4/1. Wnioskowanie statystyczne: hipotezy 1 Statystyka w zadaniach. Małgorzata Podogrodzka

Transkrypt

1 Młgorzt Podogrodz Wosowe sttystycze: hpotezy ttysty w zdch 4/ Wosowe sttystycze zjduje rdzo szeroe zstosowe prwe we wszystch dzedzch u. Osy zgłęjące wedzę z tego przedmotu, e mją ogół prlemów z dorem odpowedch podręczów, le ejm prlemem jest uze różych tech sttystyczych w ch prtyczym zstosowu. ejszy zór zdń m uzupełć tą luę. tow o jedocześe czwrty z pęcu przygotowywych tomów, przedstwjących róże zgde sttystycze w prtyczym ch zstosowu. W tome I pt. Rozłd empryczy jego ops przedstwoo rzędz ltycze stosowe w sttystyce opsowej jedowymrowej tj. mry supe (m.. śred rytmetycz, wrtyle, domt), mry zróżcow (m.. współczy zmeośc, rozstęp), mry symetr orz mry ocetrcj, w częśc drugej, z wyorzystem mr sttystyczych odoszących sę do sttysty dwuwymrowej tj. mry zleżośc (m.. wsź orelcj, wspólczy orelcj, wspólczy rg, wspólczy zeżośc) orz model regresj lowej. W II tome pt. Zme losow jej rozłdy omwe są m.. te zgde j: zme losow soow cągł ch teoretycze rozłdy, rozłdy sttysty z próy orz sttysty z pró zleżych ezleżych. Tom III dotyczy wosow sttystyczego tj. estymcj mr sttystyczych w rozłdze jedowymrowym orz dwuwymrowym. tomst tom V pośwęcoy jest lze szeregów czsowych tj. desom dywdulym gregtowym, wsżom oresowośc orz fucj tredu. W prezetowej sążce, stowącej perwszą z dwóch częśc omwjących zgde hpotez sttystyczych, przedstwoo róże testy stotośc dl prmetrów rozłdu pochodzące z jedej, z dwóch węcej pró ezleżych zleżych, tomst w sążce drugej, omówoo te zgde j: róże testy zgodośc z różym rozłdm teoretyczym, testy zgodośc dl dwóch welu rozłdów z pró ezleżych zleżych, róże testy stotośc dl różych mr zleżośc dwóch zmeych orz ch sztłtu. W żdej z tych sąże zprezetowo sposó rozwąz prtyczego zgde, dl żdego z rozwżych prlemów oddzele, orz przedstwoo zestw zdń do smodzelego rozwąz przez użytow tego zoru. ońcu żdego rozdzłu podo odpowedz do tych zdń. Przedstwoy zór zdń e może jedże zstąpć podręcz sttysty. ezjomość smych wzorów, przede wszystm e zjomość teor, e może dć poprwych wyów w ch prtyczym stosowu. Wyór tech ltyczych e jest owem łtwy e jest też pozwoych pułpe sttystyczych. Wszyste de lczowe prezetowe w zdch są fcyje. Wprwdze rzędem welośc są oe zlżoe do rzeczywstośc, le dere yły główe pod tem oszczędośc rchuów, tóre leży wyoć. Złożoo owem, że wżejsz jest lz treśc różorodych, stosuowo prostych lczeowo zdń, e ch żmude rchuowe rozwązywe. Mm dzeję, że prezetowy zór zdń ędze pewą pomocą w lepszym zrozumeu stosowych tech ltyczych orz ch terpretcj w prtyce. Autor

2 Podstwowe pojęc symole Zorowość (populcj) geerl zorowość sttystycz tz. zór dowolych elemetów, edetyczych z putu wdze dej cechy. Zorowość częścow, pró część (podzór) zorowośc geerlej, podlegjąc du ze względu oreśloą cechę, w celu wycgęc wosów o sztłtowu sę wrtośc tej cechy w populcj geerlej. Pró losow zorowość częścow, tórej dór ze zorowośc geerlej dooo w drodze losow w t sposó, że jedye przypde decyduje o tym, tóry elemet ze zorowośc geerlej wchodz w słd próy, tóry e. Pró reprezettyw pró, tórej strutur ze względu dą cechę e róż sę wyrźe (stote) od strutury populcj geerlej. Pró reprezetcyj jest ztem odzwercedleem populcj geerlej w mejszych rozmrch. Losowe ezleże losowe elemetów do próy w t sposó, że żdy wylosowy elemetu w trce losow zwrcy jest do zorowośc, z tórej jest o losowy (losowe ze zwrcem). Te sm elemet ze zorowośc geerlej może yć l rzy wylosowy do próy. Losowe zleże - losowe elemetów do próy w t sposó, że rz wylosowy elemetu w trce losow e wrc już do zorowośc, z tórej jest o losowy (losowe ez zwrc). Te sm elemet ze zorowośc geerlej może yć ztem wylosowy jedye jede rz do próy. Losowe eogrczoe losowe elemetów do próy od rzu ze zorowośc geerlej. Wy próy - zserwowe wrtośc dej cechy u tych elemetów zorowośc geerlej, tóre zostły wyre do próy. Wy próy losowej o lczeoścch stową wrtośc -wymrowej zmeej losowej. Rozłd populcj geerlej rozłd wrtośc cechy sttystyczej w cłej zorowośc. Prmetry populcj prmetry rozłdu dej cechy w zorowośc geerlej. Chrteryzują oe te rozłd. potez sttystycz jeolwe przypuszczee dotyczące rozłdu populcj geerlej potez prmetrycz hpotez sttystycz precyzując wrtość prmetru w rozłdze zorowośc gererlej zego typu potez zerow ( ) podstwow hpotez sprwdz testem. potez ltertyw ( ) hpotez sttystycz ourecyj w stosuu do hpotezy zerowej w tym sese, że jeżel odrzuc jest hpotez zerow, to przyjmuje sę hpotezę ltertywą. Błąd perwszego rodzju możlwy do popełe przy weryfcj hpotezy sttystyczej łąd polegjący odrzuceu testowej hpotezy, chocż jest o prwdzw. Błąd drugego rodzju możlwy do popełe przy weryfcj hpotezy sttystyczej łąd polegjący przyjęcu testowej hpotezy, chocż jest o fłszyw. Pozom stotośc (α) prwdopodeństwo popełe łędu perwszego rodzju w postępowu testującym hpotezę. Test sttystyczy reguł postępow, tór podstwe wyów z próy m doprowdzć do decyzj przyjęc lu odrzuce postwoej hpotezy sttystyczej. Moc testu prwdopodeństwo podjęc prwdłowej decyzj przy weryfcj hpotezy sttystyczej dym testem, polegjącej odrzuceu testowej hpotezy fłszywej. Test stotośc test pozwljący odrzuceu hpotezy z młym ryzyem popełe łędu. W teśce tym uwzględ sę jedye łąd perwszego rodzju co ozcz, że w wyu tego tesu możlw jest decyzj odrzuce hpotezy zerowej lu ru podstw do jej odrzuce (e ozcz to jej przyjęc). Prmetryczy test stotośc test stotośc weryfujący hpotezę zerową precyzującą wrtość prmetru w ustloym type rozłdu zorowośc geerlej. eprmetryczy test stotośc - test stotośc dl hpotezy zerowej precyzujący ogóly typ rozłdu populcj geerlej. Oszr rytyczy testu podzór przestrze próy o tej włsośc, że jeżel otrzymy w próe put przestrze próy leży do tego podzoru, to podejmuje sę decyzję odrzuce hpotezy zerowej. Oszr rytyczy testu dwustroy szr rytyczy złożoy z dwóch rozłączych podzorów przestrze próy, wyzczoy jczęścej symetrycze, w rozłdze odpowedej sttysty. Oszr rytyczy testu jedostroy w zleżośc od hpotezy ltertywej może yć lewostroy lu prwostroy. Jest to szr rytyczy złożoy z jedego podzoru przestrze próy, wyrego z jedej stroy w rozłdze odpowedej sttysty. potez eprmetrycz hpotez sttystycz precyzując typ rozłdu w zorowośc geerlej 4

3 ps treśc. Test stotośc dl losowego doru elemetów do próy. Test stotośc dl średej. Test stotośc dl medy 4. Test stotośc dl wsź strutury 5. Test stotośc dl wrcj 6. Test stotośc dl dwóch średch 6. z pró ezleżych 6. z pró zleżych 7. Test stotośc dl dwóch med 7. z pró ezleżych 7. z pró zleżych 8. Test stotośc dl dwóch wsźów strutury 8.. z pró ezleżych 8.. z pró zleżych 9. Test stotośc dl dwóch wrcj 9.. z pró ezleżych 9.. z pró zleżych. Test stotośc dl welu średch z pró ezleżych. z lsyfcją pojedyńczą. z lsyfcją podwóją. Test stotośc dl welu med z pró ezleżych. Test stotośc dl welu wsźów strutury. z pró ezleżych. z pró zleżych. Test stotośc dl welu wrcj z pró ezleżych 4. Test stotośc dl welu współczyów zmeośc z pró ezleżych 5. Zd do smodzelego rozwąz Test stotośc dl losowego doru elemetów do próy Zde. W pewym gospodrstwe rolym, posdjącym ooło tys. rów, jedego d zdo perwszych 5 z ch wchodzących do ory. Krowy te chrteryzowły sę olejo stępującą wgą (w g): 5, 6, 56,, 48, 55, 49, 5, 46, 4, 8, 9, 6, 4, 7. Przy pozome stotośc, zweryfowć hpotezę o losowym dorze zwerząt do próy. De: d zorowość rowy, zme losow X wg :α (dór elemetów do próy jest losowy) :α (dór elemetów do próy e jest losowy). terwłowy pomr zmeej losowej X. zme losow X m dowoly rozłd ttysty testując (test Wld-Wolfowtz): lcz ser Tlc z pomocczym wylczem dl sttysty testującej: Wrtośc cechy Przyporządowe symole Lcz ser 4 ymolem () ozczmy wrtośc mejsze od medy, symolem () wrtośc węsze od medy. Wrtośc rówe mede pomjmy. Wrtość medy z próy: me46. *(lcz ser w próe)4, (lcz elemetów () w próe)7, (lcz elemetów () w próe)7 potez ltertyw jest dwustro. Oszr odrzuceń dl hpotezy zerowej przyjmuje postć: K (, α/ > < -α/, ), gdze jest to wrtość rytycz, tórą odczytujemy z tlc testu ser przy zdym pozome stotośc α/ (-α/) orz lcze zów dodtch (wrtośc wyższe od medy) orz lcze zów ujemych (wrtośc ższe od medy). Tlc.. Rozłd ser α,5 α,95 \ ,5, 7, 7 4,,95, 7, 7, K (, 4> <, ), * K 5 6

4 Przy pozome stotośc mejszym ż, otrzymą próę e moż uzć z losową. Uzyso zyt młą lczę ser. Dór rów do próy e jest ztem losowy. Zde. W pewym slepe spożywczym zmerzoo czs ułd olejych 6 zestwów chustecze hgeczych przez pewą prcowcę. Otrzymo stępujące wy (w se.): 8,8, 9,,,,,, 9,7,,6,,8,,5,,,,5, 9,9,,6,,4,,8,,,,7. Przy pozome stotośc, zweryfuj hpotezę, że wyór elemetów do próy jest losowy. de: d zorowość zestwy chustecze hgeczych, zme losow X czs ułd tych zestwów :α (dór elemetów do próy jest losowy) :α (dór elemetów do próy e jest losowy) szue:. terwłowy pomr zmeej losowej X. zme losow X m dowoly rozłd ttysty testując (test Wld-Wolfowtz): lcz ser Tlc z pomocczym wylczem dl sttysty testującej: Wrtośc cechy 8, 9,,, 9,,6,8,5,,5 9,,,4,8, Przyporządowe symole Lcz ser ymolem () ozczmy wrtośc mejsze od medy, symolem () wrtośc węsze od medy. Wrtośc rówe mede pomjmy. Wrtość medy z próy: me,6. *(lcz ser w próe)6, (lcz elemetów () w próe)7, (lcz elemetów () w próe)7 potez ltertyw jest dwustro. Oszr odrzuceń dl hpotezy zerowej przyjmuje postć: K (, α/ > < -α/, ), gdze jest to wrtość rytycz, tórą odczytujemy z tlc testu ser przy zdym pozome stotośc α/ (-α/) orz lcze zów dodtch (wrtośc wyższe od medy) orz lcze zów ujemych (wrtośc ższe od medy).,5, 7, 7 4,,95, 7, 7, K (, 4> <, ), * K Przy pozome stotośc mejszym ż, moż uzć, że dór elemetów do próy jest losowy. Uzyso wystrczjącą lczę ser. Wy pomru czsu ułd chustecze hgeczych stową ztem próę losową. Zde. W pewym meśce spyto olejo wychodzące osy ze slepu spożywczego o wysoość włśe zpłcoego rchuu z zupy. Otrzymo stępujące de (w zł): 4, 6, 4,,, 5, 8,, 5, 95, 9, 86, 84, 79, 75, 7, 67, 8, 8. Przy pozome stotośc, zweryfuj hpotezę o losowym dorze osó do d. de: d zorowość osy wychodzące ze slepu, zme X wysoość zpłcoego rchuu :α (dór elemetów do próy jest losowy) :α (dór elemetów do próy e jest losowy) szue:. terwłowy pomr zmeej losowej X. zme losow X m dowoly rozłd ttysty testując (test Wld-Wolfowtz): lcz ser Tlc z pomocczym wylczem dl sttysty testującej: Wrtośc cechy Przyporządowe symole Lcz ser ymolem () ozczmy wrtośc mejsze od medy, symolem () wrtośc węsze od medy. Wrtośc rówe mede pomjmy. Wrtość medy z próy: me98,5 *(lcz ser w próe), (lcz elemetów () w próe)9, (lcz elemetów () w próe)9 potez ltertyw jest dwustro. Oszr odrzuceń dl hpotezy zerowej przyjmuje postć: K (, α/ > < -α/, ), gdze jest to wrtość rytycz, tórą odczytujemy z tlc testu ser przy zdym pozome stotośc α/ (-α/) orz lcze zów dodtch (wrtośc wyższe od medy) orz lcze zów ujemych (wrtośc ższe od medy).,5, 9, 9 6,,95, 9, 9, K (, 6> <, ), * K Przy pozome stotośc mejszym ż, moż uzć, że dór osó do próy jest losowy. Lcz ser jest wystrczjąc. Zde.4 W pewym du spyto olejo wchodzące osy do u o wysoość posdych w m włdów oszczędoścowych. Uzyso stępujące formcje (w tys. zł):,,,7, 4,6, 7,4, 6,,,6, 4,, 5,6, 9,8, 9,, 4,6,,,,. Przy pozome stotośc,5 zweryfowć hpotezę o losowym dorze osó do d. 7 8

5 de: d zorowość osy wchodzące do u, zme losow X wysoość posdych włdów oszczędoścowych szue: :α (dór elemetów do próy jest losowy) :α (dór elemetów do próy e jest losowy). terwłowy pomr zmeej losowej X. zme losow X m dowoly rozłd ttysty testując (test Wld-Wolfowtz): lcz ser Tlc z pomocczym wylczem dl sttysty testującej: Wrtośc cechy,,7 4,6 7,4 6,,6 4, 5,6 9,8 9, 4,6,, Przyporządowe symole - - Lcz ser ymolem () ozczmy wrtośc mejsze od medy, symolem () wrtośc węsze od medy. Wrtośc rówe mede pomjmy. Wrtość medy z próy: me4,6. *(lcz ser w próe)6, (lcz elemetów () w próe)5, (lcz elemetów () w próe)6 potez ltertyw jest dwustro. Oszr odrzuceń dl hpotezy zerowej przyjmuje postć: K (, α/ > < -α/, ), gdze jest to wrtość rytycz, tórą odczytujemy z tlc testu ser przy zdym pozome stotośc α/ (-α/) orz lcze zów dodtch (wrtośc wyższe od medy) orz lcze zów ujemych (wrtośc ższe od medy).,5, 5, 6,,975, 5, 6 9, K (, > <9, ), * K Przy pozome stotośc mejszym ż,5 moż uzć, że dór elemetów do próy jest losowy. Lcz ser jest wystrczjąc. Pyte osy o wysoość posdych włdów oszczędoścowych moż uzć, że stowły próę losową. Zde.5 pewym pstwsu g stdo ydł rogtego. zwołe gospodrz std do rmy podeszło ch sztu. Dl tych sztu ydł zmerzoo długość ch rogów otrzymo stępujące de (w cm.): 7, 9, 5,,, 6, 4, 7,, 9, 9, 6. Czy zwerzęt te stową próę losową? Do weryfcj odpowedej hpotezy przyjąć pozom stotośc,5. De: d zorowość ydło rogte, zme losow X długość rogów : dór elemetów do próy jest losowy : dór elemetów do próy e jest losowy. terwłowy pomr zmeej losowej X. zme losow X m dowoly rozłd ttysty testując (test Wld-Wolfowtz): lcz ser Tlc z pomocczym wylczem dl sttysty testującej: Wrtośc cechy Przyporządowe symole Lcz ser 4 ymolem () ozczmy wrtośc mejsze od medy, symolem () wrtośc węsze od medy. Wrtośc rówe mede pomjmy. Wrtość medy z próy: me,5. Lcz ser *(lcz ser w próe)4, (lcz elemetów () w próe)6, (lcz elemetów () w próe)6 potez ltertyw jest dwustro. Oszr odrzuceń dl hpotezy zerowej przyjmuje postć: K (, α/ > < -α/, ), gdze jest to wrtość rytycz, tórą odczytujemy z tlc testu ser przy zdym pozome stotośc α/ (-α/) orz lcze zów dodtch (wrtośc wyższe od medy) orz lcze zów ujemych (wrtośc ższe od medy).,5, 5, 6,,975, 5, 6, K (, > <, ), * K Przy pozom stotośc mejszym ż,5 moż uzć, że dór ydł rogtego do próy jest losowy. Zde.6 Chodząc po pru zdrojowym często moż spotć egjące wewór. Chcąc zmerzyć długość ch ogo, w przypdowych mejsc w pru dooo odłowu po jedej wewórce uzyso de (cm.) o ch długośc ogo:, 8, 9, 8, 6, 5, 5, 8,,, 7. pozome stotośc, zweryfuj hpotezę, że wyór wewóre do próy ył losowy. De: d zorowość wewór, zme losow X długość ogo wewór : dór elemetów do próy jest losowy : dór elemetów do próy e jest losowy. terwłowy pomr zmeej losowej X. zme losow X m dowoly rozłd ttysty testując (test Wld-Wolfowtz): lcz ser Tlc z pomocczym wylczem dl sttysty testującej: Wrtośc cechy Przyporządowe symole 9

6 Lcz ser 4 5 ymolem () ozczmy wrtośc mejsze od medy, symolem () wrtośc węsze od medy. Wrtośc rówe mede pomjmy. Wrtość medy z próy: me,5. Lcz ser *(lcz ser w próe)6, (lcz elemetów () w próe)6, (lcz elemetów () w próe)6. potez ltertyw jest dwustro. Oszr odrzuceń dl hpotezy zerowej przyjmuje postć: K (, α/ > < -α/, ), gdze jest to wrtość rytycz, tórą odczytujemy z tlc testu ser przy zdym pozome stotośc α/ (-α/) orz lcze zów dodtch (wrtośc wyższe od medy) orz lcze zów ujemych (wrtośc ższe od medy).,5, 6, 6,,95, 6, 6, K (, > <, ), * K Przy pozom stotośc mejszym ż, moż uzć, że dór wewóre do d ył losowy. Zde.7 Pew mszy produuje oże o oreśloej długośc. Do otrol techczej pro 6 ch sztu uzyso stępujące de (w mm): 8, 6, 9,,, 9, 8,,, 8, 9,,,, 6,. Czy wyór tych oży stow próę losową? Do weryfcj odpowedej hpotezy przyjąć pozom stotośc,. De: d zorowość oże, zme losow X długość oż : dór elemetów do próy jest losowy : dór elemetów do próy e jest losowy. terwłowy pomr zmeej losowej X. zme losow X m dowoly rozłd ttysty testując (test Wld-Wolfowtz): lcz ser Tlc z pomocczym wylczem dl sttysty testującej: Wrtośc cechy Przyporządowe symole - - Lcz ser ymolem () ozczmy wrtośc mejsze od medy, symolem () wrtośc węsze od medy. Wrtośc rówe mede pomjmy. Wrtość medy z próy: me,. Lcz ser *(lcz ser w próe)6, (lcz elemetów () w próe)7, (lcz elemetów () w próe)7 potez ltertyw jest dwustro. Oszr odrzuceń dl hpotezy zerowej przyjmuje postć: K (, α/ > < -α/, ), gdze jest to wrtość rytycz, tórą odczytujemy z tlc testu ser przy zdym pozome stotośc α/ (-α/) orz lcze zów dodtch (wrtośc wyższe od medy) orz lcze zów ujemych (wrtośc ższe od medy).,5, 7, 7 4,,95, 7, 7, K (, 4> <, ), * K Przy pozom stotośc mejszym ż, dór wewóre do d moż uzć z losowy. Zde.8 Pew spółdzel meszow postowł dowedzeć sę, j jest lcz meszńców w tej spółdzel przypdjąc jede lol. W tym celu wyrł ezleże meszń w pewym lou stwerdzł, że w lolch tych zmeszwły:,, 4,,, 5,,, 6, 4,,, 6,, 4, 5,,,, osy. Przy pozome stotośc, zweryfuj przypuszczee o losowym dorze meszń do d. De: d zorowość mesz w pewej spółdzel meszowej, zme losow X lcz osó zmeszując w lolu : dór elemetów do próy jest losowy : dór elemetów do próy e jest losowy. terwłowy pomr zmeej losowej X. zme losow X m dowoly rozłd ttysty testując (test Wld-Wolfowtz): lcz ser Tlc z pomocczym wylczem dl sttysty testującej: Wrtośc cechy Przyporządowe symole Lcz ser ymolem () ozczmy wrtośc mejsze od medy, symolem () wrtośc węsze od medy. Wrtośc rówe mede pomjmy. Wrtość medy z próy: me,. Lcz ser *(lcz ser w próe)7, (lcz elemetów () w próe)7, (lcz elemetów () w próe)7. potez ltertyw jest dwustro. Oszr odrzuceń dl hpotezy zerowej przyjmuje postć: K (, α/ > < -α/, ), gdze jest to wrtość rytycz, tórą odczytujemy z tlc testu ser przy zdym pozome stotośc α/ (-α/) orz lcze zów dodtch (wrtośc wyższe od medy) orz lcze zów ujemych (wrtośc ższe od medy).,5, 7, 7 4,,95, 7, 7, K (, 4> <, ), * K Przy pozom stotośc mejszym ż, moż uzć, że dór meszń do d w tej spółdzel meszowej ył losowy.

7 Zde.9 W pewej mleczr zero formcje z osttch mesęcy o mesęczej lośc oddego do ej mle przez pewego gospodrz. Przy pozome stotośc, zweryfuj przypuszczee, że jest to pró losow, jeżel uzyso stępujące de z tego oresu (tys. ltrów):,,, 9, 8, 5,,, 7, 9,, 6, 6, 5, 8,, 9, 7, 6,. De: d zorowość pewe ores czsu, zme losow X lość oddego mle przez gospodrz do mleczr : dór elemetów do próy jest losowy : dór elemetów do próy e jest losowy. terwłowy pomr zmeej losowej X. zme losow X m dowoly rozłd ttysty testując (test Wld-Wolfowtz): lcz ser Tlc z pomocczym wylczem dl sttysty testującej: Wrtośc cechy Przyporządowe symole Lcz ser ymolem () ozczmy wrtośc mejsze od medy, symolem () wrtośc węsze od medy. Wrtośc rówe mede pomjmy. Wrtość medy z próy: me,. Lcz ser *(lcz ser w próe), (lcz elemetów () w próe), (lcz elemetów () w próe). potez ltertyw jest dwustro. Oszr odrzuceń dl hpotezy zerowej przyjmuje postć: K (, α/ > < -α/, ), gdze jest to wrtość rytycz, tórą odczytujemy z tlc testu ser przy zdym pozome stotośc α/ (-α/) orz lcze zów dodtch (wrtośc wyższe od medy) orz lcze zów ujemych (wrtośc ższe od medy).,5,, 6,,95,, 5, K (, 6> <5, ), * K Przy pozom stotośc mejszym ż, dór elemetów do próy moż uzć z losowy. Bde mesące stową ztem próę losową. Zde. W pewym du spyto perwszych 4 studetów orz studete z II rou wchodzących do udyu G o ch średą z oce z egzmów uzysą w poprzedm semestrze. Uzyso stępujące wy dl mężczyz:,5, 4,,,, 4,, 4,8,,,,7,,5,,9, 4,, 4,7, 4,8,,, 4, orz dl et: 4,4, 4,, 4,8,,4,,8,,9,,7,,,,8, 4,9. Czy de grupy osó moż uzć z próy losowe? Do odpowedch hpotez przyjąć pozom stotośc,5. De: d zorowość pewe ores czsu, zme losow X lość oddego mle przez gospodrz do mleczr : dór elemetów do próy jest losowy : dór elemetów do próy e jest losowy. terwłowy pomr zmeej losowej X. zme losow X m dowoly rozłd ttysty testując (test Wld-Wolfowtz): lcz ser Tlc z pomocczym wylczem dl sttysty testującej - mężczyź: Wrtośc cechy,5 4,, 4, 4,8,,7,5,9 4, 4,7 4,8, 4, Przyporządowe symole Lcz ser ymolem () ozczmy wrtośc mejsze od medy, symolem () wrtośc węsze od medy. Wrtośc rówe mede pomjmy. Wrtość medy z próy: me m,95 Lcz ser m *(lcz ser w próe)8, m (lcz elemetów () w próe)7, m (lcz elemetów () w próe)7. potez ltertyw jest dwustro. Oszr odrzuceń dl hpotezy zerowej przyjmuje postć: K (, α/ > < -α/, ), gdze jest to wrtość rytycz, tórą odczytujemy z tlc testu ser przy zdym pozome stotośc α/ (-α/) orz lcze zów dodtch (wrtośc wyższe od medy) orz lcze zów ujemych (wrtośc ższe od medy).,5, 7, 7,,975, 7, 7, K (, > <, ), m * K Tlc z pomocczym wylczem dl sttysty testującej - ety: Wrtośc cechy 4,4 4, 4,8,4,8,9,7,,8 4,9 Przyporządowe symole Lcz ser 4 5 me,85 Lcz ser *(lcz ser w próe)5, (lcz elemetów () w próe)5, (lcz elemetów () w próe)5.,5, 5, 5,,975, 5, 5 9, K (, > <9, ), m * K Przy pozom stotośc mejszym ż,5 de grupy studetów studete moż uzć, że stową próy losowe. 4

8 . Test stotośc dl średej Zde. pyto losowo wyre dorosłe osy, stowące ewel proml ogółu populcj, o ch dowy czs pośwęcoy se. Otrzymo stępujące formcje, tóre przedstwoo w szeregu rozdzelczym postc: Dowy czs su w godz. 5,-5,5 5,5-6, 6,-6,5 6,5-7, 7,-7,5 7,5-8, 8,-8,5 8,5-9, Lcz osó Czy uzyse wy z próy potwerdzją przypuszczee, że śred dowy czs su osó dorosłych jest y ż 8 godz.; śred dowy czs su osó dorosłych jest rótszy ż 8 godz.? Do weryfcj odpowedch hpotez przyjąć pozom stotośc,5. De: d zorowość osy dorosłe, zme losow X dowy czs su osó dorosłych, pró:, x 6,68, x,4. terwłowy pomr zmeej losowej X. zme losow X m ezy rozłd. eze odchylee stdrdowe w tym rozłdze 4. duż lczeość z próy, > 5. sończo zorowość geerl, le <, 5 6. losowy dór elemetów do próy : m8 (dowy czs su osó dorosłych wyos 8 godz.) : m 8 (dowy czs su osó dorosłych jest y ż 8 godz.) ttysty testując (test Guss): U X x m 6,68 8,, U, 5,4 x potez ltertyw jest dwustro. Oszr odrzuceń dl hpotezy zerowej przyjmuje postć: K (- ;-u α > <u α ; ), gdze u α jest to wrtość rytycz, tórą odczytujemy z tlc stdrdowego rozłdu ormlego przy zdym pozome stotośc α lu z tlc rozłdu t-tudet przy zdym pozome α orz lcze stop swody v. Tlc.. tdrdowy rozłd ormly P(-u U u )-p., P(U u )-,5 p p,,5,6,7,,959964,88794,89,,644854,495,457,74,,855,549,69,6 α,5, u α,5,96, K (-,-,96> <,96, ), U K Z prwdopodeństwem łędu I rodzju mejszym ż,5, podstwe wyów z próy moż przypuszczć, że śred dowy czs su osó dorosłych jest y ż 8 godz. : m8 (dowy czs su osó dorosłych wyos 8 godz.) : m<8 (dowy czs su osó dorosłych jest ższy ż 8 godz.) potez ltertyw jest jedostro oreślo wrtoścch ujemych. Oszr odrzuceń dl hpotezy zerowej przyjmuje postć: K (- ;-u α >. Tlc. tdrdowy rozłd ormly P(-u U u )-p., P(U u )-,5 p p,,5,6,7,,959964,88794,89,,644854,495,457,74,,855,549,69,6 α,5, u α,,645, K (-,-,645>, U K Wrtość sttysty testującej zlzł sę w szrze odrzuceń dl hpotezy zerowej. potezę zerową leży ztem odrzucć orzyć hpotezy ltertywej. Ozcz to, że Z prwdopodeństwem łędu I rodzju mejszym ż,5 podstwe wyów z próy moż przypuszczć, że śred dowy czs su osó dorosłych jest rótszy ż 8 godz. Zde. Tygodow lość słodyczy zjd przez osy prcujące w pewej frme, gdze słodycze są dostępe ezpłte, może yć ops rozłdem ormlym, w tórym to odchylee stdrdowe wyos,g. prwdź, czy złożee zrządu tej frmy mówące, ż śred tygodow lość zjdych słodyczy przez ch prcowów jest ższ od, g jest słusze, soro w losowo wyrej grupe 96 osó, tór stow % ogółu osó prcujących w tej frme, śred tygodow lość zjdych słodyczy wyosł,8 g. Do weryfcj odpowedej hpotezy przyjąć pozom stotośc wyoszący,75. De: d zorowość prcowcy pewej frmy, zme losow X tygodow lość zjdych słodyczy, X:(m, δ,), pró: 96, x,8,,. terwłowy pomr zmeej losowej X. zme losow X m rozłd ormly. ze odchylee stdrdowe w tym rozłdze 4. sończo zorowość geerl <, 5 5. losowy dór elemetów do próy : m (śred tygodow lość zjdych słodyczy przez prcowów wyos, g.) 5 6

9 : m< (śred tygodow lość zjdych słodyczy przez prcowów jest ższ od, g) ttysty testując (test Guss): U X x m,8, U 96,,, x potez ltertyw jest jedostro oreślo wrtoścch ujemych. Oszr rytyczy przyjmuje postć: K (- ; - u α >, gdze u α jest to wrtość rytycz, tórą odczytujemy z tlc stdrdowego rozłdu ormlego przy zdym pozome stotośc α. α,75, u,75,5,44, K (- ;-,44>, U K Z prwdopodeństwem łędu I rodzju mejszym ż,75 wy z próy potwerdzją przypuszczee, że śred tygodow lość zjdych słodyczy przez prcowów tej frmy jest ższ ż g. Zde. W pewej stołówce studecej wydwych jest dzee,5tys. dów. Jedocześe złd sę, że łącz loryczość żdego wydwego posłu pow wyosć 4 lor. W celu sprwdze zgodośc loryczośc dów z złożoą ormą, wylosowo ezleże 5 posłów stwerdzoo, że śred ch loryczośc wyosł 6 lor, ze współczyem zmeośc rówym 8%. Czy podstwe uzysych dych moż twerdzć, że loryczość dów jest zgod z złożoą ormą? Do weryfcj odpowedej hpotezy przyjąć pozom stotośc,5. De: d zorowość dy wydwej w pewej stołówce, zme losow X- loryczość d dowego, pró: 5, x6, V x,8, x 68,8,,. terwłowy pomr zmeej losowej X. zme losow X m ezy rozłd. eze odchylee stdrdowe w tym rozłdze 4. duż pró > 5. sończo zorowość geerl >, 5 6. losowy dór elemetów do próy : m4 (śred dze orm lorycz posłu w stołówce studecej wyos,4 tys.) : m 4 (śred dze orm lorycz posłu w stołówce studecej e wyos,4 tys.) ttysty testując (test Guss): U U ,8 5,,7 X x m, x potez ltertyw jest dwustro. Oszr odrzuceń dl hpotezy zerowej przyjmuje postć: K (- ;-u α > <u α ; ), gdze u α jest to wrtość rytycz, tórą odczytujemy z tlc stdrdowego rozłdu ormlego przy zdym pozome stotośc α. α,5, u α,96, K (-,-,96> <,96, ), u K Z prwdopodeństwem łędu I rodzju mejszym ż,5 wy z próy pozwlją twerdzć, że śred loryczość du wydwego w tej stołówce studecej e jest ż,4 tys. Zde.4 W pewej frme produującej szury złożoo, że śred ch wytrzymłość zerwe pow wyosć,5g. Czy moż uzć, że wyproduow prt szurów speł te wrue, jeśl dl 69 losowo wyrych szurów stwerdzoo, że ch śred wytrzymłość wyos,4g, odchylee stdrdowe jest rówe,6g.weryfcję odpowedej hpotezy przeprowdzć przy pozome stotośc,. Przy jm pozome stotośc podjęt decyzj weryfcyj w puce może ulec zme? De: d zorowość szury, zme losow X wytrzymłość szurów zerwe, pró: 69, x,4, x,6. terwłowy pomr zmeej losowej X. zme losow X m ezy rozłd. eze odchylee stdrdowe w tym rozłdze 4. duż lczeość z próy, > 5. esończo zorowość geerl 6. losowy dór elemetów do próy : m,5 (śred wytrzymłość szurów zerwe wyos,5g) : m,5 (śred wytrzymłość szurów zerwe e wyos,5g) ttysty testując (test Guss): U X x m,4,5, U 69, 7,6 x 7 8

10 potez ltertyw jest dwustro. Oszr odrzuceń dl hpotezy zerowej przyjmuje postć: K (- ;-u α > <u α ; ), gdze u α jest to wrtość rytycz, tórą odczytujemy z tlc stdrdowego rozłdu ormlego przy zdym pozome stotośc α. α,, u α,,645, K (-,-,645> <,645, ), U K Z prwdopodeństwem łędu I rodzju mejszym ż, wy z próy potwerdzją przypuszczee, że śred wytrzymłość szurów zerwe jest ż,5g. Zm decyzj weryfcyjej z putu ozcz, ż e mmy podstw do odrzuce hpotezy zerowej. ytucj t wystąp wówczs, gdy U K. Ztem -u α <-,7 orz u α >,7. Przyjmując z α, otrzymujemy wrtość rytyczą u α,,6 szr rytyczy postc: K (- ;-,6> <,6; ). U K czyl e mmy podstw do odrzuce hpotezy zerowej. Ogóle: P(U α <,7)-,5 α. Z tlc dystryuty stdrdowego rozłdu ormlego odczytujemy wrtość prwdopodeństw dl P(U α <,7),985. Ztem -,5 α,985, α,75. Dl żdej przyjętej wrtośc pozomu stotośc ższej ż,75 decyzj weryfcyj z putu ulege zme. Zde.5 W pewej frme prcuje 8 osó. Jej erowctwo postowło sprwdzć, czy śred dzey czs pośwęcoy przez prcowów przegląde stro teretowych w celch prywtych w godzch prcy wyos 65 m. W tym celu zostło poddych serwcj prcowów stwerdzoo, że śred dzey czs przezczoy przez ch ogląde tych stro wyosł 59 m. Czy złoże erowctw frmy są słusze jeżel dodtowo wdomo, że dzey czs pośwęcoy przez prcowów przegląde stro teretowych w celch prywtych jest zmeą losową o rozłdze ormlym z odchyleem stdrdowym wyoszącym 9 m. Do weryfcj odpowedej hpotezy przyjąć pozom stotośc,. De: d zorowość prcowcy pewej frmy, zme losow X czs pośwęcoy ogląde stro teretowych w cągu d, X:(m, δ9), pró: 8, x 59. terwłowy pomr zmeej losowej X. zme losow X m rozłd ormly. ze odchylee stdrdowe w tym rozłdze 4. sończo zorowość geerl >, 5 5. losowy dór elemetów do próy : m65 (śred dzey czs pośwęcoy przegląde stro teretowych wyos 65 m.) : m 65 (śred dzey czs pośwęcoy przegląde stro teretowych e wyos 65 m.) ttysty testując (test Guss): U X x m 59 65, U, 9 x potez ltertyw jest dwustro. Oszr odrzuceń dl hpotezy zerowej przyjmuje postć: K (- ;-u α > <u α ; ), gdze u α jest to wrtość rytycz, tórą odczytujemy z tlc stdrdowego rozłdu ormlego przy zdym pozome stotośc α. α,, u α,,645, K (-,-,645> <,645, ), U K Z prwdopodeństwem łędu I rodzju mejszym ż, wy z próy potwerdzją przypuszczee erowctw frmy, że śred dzey czs pośwęcoy przez prcowów przegląde stro teretowych w celch prywtych e jest y ż 65 m. Zde.6 Zdzcho złożył sę ze tchem, że śred czs jedze lodów ptyu przez osy w weu 5-45 lt jest dłuższy ż 4,5 m. W celu zd słuszośc tego przypuszcze, zmerzył o czs jedze lodów dl 44 przypdowo spotych osó, tóre stową proml osó w tym weu, ozło sę, ż śred czs jedze przez ch lodów wyósł 4,6 m. z % zróżcowem tego czsu. Oceń, czy Zdzcho mł rcję, przyjmując do weryfcj odpowedej hpotezy pozom stotośc,. Przy jm pozome stotośc podjęt decyzj weryfcyj w puce ulege zme? De: d zorowość osy jedzące lody ptyu, zme losow X czs jedze lodów, pró: 44, x4,6, V,, x,9 x. terwłowy pomr zmeej losowej X. zme losow X m ezy rozłd. eze odchylee stdrdowe w tym rozłdze 4. duż lczeość z próy, > 5. sończo zorowość geerl, le <, 5 6. losowy dór elemetów do próy : m4,5 (śred czs jedze lodów przez osy w weu 5-45 lt wyos 4,5 m.) : m>4,5 (śred czs jedze lodów przez osy w weu 5-45 lt jest dłuższy ż 4,5 m.) 8 9

11 ttysty testując (test Guss): U X x m 4,6 4,5, U 44,,9 x potez ltertyw jest jedostro oreślo wrtoścch dodtch. Oszr rytyczy przyjmuje postć: K <u α ; ), gdze u α jest to wrtość rytycz, tórą odczytujemy z tlc stdrdowego rozłdu ormlego przy zdym pozome stotośc α. α,, u,,,6, K <,6; ), U K Z prwdopodeństwem łędu I rodzju mejszym ż, wy z próy e potwerdzły przypuszcze, że śred czs jedze lodów przez osy w weu 5-45 lt jest dłuższy ż 4,5 m. Zm decyzj weryfcyjej z putu ozcz, że hpotezę zerową leży odrzucć orzyść hpotezy ltertywej. ytucj t wystąp wówczs, gdy U K. Ztem u α <, czyl P(u α <,)-,5 ( α). Z tlc dystryuty stdrdowego rozłdu ormlego odczytujemy wrtość prwdopodeństw dl P(u α <,),9. Ztem -,5 ( α),9, węc α,97. Dl żdej wrtośc pozomu stotośc wyższej ż α,97 decyzj weryfcyj z putu ulege zme. Zde.7 orm techcz przewduje, że śred czs potrzey wyoe opercj, tór poleg ułożeu w rtoe tlcze czeoldy, wyos 64s. Z lczych serwcj wdomo, że czs trw tej czyośc jest zmeą losową o rozłdze ormlym, w tórym to odchylee stdrdowe wyos s. Poewż rotcy często srżyl sę, że orm jest źle ustlo, dooo pomru czsu trw tej czyośc dl 5 losowo wyrych rotów, tórzy stową % ogółu ztrudoych stwerdzoo, że śred czs trw tej opercj wyosł 65s. Czy pozome stotośc, moż przypuszczć, że śred czs wyo tej czyośc jest wyższy ż przewduje orm? Przy jm pozome stotośc decyzj weryfcyj ulege zme? De: d zorowość rotcy ułdjący tlcz czeoldy w rtoch, zme losow X czs wyo tej opercj, X:(m, δ), pró: 5, x65. terwłowy pomr zmeej losowej X. zme losow X m rozłd ormly. ze odchylee stdrdowe w tym rozłdze 4. sończo zorowość geerl, le <, 5 5. losowy dór elemetów do próy : m64 (śred czs opercj polegjącej ułożeu w rtoe tlcze czeoldy wyos 64s.) : m>64 (śred czs opercj polegjącej ułożeu w rtoe tlcze czeoldy jest dłuższy od 64s.) ttysty testując (test Guss): U X x m 65 64, U 5, 5 x potez ltertyw jest jedostro oreślo wrtoścch dodtch. Oszr rytyczy przyjmuje postć: K <u α ; ), gdze u α jest to wrtość rytycz, tórą odczytujemy z tlc stdrdowego rozłdu ormlego przy zdym pozome stotośc α. α,, u,,,8, K <,8; ), U K Z prwdopodeństwem łędu I rodzju mejszym ż, spostrzeże prcowów, że śred czs potrzey do ułoże tlcze czeoldy w rtoe jest wyższy ż przewduje orm, potwerdzły sę. Zm decyzj weryfcyjej z putu ozcz, że e m podstw do odrzuce hpotezy zerowej. ytucj t wystąp wówczs, gdy U K, ztem u α >,5 czyl P(u α >,5),5 ( α). Z tlc dystryuty stdrdowego rozłdu ormlego odczytujemy wrtość prwdopodeństw dl P(u α <,5),9, -,5 ( α),9, α,67. Dl żdej przyjętej wrtośc pozomu stotośc ższej ż α,67 decyzj weryfcyj z putu ulege zme. Zde.8 Tygodow lość curu zjd przez dzec w weu 8- lt może yć ops rozłdem ormlym, z odchyleem stdrdowym wyoszącym,g. prwdź, czy złożee hdlowców mówące, ż śred tygodow lość curu zjd przez dzec w tym weu jest ższ od, g, jest słusze, soro w losowo wyrej grupe 96 dzec, tóre stową proml dzec w tym weu, śred tygodow lość zjdego curu wyosł,8g. Do weryfcj odpowedej hpotezy przyjąć pozom stotośc,75. De: d zorowość dzec w weu 8- lt, zme losow X tygodow lość curu zjd przez dzec w tym weu, X:(m, δ,), pró: 96, x,8. terwłowy pomr zmeej losowej X. zme losow X m rozłd ormly. ze odchylee stdrdowe w tym rozłdze 4. sończo zorowość geerl, le <, 5 5. losowy dór elemetów do próy : m (śred tygodow lość zjdego curu przez dzec w weu 8- lt wyos, g.)

12 : m< (śred tygodow lość zjdego curu przez dzec w weu 8- jest ższ od, g) ttysty testując (test Guss): U X x m,8,, U 96,, x potez ltertyw jest jedostro oreślo wrtoścch ujemych. Oszr rytyczy przyjmuje postć: K (- ; - u α >, gdze u α jest to wrtość rytycz, tórą odczytujemy z tlc stdrdowego rozłdu ormlego przy zdym pozome stotośc α. α,75, u,75,5,44, K (- ;-,44>, U K Z prwdopodeństwem łędu I rodzju mejszym ż,75 wy z próy potwerdzły przypuszczee hdlowców, że śred tygodow lość zjdego curu przez dzec w weu 8- lt jest mejsz ż g. Zde.9 Wdomo, że ce (w zł.) trzody chlewej z g może yć ops rozłdem ormlym z odchyleem stdrdowym wyoszącym,5zł. Producec tego sortymetu twerdzą zś, że opłclość producj występuje wówczs, gdy śred ce z g tego surowc jest wyższ od,zł. Czy mją o rcję, soro dl przedej grupy 96 producetów, stowących % ogółu wytwórców, opłclość producj trzody chlewej wystąpł przy średej cee rówej,5zł z g. Do weryfcj odpowedej hpotezy przyjąć pozom stotośc,75. De: d zorowość producec trzody chlewej, zme losow X ce trzody chlewej z g, X:(m, δ,5), pró: 96, x,. terwłowy pomr zmeej losowej X. zme losow X m rozłd ormly. ze odchylee stdrdowe w tym rozłdze 4. sończo zorowość geerl, le <, 5 5. losowy dór elemetów do próy : m, (śred ce trzody chlewej z g wyos,zł) : m>, (śred ce trzody chlewej z g jest wyższ od,zł) x m,5, ttysty testując (test Guss): U, U 96 7, 84 X x,5 potez ltertyw jest jedostro oreślo wrtoścch dodtch. Oszr rytyczy przyjmuje postć: K <u α ; ), gdze u α jest to wrtość rytycz, tórą odczytujemy z tlc stdrdowego rozłdu ormlego przy zdym pozome stotośc α. α,75, u,75,5,44, K <,44; ), U K Z prwdopodeństwem łędu I rodzju mejszym ż,75 wy z próy potwerdzły przypuszczee, że opłclość producj trzody chlewej występuje wówczs, edy jej ce z g jest wyższ od,zł. Zde. W środowsu dzersm przypuszcz sę, że średe mesęcze wydt żywość w gospodrstwch domowych czteroosowych wyoszą 4 zł. Celem sprwdze tego złoże, wylosowo ezleże 5 gospodrstw domowych tego typu, tóre stową % ogółu gospodrstw stwerdzoo, że średe mesęcze wydt te rtyuły wyoszą 6 zł, współczy zmeośc 8%. Czy pozyse de z próy potwerdzły przypuszcze dzerzy? Do weryfcj odpowedej hpotezy przyjąć pozom stotośc,5. De: d zorowość gospodrstw domowe czteroosowe, zme losow X- mesęcze wydt żywość, pró: 5, x6, V x,8 x 68,8. terwłowy pomr zmeej losowej X. zme losow X m ezy rozłd. eze odchylee stdrdowe w tym rozłdze 4. duż lczeość z próy, > 5. sończo zorowość geerl, le <, 5 6. losowy dór elemetów do próy : m4 (średe mesęcze wydt żywość w gospodrstwch domowych czteroosowych wyoszą,4 tys. zł) : m 4 (średe mesęcze wydt żywość w gospodrstwch domowych czteroosowych e wyoszą,4 tys. zł) ttysty testując (test Guss): U X x m 6 4, U 5, 8 68,8 x potez ltertyw jest dwustro. Oszr odrzuceń dl hpotezy zerowej przyjmuje postć: K (- ;-u α > <u α ; ), gdze u α jest to wrtość rytycz, tórą odczytujemy z tlc stdrdowego rozłdu ormlego przy zdym pozome stotośc α. α,5, u α,96, K (-,-,96> <,96, ), u K Z prwdopodeństwem łędu I rodzju mejszym ż,5 przypuszcze dzerzy, że średe mesęcze wydt żywość w gospodrstwch domowych czteroosowych wyoszą,4 tys. zł, są prwdzwe. 4

13 Zde. W pewej mejscowośc meszńcy twerdzą, że średe oszczędośc posde przez ch meszńców są ższe od 445 zł. Czy to twerdzee jest słusze, soro dl losowo wyrych 4 osó, tórzy stową % wszystch meszńców tej mejscowośc, stwerdzoo, że ch średe oszczędośc wyosły 46 zł, z odchyleem stdrdowym 68,8 zł. Do weryfcj odpowedej hpotezy przyjąć pozom stotośc,5. De: d zorowość meszńcy pewej mejscowośc, zme losow X- wysoość oszczędośc meszńców tego mst, pró: 4, x 46, x 68,8. terwłowy pomr zmeej losowej X. zme losow X m ezy rozłd. eze odchylee stdrdowe w tym rozłdze 4. duż lczeość z próy, > 5. sończo zorowość geerl, le <, 5 6. losowy dór elemetów do próy : m445 (śred wysoość posdych oszczędośc przez meszńców w pewej mejscowośc wyos 445) : m<445 (śred wysoość posdych oszczędośc przez meszńc w pewej mejscowośc jest ższ od 445) ttysty testując (test Guss): U x x m , U 4 6, 5 68,8 x potez ltertyw jest jedostro oreślo wrtoścch ujemych. Oszr rytyczy przyjmuje postć: K (- ;-u α >, gdze u α jest to wrtość rytycz stdryzowego rozłdu ormlego. α,5, u α,,65, K (-,-,65>, u K Z prwdopodeństwem łędu I rodzju mejszym ż,5 wy z próy potwerdzły przypuszczee, że śred wysoość oszczędośc poszczególych meszńców tego mst jest ższ od 445 zł. Zde. Twerdz sę, ż w trzecolgowej włosej drużye pł ożej zwodcy strzelją perwszą rmę przecęte po, m. od mometu rozpoczęc meczu. prwdź, czy jest to prwdą, soro rozegre mecze przez żdą z wyrych losowo czterech druży, łączy czs potrzey zwodom do strzele perwszej rm wyosł odpowedo: 48, 8, 46, 48. Jedocześe zuwżoo, że czs potrzey do strzele perwszej rm przez zwod od mometu rozpoczęc meczu może yć opsy rozłdem ormlym. Do weryfcję odpowedej hpotezy przyjąć łąd I rodzju rówy,5. De: d zorowość mecze pł ożej, zme losow X-czs potrzey do strzele perwszej rm przez zwod od mometu rozpoczęc meczu, X:(m, δ), pró: 8, x,4, x,. terwłowy pomr zmeej losowej X. zme losow X m rozłd ormly. eze odchylee stdrdowe w tym rozłdze 4. duż lczeość z próy, > 5. esończo zorowość geerl 6. losowy dór elemetów do próy : m, (śred czs potrzey do strzelee perwszej rm przez zwod od mometu rozpoczęc meczu wyos,) : m, (śred czs potrzey do strzelee perwszej rm przez zwod od mometu rozpoczęc meczu e wyos,) ttysty testując (test Guss): U x x m,4,, U 8 6,, potez ltertyw jest dwustro. Oszr odrzuceń dl hpotezy zerowej przyjmuje postć: K (- ;-u α > <u α ; ), gdze u α jest to wrtość rytycz stdrdowego rozłdu ormlego. α,5, u α,96, K (-,-,96> <,96, ), U K Z prwdopodeństwem łędu I rodzju mejszym ż,5 wy z próy potwerdzły przypuszczee, że śred czs potrzey do strzele perwszej rm przez zwod w trzecolgowej drużye pł ożej w ldze włosej od mometu rozpoczęc meczu jest y ż, m. Zde. W dośwdczeu djącym sprwość fzyczą młodzeży przyjęto, że śred czs poo dystsu 5 m przez 7-letego chłopc powe wyos mej ż 8s. Oceń czy to złożee jest słusze, jeżel w 6-osowej grupe 7-ltów, stowących proml osó płc męsej w tym weu, ch śred czs przeegęc tego dystsu wyósł 7,8s., z cążoym odchyleem stdrdowym rówym,5s. Dodtowo wdomo, ż czs przeegęc tego dystsu przez chłopców w tym weu jest zmeą losową o rozłdze ormlym. Do weryfcj odpowedej hpotezy przyjąć pozom stotośc,5. Przy jm pozome stotośc podjęt decyzj weryfcyj w puce ulege zme. De: d zorowość 7-let chłopcy, zme losow X czs przeegęc dystsu 5 m, X:(m, δ), pró: 6, x 7,8, x,5 5 6

14 . terwłowy pomr zmeej losowej X. zme losow X m rozłd ormly. eze odchylee stdrdowe w tym rozłdze 4. mł lczeość z próy, < 5. sończo zorowość geerl, le <, 5 6. losowy dór elemetów do próy : m8 (śred czs przeegęc 5 m przez 7-letch chłopców wyos 8s.) : m<8 (śred czs przeegęc 5 m przez 7-letch chłopców jest ższy od 8s.) x m 7,8 8, ttysty testując (test t-tudet): t, t 6, x,5 x potez ltertyw jest jedostro oreślo wrtoścch ujemych. Oszr rytyczy przyjmuje postć: K (- ; -t α,v- >, gdze t jest to wrtość rytycz, tórą odczytujemy z tlc stdrdowego rozłdu t-tudet przy zdym pozome stotośc α orz lcze stop swody v-. t Tlc 4. tdrdowy rozłd t-tudet P(-t T t )-p, P(T t )-,5 p p v-,,,5,,,,,7,8,58,8,89,,77,74,58,89,79,9,74,69,5,87,767 4,8,7,64,49,797,745 5,6,78,6,485,787,75 6,5,76,56,479,779,77 α,5, t α, 79, K (-,-,79>, t K ;,;5 Z prwdopodeństwem łędu I rodzju mejszym ż,5 wy z próy e potwerdzły przypuszcze, że śred czs poo 5 m przez 7-letch chłopców jest rótszy ż 8s. Zm decyzj weryfcyjej z putu ozcz, że hpotezę zerową leży odrzucć orzyść hpotezy ltertywej. ytucj t wystąp wówczs, gdy t K, ztem - t α >-,. Przyjmując z α,5 otrzymujemy t, 7. Oszr odrzuceń α,.,5 t dl hpotezy zerowej m postć: K (-, -,7) czyl t K. Ogóle: P(-t α >-,79)-,5 ( α). Z tlc dystryuty stdrdowego rozłdu t- tudet odczytując wrtość prwdopodeństw dl P(t α <,79),977. Ozcz to, że -,5 ( α),977, ztem α,. Dl żdej przyjętej wrtośc pozomu stotośc wyższej ż α, decyzj weryfcyj z putu ulege zme. Zde.4 W pewym dośwdczeu złożoo, że śred czs ezędy do zpmęt dwusylowych słów w języu gelsm przez osę w weu 8- lt powe wyosć 8 m lu yć rótszy ż 8 m. Czy złoże te są słusze, soro w grupe 7 losowo wyrych osó, stowących mej ż % osó w tym weu, śred czs potrzey do zpmęt tej lczy słów wyósł 8,6 m., z cążoym odchyleem stdrdowym rówym, m. Dodtowo wdomo, że czs potrzey do zpmęt dwusylowych słów w języu gelsm przez osę w weu 8- lt moż opsć rozłdem ormlym. Do weryfcj odpowedej hpotezy przyjąć pozom stotośc,5. De: d zorowość osy w weu 8- lt, zme losow X czs potrzey do zpmęt dwusylowych słów w języu gelsm, X:(m, δ), pró: 7, x 8,6, x,. terwłowy pomr zmeej losowej X. zme losow X m rozłd ormly. eze odchylee stdrdowe w tym rozłdze 4. mł lczeość z próy, < 5. sończo zorowość geerl, le <, 5 6. losowy dór elemetów do próy : m8 (śred czs potrzey do zpmęt słów przez osy w weu 8- lt wyos 8 m.) : m 8 (śred czs potrzey do zpmęt słów przez osy w weu 8- lt e wyos 8 m.) lu : m8 (śred czs potrzey do zpmęt słów przez osy w weu 8- lt wyos 8 m.) : m<8 (śred czs potrzey do zpmęt słów przez osy w weu 8- lt e wyos 8 m.) x m 8,6 8, ttysty testując (test t-tudet): t, t 7, x x, potez ltertyw jest dwustro. Oszr odrzuceń dl hpotezy zerowej przyjmuje postć: K (- ;-t α,v- > <t α,v- ; ), gdze t α,v to wrtość rytycz stdrdowego rozłdu t-tudet. α,5, t α,5,v6,, K (-,-,> <,, ), t K Z prwdopodeństwem łędu I rodzju mejszym ż,5 wy z próy potwerdzły przypuszczee, że śred czs potrzey do zpmęt 7 8

15 dwusylowych słów w języu gelsm przez osy w weu 8- lt e jest y ż 8 m. potez ltertyw jest jedostro oreślo wrtoścch ujemych. Oszr odrzuceń dl hpotezy zerowej przyjmuje postć: K (- ;-t α,v- >, gdze t α,v to wrtość rytycz stdrdowego rozłdu t-tudet. α,5, t α,,v6,746, K (-,-,746>, t K Z prwdopodeństwem łędu I rodzju mejszym ż,5 wy z próy potwerdzły przypuszczee, że śred czs potrzey do zpmęt dwusylowych słów w języu gelsm przez osy w weu 8- lt e jest rótszy ż 8 m. Zde.5 Złd sę, że średe dzee wydt z udżetów powtów mst prwch powtu wyoszącą węcej ż 8 tys. zł. Zweryfuj to przypuszczee, soro w 7 losowo wyrych ośrodch tego typu, stowących % ch ogółu, średe dzee wydt wyosły 8 tys. zł, z cążoym odchyleem stdrdowym rówym tys. zł. Jedocześe leży złożyć, że dzee wydt z udżetów powtów mst prwch powtu chrteryzują sę rozłdem ormlym. Do weryfcj odpowedej hpotezy przyjąć pozom stotośc,5. De: d zorowość powty mst prwch powtów, zme losow X dzee wydt z udżetu tych ośrodów, X:(m, δ), pró: 7, x8,6, x,. terwłowy pomr zmeej losowej X. zme losow X m rozłd ormly. eze odchylee stdrdowe w tym rozłdze 4. mł lczeość z próy, < 5. sończo zorowość geerl, le <, 5 6. losowy dór elemetów do próy : m8 (średe dzee wydt z udżetów powtów mst prwch powtów wyoszą 8 tys.) : m>8 (średe dzee wydt z udżetów powtów mst prwch powtów są wyższe od 8 tys.) x m 8,6 8, ttysty testując (test t-tudet): t, t 7, x, x potez ltertyw jest jedostro oreślo wrtoścch dodtch. Oszr rytyczy przyjmuje postć: K <t α,v- ; ), gdze t jest to wrtość rytycz, stdrdowego rozłdu t-tudet. α,5, t α,,v-6,746, K <,746; ), t K Z prwdopodeństwem łędu I rodzju mejszym ż,5 wy z próy potwerdzły przypuszczee, że średe dzee wydt z udżetu powtów mst prwch powtów e są wyższe od 8 tys. zł. Zde.6 Zdem ogrodów, śred wysoość pewej rośly pow yć ższ ż 8cm. podstwe serwcj 7 rośl tego typu stwerdzoo, że ch śred wysoość wyosł 8,6 cm, z cążoym odchyleem stdrdowym rówy cm. Jedocześe z lczych serwcj wdomo, że wysoość tej rośly jest zme losową o rozłdze ormlym. Oceń, czy poczyoe złożee przez ogrodów jest słusze, przyjmując do weryfcj odpowedej hpotezy łąd I rodzju rówy,5. De: d zorowość - pew rośl, zme losow X wysoość pewej rośly, X:(m, σ), pró: 7, x8,6, x. terwłowy pomr zmeej losowej X. zme losow X m rozłd ormly. eze odchylee stdrdowe w tym rozłdze 4. mł lczeość z próy, < 5. esończo zorowość geerl 6. losowy dór elemetów do próy : m8 (śred wysoość pewej rośly wyos 8 cm) : m<8 (śred wysoość pewej rośly jest ższ od 8 cm) x m 8,6 8, ttysty testując (test t-tudet): t, t 7, x x, potez ltertyw jest jedostro oreślo wrtoścch ujemych. Oszr rytyczy przyjmuje postć: K (- ; -t α,v- >, gdze t jest to wrtość rytycz, stdrdowego rozłdu t-tudet. α,5, t α,v- t α,,v6,, K (-,-,>, t K Z prwdopodeństwem łędu I rodzju mejszym ż,5 wy z próy potwerdzły przypuszczee, że śred wysoość pewej rośly e jest ższ ż 8cm. Zde.7 W pewej szole języów cych złożoo, że czs potrzey do przetłumcze pewego testu z języ polsego języ gels przez ucz z tej szoły ze średą zjomoścą tego języ cego wyos 8 m. Czy złożee to jest słusze, soro merząc czs potrzey do wyo tej czyośc dl losowo wyrych 7 uczów, tórzy stową % uczów ze średą zjomoścą tego języ w tej szole, śred czs potrzey do przetłumcze tego testu wyósł 8,6 m., z cążoym odchyleem stdrdowym rówym, m. Dodtowo wdomo zś, że czs potrzey do przetłumcze tego testu przez osy ze średą zjomoścą 9

16 języ cego jest zmeą losową, tórą moż opsć rozłdem ormlym. Do weryfcj odpowedej hpotezy przyjąć pozom stotośc,5. De: d zorowość uczowe pewej szoły języowej ze średą zjomoścą języ gelsego, zme losow X czs potrzey do przetłumcze testu języ gels, X:(m, δ), pró: 7, x8,6, x,,,. terwłowy pomr zmeej losowej X. zme losow X m rozłd ormly. eze odchylee stdrdowe w tym rozłdze 4. mł lczeość z próy, < 5. sończo zorowość geerl >, 5 6. losowy dór elemetów do próy : m8 (śred czs potrzey do przetłumcze testu języ gels wyos 8 m.) : m 8 (śred czs potrzey do przetłumcze testu języ gels e wyos 8 m.) ttysty testując (test t-tudet): t 8,6 8, t 7,,4, x x m x potez ltertyw jest dwustro. Oszr odrzuceń dl hpotezy zerowej przyjmuje postć: K (- ;-t α,v- > <t α,v- ; ), gdze t α,v to wrtość rytycz stdrdowego rozłdu t-tudet. α,5, t α,5,v6,, K (-,-,> <,, ), t K Z prwdopodeństwem łędu I rodzju mejszym ż,5 wy z próy potwerdzją przypuszczee, że śred czs potrzey do przetłumcze testu języ cy przez ucz tej szoły ze średą zjomoścą języ cego e jest y ż 8 m. Zde.8 W pewej cuer postowoo sprwdzć, czy rzeczywśce śred rocz lość (w g) upowych cste przez jedego let wyos 5g. W celu sprwdze tego twerdze, zdo losowo wyrych letów ozło sę, że śred rocz lość upowych przez ch cste wyosł 4,g, z cążoym odchyleem stdrdowym rówym,g. Jedocześe z wcześejszych serwcj wdomo, że rocz lość upowych cste przez letów tej cuer może yć ops rozłdem ormly. Do weryfcj odpowedej hpotezy przyjąć łąd I rodzju rówy,. De: d zorowość lec pewej cuer, zme losow X lość cste upowych przez letów pewej cuer w cągu rou, X:(m,δ), pró:, x 4,, x,. terwłowy pomr zmeej losowej X. zme losow X m rozłd ormly. eze odchylee stdrdowe w tym rozłdze 4. mł lczeość z próy, < 5. esończo zorowość geerl 6. losowy dór elemetów do próy : m5 (śred rocz lość upowych cste przez letów pewej cuer wyos 5 g.) : m 5 (śred rocz lość upowych cste przez letów pewej cuer e wyos 5g.) x m 4, 5, ttysty testując (test t-tudet): t, t, x x, potez ltertyw jest dwustro. Oszr odrzuceń dl hpotezy zerowej przyjmuje postć: K (- ;-t α,v- > <t α,v- ; ), gdze t α,v to wrtość rytycz stdrdowego rozłdu t-tudet. α,, t α,,v9,8, K (-,-,8> <,8, ), t K Z prwdopodeństwem łędu I rodzju mejszym ż, wy z próy potwerdzją przypuszczee, że śred rocz lość upowych cste przez jedego let tej cuer e jest ż 5 g. Zde.9 W pewym urze mlersm złożoo, ż śred mesęczy zys osągy przez spół cyje powe wyosć 6 ml zł. Czy to przypuszczee jest słusze, soro w pewym mesącu dl losowo wyrych spółe, stowących % ogółu tych spółe, zotowo stępujący zys: zys lcz spółe 6 6 Z wcześejszych serwcj wdomo zś, że mesęczy zys osągy w spółch cyjych moż opsć rozłdem ormlym. Do weryfcj odpowedej hpotezy przyjąć pozom stotośc,. De: d zorowość spół cyje, zme losow X mesęczy zys spółe cyjych, X:(m,δ), pró:, x6,9, cążoe x 4,6

17 . terwłowy pomr zmeej losowej X. zme losow X m rozłd ormly. eze odchylee stdrdowe w tym rozłdze 4. mł lczeość z próy, < 5. sończo zorowość geerl, le <, 5 6. losowy dór elemetów do próy : m6 (śred mesęczy zys osągy przez spół cyje wyos 6 ml zł.) : m 6 (śred mesęczy zys osągy przez spół cyje e wyos 6 ml.zł.) x m 6,9 6, ttysty testując (test t-tudet): t, t, x 4,6 x potez ltertyw jest dwustro. Oszr odrzuceń dl hpotezy zerowej przyjmuje postć: K (- ;-t α,v- > <t α,v- ; ), gdze t α,v to wrtość rytycz stdrdowego rozłdu t-tudet. α,, t α,,v-9,86, K (-,-,86> <,86, ), t K Z prwdopodeństwem łędu I rodzju mejszym ż, wy z próy potwerdzją przypuszczee, że śred mesęczy zys osągy przez spół cyje e jest y ż 6 ml. zł. Zde. W pewej gecj relmowej przypuszcz sę, że śred mesęczy zys osągy przez fle tej gecj jest y ż 6 ml zł. Czy to złożee jest słusze, soro w pewym mesącu djąc losowo wyre fle tej gecj, stowące % ogółu, zotowo stępujący w ch zys: zys Lcz fl Do weryfcj odpowedej hpotezy przyjąć pozom stotośc,. De: d zorowość fle pewej gecj relmowej, zme losow X mesęczy zys osągy przez te fle, pró:, x 8,84, x 4,,. terwłowy pomr zmeej losowej X. zme losow X m ezy rozłd. eze odchylee stdrdowe w tym rozłdze 4. duż lczeość z próy, > 5. sończo zorowość geerl, le <, 5 6. losowy dór elemetów do próy : m6 (śred mesęczy zys osągy przez fle pewej gecj relmowej wyos 6 ml zł.) : m 6 (śred mesęczy zys osągy przez fle pewej gecj relmowej e wyos 6 ml.zł.) ttysty testując (test Guss): U x x m 8,84 6,, U 9, 8 4, x potez ltertyw jest dwustro. Oszr odrzuceń dl hpotezy zerowej przyjmuje postć: K (- ;-u α > <u α ; ), gdze u α to wrtość rytycz stdrdowego rozłdu ormlego. α,, u α,,58, K (-,-,58> <,58, ), u K Z prwdopodeństwem łędu I rodzju mejszym ż, wy z próy potwerdzją przypuszczee, że śred mesęczy zys osągy przez fle tej gecj relmowej jest y ż 6 ml zł. Zde. W pewej szole podstwowej dyrecj złożył, że śred dze lość wypjego mle przez ucz pow yć wyższ od,5 ltr. prwdź, czy przypuszczee dyrecj jest słusze, soro w przedej grupe losowo wyrych 7 osó, stowących % populcj, śred dze lość wypjego przez ch mle to, ltr, z cążoym odchyleem stdrdowym rówym,5 ltr. Jedocześe złdmy, że dze lość wypjego mle przez uczów tej szoły może yć ops rozłdem ormlym. Do weryfcj odpowedej hpotezy przyjąć pozom stotośc,. De: d zorowość uczowe pewej szoły, zme losow X dze lość wypjego mle przez uczów, X:(m,δ), pró: 7, x,, x,5. terwłowy pomr zmeej losowej X. zme losow X m rozłd ormly. eze odchylee stdrdowe w tym rozłdze 4. mł lczeość z próy, < 5. sończo zorowość geerl, le <, 5 6. losowy dór elemetów do próy : m,5 (śred dze lość wypjego mle przez uczów w pewej szole wyos,5 ltr) : m>,5 (śred dze lość wypjego mle przez uczów w pewej szole jest wyższ od,5 ltr) 4