Twierdzenie Poincaré Bendixsona 1 TwierdzeniePoincaré 1 Bendixsona 2 1 TwierdzeniePoincaré Bendixsona W bieżącym podrozdziale zakładamy, że U jest otwartym podzbiorem płaszczyzny R 2 if:u R 2 jestpolemwektorowymklasyc 1,generującym lokalny potok ϕ. Twierdzenie 1(Twierdzenie Poincaré Bendixsona). Niech dla pewnego x U zbiór ω(x) będzie niepustym zbiorem zwartym nie zawierającym punktów stacjonarnych. Wówczas ω(x) jest orbitą okresową. W dowodzie twierdzenia Poincaré Bendixsona wykorzystuje się następujący wynik: Twierdzenie 2(TwierdzenieJordana 3 orozcinaniupłaszczyzny).niech J R 2 będziekrzywązwykłązamkniętą(tzn.zbioremhomeomorficznymz okręgiem).wówczasdopełnienie R 2 \Jmadwieskładowespójności,jedną ograniczoną(wnętrze krzywej J), i drugą nieograniczoną(zewnętrze krzywej J). Ponadto, J jest wspólnym brzegiem swojego wnętrza i zewnętrza. Przystępujemy teraz do dowodu twierdzenia Poincaré Bendixsona. Jeśli O(x) jest orbitą okresową, to nie ma czego dowodzić. Załóżmy zatem, że x nie jest punktem okresowym, oraz że ω(x) jest niepustym zbiorem zwartym nie zawierającym punktów stacjonarnych. Przypomnijmy dwuwymiarową wersję twierdzenia o lokalnym prostowaniu pola wektorowego: Twierdzenie 3(Twierdzenie o prostowaniu pola wektorowego wersja dwuwymiarowa).niechf:u R 2 będziepolemwektorowymklasyc 1 i niech u U będzie punktem regularnym pola F. Wówczas istnieją: transwersalalpolafwpunkcieu, otoczenie otwarte V punktu u, 1 HenriPoincaré(1854 1912),matematykfrancuski,wedługkompilatora(J.M.)jeden z najwybitniejszych matematyków wszech czasów 2 IvarOttoBendixson(1861 1935),matematykszwedzki 3 (MarieEnnemond)CamilleJordan(1838 1922),matematykfrancuski(odjegonazwiska pochodzi też postać Jordana macierzy; nie należy go mylić z Wilhelmem Jordanem (1842 1899), geodetą i matematykiem niemieckim, od którego nazwiska pochodzi algorytm Gaussa Jordana)
Twierdzenie Poincaré Bendixsona 2 liczby dodatnie ε, δ, oraz dyfeomorfizm klasyc 1 o następujących własnościach: M:V 1 1 na ( δ,δ) ( ε,ε) (i)m(l)=( δ,δ) {0};ponadtoM(u)=(0,0), (ii)dlakażdegov V istniejedokładniejednapara(w,t) L ( ε,ε) taka,żev=ϕ t (w);ponadto,m(v)=(ξ,t),gdziem(w)=(ξ,0). OznaczmyM=(M 1,M 2 ). Fakt1.Niechy ω(x).wówczasistniejątranswersalalpolafwpunkcie yorazciąg(ϕ tk (x)) L,t k gdyk,zbieżnydoy. Dowód.Niechs k będzieciągiemtakim,żeϕ sk (x)dążydoy.oznaczmy przezl(odp.v)transwersalę(odp.otoczenie)punktuyjakwtwierdzeniuo lokalnym prostowaniu(tw. 3). Odrzucając skończenie wiele wyrazów, można założyć,żewszystkieϕ sk (x)należądov.określmyt k :=s k M 2 (ϕ sk (x)). Po pierwsze, zauważmy że, na podstawie Tw. 3(ii), ϕ tk (x)=ϕ sk M 2 (ϕ sk (x))(x) L. Dalej, korzystając z własności(pl2) oraz z ciągłości potoku lokalnego(patrz, np., wykład o lokalnym prostowaniu), widzimy, że ϕ sk M 2 (ϕ sk (x))(x)=ϕ M2 (ϕ sk (x))(ϕ sk (x)) dąży,przyk,doϕ M2 (y)(y),którejestrówne,znównapodstawie(znów na podstawie Tw. 3(ii)), y. Wystarczyterazzauważyć,żet k s k ε,zatemt k gdyk. Fakt2.Niechy ω(x).wówczasdlakażdejtranswersalilpolafwpunkcie yjakwfakcie1,każdyciąg(ϕ tk (x)) k=1 Lzbieżnydoyitaki,że0<t 1< t 2 < <t k <t k+1 <,jestmonotoniczny. Monotonicznośćrozumiemywnastępującysposób:ciąg(M 1 (ϕ tk (x))) k=1 jest monotoniczny.
Twierdzenie Poincaré Bendixsona 3 DowódFaktu2.Załóżmynajpierwniewprost,żeM 1 (ϕ tk (x))im 1 (ϕ tk+1 (x)) są,dlapewnegok N,przeciwnychznaków. WówczaszbiórJ,będącysumąodcinkatranswersaliLokońcachϕ tk (x) iϕ tk+1 (x),i kawałka orbity{ϕ t (x):t [t k,t k+1 ]},jestkrzywązwykłą zamkniętą(patrzponiższyrysunek,gdziex 1 :=ϕ tk (x),x 2 :=ϕ tk+1 (x)). x 1 y x 2 y 1 Zauważmy,żenaodcinkutranswersaliLłączącympunktyx 1 ix 2 pole wektorowe F skierowane jest na zewnątrz krzywej J. Wynika stąd, że dla s<0dostateczniebliskichzerupunktϕ s (y)jestpołożonywewnątrzkrzywej J.Ustalmytakies,ioznaczmyy 1 :=ϕ s (y).leczy 1 ω(x),zatemistnieje ϑ>t k+1 takie,żeϕ ϑ (x)leżywewnątrzkrzywejj.leczjesttoniemożliwe, bododatniapółorbitapunktux 2 niemajakwejśćdownętrzakrzywejj:nie możeprzeciąćzbioru{ϕ t (x):t [t k,t k+1 ]}(przeczyłobytozałożeniu,żex niejestpunktemokresowym),iniemożewejśćdownętrzakrzywejjprzez odcinek transwersali(gdyż tam pole wektorowe skierowane jest na zewnątrz). Załóżmyterazniewprost,że,naprzykład,0<M 1 (ϕ tk (x))<m 1 (ϕ tk+1 (x)) dlapewnegok N. WówczaszbiórJ,będącysumąodcinkatranswersaliLokońcachϕ tk (x) iϕ tk+1 (x),i kawałka orbity{ϕ t (x):t [t k,t k+1 ]},jestkrzywązwykłą zamkniętą(patrzponiższyrysunek,gdziex 1 :=ϕ tk (x),x 2 :=ϕ tk+1 (x)).
Twierdzenie Poincaré Bendixsona 4 y x 1 x 2 TerazpunktyleżywewnątrzkrzywejJ.Leczjesttoniemożliwe,bo (takjakwpoprzedniejczęścidowodu)dodatniapółorbitapunktux 2 niema którędy wejść do wnętrza krzywej J. Lemat1.Niechy ω(x).wówczasdlakażdejtranswersalilpolafw punkcieyjakwfakcie1zachodziω(x) L={y}. Dowód.Załóżmyniewprost,żeξ y ω(x) L.ZachodziM 1 (ξ) 0= M 1 (y).załóżmy,że0 s <s sątakie,żeϕ s (x) Liϕ s (x) L. Z twierdzenia o lokalnym prostowaniu pola wektorowego(tw. 3) wynika, żes s >2ε.Zatemzbiórtychchwilt 0,dlaktórychϕ t (x)należy do transwersali L, jest co najwyżej przeliczalny. Zbiór ten(oznaczany przez (t k ))jestwistocieprzeliczalny,gdyży ω(x).dlapewnegopodciągu(t kl ) zachodziϕ tkl (x) y,czylim 1 (ϕ tkl (x)) 0,zaśdlainnegopodciągu(t k l ) zachodziϕ tk l (x) ξ,czylim 1 (ϕ tk l (x)) M 1 (ξ) 0.Lecz,napodstawie Faktu2,ciąg(M 1 (ϕ tk (x))jestmonotoniczny,sprzeczność. Lemat2.Niechy ω(x).wówczasyjestpunktemokresowym. Dowód.Ztego,żeω(x)jestzwartyiniezmienniczywynika,że ω(y) ω(x).ustalmyz ω(y).fakt1zastosowanydoz ω(y)gwarantujenam istnienietranswersalilpolafwpunkcieziciągu(t k )rozbieżnegodo
Twierdzenie Poincaré Bendixsona 5 takiego,żeϕ tk (y) Lorazϕ tk (y)dążydozgdyk.ociągu(t k ) możemyzałożyć,żejestrosnący.leczzlematu1(zastosowanegodoz ω(x))wynika,żeϕ t1 (y)=ϕ t2 (y)=z,gdziet 1 <t 2,zatemyjestpunktem okresowym. Wykazaliśmy zatem, że ω(x) jest sumą orbit okresowych. Aby dokończyć dowód twierdzenia Poincaré Bendixsona, ustalmy y ω(x),ioznaczmyprzezt>0okrespodstawowyorbityokresowejγ=o(y) (oczywiście Γ ω(x)). Rozważmy znów transwersalę L w punkcie y i otoczenie V. Z ciągłej zależności rozwiązania od warunków początkowych wynika, żedlakażdegoη>0istniejeotoczenieotwartev Vpunktuytakie,że (i) ϕ t (z) ϕ t (y) <ηdladowolnegoz V iwszystkicht [0,T+ε], (ii)ϕ T (V ) V. Załóżmydalej,żeotoczenieotwarteV jestwypukłe. Ustalmyη>0,idobierzmyV doη.istniejes>0takie,żeϕ s (x) L V.Z(ii)wynika,żepunktϕ s+t (x) V.Ztwierdzeniaoprostowaniu pola wektorowego(twierdzenie 3) wynika istnienie ϑ ( ε, ε) takiego, że ϕ s+t+ϑ (x) L.Z(i)wynika,że ϕ t+s (x) ϕ t (y) <ηdlawszystkicht [0,T+ε]. Zmonotoniczności(Fakt2)wynika,żepunktϕ s+t+ϑ (x)musileżećna transwersalilpomiędzypunktamiϕ s (x)iy.ponieważotoczeniev jest wypukłe,punktϕ s+t+ϑ (x)należydov.powtarzamyterazpowyższerozumowanie,otrzymując,żedlawszystkicht spunktϕ t (x)jestwodległości mniejszejniżηodorbityokresowejγ.wynikastąd,żeω(x) Γ,cokończy dowód twierdzenia Poincaré Bendixsona. OrbitęokresowąO(y)taką,żeistniejex / O(y),dlaktóregoω(x)= O(y), nazywamy cyklem granicznym. 2 Dalsze własności pól wektorowych na płaszczyźnie Sformułujemy teraz dwa twierdzenia z topologii, które będą potrzebne w późniejszych rozważaniach. Twierdzenie4(TwierdzenieSchönfliesa 4 ).NiechJ R 2 będziekrzywą zwykłązamkniętąiniechh:j T,gdzie T={x R 2 : x =1},będziehomeomorfizmem.WówczasistniejehomeomorfizmH: R 2 R 2 będący rozszerzeniemhomeomorfizmuh(tzn.h J =hih 1 T =h 1 ). 4 ArthurMoritzSchönflies(1853 1928),matematykniemiecki
Twierdzenie Poincaré Bendixsona 6 Przed sformułowaniem następnego twierdzenia, przypomnijmy, że punktemstałymodwzorowaniaf:x X(Xjestdowolnymzbiorem)nazywamy x Xtaki,żef(x)=x.JeśliXjestprzestrzeniąmetryzowalną(ogólniej: przestrzenią topologiczną Hausdorffa) i f jest odwzorowaniem ciągłym, to zbiór punktów stałych odwzorowania f(być może pusty!) jest domknięty. Przestrzeń metryzowalną homeomorficzną z domkniętą kulą jednostkową w n-wymiarowej przestrzeni euklidesowej nazywamy dyskiem n-wymiarowym. Twierdzenie5(TwierdzenieBrouwera 5 opunkciestałym).ciągłeodwzorowanie dysku n-wymiarowego w siebie ma punkt stały. Twierdzenie6.NiechF:U R 2 będziepolemwektorowymklasyc 1,i niechγbędzieorbitąokresowąpolaftaką,żejejwnętrzezawartejestwu. WówczaswewnątrzΓistniejeytaki,żeF(y)=0. Dowód.JakożeΓjestpodzbiorempłaszczyzny R 2 homeomorficznymzokręgiem, na podstawie twierdzenia Schönfliesa istnieje homeomorfizm płaszczyzny R 2 na R 2 przeprowadzającysumędkrzywejγijejwnętrzad 0 na(domknięte) koło jednostkowe. Wobec tego, D jest dyskiem dwuwymiarowym. Oznaczmy przez Φ potok lokalny generowany przez pole wektorowe F. Dlakażdegox D 0 orbitao(x)jest,jakozbiórspójny,zawartawd 0. Wynikastąd,żeD 0 jestzbioremniezmienniczym,i,cozatymidzie,dysk dwuwymiarowy D też jest zbiorem niezmienniczym. Ponieważ D jest zbiorem zwartym,ϕ t (x)jestokreślonedlakażdegot Rikażdegox D. Dlak NoznaczmyprzezE k zbiórpunktówstałychodwzorowania Ψ k :D D,Ψ k (x):=ϕ 1/2 k(x).ztwierdzeniabrouweraopunkciestałym wynika,żezbiorye k,k NsąniepustePonadto,zbiorytesądomknięte, zatemzwarte.dalej,e k+1 E k.wynikastąd,żee:= k=1 E k jest,jako przekrój zstępującej rodziny niepustych zbiorów zwartych, też niepusty i zwarty. Weźmyy E.ZdefinicjizbioruEwynika,żeϕ t (y)=ydlat>0 dwójkowowymiernych.leczodwzorowanie R t ϕ t (x)jestciągłe,zatem ϕ t (x)=ydlakażdegot>0,czylif(y)=0. Fakt,żeE Γ=,jestoczywisty. Wniosek.NiechF: R 2 R 2 będziepolemwektorowymklasyc 1 takim,że O + (x)mazwartedomknięcie,dlapewnegox.wówczasistniejeytakie,że F(y)=0. Dowód. Zbiór ω(x) jest zwarty i niepusty. Jeśli ω(x) zawiera punkt stacjonarny y, to teza wniosku jest spełniona. Jeśli nie, to na podstawie twierdzenia 5 LuitzenEgbertusJanBrouwer(1881 1966),matematykholenderski
Twierdzenie Poincaré Bendixsona 7 Poincaré Bendixsona(Tw. 1) ω(x) jest orbitą okresową Γ. Lecz z Tw. 6 wynika istnienie(wewnątrz krzywej Γ) punktu y takiego, że F(y) = 0.