Analiza 1, cze ść druga

Analiza 1, cze ść druga Granica górna cia gu a n ) nazywamy res górny zbioru z lożonego z granic wszystich tych podcia gów cia gu a n ), tóre maja granice sończone lub nie). Oznaczamy ja przez lim sup a n lub lim sup a n. Granica dolna cia gu a n ) nazywamy res dolny zbioru z lożonego z granic wszystich tych podcia gów cia gu a n ), tóre maja granice sończone lub nie). Oznaczamy ja przez lim inf a n lub lim inf a n. Ca lowicie oczywiste jest stwierdzenie, że lim sup a n = lim inf a n cia g a n ) ma granice. wtedy i tylo wtedy, gdy Do tej pory wyrazy cia gu musia ly być liczbami rzeczywistymi. Teraz dopuścimy wśród wyrazów symbole + i. Definicje granic pozostaja bez zmian np. lim a n = + wtedy i tylo wtedy, gdy dla ażdej liczby M istnieje liczba n M taa, że jeśli n > n m, to a n > M. Chodzi o to, by nie ompliować nadmiernie zdań, tóre i ta zbyt rótie nie sa. Stwierdzenie 1. Jeśli dla ażdego n istnieje podcia g cia gu a n ), tórego granica jest g n i g = lim g n, to istnieje też podcia g cia gu a n ), tórego granica jest g. Niech g m = lim a νm,n) i νm, 1) < νm, 2) < νm, 3) <... νm, n) jest n tym wyrazem podcia gu zbieżnego do g m ). Za lóżmy na razie, że dla wszystich numerów m granica g m jest liczba rzeczywista. Istnieje wie c tai numer ν1, 1 ), że a ν1,1) g 1 < 1. Istnieje numer ν2, 2 ) > ν1, 1 ) tai, że zachodzi nierówność a ν2,2) g 2 < 1 2. Kontynuuja c definicja inducyjna) otrzymujemy cia g liczb naturalnych ν1, 1 ) < ν2, 2 ) < ν3, 3 ) <... tai, że dla ażdego n spe lniona jest nierówność g n a νn,n) < 1 n. Z twierdzenia o trzech cia gach wynia, że lim a νn, n) = lim g n + 1 n ) = lim g n 1 n ) = g. Jeśli dla niesończenie wielu n zachodzi g n = +, to g = + i oczywiście g jest granica podcia gu cia gu a n ), to samo dotyczy przypadu g n = dla niesończenie wielu n. Stwierdzenie 2. Dla ażdego cia gu a n ) zachodzi równość lim sup a n = lim sup {a : n} ). Dla ażdego cia gu a n ) zachodzi równość lim inf a n = lim inf {a : n} ). Udowodnimy to stwierdzenie tylo w przypadu granicy górnej, bowiem lim inf a n = lim sup a n ). Niech g = lim a n i niech m be dzie ustalona liczba naturalna. Dla dostatecznie dużych n zachodzi nierówność n > m, zatem a n sup{a j : j m}. Ponieważ dla prawie wszystie wyrazy cia gu a n ) zachodzi nierówność a n sup{a j : j m}, wie c również lim a n sup{a j : j m}. Ta ostatnia nierówność ma miejsce dla ażdej liczby naturalnej m. Mamy również 1

sup{a j : j 1} sup{a j : j 2} sup{a j : j 3}..., zatem można mówić o granicy lim sup {a : n} ) i co wie cej napisać lim a n lim sup {a : n} ). Wynia sta d, że res górny wszystich możliwych lewych stron tej nierówności, czyli granica górna cia gu a n ) spe lnia nierówność lim sup a n lim sup {a : n} ). Trzeba jeszcze wyazać nierówność przeciwna. Wyażemy dowodza c, że lim sup {a : n} ) jest granica pewnego podcia gu cia gu a n ). Jest ta oczywiście wtedy, gdy dla niesończenie wielu n zachodzi równość sup{a : n} = max{a : n } wybieramy wtedy te numery n j, dla tórych sup{a : n} = a j dla pewnego j n j, a naste pnie z cia gu j ) wybieramy podcia g ściśle rosna cy sam cia g j ) jest niemaleja cy, jego granica jest ). Jasne jest, że lim j = lim sup {a : j n} ). Teraz za lóżmy, że dla dostatecznie dużych n w zbiorze {a : ompliować oznaczeń za lożymy, że w żadnym zbiorze {a : n} nie ma liczby najwie szej. By nie n} nie ma liczby najwie szej. Ponieważ w zbiorze {a : n} nie ma liczby najwie szej, wie c b n := sup{a : n} jest granica pewnego podcia gu cia gu a n ). Na mocy stwierdzenia pierwszego również lim n jest granica pewnego podcia gu cia gu a n ), a to w laśnie mieliśmy wyazać. Stwierdzenie 3. Niech I = [lim inf a n, lim sup a n ]. Jeśli J I jest przedzia lem otwartym, to istnieje liczba n J n > n J, to a n J przy czym żaden mniejszy niż I przedzia l domnie ty tej w lasności nie ma. taa, że jeśli Prosty dowód tego stwierdzenia opuszczam, bo ażdy powinien go przeprowadzić samodzielnie, by sprawdzić czy zrozumia l poje cie granicy górnej. Ćwiczenie obowia zowe!) Wyazać, że lim supa n + b n ) lim sup a n + lim sup b n i podać przy lady świadcza ce o tym, że nierówność może być ostra. Niech x > 0 oznacza liczbe rzeczywista. Niech c n ) oznacza cia g dwustronny cyfr u ladu dziesie tnego, tzn. c n {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} o tej w lasności, że istnieje liczba naturalna taa, że jeśli n >, to c n = 0. Mówimy, że cia g c n ) jest cia giem cyfr liczby x wtedy i tylo wtedy, gdy dla ażdego m < spe lniona jest nierówność c 10 + c 1 10 1 + + c m 10 m x c 10 + c 1 10 1 + + c m + 1)10 m. Niech x m = c 10 + c 1 10 1 + + c m 10 m. Be dziemy mówić, że x m jest przybliżeniem dziesie tnym x z b le dem nie przeraczaja cym 10 m. Z definicji przybliżenie dziesie tnego wynia od razu, że lim x n = x. Podamy trzy przy lady. Niech c j = 3 dla j = 0, 1, 2,... i c j = 0 dla j = 1, 2, 3,... Niech x = 10 3. Dla j > 0 mamy 0 10 3 3+3 10 1 +3 10 2 + +3 10 j ) = 1 3 10 9 9 10 1 9 10 2 9 10 j ) = 1 3 10 j < 10 j. Wobec 2

tego cia g dwustronny... 0003,3333... odpowiada liczbie 4 3. Cia g dwustronny... 0001,0000... odpowiada, ja latwo można sprawdzić, liczbie 1. Cia g dwustronny... 0000,9999... również odpowiada liczbie 1. Prosze sprawdzić szczegó lowo, że te stwierdzenia sa prawdziwe! Widzimy wie c, że w nietórych przypadach jednej liczbie moga odpowiadać dwa cia gi. Przeonamy sie zaraz, że wie cej już nie, a ażdej co najmniej jeden. Twierdzenie o przybliżeniach dziesie tnych Dla ażdej liczby x > 0 istnieje cia g x m ) przybliżeń dziesie tnych. Jeśli istnieje liczba naturalna j taa, że 10 j x, to istnieja do ladnie dwa różne cia gi przybliżeń dziesie tnych x m ) i x m ) oraz liczba ca lowita i taa, że x i = x i + 1 lub odwrotnie) i dla ażdego m < i zachodza równości x m = 9, x m = 0. Jeśli taa liczba j nie istnieje, to istnieje do ladnie jeden cia g przybliżeń dziesie tnych. Niech be dzie taa liczba, że 10 x < 10 +1. Taa liczba ca lowita istnieje, bo lim 10n = + i lim 10 n =, zatem istnieja pote gi dziesia ti wie sze niż x, 10 +1 to najmniejsza z nich w ażdym ograniczonym z do lu zbiorze z lożonym z liczb ca lowitych znaleźć można najmniejsza ). Niech c {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} be dzie najwie sza cyfra taa, że c 10 x. Zdefiniujemy cyfry c 1, c 2,... przez inducje. Za lóżmy, że zdefiniowaliśmy już cyfry c, c 1, c 2,..., c i j {i, i + 1, i + 2,..., } zachodzi nierówność w tai sposób, że dla ażdego c 10 + c 1 10 1 + + c j 10 j x < c 10 + c 1 10 1 + + c j + 1) 10 j. Z tej nierówności wynia natychmiast, że 0 x c 10 +c 1 10 1 + +c j 10 j ) < 10 j = 10 10 j 1, zatem 0 x c 10 +c 1 10 1 + +c j 10 j ) 9 10 j 1. Teraz możemy zdefiniować c i 1 jao najwie sza liczbe ze zbioru {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} wie c cyfre ) taa, że 0 x c 10 +c 1 10 1 + +c i 1 10 i 1 ) < 10 i 1, czyli że c 10 + c 1 10 1 + + c i 10 i + c i 1 10 i 1 x < < c 10 + c 1 10 1 + + c i 10 i + c i 1 + 1) 10 i 1. W ten sposób zdefiniowaliśmy dwustronny cia g c n ) spe lniaja cy ża dane waruni. Teraz zajmiemy sie jednoznacznościa. Za lóżmy, że dwa cia gi c n ) i c n ) zwia zane sa z liczba x. Niech be dzie najwie sza liczba ca lowita, dla tórej c c. Dla ustalenia uwagi za lóżmy, że c > c. Niech l be dzie taa liczba ca lowita, że dla j > l zachodzi c j = c j = 0. Niech m < be dzie liczba ca lowita. Mamy wie c 0 x c l 10 l + c l 1 10 l 1 + + c +1 10 +1 + c 10 + c 1 10 1 + + c m 10 m ) 10 m oraz 0 x c l 10 l + c l 1 10 l 1 + + c +1 10 +1 + c 10 + c 1 10 1 + + c m 10 m ) 10 m. Różnica liczb z przedzia lu o d lugości 10 m nie przeracza 10 m, wie c 10 m x c l 10 l + c l 1 10 l 1 + + c +1 10 +1 + c 10 + c 1 10 1 + + c m 10 m ) [ x c l 10 l + c l 1 10 l 1 + + c +1 10 +1 + c 10 + c 1 10 1 + + c m 10 m )] = = c c ) 10 + c 1 c 1 ) 10 1 + + c m c m ) 10 m 10 9 10 1... 9 10 m = 10 m. Widać wie c, że jeśli c > c, to musza zachodzić równości. Wobec tego musza być spe lnione równości c = c + 1 i c 1 c 1 =... = c m c m = 9, czyli c = c + 1 i c 1 =... = c m = 0 i c 1 =... = c m = 9. 3

Ponieważ m oznacza tu dowolna liczbe mniejsza niż, wie c wyazaliśmy, że po c sa już jedynie zera i jednocześnie po c sa już tylo dziewia ti. Mamy wie c x = c l 10 l +c l 1 10 l 1 + +c +1 10 +1 + c 10, bo 0 x c l 10 l + c l 1 10 l 1 + + c +1 10 +1 + c 10 ) 10 m dla ażdej liczby ca lowitej m <. Jeśli 0, to przyjmujemy j = 0, jeśli zaś < 0, to przyjmujemy j =. Dowód zosta l zaończony. Sformu lowanie twierdzenia i jego dowód nieco tylo nieco) sie uproszcza, gdy wprowadzimy poje cie sumy niesończonej, czyli szeregu liczb rzeczywistych albo zespolonych. Na razie jedna powiemy jeszcze ila s lów na temat liczb ca lowitych. Liczba ca lowita a jest dzielniiem liczby ca lowitej b wtedy i tylo wtedy, gdy istnieje liczba ca lowita taa, że a = b. Piszemy wtedy a b. Stwierdzenie Jeśli a b i b c, to a c. Jeśli b = a i c = bl, to c = la. Stwierdzenie Każda liczba ca lowita jest dzielniiem 0. Wynia to z tego, że a 0 = 0. Jeśli a i b sa liczbami ca lowitymi, b 0 i istnieja liczby ca lowite q, r taie, że a = bq + r i 0 q < b, to mówimy, że q jest ilorazem z dzielenia a przez b zaś r reszta z dzielenia a przez b. Stwierdzenie Dla dowolnych liczb ca lowitych a, b 0 istnieje do ladnie jedna para liczb ca lowitych q, r taa, że a = bq + r i 0 r < b. Z równości bq + r = b) q) + r wynia, że wystarczy udowodnić to stwierdzenie dla b > 0. W dalszym cia gu za ladamy, że b > 0. Niech q = sup{n : nb a}. Zasada masimum dla liczb ca lowitych gwarantuje, że q. Niech r = a qb. Oczywiście 0 r = a qb < q + 1)b qb = b. Istnienie ilorazu i reszty zosta lo wyazane. Jeśli bq + r = bq 1 + r 1 i 0 r, r 1 < b, to r r 1 = bq 1 q). Oczywiście q 1 q < b różnica dwu liczb nieujemnych mniejszych niż b ma wartość bezwzgle dna mniejsza niż b ). Wobec tego bq 1 q1) < b, ale to wymusza nierówność q 1 q < 1, czyli q 1 q = 0, wie c q 1 = q. Mamy wie c r r 1 = bq 1 q) = 0, co ończy dowód jednoznaczności ilorazu i reszty z dzielenia przez b. Liczba p nazywane jest pierwsza wtedy i tylo wtedy, gdy nie jest dzielniiem liczby 1 i z tego, że ab = p wynia, że jedna z liczb a, b jest dzielniiem jedyni. Najwie szym wspólnym dzielniiem liczb a, b nazywamy taa liczbe d, że d a, d b i taa, że jeśli d d 1, 4

d 1 a i d 1 b, to liczba d1 d jest dzielniiem jedyni. Z tego, że a b i b 0 wynia oczywiście, że a b. Najwie szym wspólnym dzielniiem liczb 6 i 4 jest 2, ale również 2. Liczby a = 0 i b = 0 nie maja najwie szego wspólnego dzielnia. Jedynymi dzielniami jedyni sa liczby ±1. Studentów, tórym te definicje wydaja sie nieco dziwaczne chcia lbym uprzedzić, że w przysz lości zajmiemy sie podzielnościa w zbiorze wielomianów i wtedy przestana być dziwaczne. Można też rozpatrywać podzielność w innych zbiorach, np. [ 2], [ 5] itp. Tym nie be dziemy sie zajmować, bo ta tematya nie należy do analizy lecz do algebry oraz teorii liczb. Drobne wyjaśnienie tego o czym mowa znajduje sie w jednym z dalszych ćwiczeń. Twierdzenie o najwie szym wspólnym dzielniu Jeśli a, b sa liczbami ca lowitymi i co najmniej jedna z nich jest różna od 0, to maja one najwie szy wspólny dzielni, nwda, b) i istnieja liczby ca lowite, m taie, że liczba a + bm = nwda, b).* Rozważmy zbiór D = {ax+by: x i y i ax+by > 0}. D, bo jeśli a 0, to a D, gdyż a = a 1 + b 0, gdy a > 0 i a = a 1) + b 0, gdy a < 0. Niech d = a + bm be dzie najmniejsza liczba w zbiorze D. Ponieważ zbiór D z lożony jest z liczb dodatnich, wie c d > 0. Wyażemy, że d a. Jest ta, gdy a = 0. Za lóżmy, że a 0. Wtedy istnieja liczby ca lowite q, r taie, że a = qd + r i 0 r < d. Sta d r = a qd = a1 q) + b m). Jeśli r > 0, to r D, co przeczy temu, że najmniejsza liczba w zbiorze D jest d. Wobec tego r = 0, ale to oznacza, że a = qd, czyli że d a. Analogicznie d b. Wyazaliśmy, że d jest wspólnym dzielniiem liczb a, b. Jeśli δ a i δ b, to istnieja liczby λ, κ taie, że a = λδ i b = κδ, zatem d = a + bl = δλ + mκ), zatem δ d. Sta d wynia, że jeśli również d δ, to δ = ±d, wie c nwda, b) = d. Charateryzacja liczb pierwszych Liczba p 0 jest pierwsza wtedy i tylo wtedy, gdy nie jest dzielniiem 1 i z tego, że p ab wynia, że p a lub p b. Jeśli p nie jest liczba pierwsza, to istnieja liczby ca lowite a, b, tóre nie sa dzielniami jedyni i dla tórych zachodzi równość p = ab. Jeśli p a, to a = p dla pewnej liczby ca lowitej i wobec tego p = pb, wie c 1 = pb, co oznacza, że p i b sa dzielniami jedyni, wbrew za lożeniu. Za lóżmy teraz, że p ab i że p jest liczba pierwsza. Jeśli p a, to nwda, p) = 1, zatem istnieja liczby ca lowite, m taie, że a + pm = 1. Wobec tego b = ab + bpm. Z za lożenia p ab i oczywiście p bpm, wie c p ab + bpm) = b. Zasadnicze twierdzenie arytmetyi czyli twierdzenie o jednoznaczności roz ladu na czynnii pierwsze Niech a 0 be dzie liczba ca lowita, tóra nie jest dzielniiem 1. Istnieja wtedy liczby pierwsze p 1, p 2,..., p n taie, że a = p 1 p 2... p n. Jeśli a = p 1 p 2... p m i liczby p 1, p 2,..., p m sa pierwsze, to n = m i po ewentualnej zmianie olejności numeracji) zachodza równości p 1 = η 1 p 1, p 2 = η 2 p 2,..., p n = η n p n, gdzie η 1, η 2,..., η n sa pewnymi dzielniami jedyni. * W licznych sia żach poświeconych teorii liczb najwieszy wspólny dzielni liczb a,b oznaczany jest symbolem a,b). 5

Przed podaniem dowodu wypada powiedzieć, że to twierdzenie mówi, że ażda liczbe ca lowita, z wyja tiem 0, 1, 1 można przedstawić w postaci iloczynu liczb pierwszych na jeden tylo sposób, jeśli nie brać pod uwage zmian olejności czynniów i zmian ich znaów: 6 = 2 3 = 2) 3) = 3 2 = 3) 2). Wyażemy najpierw istnienie roz ladu na czynnii pierwsze. Zastosujemy inducje wzgle dem wartości bezwzgle dnej liczby ca lowitej, czyli udowodnimy twierdzenie dla liczb naturalnych. Jeśli a = 2, to twierdzenie jest prawdziwe, bo 2 jest liczba pierwsza, przyjmujemy wie c n = 1, p 1 = 2. Za lóżmy, że twierdzenie jest prawdziwe dla wszystich liczb naturalnych mniejszych niż. Jeśli n jest liczba pierwsza, to dla teza też zachodzi. Jeśli liczba pierwsza nie jest, to dla pewnych liczb 1, 2, tóre nie sa dzielniami jedyni zachodzi równość = 1 2. Ponieważ liczby 1, 2 nie sa dzielniami jedyni sa różne od 0, wie c 1, 2 > 1 i wobec tego 1, 2 <. Wobec tego ażda z nich jest iloczynem liczb pierwszych, a sta d wynia od razu, że również jest iloczynem liczb pierwszych. Zaończyliśmy rozumowanie inducyjne. Teraz zajmiemy sie jednoznaczościa roz ladu. Jeśli a = p 1 p 2... p n = p 1 p 2... p m = p 1 p 2... p m ), to p 1 p 1 lub p 1 p 2 p 3... p m ). Jeśli p 1 p 1, to p 1 = η 1 p 1, a ponieważ p 1 jest liczba pierwsza i p 1 nie jest dzielniiem jedyni jao liczba pierwsza), wie c η 1 jest dzielniiem jedyni. Przyjmuja c, że a > 0 jest najmniejsza dodatnia liczba naturalna stwierdzamy, że liczba p 2 p 3... p m < a roz lada sie na iloczyn czynniów pierwszych tylo w jeden sposób z wymienionymi przed dowodem zastrzeżeniami na temat olejności czynniów i mnożenia ich przez dzielnii jedyni). Liczba ta dzieli sie przez p 1, zatem p 1 jest równa z do ladnościa do pomnożenia przez dzielni jedyni tórejś z liczb p 2, p 3,..., p m. Bez straty ogólności rozważań można przyja ć, że p 1 = p 2. Sta d wynia równość a p 1 = p 2 p 3 p 4... p n = p 1 p 3 p 4... p m. Liczbe ca lowita a p 1 < a można przedstawić w postaci iloczynu liczb pierwszych na jeden tylo sposób, bo jest mniejsza od a, a można przyja ć, że a jest najmniejsza liczba, dla tórej roz lad na czynnii pierwsze jest niejednoznaczny. Dowód zosta l zaończony. W sia żce The Higher Arithmetic, An Introduction to the Theory of numbers Harolda Davenporta prze lożonej na rosyjsi) można znaleźć prostszy dowód i ila innych dowodów zasadniczego twierdzenia arytmetyi. Ten najprostszy przytoczymy. Tym razem nie sorzystamy z charateryzacji liczb pierwszych. drugi dowód zasadniczego twierdzenia arytmetyi Istnienie roz ladu wyazujemy ta, ja poprzednio, wie c tej cze ści dowodu nie przepisujemy. Za lóżmy, że a = p 1 p 2... p n = p 1 p 2... p m jest najmniejsza liczba naturalna, tóra ma dwa różne roz lady na czynnii pierwsze i że liczby naturalne p 1, p 2,..., p n, p 1, p 2,..., p m sa pierwsze. Jeśli roz lady sa różne, to żadna z liczb p 1, p 2,..., p n nie pojawia sie wśród liczb p 1, p 2,..., p m. Możemy przyja ć, że p 1 p 2... p m i p 1 p 2... p n. Ponieważ liczba a nie jest pierwsza, wie c n 2 i m 2, zatem a p 2 1 i a p2 1 i oczywiście p 1 p 1. Wobec tego a > p 1 p 1, zatem liczba a p 1 p 1 jest liczba naturalna mniejsza od a, zatem maja ca do ladnie jeden roz lad na iloczyn naturalnych czynniów pierwszych. Wobec tego liczba a p 1 p 1 jest podzielna przez p 1 oraz przez p 1 p 1, zatem również przez p 1 p 1, bo ta ma tylo jeden roz lad na czynnii, a z tego wynia, że jeśli jest podzielna przez jaa ś liczbe pierwsza, to ta liczba pierwsza wyste puje 6

w jedynym roz ladzie na czynnii pierwsze. Wobec tego a p 1 p 1 = p 1 p 1 q 1 q 2... q j dla pewnych liczb pierwszych q 1, q 2,..., q j. Dziela c te równość stronami przez p 1 otrzymujemy p 2 p 3... p n p 1 = p 1 q 1 q 2... q j, a sta d wynia, że liczba p 1 jest dzielniiem liczby p 2 p 3... p n < a, wie c przedstawialnej w postaci iloczynu liczb pierwszych w jeden tylo sposób. Sta d jedna wynia, że wśród liczb p 2, p 3,..., p n wyste puje liczba p 1, wbrew za lożeniu. Po tym dowodzie H.Davenport napisa l czytelni zgodzi sie, że chociaż dowód ten ani nie jest d lugi ani trudny, to jedna jest dosyć deliatny cieni). Zache cam do przemyślenia logii tego rozumowania, choć nie zamierzam go przedstawiać na wy ladzie moge po lub przed, np. w pia te.) Zadanie ale nie z analizy) Wyazać, że w zbiorze [ 2] = {a + b 2: a, b } jest jednoznaczność roz ladu na czynnii pierwsze, a w zbiorze [ 5] = {a + b 5: a, b } jednoznaczności roz ladu na czynnii pierwsze nie ma. W obu przypadach wyazać, że dzielniów jedyni jest niesończenie wiele. Opisać dzielnii jedyni! To zadanie z pewnościa nie powinno być robione na ćwiczeniach z analizy, tego typu zadania zapewne pojawia sie iedyś na na algebrze, ale nie na GAL u. Zamieszczam, by osoby studiuja ce matematye mog ly ewentualnie pomysleć o twierdzeniu o jednoznaczności roz ladu i lepiej zrozumieć, jaie trudności sa zwalczane. 7