiczna.

Macierz prawdopodobieństw przejścia w pojedynczym kroku dla łańcucha Markowa jest postaci

Ł Ł ć

Rozwiązanie niektórych zadań treningowych do I kolokwium sem. zimowy, 2018/19

Plan wykładu: Typowe dane. Jednoczynnikowa Analiza wariancji. Zasada: porównać zmienność pomiędzy i wewnątrz grup

Stanisław Cichocki Natalia Nehrebecka. Zajęcia 4

Podstawowe zadanie statystyki. Statystyczna interpretacja wyników eksperymentu. Zalety statystyki II. Zalety statystyki

ć ć ź ć ć ć Ź ź Ź ź

Transkrypt:

ttysty Wyłd Adm Ćmel A4 0 cmel@gh.edu.pl Trsformce stblzuące rcę Przypuśćmy, że mmy ezleżych zmeych losoych,..., z rozłdó N(, σ ),...,, przy czym złdmy, że σ f(m ) f est zą fucą. W prtyce możemy zć tę fucę, gdyż ząc sposób pomru, możemy p. sterdzć, że błąd pomru yrżoy odchyleem stdrdoym est proporcoly do pozomu merzoe elośc. W ych przypdch możemy podste yresu emprycze zleżośc odchyle stdrdoego od rtośc średe rozpozć chrter te zleżośc. Ozczmy przez m σ rtość oczeą odchylee stdrdoe zmee losoe. Nech σ f(m ), gdze f est zą euemą fucą. m Problem. Chcemy zleźć tą trsformcę t, by cąg ezleżych zmeych losoych Y t( ),...,Y t( ) był cągem o stłe (choćby przyblżeu) rc V(Y )cost,,...,. tosuąc rozęce Tylor oół rtośc oczee możemy psć Y t( ) t(m )+ t (m )( - m ), sąd otrzymuemy V[Y ] [t (m )] V[ ] [t (m )] f (m ). Wrue V[Y ] cost prodz do ró różczoego t (x) f (x)c, sąd uzysuemy uż poszuą trsformcę postc t( x) c c, dx + f ( x) gdze stłe c c moż ybrć t, by trsformc mł ygodeszą postć. Zużmy, że eśl f(x)x, to (z dołdoścą do stłych) poszuą trsformcą est trsformc logrytmcz t(x)l x. Jeśl f(x)x α, α, to poszuą trsformcą (z dołdoścą do stłych) est trsformc α α x t ( x) x. Wyorzystuąc zy ft lm l, możemy oreślć szeroą lsę trsformc potęgoych zych o trsformce Box Cox stępuący sposób x 0 x t x, ( x) l x, 0 0, dl x>0. Wrue x>0 e est zbyto rępuący, gdyż zsze moż stępe przesuąć zres obseroych elośc obszr rtośc dodtch, co odpod zstąpeu rgumetu x trsformc t (x) przesuętą rtoścą x+c tego rgumetu. Trsformc t (x) odpod zleżośc f(x)x - pomędzy odchylem stdrdoym rtoścm oczeym cągu zmeych losoych. Jeżel rzeczyst zleżość est postc f(x)x - dl peego, to prmetr te yzcz oretą trsformcę z rodzy trsformc Box-Cox.

ttysty Wyłd Adm Ćmel A4 0 cmel@gh.edu.pl Normlzcy trsformc Box-Cox Trsformc Box-Cox moż róeż użyć o trsformc ormlzuące, tz. trsformc przesztłcące cągły rozłd de zmee losoe rozłd ormly, gdyż eśl zme loso m rozłd z bsolute cągłą ścśle rosącą dystrybutą F, to zme loso F () N ( m, σ ) m rozłd edosty przedzle (0,), ęc zme loso F [ F ( )], gdze F N ( m, σ ) ozcz dystrybutę rozłdu ormlego N(m,σ ), m rozłd ormly. Zbdmy ą rodzę rozłdó półproste x>0 moż trsformoć do ormlośc z pomocą trsformc Box- Cox. Ozczmy przez F f odpoedo dystrybutę fucę gęstośc zmee losoe. Przypuśćmy, że stee t rtość prmetru, że zme loso Y t () m rozłd N(m,σ ). Z mootoczośc trsformc t y, że F (x)p( x)p(t () t (x))p(y t (x)) F N(m,σ) ( t (x)). Wyorzystuąc postć dystrybuty rozłdu N(m,σ ) poprzez różczoe poyższe tożsmośc uzysuemy 3-prmetroą rodzę fuc gęstośc trsformolych do -prmetroe rodzy rozłdó ormlych z pomocą trsformc t ( t ( ) ) x m σ f ( x) x e πσ, x>0. Jeśl zme loso m rozłd o fuc gęstośc e leżące do poyższe lsy fuc gęstośc, to możemy próboć prosymoć ezą fucę gęstośc fucą z poyższe lsy. Iym słoy trsformc t może być użyt o przyblżo trsformc do ormlośc. Nezy prmetr moż yzczyć metodą ęsze rygodośc, złdąc (choćby przyblżeu), że zmee losoe Y t ( ),...,Y t ( ) są ezleże mą te sm rozłd N(m,σ ) o ezych prmetrch m σ. Fuc rygodośc m postć ( t ( ) m) m ) σ (, σ, ) ( ) ( e, L π σ e logrytm m postć l ( m, σ, ) l L( m, σ, ) l π lσ + ( ) l ( t ( ) m) σ Wrue oeczy ste estremum l l l 0, 0, 0 m σ prodz do ułdu róń.

ttysty Wyłd Adm Ćmel A4 0 cmel@gh.edu.pl m( ) t ( ) σ ( ) ( t ( ) m( )) t ( ) σ ( ) l ( t ( ) m( )) Zmst rozązyć poyższy ułd róń moż, yorzystuąc możlość deompozyc zd msymlzc fuc rygodośc, yorzystuąc d persze ró zleźć roząze problemu postc : ˆ rg mx l( m( ), σ ( ), ) rg mx (( ) l lσ ( )) Ug. Jeżel stępe przesluemy zmee dzeląc żdą z ch przez średą geometryczą, to optymle yzczmy z eco prostszego ruu ˆ rg m σ ( ). Krót przegląd osertyych testó post hoc. Wszyste rozże testy osertye prodzą do stępuące reguły Średe m m są stote róże eżel > rtość progo (łśc dl dego testu) Rozże testy otroluą prdopodobeńst różych błędó Test Fsher NIR (mesz stot różc) (cze LD lest sgfct dffrece). Algorytm. Przeprodzć ANOVA celu przetesto H 0 : m m przeco ltertye H : co me de średe różą sę mędzy sobą. Jeżel e m podst do odrzuce H 0 ończymy lzę. 3. Jeżel H 0 zostł odrzuco, to defuemy meszą stotą różcę NIR (LD) pomędzy średm próboym, tórą leży zobseroć, by uzć odpodące m średe odpoedch populcch z stote roże. 4. Dl yspecyfoe rtośc α celu poró m z m oblczmy NIR g zoru NIR t + α, ( stopch sobody ), gdze t est tylem rzędu α, α rozłdu t-tudet o est sumą drtó eątrz grup (z ANOVA) 5. Poróuemy szyste pry średch próboych. Jeżel NIR, to uzemy, że m m są stote róże. 6. Dl szystch poróń pr prdopodobeństo błędu I rodzu est ustloe pozome α 3

ttysty Wyłd Adm Ćmel A4 0 cmel@gh.edu.pl Komputeroe symulce yzły, że eśl stosuemy test Fsher połączeu z ANOVA (t opso poyże), to pozom stotośc złożoego testu poróń elorotych est przyblżeu róy pozomo stotośc testu F (procedur Fsher s protected LD). Jeżel stosuemy test NIR smodzele (bez ANOVA), to otroluemy edye błąd przy poedyczych poróch (per comprso). Odpod to elorotemu stosou testu stotośc różcy dóch średch oprtego sttystyce t-tudet, przy czym estymtor rc opermy cłe próbe (z poodu edorodośc rc grupch) e tylo obsercch z tule poróyych grup. Test W Tuey oprty est studetyzoym rozstępe mx m pomędzy średm próboym. Algorytm (dl edoo lczych grup). Uporządoć średe próboe,,...,. m m są stote róże eżel W, gdze W qα (, df ), df est lczbą stop sobody, lość obserc żde grupe, q α (, df ) prostro rtość rytycz studetyzoego rozstępu (tblce). 3. Prdopodobeństo zobsero fłszye stote różcy dl poróń prm est róe α. W Jeżel grupy e są róolcze, to zmst W leży użyć W q (, df ) ( + ) α Test Tuey' otrolue błąd I rodzu dl szystch poróń prm, tz. prdopodobeństo (przy H 0 : m m ) zobsero tego ułdu średch próboych,,...,, dl tórego przyme ed różc pomędzy średm m est fłszye uz z stotą est róe α. Jeżel est grup, to test Tuey, otrolue łączy błąd I rodzu dl ( ) poróń edocześe (per expermet) Test Nem-Keuls est modyfcą testu Tuey yorzystuącą formcę o lośc mesc pomędzy bdym średm uporządoym cągu średch. Algorytm (dl edoo lczych grup). Uporządoć średe próboe,,...,. Dl dóch średch stote róże eżel odległych o r mesc odpodące m średe m m są W Wr, gdze Wr qα ( r, df ) W, df est lczbą stop sobody, lość obserc żde grupe, q α ( r, df ) prostro rtość rytycz studetyzoego rozstępu (tblce). Ug. Przymuemy, że sąsede średe odległe są o sre o czyl r rg( ) - rg( ) + W Jeżel grupy e są róolcze, to zmst W r leży użyć W q α ( r, df ) ( + ). Test elorotych rozstępó Duc est podoby do dóch poprzedch, gdyż est oprty studetyzoym rozstępe, lecz róż sę od poprzedch tym, że zmey est pozom stotośc przy poszczególych poróch. Gdy średe próboe zostą uporządoe są odległe o r r 4

ttysty Wyłd Adm Ćmel A4 0 cmel@gh.edu.pl mesc, to stotość różcy odpodących m średch populcch est testo pozome -(-α) r- Algorytm (dl edoo lczych grup). Uporządoć średe próboe,,...,. Średe m m są stote róże eżel odpodące m średe próboe odległe o r mesc spełą rue ' Wr ' W, gdze Wr q' α ( r, df ), df est lczbą stop sobody, lość obserc żde grupe, ( r, df ) prostro rtość rytycz testu Duc (tblce). Jeżel grupy są przyblżeu róolcze, to zmst leży użyć ~. Test cheffe go. Rozżmy dooly otrst I m H 0 :, ' q α I m 0 obec ltertyy H : I 0. + +... +. Chcemy zeryfoć hpotezę. Rozżmy dooly otrst próboy Iˆ dl tórego eobcążoym estymtorem rc est Vˆ( Iˆ) 3. Kotrst I uzmy z stoty (stote róży od 0), gdy gdze, ( ) Iˆ ( ),, α > F,, α, F est tylem rzędu -α rozłdu cetrlego edecor Fsher F. 4. Prdopodobeństo zobsero fłszye stotego otrstu est róe α. Test cheffe'go otrolue łączy błąd ęsze lczby poróń ż test Tuey', ęc est brdze osertyy (trude odrzucć H 0 ). W teśce cheffego pozome α prdopodobeństo zobsero fłszye stotego otrstu e przercz α. Poró testó. W poższe tbel zestoo rtośc progoe po przeroczeu tórych różce uzemy z stote. Rozżoo poróe 6 grup, przy czym prób dl żde grupy lczy 5 elemetó 45. Test Lczb mesc pomędzy średm r 3 4 5 6 Fsher NIR 64.63 64.63 64.63 64.63 64.63 Tuey 96.75 96.75 96.75 96.75 96.75 Nem-Keuls 64.65 78.6 86.35 9.33 96.75 Duc 64.65 67.97 69.74 7.9 7.6 cheffe 96.3 96.3 96.3 96.3 96.3 5

ttysty Wyłd Adm Ćmel A4 0 cmel@gh.edu.pl Wdć, że brdze osertyy est test cheffe go me osertyy (czyl brdze czuły) test NIR. Z ug otrolę błędu gody polece est test Tuey. ymulce preferuą rcze test Nem-Keulus. Z ug czułość duże uze śród prtyó zbudzł test Duc. N ugą zsługue eszcze test Duett elorotych poróń z yróżoą grupą otrolą 6