1 Rachunek zdań, podstawowe funktory logiczne

1 Rachunek zdań, podstawowe funktory logiczne 1.1 Pokaż, że dla dowolnych zmiennych zdaniowych p, q, r poniższe formuły są tautologiami a p p p b q q q c p p p p d p q r p q p r e p q r p q p r f p q p q q p 1.2 Sprawdź, które z poniższych formuł są prawami rachunku zdań a p q p q b p q p r q c p q p q r d p p q e p q r q p r p f q r p q r p q r 1.3 Wśród poniższych formuł wskaż wszystkie pary formuł równoważnych a p q r b p q r c p q r d q p r e q r p r f p q p r 1.4 Znajdź formułę zależną wyłącznie od trzech zmiennych zdaniowych p, q i r, która jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy, gdy i dokładnie dwie spośród zmiennych p, q i r są prawdziwe; ii dokładnie jedna spośród zmiennych p, q i r jest prawdziwa; iii wszystkie zmienne lub zaprzeczenia wszystkich zmiennych p, q i r są prawdziwe. 1.5 Funktor zdefiniowany jako p q p q nazywamy strzałką Pierce a. Zapisz przy pomocy strzałki Pierce a negację, alternatywę, koniunkcję, równoważność, implikację. 1.6 Funktor zdefiniowany jako p q p q nazywamy dysjunkcją Sheffera. Zapisz przy pomocy dysjunkcji negację, alternatywę, koniunkcję, równoważność, implikację, strzałkę Pierce a. 1.7 Zapisz przy pomocy implikacji i funktora F jednoargumentowy funktor Fałsz wszystkie funktory jednoargumentowe oraz alternatywę, koniunkcję, strzałkę Pierce a i dysjunkcję Sheffera. Jak zapisać implikację? 1.8 Pokaż, że przy pomocy alternatywy i koniunkcji nie jest możliwe zdefiniowanie wszystkich funktorów dwuargumentowych. 1.9 Niech ϕ i ψ będą takimi formułami zdaniowymi, że wyrażenie ϕ ψ jest prawem rachunku zdań. Znajdź takie wyrażenie ϑ zależne wyłącznie od zmiennych zdaniowych ϕ i ψ, że formuły ϕ ϑ i ϑ ψ są tautologiami 1.10 Zapisz symbolicznie następujące stwierdzenia i Jeśli z tego, że Paweł gra w palanta wynika to, że Robert jeździ na rowerze, to z tego, że Robert nie gra w palanta wynika to, że Paweł nie jeździ na rowerze. ii W czworokącie ABCD odpowiednie boki są parami równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy przekątne przecinają się pod kątem prostym. iii Jeśli w czworokącie ABCD odpowiednie boki są parami równoległe, to przekątne przecinają się pod kątem prostym. iv W czworokącie ABCD odpowiednie boki są parami równoległe, jeśli przekątne przecinają się pod kątem prostym. v Warunkiem koniecznym na to, by n 2 dzieliło m 2 jest to, że n dzieli m. vi Warunkiem dostatecznym na to, by n 2 dzieliło m 2 jest to, że n dzieli m. vii Warunkiem koniecznym i wystarczającym na to, by x+y xy jest x, y 2. Czy powyższe formuły są prawami rachunku zdań? 1.11 Pokaż, że jeśli wyrażenie Ψ jest tautologią, to dla dowolnych formuł Φ 1,..., Φ n tautologiami są również wyrażenia Φ 1 Φ 2... Φ n Ψ... oraz Ψ Φ 1... Φ n 1 Φ n.... 1

2 Funkcje zdaniowe 2.1 Jedna z wersji Twierdzenia Talesa to implikacja: Jeśli ramiona kąta przetniemy prostymi równoległymi, to stosunki odpowiednich odcinków są równe. Wypowiedz implikację a odwrotną, b przeciwną, c przeciwstawną. Które z nich są prawdziwe? 2.2 Niech funkcje zdaniowe πx, ϱy, σz, εx, y oznaczają odpowiednio x jest punktem, y prostą, z płaszczyzną w pewnej trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej, x przechodzi przez y. Zapisać poniższe formuły: i Przez każde dwa punkty przechodzi prosta; jeśli punkty są różne od siebie, to prosta taka jest jedyna. ii Przez każde trzy niewspółliniowe punkty przechodzi dokładnie jedna płaszczyzna. iii Przez punkt leżący poza płaszczyzną p można poprowadzić dokładnie jedną płaszczyznę do niej równoległą tj. niemającą z nią punktów wspólnych. iv Przez punkt poza prostą l można poprowadzić dokładnie jedną prostą równoległą do niej. v Proste k i l są równoległe. 2.3 W języku arytmetyki liczb naturalnych 0, 1, 2,..., +,,,,, =, <, zapisać następujące formuły i Równanie ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 ma rozwiązanie w liczbach naturalnych. ii Równanie ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 ma dokładnie dwa rozwiązania w liczbach naturalnych. iii Równanie ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 ma przynajmniej dwa rozwiązania w liczbach naturalnych. iv m jest podzielne przez n. v k jest najmniejszą wspólną wielokrotnością m i n. vi k jest największym wspólnym dzielnikiem m i n. vii Każde dwie liczby mają najmniejszą wspólną wielokrotność. viii p jest liczbą pierwszą. ix Liczb pierwszych jest nieskończenie wiele. 2.4 W języku arytmetyki liczb rzeczywistych 0, 1, 2,..., N, Z, Q, R, +,,,,, =, <, zapisać następujące formuły x Liczba a jest ograniczeniem górnym zbioru A R; xi Liczba a jest kresem górnym zbioru tych liczb wymiernych, których kwadrat jest mniejszy od 2; xii Pomiędzy dowolnymi dwiema liczbami rzeczywistymi istnieje zawsze liczba wymierna; xiii Funkcja f : R R xiv Funkcja g : R R x fx jest malejąca. x gx osiąga w x 0 swoje maksimum. 2.5 W poniższych wyrażeniach wskaż zmienne wolne oraz zmienne związane wraz z kwantyfikatorami je wiążącymi: a x ϕx, y y ψy b x ϕx, y y ψx, y c y ψ ϕy, x x ψ y, ϕx 2.6 Pokaż, że jeśli w ψ zmienna x nie jest wolna, to poniższe formuły są prawami rachunku predykatów: a x ϕx ψ x ϕx ψ b x ϕx ψ x ϕx ψ c x ϕx ψ x ϕx ψ d x ϕx ϑx x ϕx ϑx e x ϕx ϑx x ϕx ϑx f x ϕx x ϑx x ϕx ϑx g x ϕx ψ x ϕx ψ h x ϕx x ϑx x ϕx ϑx i ψ x ϑx x ψ ϑx j ψ x ϑx x ψ ϑx k x ϕx ψ x ϕx ψ l x ϕx ψ x ϕx ψ 2.7 Niech zakresem zmienności zmiennych zdaniowych będzie zbiór liczb naturalnych N. Pokaż, że przy użyciu wyłącznie symboli 0, 1, +, można zdefiniować funkcję zdaniową ϕx, y, z = x y = z. Wskazówka: Zapisać predykat x = y, a następnie predykat y x = y 2 ; przydać się mogą również wzory x + y 2 = x 2 + xy + xy + y 2, nwdx, x + 1 = 1, nwwx, x + 1 = x 2 + x. 2

3 Zbiory 3.1 Niech A oznacza zbiór wszystkich trójkątów równoramiennych na płaszczyźnie, B trójkątów równobocznych, C trójkątów prostokątnych, D trójkątów rozwartokątnych. Z jakich elementów składają się zbiory: a A B C b A B \ C c A \ C B d C \ B \ A e B \ A C f A C D g A D \ C h A \ B D i D \ C \ B 3.2 Wyznaczyć A B, A B, A \ B, B \ A i A B dla poniższych zbiorów: a A = a, b, c, B = c, d ; b A = a, b, c, B = c, d ; c A = x, y, z, B = a, x, y ; d A = a, a, B = a, a ; e A = a, a, b, B = a, b ; a, f A = b, a, b, c, c, B = a, b, b, c ; g A = x N : x < 3, B = x N : x 3 ; h A = x N : x < 0, B = x N : x = 3 ; i A = x N : x < 3, B = x N : x = 3 ; j A = x R : x < 3, B = x N : x < 3 ; k A = x R : x < 3, B = x R : x < 2. 3.3 Udowodnij, że dla dowolnych zbiorów A, B zachodzi: a A B\B = A wdy A B = ; b A \ B B = A wdy A B ; c A \ B = B \ A wdy A = B. 3.4 Sprawdź, czy dla dowolnych zbiorów A, B, C prawdziwe są równości: a A B \ B = A \ A B b A \ B A C = A \ B \ C c A \ B B = A B d A B C = A B A C e A \ B C = A\B A\C f A B C = A B A C Jeśli tak, to udowodnij to, w przeciwnym przypadku wskaż kontrprzykład. 3.5 Sprawdź, jakie relacje inkluzji zachodzą między zbiorami A, B i C, jeśli spełnione są poniższe równości: a A B C B = B b A B C B = B c A\B C = A C d A B\C = A\C B e A B\B C = A C f A B C \A = A B\C 3.6 Udowodnij, że dla dowolnych zbiorów A, B, C zachodzi gdzie oznacza różnicę symetryczną zbiorów, tj. x A B df x A x / B x / A x B : a A B = A B\A B b A B C = A B C c A = A d A A = e A B C = A C B C f A = B wdy A B = 3.7 Udowodnij, że przekrój A B jest największym zbiorem zawartym jednocześnie w A i w B. 3.8 Udowodnij, że suma A B jest najmniejszym zbiorem zawierającym jednocześnie A i B. 3.9 Wyznaczyć PA dla poniższych zbiorów A: a A = a, b, c ; b A = ; c A = ; d A = x, x, x ; e A = P ; 3.10 Udowodnij, że dla dowolnych zbiorów A, B zachodzi A B PA PB. 3.11 Udowodnij, że dla dowolnej rodziny zbiorów A zachodzi A P A. 3.12 Co można powiedzieć o zbiorze A, jeśli wiadomo, że A PA? 3.13 Ile elementów dla ustalonego n N ma najmniejsza rodzina zbiorów A spełniająca 1 A 1,..., A n są różne, 2 1 i n A i A oraz 3 x,y x A y A x y A? 3

4 Operacje nieskończone & relacje cz.i 4.1 operacje nieskończone 4.1 Znajdź sumę A n i przekrój A n, jeśli zbiory A n są równe: n N n N a x N : n 1 x n+1 d x R : n 1n x n b x R : n 1 x n+1 e x N : n 2 x n+1 2 c x Z : n x n f x Z : n 2 x 2 n+1 2 4.2 Znajdź sumę A t i przekrój A t, jeśli zbiory A t są równe: t R + t R + a x R : t 1 x t+1 d x R + : 4 t x t b x R + : t 2 x t+1 2 e x R : 1t x t c x R : t 2 x 2 t+1 2 t t+1 f x R : t+1 x t+2 4.3 Niech = i ii n N m N n N m N x N : n x < m. Wyznacz: = = n,m N n,m N iii iv n N m N n N m N g x, y N N : x n y h x, y R R : x 2 +y 2 n 2 i x, y R R : x 2 n 2 y 2 g x, y R R : x 2 +y 2 >t 2 h x, y R R : x 2 +y 2 t 2 i x, y R R : x 2 t 2 y 2 v vi m N n N m N n N 4.4 Udowodnij, że: i A t B t A t B t ii A t B t A t B t iii A t B t A s B t = A s s, s T B t iv A s B t = A s B t A t B t s T s, Czy w powyższych formułach znak inkluzji można zastąpić znakiem równości? 4.2 relacje cz.i 4.5 Sprawdzić, czy a suma i b przekrój dwóch relacji na zbiorze X i spójnych jest relacją spójną ii symetrycznych jest relacją symetryczną iii przechodnich jest relacją przechodnią iv antysymetrycznych jest relacją antysymetryczną 4.6 Jeśli R Q X 2, to Q nazywamy rozszerzeniem R. Czy każdą relację na X można rozszerzyć do relacji: a zwrotnej; b przeciwzwrotnej; c symetrycznej; d przeciwsymetrycznej; e przechodniej; f spójnej. 4.7 Pokaż, że aby relacja R X 2 była: a zwrotna, potrzeba i wystarcza, aby 1l X R; b symetryczna, potrzeba i wystarcza, aby R R 1 ; c spójna, potrzeba i wystarcza, aby R R 1 1l X = X 2 ; d przechodnia, potrzeba i wystarcza, aby R R R; 4.8 Sprawdzić, które z poniższych równości są prawdziwe dla dowolnych relacji R, Q X 2 : a R Q 1 = R 1 Q 1 ; b R Q 1 = R 1 Q 1 ; c R Q 1 = R 1 Q 1 ; d R \ Q 1 = R 1 \ Q 1 ; e 1l X 1 = 1l X ; f X 2 1 = X 2. 4

5 Iloczyn kartezjański i funkcje 5.1 Sprawdź, czy dany zbiór jest funkcją. Jeśli tak, to określ jego dziedzinę i przeciwdziedzinę, jeśli natomiast nie, to podaj przykład dwóch par o tym samym poprzedniku i różnych następnikach. a x, y R R : x 2 = y 2 ; b x, y R R : x 3 = y 3 ; c x, y N N : x 2 = y 2 ; d x, y R PR : x > 0 z y z = x 2 ; e x, y R PR : x > 0 z y x = z 2 ; f x, y PN N : y x z x y z ; g x, y PN PN : x y = N ; h x, y Nt N : y = x2 ; i x, y Nt N : 2 = xy ; j x, y Nt Nt : yt = x2t ; k x, y Rt R : y = x1 ; l x, y Rt Rt : y = x x ; m x, y Rt Rt : y = x x ; UWAGA: Xt oznacza zbiór wielomianów zmiennej t o współczynnikach ze zbioru X. 5.2 Które z funkcji z poprzedniego zadania są surjekcjami, które injekcjami, a które bijekcjami? 5.3 W odpowiednich przykładach z zadania 5.1 wskaż obraz i przeciwobraz podanych zbiorów: b b 1; +1, b 1 1; +1 ; j j p Nt : 2 p2, j 1 p Nt : t 2 pt ; c c x N : 2 x, c 1 x N : 2 x ; k k p Rt : t ξ pt gdzie ξ R +, k N 1 ; Am g g = n N : m n 2m m N, l l p Rt : 2 p2, l 1 p Rt : t 2 pt ; At g 1 = n N : n m 2 n ; m N m m p Rt : t 2 pt, h h p Nt : 2 p2, h 1 1, 2, 4, 8 ; m p Rt 1 : α,β R pt = α t + β ; 5.4 Wyznacz złożenia odpowiednich funkcji z zadania 5.1: a h j b j n =j j n razy c h j n d k m e k l f l m g m l h k l m 5.5 Podaj przykład takiej funkcji ϕ : N N, że dla każdego n N zbiór ϕ n 1 ma: a dokładnie dwa elementy; b dokładnie trzy elementy; c dokładnie k elementów, dla pewnego ustalonego k; d dokładnie n elementów. 5.6 Podaj przykład takiej funkcji ψ : R R, że dla każdego r R zbiór ψ r 1 ma: a dokładnie dwa elementy; b dokładnie trzy elementy; 5.7 Udowodnij, że dla dowolnych zbiorów A X, B Y i funkcji f : X Y zachodzi: a f A \ f 1 B = fa \ B; b A \ f 1 B f 1 fa \ B. Podaj przykłady, kiedy inkluzja jest właściwa. 5.8 Niech a b, X = a, b, a, b, Y = a, b i niech f : X Y, fa=fb= a, f a, b =b. Wyznacz f a, b. 5.9 Dla funkcji f X Y definiujemy dwie funkcje: F : PX PY, F A df = fa oraz F : PY PX, F A df = f 1 A. Pokaż, że i F jest różnowartościowa wdy f jest surjekcją; ii F jest różnowartościowa wdy f jest iniekcją oraz Df = X. Kiedy funkcje F i F są surjekcjami? 5

6 Teoria mocy 6.1 Pokaż, że poniższe zbiory są równoliczne i skonstruuj odpowiednią bijekcję: a N Z; b N N N = N 2 ; c N Q; d N N n ; n N e N NX; f N f N N : f jest okresowa ; g N f N N : f jest nierosnąca ; h a; b 0; 1 dla a, b R; i R 0, 1; j 0; 1 0; 1 2; 3; k 0; 1 2n; 2n+1; n N l 0; 1 0; 1; m R R R; n R PN; o R C0; 1, tj. zbiór f-cji ciągłych na przedziale 0; 1; p c c 0, gdzie c to zbiór ciągów zbieżnych, a c 0 ciągów zbieżnych do 0. 6.2 Określ moc poniższych zbiorów tj. porównaj z N, R, PR, itp.: a zbiory liczb: naturalnych N, całkowitych Z, wymiernych Q, niewymiernych, algebraicznych A, przestępnych, rzeczywistych R, zespolonych C; b przestrzeń euklidesowa wymiaru d E d ; c zbiory wielomianów: o współczynnikach całkowitych ZX, współczynnikach rzeczywistych RX, współczynnikach zespolonych CX; d zbiór szeregów zbieżnych bezwzględnie, szeregów zbieżnych, szeregów formalnych Laurenta; e zbiór ciągów zbieżnych c, ciągów zbieżnych do 0 c 0, ciągów od pewnego miejsca równych 0 c 0,0, ciągów ograniczonych l, ciągów sumowalnych bezwzględnie l 1. f zbiór trójkątów na płaszczyźnie euklidesowej E, zbiór wielokątów, zbiór punktów dowolnego trójkąta; g zbiór translacji przestrzeni euklidesowej, zbiór izometrii przestrzeni euklidesowej wymiaru d IsoE d. 6.3 Udowodnij, że dla dowolnych zbiorów A, B, C zachodzą równości: a C A B C = A C B, A B przy czym A B = ; b C = A C B C. 6.4 Które nierówności zachodzą dla dowolnej funkcji f i zbiorów A Df, B Rf podaj kontrprzykład lub udowodnij nierówność: a A fa ; b A fa ; c B f 1 B ; d B f 1 B. Kiedy zachodzą równości? 6.5.a Skonstruuj taką funkcję f : N N, że dla każdego n N zbiór f 1 n jest przeliczalny. Pokaż następnie, że zbiór liczb naturalnych można podzielić na nieskończenie wiele parami rozłącznych zbiorów przeliczalnych. 6.5.b Skonstruuj taką funkcję f : R R, że dla każdego n N zbiór f 1 n jest mocy continuum. Pokaż następnie, że zbiór liczb rzeczywistych można podzielić na przeliczalnie wiele parami rozłącznych zbiorów mocy continuum. 6.5.c Skonstruuj taką funkcję f : R R, że dla każdego r R zbiór f 1 r jest przeliczalny. Pokaż następnie, że zbiór liczb rzeczywistych można podzielić na continuum parami rozłącznych zbiorów przeliczalnych. 6.5.d Skonstruuj taką funkcję f : R R, że dla każdego r R zbiór f 1 r jest mocy continuum. Pokaż następnie, że zbiór liczb rzeczywistych można podzielić na continuum parami rozłącznych zbiorów mocy continuum. 6.6 Ustawmy elementy zbioru liczb wymiernych z odcinka 0, 1 w ciąg Q 0,1 = q 0, q 1, q 2,.... Wyznacz moc zbiorów a q k 1, q k + 1 n N k>n b qn 1 n+k, q n + 1 n+k n N k Z + c q n 1, q 2 n+k n + 1 2 n+k n N k Z + 6

7 Relacje równoważności 7.1 W każdym z poniższych przypadków pokaż, że jest relacją równoważności na zbiorze X. Wskaż zbiór ilorazowy oraz sprawdź jego moc i moc poszczególnych klas abstrakcji: a X zbiór prostych na płaszczyźnie euklidesowej E, l k jeśli proste l i k pokrywają się lub są równoległe; b X zbiór prostych w przestrzeni euklidesowej R d, d = 3, 4,..., a Q j.w.; c X zbiór wszystkich trójkątów na płaszczyźnie euklidesowej E, ABC A B C jeśli trójkąty ABC i A B C są przystające; d X j.w., ABC A B C jeśli trójkąty ABC i A B C są podobne; e X j.w., ABC A B C jeśli trójkąty ABC i A B C mają równe pola; f X = f 0, 1 N : n N k>n fk=0 zbiór skończonych ciągów zerojedynkowych, f g jeśli ciągi f i g mają tyle samo jedynek; g X = 0, 1 N zbiór ciągów zerojedynkowych dowolnej długości, f g jeśli ciągi f i g mają tyle samo jedynek; h X = R, x y jeśli istnieje takie n Z, że x, y n, n+1; i X j.w., x y jeśli istnieje takie q Q +, że x y =q y x =q; j X dowolny zbiór, a f : X X dowolna iniekcja; x y jeśli istnieje takie n N, że f n x=y f n y=x uwaga: f n to n-krotne złożenie funkcji f; 7.2 Ile jest różnych z dokładnością do izomorfizmu relacji równoważności na zbiorze a trójelementowym, b czteroelementowym, c pięcioelementowym? d Ile jest różnych relacji równoważności na zbiorze n-elementowym? 7.3 Niech R będzie zbiorem wszystkich relacji równoważności na N i niech ponadto i funkcja f : R PN będzie dana wzorem fϱ = 0 ϱ ; ii funkcja f : R PN N będzie dana wzorem fϱn = n ϱ. Wyznacz fϱ oraz fϱ. ϱ R ϱ R 7.4 a Niech R, S X 2 będą relacjami równoważności. Pokaż, że R S jest relacją równoważności. b Niech R τ X 2 będzi relacją równoważności dla każdego τ T. Pokaż, że R τ jest relacją równoważności. Opisz klasy abstrakcji przekroju. 7.5 Niech R, S X 2 będą relacjami równoważności. a Pokaż, że R S jest relacją równoważności wdy R S = R S. b Pokaż, że R S jest relacją równoważności wdy R S = S R. τ T Dla dowolnych zbiorów X, Y i dowolnych relacji R X 2, S Y 2 produktem prostym relacji R i S nazywamy relację R S X Y 2 zdefiniowaną wzorem x 1, y 1 R S x 2, y 2 x 1 Rx 2 y 1 Sy 2. 7.6 Pokaż, że produkt prosty relacji równoważności jest relacją równoważności. Opisz zbiór ilorazowy X Y/ R S. 7.7 Niech partycja B będzie rozdrobnieniem partycji A, tzn. taką, że B B A A B A. Jaki jest związek między relacjami równoważności ϱ A i ϱ B odpowiadającym tym partycjom por. Zasada Abstrakcji? Odpowiedź uzasadnij. 7.8 Niech R, S X 2 będą relacjami równoważności. Pokaż, że zbiór ilorazowy X/ R S jest rozdrobnieniem zarówno partycji X/ R, jak i X/ S. 7

8 Relacje porządkowe 8.1 Sprawdź, czy poniższe relacje w zbiorze A są relacją porządku. Jeśli tak, to narysuj czytelny diagram Hassego zbioru A, i wskaż elementy minimalne maksymalne, najmniejsze, największe. i ii iii A = 2, 3, 4, 6 2 oraz x, y a, b x a b y, A = 1, 2 3 oraz x, y, z a, b, c x a y b z c, A = 2, 3 3 oraz x, y, z a, b, c x a ab xy xyz abc. 8.2 Na zbiorze N N określona jest relacja n 1, m 1 n 2, m 2 wzorem a maxn 1, m 1 <maxn 2, m 2 lub maxn 1, m 1 =maxn 2, m 2 n 1, m 1 < leks n 2, m 2, b minn 1, m 1 < minn 2, m 2 lub minn 1, m 1 = minn 2, m 2 n 1, m 1 < leks n 2, m 2, c n 1 m 1 = n 2 m 2 n 1, m 1 < leks n 2, m 2 lub n 1 m 1 < n 2 m 2, Wyznacz jeśli istnieją kres górny i kres dolny zbioru n, m : 2 n m 4. Wskaż elementy minimalne i maksymalne. 8.3 Wyznacz w zbiorze a trójelementowym, b czteroelementowym, wszystkie z dokładnością do izomorfizmu porządki częściowe. Ile jest wśród nich porządków liniowych, a ile dobrych? c Ile jest nieizomorficznych porządków częsciowych w zbiorze n-elementowym? Niech X będzie dowolnym zbiorem, a relacją porządkującą na X. Podzbiór A X 2 nazywamy antyłańcuchem, jeśli żadne dwa jego elementy nie są w relacji, tj. x,y A x y x y y x. Jeśli dodatkowo dla elementu x X istnieje element najmniejszy w zbiorze y X : y x x y, to nazywamy go następnikiem elementu x. Analogicznie, jeśli w zbiorze y X : y x y x istnieje element największy, to nazywamy go poprzednikiem elementu x. 8.4 Na zbiorze N N określona jest relacja f g, jeśli a n N fn gn, b n N 1 n fn 1 n gn, Wskaż w porządku N N, : c m N n m fn gn, d n N fn gn, e m N n m fn gn, i nieskończony łańcuch, ii łańcuch mocy continuum jeśli istnieje, iii nieskończony antyłańcuch, iv antyłańcuch mocy continuum jeśli istnieje, 8.5 Pokaż, że w dowolnym porządku X, prawdziwe są następujące stwiedzenia: I Zbiór wszystkich elementów maksymalnych jest antyłańcuchem. II Istnieje antyłańcuch maksymalny ze względu na inkluzję. III Każdy antyłańcuch jest podzbiorem pewnego łańcucha maksymalnego. W którym z podpunktów należy skorzystać z lematu Kuratowskiego Zorna? 8.6 Wskaż taki liniowy porządek w zbiorze N, aby każda liczba naturalna posiadała zarówno poprzednik, jak i następnik. Czy taki porządek może być dobry? Czy może być gęsty? 8.7 Wskaż taki liniowy porządek w zbiorze N, aby każda liczba naturalna nie posiadała ani poprzednika, ani następnika. Czy taki porządek musi być gęsty? 8.8 Czy porządek dobry może być gęsty? i vice-versa, czy porządek gęsty może być dobry? 8

THE END 9