Optymalne inwestowanie w rozwój firmy. Zastosowanie teorii sterowania.

Uniwersytet Warszawski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki Izabela Asiewicz Nr albumu: 305038 Optymalne inwestowanie w rozwój firmy. Zastosowanie teorii sterowania. Praca licencjacka na kierunku MATEMATYKA Praca wykonana pod kierunkiem profesora dra hab. Zbigniewa Peradzyńskiego Instytut Matematyki Stosowanej i Mechaniki Sierpień 2014

Oświadczenie kierującego pracą Potwierdzam, że niniejsza praca została przygotowana pod moim kierunkiem i kwalifikuje się do przedstawienia jej w postępowaniu o nadanie tytułu zawodowego. Data Podpis kierującego pracą Oświadczenie autora (autorów) pracy Świadom odpowiedzialności prawnej oświadczam, że niniejsza praca dyplomowa została napisana przeze mnie samodzielnie i nie zawiera treści uzyskanych w sposób niezgodny z obowiązującymi przepisami. Oświadczam również, że przedstawiona praca nie była wcześniej przedmiotem procedur związanych z uzyskaniem tytułu zawodowego w wyższej uczelni. Oświadczam ponadto, że niniejsza wersja pracy jest identyczna z załączoną wersją elektroniczną. Data Podpis autora (autorów) pracy

Streszczenie W pracy przedstawiono praktyczne zastosowanie zasady maksimum Pontriagina. Twierdzenie wykorzystane jest do przedstawienia optymalnego sposobu inwestowania w rozwój firmy tak, by w określonym horyzoncie czasowym uzyskać maksymalny dochód. Słowa kluczowe teoria sterowania, zasada maksimum Pontriagina 11.1 Matematyka Dziedzina pracy (kody wg programu Socrates-Erasmus) 34. Ordinary Differential Equations 34H. Control Problems 34H05. Control Problems Klasyfikacja tematyczna Tytuł pracy w języku angielskim Optimal investing in company s development. An application of control theory.

Spis treści Wprowadzenie....................................... 5 1. Przedstawienie problemu.............................. 7 1.1. Wyprowadzenie modelu.............................. 7 2. Pojęcia i twierdzenia................................. 11 2.1. Definicje....................................... 11 2.2. Twierdzenia..................................... 13 2.2.1. Twierdzenie o istnieniu sterowania optymalnego............ 13 2.2.2. Zasada Maksimum Pontriagina...................... 13 3. Rozwiązanie problemu 1............................... 17 3.1. Istnienie sterowania optymalnego......................... 18 3.2. Zastosowanie zasady Maksimum Pontriagina.................. 18 4. Rozwiązanie problemu 2............................... 23 4.1. Istnienie sterowania optymalnego......................... 24 4.2. Zastosowanie zasady Maksimum Pontriagina.................. 25 5. Wnioski......................................... 29 Bibliografia......................................... 31 3

Wprowadzenie Optymalne inwestowanie jest zagadnieniem, które wzbudza zaciekawienie każdego przedsiębiorcy. Jest to istotne zagadnienie w prowadzeniu firmy. Od tego może zależeć sukces, bądź upadek przedsiębiorstwa. Mnie również zainteresował powyższy problem. W tej pracy rozważę zastosowanie do niego zagadnienia z teorii sterowania. Teoria sterowania jest to interdyscyplinarna dziedzina matematyki i inżynierii zajmująca się analizą i modelowaniem obiektów oraz różnych procesów. W swojej pracy dążę do zaprezentowania optymalnego inwestowania przedsiębiorstwa w określonym horyzoncie czasowym. W tym celu rozpatruję różne czynniki wpływające na dochód firmy. Tworzę przykładowy model przedsiębiorstwa, a następnie badam korelację pomiędzy kolejnymi zmiennymi. Świadomie upraszczam badane zjawisko w celu koncentracji na kwestiach zasadniczych. W moich rozważaniach staram się wyznaczyć taką strategii inwestowania, by przy zadanych ograniczeniach finansowych w końcowym momencie czasu otrzymać maksymalny dochód. Poprzez analizę kolejnych zależności pomiędzy zmiennymi występującymi w przyjętym modelu wyprowadzam układ liniowych równań różniczkowych opisujący przyrost dochodu oraz zatrudnienia. Do uzyskania interesujących mnie wyników wykorzystuję Zasadę Maksimum Pontriagina. W ten sposób problem sprowadza się do maksymalizacji funkcji hamiltonowskiej. Przeprowadzając analizę rozwiązania, znajduję optymalne sterowanie, którego istnienie sprawdzam z twierdzenia o istnieniu sterowania optymalnego dla zagadnienia w postaci Mayera. Praca składa się z pięciu rozdziałów. W pierwszym rozdziale przedstawiam rozważane problemy oraz wyprowadzam matematyczny model przedsiębiorstwa. W drugim wprowadzam konieczne do uzyskania rozwiązania definicje oraz twierdzenia. Następne dwa rozdziały obejmują rozwiązanie problemów. W ostatnim rozdziale zawarłam wnioski dotyczące strategii inwestowania w przedstawionym modelu firmy. 5

Rozdział 1 Przedstawienie problemu Wybieram sposób inwestycji tak, by w określonym przedziale czasowym otrzymać maksymalny dochód. Chcę zmaksymalizować Y (T ) - całkowity dochód przedsiębiorstwa w określonym przedziale czasowym [0, T ]. Moim sterowaniem jest intensywność inwestowania - u(t). Wartości sterowań należą do pewnego zbioru zwartego U. Zadaniem do rozwiązania jest znalezienie sterowania optymalnego u dla zasady maksimum sformułowanej w postaci max φ(x(t, u)). u U W swojej pracy rozważam dwa problemy. Pierwszy problem dotyczy optymalnego inwestowania w celu otrzymania możliwie największej wartości dochodu w końcowym momencie czasu. W drugim zaś wprowadzam dodatkowy warunek na całkowitą wartość inwestycji. W obu przypadkach mam ustalony czas końcowy T. Wyprowadzam matematyczny model przykładowego przedsiębiorstwa. Rozważam zmienne wpływające na dochód firmy, a następnie analizując zależności pomiędzy nimi, otrzymuję układ liniowych równań różniczkowych, którym posługuję się w dalszej części pracy. Do rozwiązania problemów korzystam z pomocniczej funkcji H(x, p, u, t) = p f(t, x, u), zwanej Hamiltonianem. Posługuję sie również twierdzeniami związanymi z teorią sterowania. 1.1. Wyprowadzenie modelu Rozważę matematyczny model przedsiębiorstwa z następującymi zmiennymi: Y (t) - dochód firmy, C(t) - wielkość wydatków na konsumpcję, I(t) - tempo (intensywność) inwestycji, P (t) - tempo produkcji, G(t) - wielkość innych wydatków, N(t) - ilość pracowników. Wszystkie zmienne zależą od czasu t. Zakładam, że t należy do przedziału [0, T ]. Poprzez konsumpcję mam na myśli pensje oraz fundusz socjalny, a poprzez inne wydatki wielkość 7

kosztów utrzymania firmy. Wprowadzam następujące uproszczenia modelu: gdzie 1. Zakładam, iż następuje całkowita wyprzedaż wyprodukowanych dóbr. W ten sposób nie muszę przejmować się problemem magazynowania. 2. Firma ponosi koszty utrzymania stałe, zoptymalizowane, niezależne od wielkości produkcji. Wyprowadzę teraz zależności pomiędzy wyżej wymienionymi zmiennymi. Tempo produkcji zależy od efektywności pracy, stąd mam zależność: P (t) = a N(t), (1.1) a to wydajność siły roboczej. Również na wielkość konsumpcji wpływa ilość pracowników, zatem gdzie C(t) = b N(t), (1.2) b to stałe ustalone koszty utrzymania pracowników. Przyrost dochodu w czasie zależy od produkcji, wydatków, konsumpcji oraz inwestycji w następujący sposób: dy (t) = P (t) C(t) G(t) I(t). (1.3) dt Na tempo wzrostu produkcji w czasie postuluję następujące równanie: gdzie dp (t) dt = c I(t) d P (t), (1.4) c to efektywnosc inwestycji, d to współczynnik amortyzacji. Amortyzacja jest to proces utraty wartości majątku trwałego w wyniku zużycia fizycznego powstałego wskutek eksploatacji lub z powodu postępu technologicznego związanego na przykład z pojawieniem się na rynku urządzeń, bądź maszyn bardziej wydajnych. Wprowadzam również założenia: 1. a > b - w przeciwnym przypadku doszłyby do bankructwa firmy. 2. c > d - w przeciwnym przypadku byłby spadek tempa produkcji, co również doprowadziłoby do bankructwa. 3. a, b, c, d > 0 - naturalne założenie, iż te wartości są dodatnie. 8

Następnie przechodzę do przekształceń i działań matematycznych powyżej wyprowadzonych równań. Różniczkując równanie (1.1) względem t otrzymuję: dp (t) dt = a dn(t) dt + N(t) da dt. (1.5) Przyrównując równania (1.4) i (1.5) otrzymuję: Uwzględniając (1.1) uzyskuję: c I(t) d P (t) = a dn(t) dt c I(t) d a N(t) = a dn(t) dt + N(t) da dt. + N(t) da dt. Przekształcając powyższą równość mogę wyprowadzić następujące równanie na przyrost zatrudnienia: dn(t) dt = c a I(t) d N(t) N(t) a da dt. Wprowadzam kolejne uproszczenie modelu. Zakładam, że wydajność i efektywność siły pracowniczej jest stała w czasie oraz dopasowana do potrzeb przedsiębiorstwa. A zatem niech a będzie stałe, zoptymalizowane. Wtedy da dt = 0 i otrzymuję zależność: dn(t) dt = c I(t) d N(t). a Wracam teraz do równania (1.3) i wstawiam zależności (1.1) i (1.2). Otrzymuję równanie dla dynamiki dochodu postaci dy (t) dt = a N(t) b N(t) G(t) I(t). W tym miejscu pomijam wartość G(t), gdyż wcześniej założyłam, iż jest dane, zoptymalizowane. Można więc przeskalować dochód t Y (t) Y (t) 0 G(s)ds, co pozwala formalnie wyeliminować G(t) po prawej stronie równania. Otrzymuję ostatecznie następujący liniowy układ równań różniczkowych opisujący przyrost dochodu oraz przyrost zatrudnienia w czasie: Ẏ = (a b) N(t) I(t) Ṅ = c a I(t) d N(t) (1.6) Sterowaniem są inwestycje I(t), a dokładniej intensywność inwestycji (środki na jednostkę czasu), zaś celem maksymalny dochód w końcowym czasie, czyli max Y (T ). Zakładam, że w czasie t 0 = 0 mam daną ilość pracowników N(0) = N 0 oraz wartość początkową dochodu 9

Y (0) = Y 0. Nakładam również naturalny warunek, że pułap inwestycji jest ograniczony. Zatem I(t) należy do przedziału [0, I 0 ], gdzie I 0 > 0 ustalone. Rozważam następujące problemy: Problem 1: Problem optymalnego sposobu inwestowania tak, by w ustalonym końcowym momencie czasie uzyskać możliwie największą wartość dochodu przedsiębiorstwa, czyli max Y (T ). I(t) [0,I 0 ] Problem 2: Można rozważyć również inne zagadnienie, wprowadzając dodatkowy warunek na całkowitą wartość inwestycji, czyli T 0 I(t) dt = J, gdzie I(t) [0, I 0 ]. W następnej części pracy wprowadzę definicję i twierdzenia ułatwiające rozwiązanie przedstawionych problemów. 10

Rozdział 2 Pojęcia i twierdzenia Celem tego rozdziału jest podanie najważniejszych definicji i kluczowych twierdzeń, których będę używać w dalszej części niniejszej pracy. 2.1. Definicje Rozważam zagadnienie początkowe dla równania różniczkowego zwyczajnego ẋ(t) = f(t, x(t), u(t)), (2.1) x(0) = x 0, gdzie x 0 R n, x : [0, T ] R oraz u U jest sterowaniem dopuszczalnym. Sterowanie jest to funkcja mierzalna u : R R m o wartościach w zadanym zbiorze U. Zbiór U będę nazywać zbiorem wartości sterowań. Zazwyczaj zakłada się, że U jest zwartym podzbiorem R m. Zatem zbiór sterowań dopuszczalnych to zbiór postaci U = {u : R R m ; u mierzalna; u(t) U dla każdego t}. Definicja 2.1.1 Dla zadanego sterowania u U rozwiązanie (2.1) nazywa się trajektorią odpowiadającą sterowaniu u i oznacza się x(t) = x(t, x 0, u( )). Będę potrzebować również następujących definicji: Definicja 2.1.2 Zbiorem prędkości będę nazywać zbiór postaci: F (t, x) = {y : y = f(t, x, u) dla pewnego u U}. Definicja 2.1.3 Funkcjonał kosztu jest to funkcjonał V : R R n postaci V = T 0 L(t, x(t), u(t))dt + φ(t, x(t )), gdzie x(t) jest trajektorią odpowiadającą sterowaniu u(t) U. Całkowy wyraz, czyli L(t, x(t), u(t)) jest nazywany kosztem bieżącym, zaś φ(t, x(t )) jest kosztem końcowym. 11

W mojej pracy interesuje mnie funkcjonał kosztu w postaci zagadnienia Mayera, czyli zadany wzorem V = φ(t, x(t )). Istotą zagadnienia sterowania w ogólnym sformułowaniu jest znalezienie takiego sterowania, dla którego odpowiednia trajektoria po pewnym czasie T będzie znajdować się w zbiorze docelowym. Zbiór docelowy to domknięty podzbiór S R R n. Zagadnienie sterowania optymalnego polega na tym, by doprowadzić układ do celu, wybierając odpowiednie sterowanie dopuszczalne w taki sposób, by po czasie T wartość funkcjonału kosztu była możliwie najmniejsza. Poprzez zmianę znaku funkcjonału kosztu na przeciwny można badać wartość funkcjonału zysku. Wtedy poszukiwana jest wartość możliwie największa. Zagadnieniem w mojej pracy jest właśnie znalezienie maximum dla funkcjonału zysku. Pomocnym narzędziem przy znajdywaniu rozwiązania optymalnego jest funkcja Hamiltona: H(x, p, u, t) = p f(t, x, u). Z funkcją Hamiltona związane są następujące równania Hamiltona: ṗ = H x, ẋ = H p. Równania Hamiltona pojawiły się w hamiltonowskim sformułowaniu mechaniki. Okazuje się, że są one ważne również w teorii sterowania. Druga para równań (dla ẋ) to, jak łatwo zauważyć, równanie (2.1), zaś pierwsze (dla ṗ) to równania na tzw. zmienne sprzężone, pojawiające się w sformułowaniu Zasady Maksimum Pontriagina. Kolejne istotne pojęcie jakie wprowadzę to zagadnienie optymalizacyjne w postaci Mayera. Jest ono postaci max φ(t, x(t, u)), (2.2) u U,T 0 z warunkiem początkowym oraz końcowym x(0) = x (T, x(t )) S, czyli wartość funkcjonału kosztu φ zależy tylko od końcowego czasu T i punktu trajektorii x(t ). Jeżeli czas końcowy jest ustalony to zagadnienie można zapisać w postaci max φ(x(t, u)), u U z warunkiem początkowym oraz końcowym x(0) = x x(t ) S. 12

2.2. Twierdzenia W tym rozdziale sformułuję dwa ważne twierdzenia z teorii sterowania. 2.2.1. Twierdzenie o istnieniu sterowania optymalnego Rozwiązywany przeze mnie problem jest w postaci Mayera. Wprowadzę zatem następujące twierdzenie: Twierdzenie 2.2.1 [BP, tw. 5.1.1, Istnienie sterowania optymalnego dla zagadnienia Mayera] Załóżmy, że: 1. zbiór wartości sterowań U R m jest zwarty, 2. funkcja f : [0, ) R n U R n jest ciągła względem wszystkich zmiennych, różniczkowalna w sposób ciągły względem x R n, 3. dla dowolnego (t, x, u) funkcja f spełnia f(t, x, u) C(1 + x ), 4. zbiór prędkości F (t, x) = {f(t, x, u) : u U} jest wypukły dla wszystkich t [0, T ], x R n, 5. funkcja φ jest ciągła, 6. zbiór docelowy S jest domknięty i zawarty w pewnym pasie [0, T ] R n, 7. istnieje trajektoria x spełniająca warunki początkowe i końcowe x(0) = x,(t, x(t )) S, wówczas istnieje sterowanie optymalne dla zagadnienia max φ(t, x(t, u)). u U,T 0 2.2.2. Zasada Maksimum Pontriagina Teraz przechodzę do opisania najważniejszego twierdzenia, z którego będę korzystać. Pozwala ono na znalezienie sterowania optymalnego poprzez podanie warunków spełnianych przez to sterowanie. Załóżmy, iż czas końcowy T jest ustalony (a więc S = {T } R n ). Podobnie jak w poprzednim twierdzeniu, tutaj również zagadnienie jest w postaci Mayera. Oznacza to, że szukam max φ 0(x(T, u)) (2.3) u U dla układu opisanego przez układ równań różniczkowych ẋ = f(t, x(t), u(t)), z warunkami początkowymi dla sterowań należących do U, czyli x(0) = x, u(t) U dla prawie wszystkich t. 13

Dodatkowo, aby mogła zachodzić teza Zasady Maksimum Pontriagina, funkcja f oraz zbiór U muszą spełniać poniższe warunki: Założenia 1 Zbiór Ω R R n jest otwarty, funkcja f = f(x, t, u) jest ciągła na Ω U oraz różniczkowalna w sposób ciągły względem x i t. Funkcja φ 0 jest różniczkowalna w sposób ciągły. Twierdzenie 2.2.2 [BP, 6.1.1, Zasada Maksimum Pontriagina, ustalony czas końcowy] Niech będą spełnione założenia 1 dla zagadnienia (2.3). Ponadto, niech u : [0, T ] U będzie optymalnym sterowaniem dla problemu (2.3) i x trajektorią odpowiadającą temu sterowaniu. Wówczas istnieje nietrywialny, ciągły wektor wierszowy p( ) taki, że z warunkiem ṗ(t) = H x (x, p, u, t), p(t ) = x φ 0 (x(t, u )). Co więcej, jeśli oznaczyć to rozwiązanie przez p (t) to zachodzi: dla prawie każdego t [0, T ]. H(x, p, u, t) = max ω U H(x, p, ω, t) Dodatkowo w zagadnieniu mogą być zadane więzy φ i (x(t, u)) = 0 i = 1,..., k. (2.4) Wtedy Zasadę Maksimum Pontriagina można sformułować następująco: Twierdzenie 2.2.3 [BP, 6.3.1, Zasada Maksimum Pontriagina z zadanymi więzami] Niech będą spełnione założenia 1 dla zagadnienia (2.3) z dodatkowym założeniem, iż wszystkie funkcje φ i dla i = 1,..., k są różniczkowalne w sposób ciągły. Ponadto, niech u : [0, T ] U będzie optymalnym sterowaniem dla problemu (2.3) i x trajektorią odpowiadającą temu sterowaniu. Dodatkowo zakłada się że wektory φ i = ( φ i t, φ i x 1... φ i x n ), dla i = 1, 2,..., n są liniowo niezależne w punkcie x (T ). Wówczas istnieje nietrywialny, ciągły wektor wierszowy p( ) taki, że i zachodzi ṗ(t) = H x (x, p, u, t) H(x, p, u, t) = max ω U H(x, p, ω, t) dla prawie każdego t [0, T ]. Co więcej, istnieją stałe λ 0,..., λ k, gdzie λ 0 0, takie że (p 1,..., p n )(T ) = k i=0 λ i ( φ i x 1,..., φ i x n ). 14

Można również przytoczyć ogólną Zasadę Maksimum Pontraigina dla nieustalonego czasu końcowego T oraz z zadanymi więzami. Nie będę jednak jej formułować, gdyż na potrzeby niniejszej pracy wystarczą przytoczone powyższe dwie wersje twierdzenia. 15

Rozdział 3 Rozwiązanie problemu 1 Zajmuję się zagadnieniem maksymalizacyjnym dochodu przedsiębiorstwa, czyli max Y (T ). I(t) U Parametrem sterującym są inwestycje - oznaczę je zatem u(t). Moje zadanie polega na znalezieniu sterowania u(t) opisującego sposób optymalnego inwestowania w celu zmaksymalizowania dochodu w określonym czasie [0, T ]. Mam więc zagadnienie w postaci Mayera z funkcją φ = Y (T ). W poprzednim podrozdziale ukazałam mój problem jako układ liniowych równań różniczkowych opisujący przyrost dochodu i zatrudnienia w czasie. Mianowicie otrzymałam: Ẏ = (a b) N(t) I(t) Ṅ = c a I(t) d N(t) (3.1) Dla ułatwienia zapisu wprowadzę oznaczenia: niech Y := x 1, N := x 2, a b := α, c a d := γ. Z rozważań przy wyprowadzania modelu wynikają następujące założenia: := β, x 1, x 2, α, β, γ > 0. Otrzymuję przeformułowany układ {ẋ1 = α x 2 u ẋ 2 = β u γ x 2 (3.2) W poprzedniej części pracy nałożyłam również warunki początkowe N 0, Y 0. Oznaczę je kolejno x 1 0, x2 0. Przypominam również, że t [0, T ], gdzie T jest ustalone. Dla sterowania u mam ograniczenia 0 u I 0. Rozwiązuję problem gdzie w moim zadaniu max φ(x(t, u)), u U φ(x 1, x 2 ) := x 1. 17

3.1. Istnienie sterowania optymalnego Sprawdzam założenia twierdzenia 2.2.1. Zbiór wartości sterowań U jest oczywiście zwarty jako domknięty i ograniczony. Funkcje f 1 (t, x 1, x 2, u) = α x 2 u oraz f 2 (t, x 1, x 2, u) = β u γ x 2 są ciągłe względem wszystkich zmiennych oraz mają ciągłe pochodne cząstkowe, a zatem są różniczkowalne w sposób ciągły. Czyli jest spełnione założenie 2. Ponadto f 1 (t, x 1, x 2, u) oraz f 2 (t, x 1, x 2, u) spełniają ograniczenia z punktu 3 założeń twierdzenia. Wypukłość zbioru prędkości wynika z liniowości równań f 1 oraz f 2 względem sterowania u. Funkcja φ jest postaci x 1, więc oczywiście jest ciągła. Kolejnym założeniem jest istnienie trajektorii x spełniającej warunki początkowe. Niech zatem u I 0, czyli inwestujemy przez cały czas. Wtedy istnieje trajektoria na całym odcinku [0, T ] spełniająca warunki początkowe i osiągająca zbiór docelowy S = {T } R 2. Zatem są spełnione wszystkie założenia twierdzenia, stąd istnieje sterowanie optymalne dla zadanego zagadnienia. 3.2. Zastosowanie zasady Maksimum Pontriagina Tworzę Hamiltonian utworzonego wcześniej układu równań H(p 1, p 2, t, x 1, x 2 ) = p 1 (α x 2 u) + p 2 (β u γ x 2 ). Korzystam z własności, że ṗ = H x. Otrzymuję Wiem również, że stąd w tym zadaniu Skoro ṗ 1 = H = 0 x 1 to p 1 jest stałe, a ponieważ p 1 (T ) = 1 to ṗ 2 = H (3.3) = p 1 α + γ p 2 x 2 p(t ) = x φ(x(t, u)), p(t ) = ( φ x 1, φ x 2 ) = (1, 0). ṗ 1 = 0 p 1 1. 18

Rozwiążę teraz równanie na ṗ 2. Jest to równanie różniczkowe zwyczajne ṗ 2 = p 1 α + γ p 2. Wiem już, że p 1 = 1, a zatem ṗ 2 = α + γ p 2. ( ) Sprowadzam równanie do postaci jednorodnej ṗ 2 = γ p 2. Jest to równanie różniczkowe o zmiennych rozdzielonych, a zatem rozwiązuję je rozdzielając zmienne. Mam więc dp 2 p 2 = γ. Całkuję obustronnie i otrzymuję Rozwiązując dalej otrzymuję, że ln p 2 = γ t + C, gdzie C - pewna stała. p 2 = e γt C 1, gdzie C 1 R. Od tej pory niech C 1 = C. Wracam do równania niejednorodnego ( ). Aby je rozwiązać weźmy rozwiązanie szczególne. Biorąc pod uwagę fakt, że prawa strona rozwiązywanego równania jest stałą, przewiduję rozwiązanie szczególne w postaci funkcji stałej. Niech zatem p 2 = R, gdzie R - dowolna stała. Wtedy ṗ 2 = 0 i wstawiając do ( ) otrzymuję 0 = γ R α z czego wynika, że Zatem R = α γ. p 2 = e γt C + α γ. ( ) Pozostało jeszcze do znalezienia stała C. Korzystając z warunku p 2 (T ) = 0 i przyrównując do p 2 (T ) = e γt C + α γ otrzymuję czyli e γt C + α γ = 0, C = α γ e γt. Wstawiając wyliczone C do ( ) otrzymuję ostatecznie, że p 2 (t) = e γt (e γt ( α γ )) + α γ = α γ eγ(t T ) + α γ = α γ (1 e γ(t t) ). 19

Szukam sterowania optymalnego u U. Z Zasady maksimum Pontriagina dla ustalonego punktu końcowego (2.2.2) wynika, że p 1 (α x 2 u ) + p 2 (β u α x 2 ) = max ω U {p 1(α x 2 ω) + p 2 (β ω α x 2 )} = α x 2 p 1 α p 2 x 2 + max ω U {ω( p 1 + p 2 β)}. ω należy do przedziału [0, I 0 ], więc żeby zmaksymalizować powyższe wyrażenie to należy przyjąć ω = 0 gdy p 1 + p 2 β < 0 oraz ω = I 0 gdy p 1 + p 2 β > 0. Wiem już też, że p 1 jest stałe. Z kolei p 2 jest malejące, ponieważ jego pochodna p 2 = α + γ p 2 jest ujemna, co można łatwo zobaczyć wstawiając wyliczone p 2 i stosując odpowiednie działania. Zatem wynika z tego, że p 1 + p 2 β = 0 zachodzi tylko w jednym punkcie, mianowicie czyli p 2 β = p 1, p 2 β = 1. W tym przypadku sterowanie może przyjąć dowolną wartość ze zbioru [0, I 0 ]. Ponadto, skoro p 2 jest monotoniczne, to ω zmienia wartość co najwyżej raz. W związku z tym sterowanie jest postaci 0 gdy p 2 β < 1 u = [0, I 0 ] gdy p 2 β = 1 (3.4) I 0 gdy p 2 β > 1 Znajdę teraz punkt przełączenia t, czyli muszę rozwiązać równanie p 2 β = 1. Wstawiając wyliczone p 2 oraz stosując odpowiednie przekształcenia otrzymuję, iż t = T + ln(1 γ α β ) γ (3.5) Punkt przełączenia istnieje, gdy zachodzi warunek 0 < t < T, czyli po wstawieniu wyliczonego t, gdy 0 < γ α β < 1 e γt (3.6) Zauważam też, że p 2 β jest funkcją malejącą. Z powyższego wynika, że jeżeli zachodzi warunek (3.6) to sterowanie optymalne jest postaci: u = { I0 dla 0 t < t 0 gdy t t T (3.7) gdzie t jest takie jak w (3.5). 20

Natomiast, jeżeli t < 0 (czyli ma miejsce warunek 1 e γt < γ α β < 1) to zachodzi p 1 + p 2 β < 0 i wtedy sterowaniem optymalnym jest ω = 0. Tak samo dzieje się, w przypadku gdy γ α β > 1. Podsumowując, jeśli spełniony jest warunek (3.6) to sterowanie optymalne jest postaci (3.7). W przeciwnym przypadku nie istnieje punkt przełączenia i rozwiązaniem optymalnym jest u = 0 dla t [0, T ]. (3.8) 21

Rozdział 4 Rozwiązanie problemu 2 W tym przypadku również rozważam problem maksymalizacji dochodu przedsiębiorstwa, przy czym zakładam dodatkowe ograniczenie na całkowitą wartość inwestycji w czasie [0, T ]. Niech u będzie zdefiniowane jak w poprzednim problemie oraz niech t [0, T ], gdzie T jest ustalone. Rozważam również wyprowadzony wcześniej układ równań na przyrost dochodu i zatrudnienia w czasie ze zmiennymi opisanymi jak poprzednio, czyli: {ẋ1 = α x 2 u z warunkami początkowymi: ẋ 2 = β u γ x 2 { x1 (0) = x 1 0 x 2 (0) = x 2 0 Założenia na powyższe zmienne również się nie zmieniają, a zatem: x 1, x 2, α, β, γ > 0. Oprócz tego wprowadzam ograniczenie na całkowitą wartość inwestycji w czasie: T 0 u dt = J, dla u U. Z powyższego ograniczenia mogę wyprowadzić więzy w postaci takiej jak w twierdzeniu 2.2.3, czyli φ i (x(t, u)) = 0. W tym celu wprowadzam dodatkową zmienną x 3 = u x 3 (0) = 0 x 3 (T ) = J (4.1) Wtedy zachodzi ograniczenie powyższej postaci. 23

Zatem dla omawianego problemu otrzymuję układ równań: ẋ 1 = α x 2 u ẋ 2 = β u γ x 2 z 3 = u (4.2) z warunkami początkowymi: oraz z warunkiem końcowym x 1 (0) = x 1 0 x 2 (0) = x 2 0 x 3 (0) = 0 x 3 (T ) = J. Do rozwiązania mam problem max φ 0(x(T, u)), u U z zadanymi więzami gdzie w tym zadaniu φ i (x(t, u)) = 0, φ 0 = x 1 oraz φ 1 = x 3 J. 4.1. Istnienie sterowania optymalnego Dla tego problemu również sprawdzam założenia twierdzenia 2.2.1. Zbiór wartości sterowań U nie zmienił się, więc założenie zwartości tego zbioru jest spełnione. Funkcje f 1 (t, x 1, x 2, x 3, u) = α x 2 u, f 2 (t, x 1, x 2, x 3, u) = β u γ x 2 oraz f 3 (t, x 1, x 2, x 3, u) = u są ciągłe względem wszystkich zmiennych oraz różniczkowalne w sposób ciągły. Ponadto f 1 (t, x 1, x 2, x 3, u), f 2 (t, x 1, x 2, x 3, u) oraz f 3 (t, x 1, x 2, x 3, u) spełniają ograniczenia z punktu 3 założeń twierdzenia. Wypukłość zbioru prędkości wynika, tak samo jak przy poprzednim problemie, z liniowości równań f 1, f 2, f 3 względem sterowania u. Funkcja φ 0 jest postaci x 1, więc oczywiście jest ciągła. Założenie istnienia trajektorii x spełniającej warunki początkowe jest również spełnione. Niech u I 0. W takim przypadku dostaję, iż T 0 u dt = T 0 I 0 dt = I 0 T. 24

Równocześnie mam warunek, że więc T 0 u dt = J, I 0 T = J. Stąd wynika, iż aby istniało rozwiązanie musi zachodzić warunek I 0 T J. W przeciwnym przypadku nie byłoby możliwe w przeznaczonym czasie [0, T ] zainwestowanie całej kwoty J. Założenia twierdzenia są spełnione, zatem mogę przyjąć istnienie sterowania optymalnego dla zadanego zagadnienia. 4.2. Zastosowanie zasady Maksimum Pontriagina Tworzę Hamiltonian wyprowadzonego w tym problemie układu równań H(p 1, p 2, t, x 1, x 2, x 3 ) = p 1 (α x 2 u) + p 2 (β u γ x 2 ) + p 3 u. Korzystam z warunku, że czyli otrzymuję ṗ(t) = H x (x, p, u, t). ṗ 1 = H = 0 x 1 ṗ 2 = H = p 1 α + γ p 2 x 2 ṗ 3 = H = 0 x 3 (4.3) Wynika z tego, że p 1 oraz p 3 są stałe. Zastosuję teraz własność, iż istnieją stałe λ 0,..., λ k, gdzie λ 0 0, takie, że Z powyższego uzyskuję, że czyli (p 1,..., p n )(T ) = k i=0 λ i ( φ i x 1,..., φ i x n ). p 1 1 0 p 2 (T ) = λ 0 0 + λ 1 0, p 3 0 1 p 1 (T ) = λ 0 p 2 (T ) = 0 p 3 (T ) = λ 1 25

Wiem już, iż p 1 oraz p 3 są stałe. Z połączenia tego faktu z wyliczonymi warunkami końcowymi wynika, że p 1 λ 0 oraz p 3 λ 1. Pozostaje tylko do wyliczenia p 2, czyli mam do rozwiązania następujące równanie różniczkowe: p 2 = p 1 α + γ p 2. Po wstawieniu wyliczonego p 1 uzyskuję równanie p 2 = λ 0 α + γ p 2. Przy rozwiązywaniu równania skorzystam z obliczeń z rozdziału 3.2. Rozwiązaniem postaci jednorodnej p 2 = γ p 2 jest p 2 = e γt C, gdzie C R - pewna stała. Wracam do równania niejednorodnego i tak jak wcześniej przewiduję rozwiązanie szczególne w postaci funkcji stałej. Robiąc analogiczne obliczenia otrzymuję, iż Pozostało jeszcze do znalezienia C. Korzystam z warunku i przyrównuję do Stąd otrzymuję, że p 2 = e γt C + α λ 0. ( ) γ p 2 (T ) = 0 p 2 (T ) = e γt C + α λ 0. γ C = α λ 0 γ e γt. Wstawiając wyliczone C do ( ) otrzymuję ostatecznie, że p 2 (t) = e γt (e γt ( α λ 0 )) + α λ 0 γ γ = α λ 0 γ (1 e γ(t t) ). Przejdę teraz do znalezienia sterowania optymalnego u. Z Zasady maksimum Pontriagina dla ustalonego punktu końcowego z zadanymi więzami (2.2.3) wynika, że p 1 (α x 2 u ) + p 2 (β u γ x 2 ) + p 3 u = max ω U {p 1(α x 2 ω) + p 2 (β ω γ x 2 ) + p 3 ω} = α x 2 p 1 γ x 2 p 2 + max ω U {ω( p 1 + p 2 β + p 3 )}. Po wstawieniu wyliczonych wartości na p 1, p 2 oraz p 3 otrzymuję: λ 0 α x 2 λ 0 α x 2 (1 e γ(t t) ) + max {ω(λ 1 λ 0 + α β λ 0 (1 e γ(t t) ))}. ω U γ 26

Do zmaksymalizowania mam wyrażenie: ω{λ 1 λ 0 + α β λ 0 γ (1 e γ(t t) )}. Po wykonaniu odpowiednich przekształceń, pamiętając, że λ 0 > 0, doprowadzam je do postaci Wprowadzam oznaczenie: niech ω{1 + γ α β (λ 1 λ 0 1) e γ(t t) }. σ = 1 + γ α β (λ 1 λ 0 1). Ponieważ ω należy do przedziału [0, I 0 ], zatem, żeby zmaksymalizować rozważane wyrażenie należy przyjąć ω = 0, gdy σ e γ(t t) < 0 oraz ω = I 0 gdy σ e γ(t t) > 0. W związku z tym sterowanie optymalne jest postaci u = { 0 gdy σ e γ(t t) < 0 I 0 gdy σ e γ(t t) > 0 (4.4) Punkty przełączenia t (σ) wyznaczam z warunku σ e γ(t t) = 0, skąd t (σ) = T + ln(σ) γ. (4.5) Zauważam, że przełączenie ma miejsce w przypadku gdy 0 < t < T. Dostrzegam też, że σ e γ(t t) jest funkcją malejącą, więc istnieje co najwyżej jeden punkt przełączenia. Zatem sterowanie optymalne w tym przypadku jest postaci: u = { I0 dla 0 t < t 0 gdy t < t < T (4.6) gdzie t jest takie jak w (4.5). W punkcie t = t sterowanie u może przyjąć dowolną wartość ze zbioru [0, I 0 ] (ale to nie ma wpływu na rozwiązanie). Wynik zależy od stałej σ, która z kolei zależy od niewiadomej λ 1 λ 0. Można ją, podobnie jak σ, wyliczyć z więzów, ponieważ T u dt = J. Jednocześnie czyli T 0 0 u dt = t 0 T I 0 dt + t 0 dt, J = I 0 t + 0 (T t ) = I 0 t. gdzie t jest takie jak w (4.5). Tak więc równanie na σ ma postać: I 0 (T + ln(σ) γ ) = J. 27

Z powyższego równania można łatwo wyliczyć, iż σ = e γ( J I 0 T ). Oczywiście jak już zaznaczyłam w poprzednim podrozdziale, aby istniało rozwiązanie musi zachodzić I 0 T J. Co gwarantuje (w przypadku ostrej nierówności) istnienie punktu przełączenia, jako, że ln(σ) = γ( J I 0 T ) występujący w (4.5) jest wtedy ujemny. Więc jeśli I 0 T > J to istnieje punkt przełączenia. Z powyższych rozważań wynika zatem ostatecznie, iż jeśli jest spełnione założenie I 0 T > J to sterowanie optymalne jest postaci takiej jak w (4.6), gdzie t wynosi t = T + γ( J I 0 T ) γ = J I 0. Czyli punkt przełączenia zależy tylko od wartości J I 0. 28

Rozdział 5 Wnioski Z powyższych rozważań można wyciągnąć wnioski dotyczące sposobu inwestowania dla przedstawionych problemów. W pierwszym problemie strategia optymalnego inwestowania zależy od wydajności siły roboczej (współczynnik a), kosztów utrzymania pracowników (współczynnik b), efektywności inwestycji (współczynnik c) oraz od współczynnika amortyzacji (współczynnik d). Te wielkości z kolei, tak jak przedstawiłam to w mojej pracy, mają wpływ na ilość pracowników, tempo produkcji oraz w efekcie na wielkość dochodu firmy. Optymalne rozwiązanie zależy od wartości d (a b) c a. Jeżeli zachodzi d (a b) c a < 1 e dt to optymalne jest inwestowanie możliwego pułapu inwestycji na jednostkę czasu (czyli wartości I 0 ) od samego początku do pewnego momentu t (określonego w (3.5)), zależnego od wszystkich wymienionych wyżej czynników oraz czasu końcowego T, zaś po tym momencie zaprzestanie inwestowania. Natomiast w przeciwnym przypadku optymalnie jest nie inwestować przez pełen okres czasu [0, T ]. Zatem dla określenia optymalnego sposobu zarządzania inwestycjami istotna jest każda wielkość przedstawiona w rozważanym modelu przedsiębiorstwa, jak również długość okresu czasu. W drugim problemie strategia, dzięki której można osiągnąć maksymalną wartość dochodu, jest zależna tylko od wielkości pułapu inwestycji na jednostkę czasu (wartość I 0 ) oraz całkowitej wartości kwoty, którą należy zainwestować w określonym czasie [0, T ] (czyli ograniczenia J). Jeżeli jest spełniony warunek I 0 T > J to należy inwestować do momentu t = J I 0, natomiast po tym okresie czasu należałoby zrezygnować z lokowania pieniędzy. Gdy zaś I 0 T = J to warto jest inwestować z największą możliwą intensywnością (czyli I 0 ) przez całkowity przedział czasowy [0, T ]. Reasumując, strategie takie, jak określone powyżej, odpowiednio dla konkretnych przypadków pozwolą na otrzymanie możliwie największego dochodu przedsiębiorstwa w określonym horyzoncie czasowym. Należy jednak pamiętać, że są to rozważania teoretyczne, a model przedsiębiorstwa jest uproszczony, dlatego wyniki mogą częściowo odbiegać od rzeczywistych. 29

Spis literatury [BP] A. Bressan, B. Piccoli, Introduction to the Mathematical Theory of Control, American Institute of Mathematical Sciences, Springfield, MO, 2007 [CD] J. Czekaj, Z. Dresler, Zarządzanie finansami przedsiębiorstw - Podstawy teorii, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa, 1999 31