Równania falowe 71 7 Równania falowe Równanie falowe u tt c x u = 0, t > 0, x Ω, gdzie c > 0, Ω R n jest obszarem, a szukana funkcja to u = u(t, x = u(t, x 1,..., x n, opisuje wychylenie u (z poªo»enia równowagi, w chwili t punktu, o wspóªrz dnych x = (x 1,..., x n, ciaªa spr»ystego (struny dla n = 1, membrany dla n =, bryªy dla n = 3. Rozwa»my obszar U Ω, o dostatecznie regularnym brzegu. Zaªó»my ponadto, dla ustalenia uwagi,»e g sto± masy jest stale równa jeden. Caªkowite przyspieszenie obszaru U jest równe t U u dx = u tt dx. Z drugiego prawa dynamiki Newtona wynika,»e przyspieszenie jest równe sile dziaªaj cej na U. Siª t mo»na zapisa w postaci F, n x ds x. Jest to prawd dla dowolnego U Ω, mo»na zatem zapisa U U u tt = div x F. Dla ciaªa elastycznego, F jest funkcj gradientu wychylenia, u, czyli u tt = div x F( u. Dla niewielkich wychyle«, zast pujemy F( u jej liniowym przybli»eniem, czyli a u. 7.1 Jednowymiarowe równanie falowe Rozwa»my jednowymiarowe równanie falowe na caªej prostej R (RF-1 u tt c u xx = 0, t > 0, x R, gdzie c > 0, a szukana funkcja to u = u(t, x. Warunki pocz tkowe to u(0, x = f(x, x R u t (0, x = g(x, x R,
7 Skompilowaª Janusz Mierczy«ski gdzie f, g : R R s zadanymi funkcjami. Zapiszmy równanie (RF-1 jako Oznaczmy Zatem ( t c ( x t + c u = 0. x v(t, x := ( t c u(t, x. x v t (t, x + cv x (t, x = 0, t > 0, x R. Jest to liniowe jednorodne równanie transportu o staªych wspóªczynnikach, którego rozwi zaniem jest v(t, x = a(x ct, gdzie a(x = v(0, x. Zatem u t (t, x cu x (t, x = a(x ct, t > 0, x R. Jest to liniowe niejednorodne równanie transportu o staªych wspóªczynnikach, którego rozwi zaniem jest (7.1 u(t, x = t 0 a(x+c(t s cs ds+b(x+ct = 1 c x+ct x ct a(ξ dξ +b(x+ct, gdzie b(x = u(0, x. Z warunku pocz tkowego u(0, x = f(x otrzymujemy,»e b(x = f(x. Dalej, a(x = v(0, x = u t (0, x cu x (0, x = g(x cf (x. Podstawiaj c powy»sze do (7.1 otrzymujemy u(t, x = 1 c co daje wzór d'alemberta (1 : x+ct x ct (g(s cf (s ds + f(x + ct, u(t, x = 1 ( 1 f(x + ct + f(x ct + c x+ct x ct g(ξ dξ. (1 Jean(-Baptiste le Rond d'alembert (17171783, matematyk, zyk i lozof francuski.
Równania falowe 73 Je±li f jest klasy C i g jest klasy C 1 na R, to otrzymane rozwi zanie jest rozwi zaniem klasycznym. Zauwa»my,»e warto± rozwi zania w punkcie (t, x, zale»y tylko od warto±ci warunków pocz tkowych na przedziale [x ct, x + ct]. Kra«ce tego przedziaªu to przeci cia charakterystyk równania przechodz cych przez (t, x z osi rz dnych. Przedziaª taki nazywamy obszarem zale»no±ci punktu (t, x. Z drugiej strony, warto±ci warunków pocz tkowych w punkcie (0, ξ wpªywaj tylko na warto±ci rozwi zania poªo»one w klinie ξ ct x ξ + ct, t 0 (którego brzegiem s charakterystyki przechodz ce przez (0, ξ. Klin taki nazywamy obszarem wpªywu punktu (0, ξ. Interpretacja zyczna tego jest taka,»e zaburzenia rozchodz si z pr dko±ci c. 7. n-wymiarowe równanie falowe Rozwa»my n-wymiarowe równanie falowe na caªej przestrzeni R n (RF-n u tt c x u = 0, t > 0, x R n, gdzie c > 0, a szukana funkcja to u = u(t, x = u(t, x 1,..., x n. Warunki pocz tkowe to u(0, x = f(x, x R n u t (0, x = g(x, x R n, gdzie f, g : R n R s zadanymi funkcjami. 7..1 Metoda ±rednich sferycznych Do otrzymania wzoru na rozwi zanie zagadnienia pocz tkowego dla równania (RF-n zastosujemy metod ±rednich sferycznych Dla funkcji ci gªej h: R n R zdeniujmy jej ±redni sferyczn wzorem M h (r, x := 1 ω n r n 1 y x =r h(y ds y. Zauwa»my,»e bior c y = x+rξ, ξ = 1, mo»na denicj ±redniej sferycznej zapisa w postaci M h (r, x = 1 ω n h(x + rξ ds ξ.
74 Skompilowaª Janusz Mierczy«ski Korzystaj c z powy»szej postaci, przedªu»amy M h (r, x w sposób parzysty na wszystkie r R. Gdy h jest klasy C k na R n, to (tak przedªu»ona M h jest klasy C k na R n+1. Zaªó»my,»e h jest klasy C na R n. Mamy wtedy r M h(r, x = 1 ω n = r ω n ξ <1 = r1 n x ω n ( n h xj (x + rξ ξ j ds ξ = x h(x + rξ dξ = r1 n x ω n ( r 0 dϱ y x =ϱ ( y x <r h(y ds y = r 1 n x h(y dy r 0 = ϱ n 1 M h (ϱ, x dϱ. Mno» c skrajne strony powy»szej równo±ci przez r n 1 i ró»niczkuj c po r, otrzymujemy, po odpowiednich przeksztaªceniach, równanie Darboux : (7. ( r + n 1 M h (r, x = x M h (r, x. r r Naturalne warunki pocz tkowe dla równania (7. to: (7.3 M h (0, x = h(x, r M h(r, x = 0 r=0 (M h (r, x jest parzyste wzgl dem r. Powró my do naszego równania falowego. Niech u = u(t, x, klasy C na [0, R n, b dzie rozwi zaniem zagadnienia pocz tkowego (RF-n. Oznaczmy M u (r, t, x := 1 ω n u(t, x + rξ ds ξ. Liczymy x M u = 1 ω n ξ x u(t, x+rξ ds ξ = 1 c ξ ( u(t, x+rξ ds t ξ = 1 c t M u. Zestawiaj c to z równaniem Darboux (7. otrzymujemy równanie Eulera PoissonaDarboux : (7.4 ( t M u = c r + n 1 r M u. r
Równania falowe 75 Warunki pocz tkowe to M u = M f (r, x t M u = M g (r, x dla t = 0. 7.. Trójwymiarowe równanie falowe. Wzór Kirchhoa Zaªó»my,»e n = 3. Równanie (7.4 przybiera teraz, po odpowiednich przeksztaªceniach, posta ( t (rm u = c r r + (rm u = c r r (rm u. Zatem rm u (r, t, x jest, jako funkcja t i r, rozwi zaniem jednowymiarowego równania falowego, z warunkami pocz tkowymi rm u = rm f (r, x t (rm u = rm g (r, x Wzór d'alemberta (7.1 daje nam dla t = 0. rm u (r, t, x = 1 [(r+ctm f(r+ct, x+(r ctm f (r ct, x]+ 1 c Wykorzystuj c fakt,»e M f i M g s parzyste wzgl dem r, otrzymujemy M u (r, t, x = (ct + rm f(ct + r, x (ct rm f (ct r, x + 1 r cr Gdy z r d»ymy do zera, pierwszy skªadnik po prawej stronie d»y do ct+r ct r ξm g (ξ, x dξ. ct+r ct r (ctmf (ct, x (ct( = 1 (ctmf (ct, x c t( = ( tmf (ct, x t Natomiast drugi skªadnik d»y do ξm g (ξ, x dξ. Zatem 1 c ctm g(ct, x = tm g (ct, x. (7.5 u(t, x = tm g (ct, x + t( tmf (ct, x,
76 Skompilowaª Janusz Mierczy«ski czyli u(t, x = 1 g(y ds 4πc y + ( 1 f(y ds t t 4πc y. t Wykazali±my,»e ka»de rozwi zanie u = u(t, x, klasy C na [0, R 3, jest postaci (7.5. W szczególno±ci, wynika st d jednoznaczno± rozwi zania zagadnienia pocz tkowego dla trójwymiarowego równania falowego. Zaªó»my,»e f jest klasy C 3 i g jest klasy C. Funkcja u = u(t, x okre- ±lona wzorem (7.5 jest klasy C na [0, R 3. Bezpo±rednie sprawdzenie tego,»e takie u jest rozwi zaniem równania falowego, jest do± skomplikowane. Zauwa»my jednak,»e, podstawiaj c w równaniu Darboux (7. r = ct otrzymujemy t (tm g(ct, x = c r (rm g(r, x = cr x (rm g (r, x = c x (tm g (ct, x. Zatem tm g (ct, x jest rozwi zaniem równania falowego. Analogicznie wykazujemy,»e tm f (ct, x jest rozwi zaniem równania falowego, wi c jego pochodna po t te» jest rozwi zaniem równania falowego. To,»e okre±lone wzorem (7.5 u speªnia warunki pocz tkowe, wynika z (7.3. Przeksztaªcamy dalej nasz wzór. Zauwa»my,»e Zatem ( 1 t 4πc t Dalej t 4π t 1 4πc t ξ=1 f(y ds y = 1 4π f(y ds y = ( 1 t t 4πc t = 1 4πc t f(x + ctξ ds ξ = ct 4π = ct 4πc t = 1 4πc t f(x + ctξ ds ξ. f(y ds y + t 4π ( 3 ( 3 t f(y ds y = f(x + ctξ ds ξ. ( 3 f xj (x + ctξ ξ j ds ξ = f yj (y yj x j ct ds y = f yj (y (y j x j ds y.
Równania falowe 77 Otrzymali±my wzór Kirchhoa ( (7.6 u(t, x = 1 4πc t ( 3 tg(y + f(y + f yj (y (y j x j ds y (niekiedy wzorem Kirchhoa nazywa si wzór (7.5. Zauwa»my,»e tracimy jedn pochodn : gdy f jest klasy C r i g jest klasy C r 1, mamy zagwarantowane tylko,»e u jest klasy C r 1. Warto± rozwi zania w punkcie (t, x zale»y tylko od warto±ci warunków pocz tkowych S(x, ct: obszar zale»no±ci punktu (t, x to S(x, ct. Dalej, warto±ci warunków pocz tkowych w punkcie y R 3 wpªywaj na warto±ci rozwi zania tylko w punktach (t, x le» cych na powierzchni sto»kowej x y = ct. Zaªó»my,»e no±niki funkcji f i g s zawarte w pewnym zbiorze ograniczonym D R 3. Aby u(t, x 0 punkt x musi nale»e do sfery o promieniu ct o ±rodku gdzie± w D. Niech D = D(0; ϱ. Gdy sfera S(x, ct ma niepusty przekrój z D = B(0; ϱ, musi zachodzi ct ϱ < x < ct + ϱ. Zatem, dla ustalonego t > ϱ/c, no±nik funkcji u(t, jest zawarty wewn trz S(0, ct + ϱ i na zewn trz S(0, ct ϱ. Dla ustalonego x R 3, gdy t > ( x + ϱ/c, zachodzi u(t, x = 0. Powy»sze rozumowania s matematycznym wyrazem mocnej zasady Huygensa: obszarem zale»no±ci w przestrzeni x jest powierzchnia dwuwymiarowa. 7..3 Dwuwymiarowe równanie falowe Przypadek n = nie mo»e by traktowany w powy»szy sposób: nie wiadomo, w jaki sposób znale¹ rozwi zania równania EuleraPoissonaDarboux. Stosuje si tutaj inn metod, tzw. metod spadku: szukamy rozwi zania zagadnienia pocz tkowego równania dwuwymiarowego u tt c x u = 0, t > 0, (x 1, x R, u(0, x 1, x = f(x 1, x, (x 1, x R, u t (0, x 1, x = g(x 1, x, (x 1, x R, jako rozwi zania równania trójwymiarowego, które jest niezale»ne od zmiennej x 3. ( Gustav Kirchho (1841887, zyk niemiecki
78 Skompilowaª Janusz Mierczy«ski Po odpowiednich przeksztaªceniach otrzymujemy wzór Poissona: u(t, x 1, x = 1 πc + 1 πc t B((x 1,x ;ct ( B((x 1,x ;ct lub, po dalszych przeksztaªceniach, u(t, x 1, x = = 1 πct B((x 1,x ;ct g(y 1, y c t ((x 1 y 1 + (x y dy 1 dy + f(y 1, y c t ((x 1 y 1 + (x y dy 1 dy, f(y 1, y + f yj (y 1, y (y j x j + tg(y 1, y dy 1 dy. c t ((x 1 y 1 + (x y Zauwa»my,»e w powy»szym wzorze, w odró»nieniu od sytuacji trójwymiarowej, warto± rozwi zania w (t, x 1, x zale»y od warto±ci pocz tkowych na caªym kole o ±rodku w (x 1, x i promieniu ct. W szczególno±ci, pocz tkowe zaburzenie w (x 1, x R nie redukuje si tam do zera w»adnej chwili t > 0. 7..4 n dowolne Dla n nieparzystego, stosujemy odpowiednio zmodykowan metod ±rednich sferycznych z przypadku trójwymiarowego, otrzymuj c,»e pewna funkcja (bardziej skomplikowana ni» rm u speªnia jednowymiarowe równanie falowe. Podobnie jak dla n = 3, warto± rozwi zania w punkcie (t, x zale»y tylko od warto±ci warunków pocz tkowych na sferze o ±rodku w x i promieniu ct. Dla n parzystych, stosujemy metod spadku: traktujemy rozwi zanie wyj- ±ciowego zagadnienia pocz tkowego jako rozwi zanie zagadnienia (n+1-wymiarowego, niezale»ne od x n+1. Analogicznie jak dla n =, warto± rozwi zania w punkcie (t, x zale»y od warto±ci warunków pocz tkowych na kuli o ±rodku w x i promieniu ct. 7..5 Jak szybko maleje rozwi zanie przy t d» cym do niesko«- czono±ci? Niech n = 3. Zaªó»my,»e no±niki funkcji f i g s zawarte w B(0; ϱ. Zauwa»my,»e we wzorze Kirchhoa u(t, x = 1 4πc t ( 3 tg(y + f(y + f yj (y (y j x j ds y
Równania falowe 79 caªkowanie odbywa si faktycznie tylko po przekroju sfery S(x; ct z kul o promieniu ϱ. Miara powierzchniowa takiego zbioru jest ograniczona z góry przez 4πϱ. Wynika st d istnienie staªej C > 0 takiej,»e max x R 3 u(t, x C t dla dostatecznie du»ych t > 0. Szczypta poezji. Jak zauwa»yª Fritz John (3, do tego zjawiska (cho dla n = odnosi si nast puj cy cytat z Henryka VI Szekspira Glory is like a circle in the water Which never ceaseth to enlarge itself Till by broad spreading it disperse to nought. (4 Zjawisko to nie zachodzi dla n = 1. 7..6 Norma energetyczna Niech n = 3. Zaªó»my,»e f i g maj zwarte no±niki. Wówczas u(t,, ma, dla ka»dego ustalonego t > 0, zwarty no±nik. Zdeniujmy norm energetyczn : E(t := 1 3 ((u t + c (u xj dx R 3 (pierwszy skªadnik odpowiada energii kinetycznej, drugi energii potencjalnej. Liczymy 3 (u t u tt + c u xj u xj t dx = R 3 ( 3 = (u t utt c u xj u ( 3 3 xj + c u t u xj u xj + u xj u xj t dx = R 3 3 ( = (u t (u tt c x u + c ut u xj x j de dt = R 3 (3 Fritz John (19101994, matematyk ameryka«ski pochodzenia niemieckiego dx = 0. (4 eth to dawna ko«cówka trzeciej osoby liczby pojedynczej czasu tera¹niejszego, za± it disperse to nie bª d gramatyczny, lecz przykªad u»ycia trybu ª cz cego (ang. subjunctive mood.
710 Skompilowaª Janusz Mierczy«ski Uwagi na temat oznacze«operator ró»niczkowy := t x nazywany jest operatorem d'alemberta (inna nazwa to dalambercjan. Zwykle laplasjan interpretuje si tylko wzgl dem wspóªrz dnych przestrzennych, czyli równanie falowe zapisuje sie po prostu u tt c u = 0.