Diagonalizacja macierzy i jej zastosowania Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 9. wykład z algebry liniowej Warszawa, grudzień 2011 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień 2011 1 / 14
Definicja Macierz A = [a ij M n n (R) nazywamy diagonalna jeśli dla każdej pary różnych indeksów i, j,(tzn. i j), a ij = 0, tzn. gdy A = a 11 0... 0 a nn Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień 2011 2 / 14
Definicja Macierz A = [a ij M n n (R) nazywamy diagonalna jeśli dla każdej pary różnych indeksów i, j,(tzn. i j), a ij = 0, tzn. gdy A = a 11 0... 0 a nn Przykład Macierze diagonalne 1 0 0 0 3 0 0 0 6, 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 0 0 0 0 1 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień 2011 2 / 14
Twierdzenie Niech ϕ : V V będzie endomorfizmem przestrzeni liniowej V, zaś A = v 1,..., v n niech będzie baza V. Wówczas M(ϕ) A jest diagonalna każdy wektor bazy A jest wektorem własnym endomorfizmu ϕ. Przy tym, jeśli A jest diagonalna to a ii jest wartościa własna odpowiadajac a v i, tzn., ϕ(v i ) = a ii v i. Dowód:na tablicy Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień 2011 3 / 14
Przykład Niech endomorfizm ϕ : R 2 R 2, będzie określony przez ϕ((x 1, x 2 )) = (x 1 3x 2, x 1 + 5x 2 ). m(ϕ) st = [ 1 3 1 5 [ 1 λ 3, w ϕ = det 1 5 λ = (1 λ)(5 λ)+3 =, λ 2 6λ + 8 = (λ 2)(λ 4), skad wartości własne λ 1 = 2, λ 2 = 4. Wyznaczamy podprzestrzenie własne: V (2) : [ 1 3 1 3 [ x1 x 2 = [ 0 0 czyli V (2) = {( 3x 2, x 2 ) x 2 R} = lin(( 3, 1)) V (4) : [ 3 3 1 1 [ x1 x 2 = [ 0 0 czyli V (4) = {( x 2, x 2 ) x 2 R} = lin(( 1, 1)) x 1 = 3x 2, x 1 = x 2, Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień 2011 4 / 14
Przykład cd. Układ A = (( 3, 1), ( 1, 1)) jest baza R 2, M(ϕ) A = gdyż ϕ(( 3, 1)) = 2( 3, 1) + 0( 1, 1), ϕ(( 1, 1)) = 0( 3, 1) + 4( 1, 1) [ 2 0 0 4, Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień 2011 5 / 14
Przykład cd. Układ A = (( 3, 1), ( 1, 1)) jest baza R 2, M(ϕ) A = gdyż ϕ(( 3, 1)) = 2( 3, 1) + 0( 1, 1), ϕ(( 1, 1)) = 0( 3, 1) + 4( 1, 1) Twierdzenie [ 2 0 0 4 Niech α 1,..., α k oznacza k różnych wartości własnych endomorfizmu ϕ : V V przestrzeni liniowej V, zaś A 1,..., A k niech stanowia k takich liniowo niezależnych układów wektorów z V, że jeśli v należy do A i to ϕ(v) = α i v, dla i = 1,..., k. Wówczas układ A powstały z połaczenia układów A i w jeden jest liniowo niezależny., Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień 2011 5 / 14
Wniosek Niech V n-wymiarowa przestrzeń liniowa, ϕ : V V endomorfizm, α 1,..., α s R wszystkie (parami różne) wartości własne endomorfizmu ϕ. Wówczas: (i) Jeśli v 1..., v s V oraz dla i = 1,..., s zachodzi ϕ(v) = α i v to układ v 1,..., v s jest liniowo niezależny. (ii) dim V (α1 )+... + dim V (αs) dimv. (iii) dim V (α1 )+... + dim V (αs) =dimv istnieje baza przestrzeni V złożona z wektorów własnych endomorfizmu ϕ endomorfizm ϕ ma w pewnej bazie macierz diagonalna. Uwaga: Jako bazę w części (iii) powyższego twierdzenia wystarczy wziać układ powstały z połaczenia baz poszczególnych V (αi ). Przykład Niech endomorfizmϕ : R 3 R 3 będzie określony wzorem ϕ((x 1, x 2, x 3 )) = (2x 1 + x 2, 3x 2 + x 3, 2x 3 ). Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień 2011 6 / 14
Przykład (cd) M(ϕ) st = 2 1 0 0 3 1 0 0 2 w ϕ = det 2 λ 1 0 0 3 λ 1 0 0 2 λ = (2 λ)(3 λ)(2 λ) = (2 λ) 2 (3 λ). Wartości własne: 2,3. V (2) : 0 1 0 0 1 1 0 0 0 x 1 x 2 x 3 = V (2) = {(x 1, 0, 0) x 3 R} = lin((1, 0, 0)) V (3) : 1 1 0 0 0 1 0 0 1 x 1 x 2 x 3 = 0 0 0 0 0 0, x 2 = 0, x 3 = 0,, x 1 = x 2, x 3 = 0, V (3) = lin((1, 1, 0)). dimv (2) +dimv (3) = 1 + 1 = 2 3 =dim R 3. Zatem dla żadnej bazy A przestrzeni R 3 macierz M(ϕ) A nie jest diagonalna. Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień 2011 7 / 14
Wniosek Niech V przestrzeń liniowa, dimv = n. Jeśli endomorfizm ϕ : V V ma n różnych wartości własnych to istnieje w V baza złożona z wektorów własnych ϕ. Definicja Mówimy, że macierz A M n n (R) jest diagonalizowalna, jeśli A jest podobna do macierzy diagonalnej należacej do M n n (R), tzn. jeśli istnieje taka macierz odwracalna C M n n (R), że macierz C 1 AC jest diagonalna. Twierdzenie Macierz A M n n (R) jest diagonalizowalna dla endomorfizmu ϕ : R n R n zadanego warunkiem M(ϕ) st = A istnieje baza przestrzeni R n złożona z wektorów własnych endomorfizmu ϕ. Ponadto, jeśli A jest taka baza to dla C = M(id) st A macierz C 1 AC jest diagonalna. Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień 2011 8 / 14
Przykład 1. Macierz A = [ 1 3 1 5 jest diagonalizowalna. Endomorfizm ϕ((x 1, x 2 )) = (x 1 3x 2, x 1 + 5x 2 ) ma dwie wartości własne 2 oraz 4. Wyliczyliśmy V (2) = lin(( 3, 1)), V (4) = lin(( 1, 1)). Dla A = (( 3, 1), ( 1, 1)) przyjmujac C = M(id) st A mamy [ 2 0 D = = M(ϕ) 0 4 A = M(id) A stm(ϕ) st st M(id)st A = C 1 AC, zaś. C = [ 3 1 1 1 oraz C 1 = [ 1/2 1/2 1/2 3/2 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień 2011 9 / 14
Przykład 2. Macierz 2 1 0 0 3 1 0 0 2 nie jest diagonalizowalna, bo dla endomorfizmu ϕ : R 3 R 3, określonego przez ϕ((x 1, x 2, x 3 )) = (2x 1 + x 2, 3x 2 + x 3, 2x 3 ) nie ma bazy R 3 złożonej z wektorów własnych ϕ. Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień 2011 10 / 14
Zastosowanie Niech A = [ 1 3 1 5 Podać wzór na A n. Stosujac oznaczenia przykładu 1. mamy A = CDC 1, A n = (CDC 1 ) n = CD n C 1 = [ 2 0 C 0 4 n C 1 = [ 3 1 1 1. [ 2 n 0 0 4 n [ 2 n 1 (3 2 n ) 3 2 n 1 (1 2 n ) 2 n 1 (2 n 1) 3 2 n 1 (2 n 1) [ 1/2 1/2 1/2 3/2 = Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień 2011 11 / 14
Twierdzenie Jeśli wielomian charakterystyczny w M macierzy M stopnia n ma n różnych pierwiastków to macierz M jest diagonalizowalna. Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień 2011 12 / 14
Twierdzenie Jeśli wielomian charakterystyczny w M macierzy M stopnia n ma n różnych pierwiastków to macierz M jest diagonalizowalna. [ 1 0 Przykład macierzy wskazuje, że niekoniecznie na 0 1 odwrót. Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień 2011 12 / 14
Twierdzenie Jeśli wielomian charakterystyczny w M macierzy M stopnia n ma n różnych pierwiastków to macierz M jest diagonalizowalna. [ 1 0 Przykład macierzy wskazuje, że niekoniecznie na 0 1 odwrót.uwaga: Macierz A = [a ij M n n (R)nazywamy macierza symetryczna, jeśli a ij = a ji czyli A = A. Twierdzenie Macierze symetryczne sa diagonalizowalne. Przykład Macierz 1 0 2 0 1 0 jest symetryczna, więc jest diagonalizowalna 2 0 4 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień 2011 12 / 14
Przykład [ [ 1 0 0 1 Macierze A = oraz B = nie sa podobne, gdyż 0 1 1 0 [ 1 0 maja różne wielomiany charakterystyczne. Macierze C = 0 2 [ 2 1 oraz D = sa podobne, gdyż sa diagonalizowalne i maja te 0 1 same[ wartości własne z[ tymi samymi krotnościami. Macierze 0 1 0 0 E = oraz F = maja te same wielomiany 0 0 0 0 charakterystyczne, a zatem te same wartości własne (z krotnościami), ale nie sa podobne. F jest diagonalizowalna, E nie. Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień 2011 13 / 14
Przykład [ [ 1 0 0 1 Macierze A = oraz B = nie sa podobne, gdyż 0 1 1 0 [ 1 0 maja różne wielomiany charakterystyczne. Macierze C = 0 2 [ 2 1 oraz D = sa podobne, gdyż sa diagonalizowalne i maja te 0 1 same[ wartości własne z[ tymi samymi krotnościami. Macierze 0 1 0 0 E = oraz F = maja te same wielomiany 0 0 0 0 charakterystyczne, a zatem te same wartości własne (z krotnościami), ale nie sa podobne. F jest diagonalizowalna, E nie. Twierdzenie Jeśli macierze A i B sa podobne, i macierz A spełnia po podstawieniu za X równanie a n X n + a n 1 X n 1 + + a 1 X + a 0 I = 0, gdzie a n, a n 1,..., a 0 R, to B spełnia również to samo równanie po podstawieniu za X. Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień 2011 13 / 14
Przykład [ 0 1 Macierza obrotu o kat π/2 w bazie standardowej jest M =. 1 0 Możemy sprawdzić, [ że spełnia ona równanie X 2 + I = 0. Natomiast 2/2 2/2 macierz N = (macierz obrotu o kat π/4) nie 2/2 2/2 spełnia tego równania. Macierze M i N nie sa więc podobne. Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień 2011 14 / 14