0 Zadania wstępne 0.1 Klasa F = { X Ω : #X < #Ω\X < } zbiorów przeliczalnych lub mających przeliczalne dopełnienia jest σ-ciałem. Dodatkowo, jeśli Ω jest zbiorem nieprzeliczalnym, to F jest istotnie mniejsze od Ω. 0. Niech { } F τ będzie rodziną σ-ciał, a T dowolnym zbiorem indeksów. Wtedy F = F τ jest σ-ciałem. τ T 0.3 Każde nieskończone σ-ciało jest nieprzeliczalne (co więcej, jest mocy co najmniej continuum). 0.4 Niech Ω będzie zbiorem nieprzeliczalnym. Opisz wszystkie σ-ciała podzbiorów zbioru Ω generowane przez: (a) wszystkie podzbiory jednopunktowe; (b) wszystkie podzbiory przeliczalne; (c) wszystkie podzbiory nieprzeliczalne; (d) wszystkie podzbiory nieskończone; (e) wszystkie zbiory o prawdopodobieństwie 0; (f) wszystkie zbiory o prawdopodobieństwie 1. 0.5 (wzór włączeń i wyłączeń) Wykaż, że dla dowolnych zdarzeń A, B, C zachodzi równość P (A B C) = P (A) + P (B) + P (C) P (A B) P (A C) P (B C) + P (A B C). Sformułuj analogiczny wzór dla n zdarzeń. 0.6 Niech napis A oznacza zachodzi zdarzenie A. Za pomocą oznaczeń teorii mnogości zapisz zdania: Spośród zdarzeń A, B, C: (a) zachodzi tylko A, (b) zachodzą tylko A i B, (c) zachodzi co najmniej jedno z nich, (d) zachodzą wszystkie trzy, (e) zachodzi dokładnie jedno z nich, (f) zachodzą co najwyżej dwa z nich, (g) zachodzą dokładnie dwa z nich, (h) żadne nie zachodzi. 0.7 Zapisz wymyślone przez Ciebie 00 wyników, jakie można uzyskać rzucając monetą. Następnie wykonaj 00 rzutów i porównaj otrzymane wyniki. 0.8 Opisz σ-ciało zdarzeń elementarnych z zadania 7. 0.9 (a) Rzucamy monetą aż do uzyskania orła. (b) Rzucamy monetą aż do uzyskania drugiego orła. (c) Rzucamy monetą aż do uzyskania dwóch orłów pod rząd. Opisz σ-ciała zdarzeń elementarnych w powyższych doświadczeniach losowych. 0.10 Wybieramy losowo rzeczywisty trójmian kwadratowy. Opisz σ-ciało zdarzeń elementarnych. Zakładając rozsądną miarę probabilistyczną, odpowiedz na pytanie, jakie jest prawdopodobieństwo uzyskania trójmianu o pierwiastkach różnych znaków. 0.11 Patyk o długości jednostkowej łamiemy losowo w dwu punktach, wybranych niezależnie. Opisz σ-ciało zdarzeń elementarnych. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że z powstałych trzech odcinków da się zbudować trójkąt? 0.1 (paradoks Bertranda: co to znaczy losowo?) Wybieramy losowo jedną z cięciw okręgu o promieniu 1. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że jej długość będzie większa niż 3? Podaj co najmniej dwa poprawne rozwiązania, dające różne (!) odpowiedzi. 0.13 Z przystanku przy uczelni w kierunku domu Jacka kursują dwie linie autobusowe, 139 i 159, każda z nich co 15 minut. Po zakończeniu zajęć na uczelni Jacek przychodzi na przystanek (zakładamy, że chwila ta jest losowa, bo np. pogada chwilkę z kolegami) i wsiada do pierwszego pasującego autobusu. Jacek ze zdziwieniem zauważył, że w czasie 100 dni zajęć w semestrze, około 90 razy wracał 139-ką i tylko około 10 razy 159-ką. Czy ta obserwacja przeczy założeniu, że Jacek przychodzi w momencie losowym? A może przeczy całemu rachunkowi prawdopodobieństwa? 0.14 Zbadaj, czy w Twojej grupie ćwiczeniowej są osoby obchodzące urodziny tego samego dnia. Nie wykonując żadnych rachunków podaj, ile według Ciebie osób powinna liczyć losowo dobrana grupa, aby prawdopodobieństwo tego, że znajdą się w niej dwie osoby o jednakowym dniu urodzin, było większe niż 1. Fakt: Jak podaje Ian Stewart w swojej książce Co za traf!, średnia z uzyskanych odpowiedzi na to pytanie zadane studentom amerykańskim wyniosła 385. Korzystając z zasady szufladkowej Dirichleta wykaż, że 385 to czysty absurd. Ile co najmniej osób powinna liczyć grupa, aby to prawdopodobieństwo było równe 1? τ T 1
1 σ-algebry, przestrzenie mierzalne Def: Zbiorem nieistotnym nazywać będziemy podzbiór A R o tej własności, że dla każdego ε > 0 istnieje rodzina przedziałów {I k } (niekoniecznie skończona i niekoniecznie rozłączna) taka, że A I k k oraz k I k < ε. 1.1 Pokazać następujące fakty: (a) Zbiory dyskretne są zbiorami nieistotnymi. (b) Podzbiór liczb wymiernych zawartych w odcinku [0, 1] jest nieistotny. (c) Zbiór liczb wymiernych jest nieistotny. (d) Każdy zbiór przeliczalny jest nieistotny. Podać przykład nieprzeliczalnego zbioru nieistotnego. 1. Niech { } F τ będzie rodziną σ-ciał, a T dowolnym zbiorem indeksów. Wtedy F = F τ jest σ-ciałem. τ T 1.3 Każde nieskończone σ-ciało jest nieprzeliczalne (co więcej, jest mocy co najmniej continuum). 1.4 Niech Ω będzie zbiorem nieprzeliczalnym. Opisz wszystkie σ-ciała podzbiorów zbioru Ω generowane przez: (a) wszystkie podzbiory jednopunktowe; (b) wszystkie podzbiory przeliczalne; (c) wszystkie podzbiory nieprzeliczalne; (d) wszystkie podzbiory nieskończone; (e) wszystkie zbiory o prawdopodobieństwie 0; (f) wszystkie zbiory o prawdopodobieństwie 1. 1.5 Opisz σ-algebrę generowaną przez: (a) wszystkie podzbiory jednopunktowe zbioru liczb naturalnych N; (b) wszystkie półproste dodatnie (n, + ) dla n Z, wśród rodziny podzbiorów prostej R, (c) wszystkie zbiory jednopunktowe prostej rzeczywistej R. 1.6 Opisać σ-algebrę σ(r) generowaną przez rodziny R R : (a) R a = {(n, n + 1) : n Z}; (b) R b = {[n, n + 1] : n Z}; (c) R c = {(n, n + 1] : n Z}; (d) R d = {[ n, n] : n Z}; (e) R f = {A : A Z}; (f) R g = {A : A Q}; Pokazać dodatkowo, że R a, R c R b. Czy R b σ(r a, R c )? τ T Def: Dany jest ciąg {A n } podzbiorów przestrzeni X. Granicę górną A i granicę dolną A tego ciągu można zdefiniować np. korzystając z funkcji charakterystycznej zbioru 1l (tzn. 1l B (x) = 1 x B): 1l A (x) = lim sup 1l An (x) oraz 1l A (x) = lim inf 1l A n (x) 1.7 Korzystając z powyższej definicji wyprowadź bezpośredni wzór na granicę górną A = lim sup n A n i granicę dolną A = lim inf n A n (tzn. nie korzystający z funkcji charakterystycznej). 1.8 Niech {A n } będzie ciągiem podzbiorów pewnej przestrzeni X. Pokazać, że lim inf A n lim sup A n. Podać przykład takiego ciągu {A n }, że lim inf A n lim sup A n. 1.9 Niech A będzie σ-algebrą zbiorów, a {A n } ciągiem pewnych jej elementów. Pokazać, że granica górna lim sup A n i granica dolna lim inf A n należą do σ-algebry A. Uwaga: przy pomocy pojęcia granicy dolnej i granicy górnej ciągu zbiorów {A n } możemy wprowadzić pojęcie granicy ciągu zbiorów. Mianowicie, jeśli lim inf A n = lim sup A n, to mówimy, że ciąg {A n } jest zbieżny.
Funkcje σ-addytywne, funkcje mierzalne.1 Sprawdzić, które z poniższych funkcji są σ-addytywne (a) X jest nieskończony, A jest generowana przez podzbiory skończone. Dla A A kładziemy 0, gdy A jest skończony λ(a) = 1, gdy X \ A jest skończony (b) X i A dowolne. Ustalamy x X. Kładziemy λ(a) = 1l A (x) 1 (c) X = N, A dowolna. Kładziemy λ(a) = lim sup n n #(A {1,..., n}). Niech λ będzie funkcją addytywną określoną na algebrze A. Pokazać, że λ( ) = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje zbiór A A, dla którego λ(a) jest skończone..3 Pokazać, że jeżeli λ na A jest addytywna i dla każdego ciągu zstępującego {B n }, B n A (tzn. takiego że... B n B n+1...), dla którego B n =, zachodzi lim λ(b n) = 0, to λ jest σ-addytywna. n N.4 Niech {A n } będzie ciągiem wstępującym algebr na pewnym zbiorze X (A n A n+1 ) i niech dla każdego n dana będzie σ-addytywna funkcja λ n : A n R, przy czym funkcje te spełniają następujący warunek zgodności: λ n (A) = λ n+1 (A), dla każdego A A n. Pokazać, że ciąg ten wyznacza jednoznacznie addytywną funkcję λ na algebrze A = n A n spełniającą warunek λ (A) = λ n (A) dla każdego A A n. Pokazać dodatkowo, że λ nie musi być σ-addytywna. Def: Niech S będzie pewną σ-algebrą na przestrzeni X. Funkcję rzeczywistą f : X R nazywamy mierzalną (względem S), jeśli s,t R f 1( (s, t) ) S Uwaga: Funkcję f : R R, mierzalną względem σ-algebry zbiorów borelowskich, nazywamy borelowską..5 Pokazać, że warunek w powyższej definicji można zastąpić jednym z poniższych warunków: (a) p,q Q f 1( (p, q) ) S, (b) s R f 1( (, s) ) S, (c) t R f 1( (, t] ) S Def: σ-algebrą σ(f) generowaną przez funkcję f nazywamy najmniejszą σ-algebrę, względem której f jest mierzalna..6 Opisać σ-algebrę generowaną przez funkcję: (a) a(x) = [x], (b) b(x) = [x], (c) c(x) = {x}, (d) d(x) = [ x ], (e) e(x) = sgn(x), (f) f(x, y) = x, (g) g(x, y) = x + y, (h) h(x, y) = {x}[y]..7 Sprawdź, czy dla poniższych funkcji zachodzą inkluzje σ(f) σ(g) i σ(g) σ(f): (a) f(x) = n1l [n,n+) (x), g(x) = 1l [n,+ ) (x), (b) f(x) = n=0 n=0 [ ] 1 sin(πx), g(x) = sgn ( sin(πx) ). Zad. dod. Pokazać, że każdy podzbiór otwarty prostej rzeczywistej R jest sumą co najwyżej przeliczalnej liczby przedziałów otwartych (i rozłącznych). 3
3 Miara i całka Lebesgue a 3.1 (Transport miary) Niech będą dane dwie przestrzenie X i Y, σ-algebra S Y, oraz funkcja φ : X Y. Pokazać, że rodzina R = { φ 1 (B) : B S } jest σ-algebrą. Niech ponadto na σ-algebrze S będzie dana miara µ. Pokazać, że wzór ν = µ φ, tzn. ν(a) = µ ( φ(a) ) definiuje miarę na σ-algebrze R. 3. Pokaż, że miara licząca na Z (tzn. µ(a) = #A) jest niezmiennicza na przesunięcia (tzn. µ(n+a) = µ(a)). Czy jest to jedyna taka miara na Z? W poniższych zadaniach m oznacza miarę Lebesgue a na prostej rzeczywistej R. 3.3 Niech C oznacza zbiór Cantora. Pokazać, że C jest równoliczny z R, ale m(c) = 0. 3.4 Skonstruować całkowicie niespójny (tj. niezawierający podzbiorów spójnych złożonych z więcej niż jednego elementu) zbiór zwarty K R taki, że m(k) > 0. 3.5 Skonstruować zbiór borelowski E R taki, że dla każdego niepustego przedziału I R zachodzi 0 < m(e I) < m(i). 3.6 Niech będzie dany ciąg funkcji f n : R R mierzalnych w sensie Lebesgue a. Czy: (a) funkcja lim sup f n jest mierzalna? (b) zbiór punktów zbieżności ciągu {f n } jest mierzalny? 3.7 Niech będzie dana funkcja f : R R mierzalna w sensie Lebesgue a. Czy: (a) funkcja ˆf(x) = lim sup f(t) jest mierzalna? Czy założenie mierzalności f jest istotne? t x (b) zbiór punktów ciągłości funkcji f jest mierzalny? 3.8 Niech będzie dany malejący ciąg funkcji nieujemnych f n : X R mierzalnych względem miary µ (tj. f 1 f... 0), zbieżnych punktowo do funkcji f. Udowodnić, że jeżeli f 1 L 1 (µ), to lim f n dµ = X f dµ. Pokazać dodatkowo, że założenie o całkowalności f 1 jest istotne. X 3.9 Niech będzie dany ciąg ograniczonych funkcji f n : X R mierzalnych względem miary µ, zbieżnych jednostajnie na X do funkcji f. Udowodnić, że jeżeli µ(x ) <, to lim f n dµ = f dµ. Pokazać X X dodatkowo, że założenie o ograniczoności miary µ jest istotne. 3.10 Skonstruować ciąg funkcji f n ciągłych na [0, 1] spełniających 0 f n 1 i lim jest zbieżny dla żadnego x [0, 1]. 3.11 Niech f L 1 (µ). Udowodnić, że ε>0 δ>0 E B µ(e) < δ f dµ < ε. E 0 1 f n (x) dx = 0, który nie 3.1 Mówimy, że zbiór E ma miarę σ-skończoną, jeśli E = E i i i µ(e i ) < 0. Miara µ nazywa się σ- skończoną, jeśli cała przestrzeń ma miarę σ-skończoną. Udowodnij, że jeżeli µ jest dowolną miarą dodatnią na X, to (a) jeśli f L 1 (µ), to {x : f(x) 0} ma miarę σ-skończoną; (b) jeśli istnieje f > 0 taka, że f L 1 (µ), to µ jest σ-skończona. i N 4
4 Model urnowy; drzewo zdarzeń 4.1 (szalona sekretarka) Sekretarka ma n różnych listów i n kopert zaadresowanych do n różnych osób. Wkłada je losowo do kopert i wysyła. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że co najmniej jeden list trafi do właściwej osoby. 4. (rozkład geometryczny) Rzucamy symetryczną kostką. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że pierwsza szóstka pojawi się w n-tym rzucie. Uogólnij zadanie na przypadek, gdy szóstka pojawia się z prawdopodobieństwem p. 4.3 (zadanie o loterii czyli rozkład hipergeometryczny) Spośród N losów na loterii M wygrywa. Kupiliśmy k losów. Jakie jest prawdopodobieństwo, że dokładnie r naszych losów wygra? 4.4 Patyk o długości jednostkowej łamiemy losowo w dwu punktach, wybranych niezależnie. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że z powstałych trzech odcinków da się zbudować trójkąt? 4.5 Odcinek [0, 1] łamiemy losowo na dwie części, następnie większą część znów łamiemy na dwie części. Punkty złamania mają rozkład jednostajny. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że z tak otrzymanych trzech odcinków da się zbudować trójkąt. 4.6 zadane Buffona) Na płaszczyźnie narysowane są równoległe proste, przy czym odległość dwóch sąsiednich jest równa L (Cała płaszczyzna jest poliniowana w ten sposób). Na tę płaszczyznę rzucamy losowo igłę długości l, przy czym l <L. (a) Oblicz prawdopodobieństwo tego, że igła przetnie którąkolwiek z prostych. (b) Przeprowadź eksperyment i oszacuj na jego podstawie liczbę π. 4.7 (zadanie Banacha o zapałkach) Pewien matematyk nosi w kieszeniach dwa pudełka zapałek jedno w prawej kieszeni, drugie w lewej. Gdy potrzebuje zapałki, wybiera losowo jedną kieszeń, tak że kolejne próby stanowią ciąg prób Bernoulliego z prawdopodobieństwem sukcesu p = 1. Załóżmy, że początkowo każde pudełko zawiera n zapałek i rozpatrzmy chwilę, gdy po raz pierwszy matematyk wyciągnie puste pudełko. W tym momencie drugie pudełko może zawierać k = 0, 1,,..., n zapałek. Oznaczmy odpowiednie prawdopodobieństwo przez p k. Oblicz p k. 4.8 W urnie są trzy rodzaje losów. Wygrywających jest n, przegrywających m, jest też k losów graj dalej. (a) Jakie jest prawdopodobieństwo wygranej? (b) Jak zmieni się prawdopodobieństwo wygranej, jeśli po wyciągnięciu losu graj dalej wrzucamy go do urny przed ponownym losowaniem? 4.9 (zagadnienie ruiny gracza) Ania i Bartek grają w orła i reszkę symetryczną monetą. Jeśli wypadnie orzeł, to Ania płaci Bartkowi 1 zł, a gdy reszka to Bartek płaci Ani. Na początku gry Ania ma 6 zł, a Bartek 4 zł. Gra kończy się, gdy którekolwiek z nich zostanie bez pieniędzy. (a) Jakie jest prawdopodobieństwo, że gra nigdy się nie skończy? (b) Jakie jest prawdopodobieństwo, że wygra Ania? (c) Jak brzmią odpowiedzi na (a) i (b), gdy orzeł wypada z prawdopodobieństwem p (0, 1)? 4.10 Ania i Bartek znudzeni grą z poprzedniego zadania postanowili zagrać w inną: jedno z nich (uczciwie!) rzuca monetą dotąd, aż wypadnie jedna z kombinacji OOR albo ORR. Ania wygrywa, gdy jako pierwsze wypadnie OOR, Bartek natomiast, gdy jako pierwsze wypadnie ORR. Jakie są szanse wygranej Ani, a jakie Bartka? (Wskazówka dla ułatwienia (utrudnienia?): prawidłową odpowiedzią NIE JEST 1.) 5
5 Prawdopodobieństwo warunkowe (def. klasyczna); wzór Bayesa 5.1 Niech P (A 1... A n ) > 0. Wykaż, że zachodzi równość: P (A 1... A n ) = P (A 1 ) P (A A 1 ) P (A 3 A 1 A ) P (A n A 1... A n 1 ). 5. Niech A, B, C będą takimi zdarzeniami, że C A B oraz B A. Pokazać, że wtedy P (C A) > P (C A B). Powyższa własność prawdopodobieństw warunkowych nie jest zupełnie oczywista. Na przykład przy grze w brydża, prawdopodobieństwo, że gracz N ma cztery asy, jeśli wiemy, że ma asa pik jest większe od prawdopodobieństwa, że N ma cztery asy, gdy wiemy, że ma co najmniej jednego asa. 5.3 Pewien człowiek ma n kluczy, z których tylko jeden pasuje do zamka. Z przyczyn, których możemy się tylko domyślać, nie pamięta, który to klucz, więc wyciąga kolejno klucze i próbuje nimi otworzyć drzwi. Niepasujący klucz odkłada i bierze następny. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że trafi na właściwy klucz za k-tym razem. 5.4 W sakiewce jest 100 monet, z których 99 normalnych, a jedna ma po obu stronach orły. Wybraliśmy losowo jedną monetę i rzuciliśmy nią 5 razy otrzymując 5 orłów. (a) Jakie jest prawdopodobieństwo, że jest to moneta z orłami po obu stronach? (b) Jakie jest prawdopodobieństwo, że gdy dodatkowo rzucimy 15 razy tą monetą, to otrzymamy 15 orłów? 5.5 Pewien gen obecny jest u jednej osoby na 1000. Opracowano test do badania jego obecności. Test jednak czasami myli się wykrywa rzeczywistą obecność genu w 98 przypadkach na 100, a w przypadku braku genu stwierdza jego obecność w 3 przypadkach na 100. Wylosowano jedną osobę i test stwierdził u niej obecność tego genu. Oblicz prawdopodobieństwo, że tak jest naprawdę, tzn. wylosowana osoba ma ten gen. Jakiej rady można w tym przypadku udzielić wynalazcy tego testu? 5.6 (schemat urnowy Pólya) W urnie jest b kul białych i c czarnych. Po wyciągnięciu kuli z urny wrzucamy ją z powrotem i dokładamy jeszcze d kul tego samego koloru. Jakie jest prawdopodobieństwo wyciągnięcia: (a) kuli białej za drugim razem? (b) kuli czarnej za trzecim razem? (c) k kul czarnych w n losowaniach? 5.7 (problem Serbelloni 1 ) Spośród trzech więźniów A, B, C jeden ma być skazany, a dwaj zwolnieni. Więzień A, znający strażnika, korzystając z okazji spytał go: Spośród B i C jeden będzie zwolniony. Jeśli wiesz, kto będzie zwolniony, podaj mi jedno nazwisko. Strażnik namyślał się chwilę i nie widząc przeciwwskazań powiedział, że C będzie zwolniony. Czy można twierdzić, że prawdopodobieństwo zwolnienia A zmalało z 3 do 1? 5.8 (problem Monty Halla) Teleturniej 3 polega na wyborze jednej z trzech bram, przy czym nagroda jest tylko za jedną z nich. Prowadzący oczywiście wie, za którą bramą jest nagroda. Kiedy uczestnik teleturnieju wybrał już jedną bramę (nie otwierając jej!), prowadzący otwiera jedną z dwóch pozostałych tę, za którą nic nie ma. Po otwarciu tej bramy prowadzący pyta, czy gracz chce zmienić swój wybór i wybrać trzecią z bram. Co powinien teraz zrobić gracz: pozostać przy początkowym wyborze, czy zmienić go na trzecią bramę? 5.9 Zapewne każdy zaobserwował następującą sytuację: Przychodzę do sklepu (dziekanatu, urzędu itp) i ustawiam się w długiej kolejce. Załatwiam sprawę i wtedy zauważam, że gdybym przyszedł teraz to albo w ogóle bym nie czekał, albo czekałbym krótko, bo kolejka bardzo zmalała. Ponieważ powtarza się to dość często, zastanawiam się czy jestem aż takim pechowcem? A może właśnie tak zbudowany jest świat? 1 kłótnia o jego rozwiązanie omal nie doprowadziła do zerwania pewnej konferencji z zastosowań matematyki w willi Serbelloni we Włoszech w 1966 roku W pierwotnej wersji zadania jeden z więźniów miał być po prostu ścięty. 3 prowadzony przez Monty Halla, stąd nazwa zadania 6
6 Zmienne losowe 6.1 Dana jest funkcja prawdopodobieństwa dyskretnej zmiennej losowej X: Wyznacz: i 1 3 4 5 6 x i 5 0 1 3 8 p i 0, 1 0, 0, 1 0, C 0, 1 (a) stałą C, (b) wykres funkcji prawdopodobieństwa, (c) dystrybuantę zmiennej X, (d) prawdopodobieństwa: P (X =1), P (X =), P (X <3), P (X ), P (X >0), P ( X <3). 6. Dana jest dystrybuanta dyskretnej zmiennej losowej X: Znajdź x (, ) [, 0) [0, 1) [1, 3) [3, + ) F (x) 0 0, 0, 5 0, 8 1 (a) rozkład prawdopodobieństwa zmiennej X, (b) prawdopodobieństwa: P (X =1), P (X 3), P (X <), P (X >0), P ( <X <3). ( 6.3 Czas bezawaryjnej pracy licznika opisuje zmienna losowa T o funkcji gęstości f(t) = 1 τ exp t τ t>0 godz. (a) Przyjmując τ = oblicz prawdopodobieństwo, że licznik zepsuje się pomiędzy t 1 =5 a t =10. (b) Wyznacz dystrybuantę zmiennej losowej T. (c) Oblicz prawdopodobieństwo, że bezawaryjny czas pracy wyniesie co najmniej dwie godziny. (d) Oblicz medianę 4 oraz górny i dolny kwartyl 5. 6.4 Dwuwymiarowa zmienna losowa (X, Y ) ma rozkład o gęstości: 1 (x + y)e (x+y), dla x, y 0 f(x, y) = 0, dla pozostałych (x, y) Wyznacz (a) dystrybuantę tej zmiennej, (b) P (X <1 Y >1), (c) P (0<X Y <1), (d) dystrybuantę i rozkład brzegowy zmiennych losowych X i Y, (e) dystrybuantę i rozkład zmiennej losowej X +Y. 6.5 Dwuwymiarowa zmienna losowa (X, Y ) ma rozkład o gęstości: cx, dla 0 x y x 1, f(x, y) = 0, w pozostałych przypadkach. Wyznacz (a) wartość parametru c, (b) dystrybuantę tej zmiennej, (c) P (X < 1 Y > 1 ), (d) P (0<X Y <1), (e) dystrybuantę i rozkład brzegowy zmiennych losowych X i Y, (f) dystrybuantę i rozkład zmiennej losowej U = X Y. ), dla 6.6 Niech F X będzie dystrybuantą zmiennej losowej X, a f X jej gęstością (o ile istnieje). Wyznacz dystrybuanty i gęstości następujących zmiennych losowych: (a) ax + b, a 0, (b) X, (c) X, (d) ln X, przy założeniu P (X 0) = 0 (e) X, przy założeniu P (X <0) = 0, (f) sin X. 4 Mediana to taka wartość m R, że P (T m) = 1 5 Kwartyle dolny i górny to odpowiednio takie liczby rzeczywiste q 5%, q 75% R, że P (T q 5% ) = 1 4 oraz P (T q 75%) = 3 4. 7
7 Funkcje zmiennych losowych 7.1 Niech F X będzie dystrybuantą zmiennej losowej X. Wyznacz dystrybuantę zmiennej losowej Y = F X (X) (przy założeniu, że istnieje funkcja odwrotna do F X ). 7. Niezależne zmienne losowe X i Y mają rozkłady dyskretne, przy czym rozkład zmiennej X skupiony jest w n punktach, a zmiennej Y w k punktach. (a) Wykaż, że rozkład zmiennej X + Y też jest dyskretny. (b) Rozkład zmiennej X +Y skupiony jest w N punktach, przy czym n+k 1 < N < nk. (c) Wskaż dwa przykłady: jeden, w którym N = n+k 1 i drugi, w którym N = nk. 7.3 Dana jest zmienna losowa X o rozkładzie niejednopunktowym. Znajdź zmienną Y, monotoniczną na R (np. nierosnącą, tj. spełniającą), o takim samym rozkładzie jak X, tj. X d = Y (podaj przepis na konstrukcję Y ). 7.4 Wykaż, że jeżeli zmienne X oraz Y są niezależne i mają jednakowy rozkład, to dla t > 0 zachodzą nierówności a) P ( X Y > t) < P ( X > t/), b) jeżeli a > 0 jest tak wybrane, aby P (X < a) > p, P (X > a) > p, to P ( X Y > t) > p P ( X > t + a), c) jeśli więc a = 0 jest medianą rozkładu X, to P ( X Y > t) > 1 P ( X > t). Wskazówka: Feller tom II, rozdział V, par.5. 7.5 Niech X będzie zmienną losową, a µ X jej rozkładem. Określmy funkcję tworzącą momenty 6 zmiennej X wzorem + M X (t) = E(e t X) = e tx dµ X x. Funkcja jest określona dla tych t, dla których całka po prawej stronie jest skończona. Oblicz funkcje tworzące momenty zmiennych (a) o rozkładzie normalnym N(0, 1), (b) o rozkładzie wykładniczym E(λ) z parametrem λ, (c) o rozkładzie Poissona P(λ) z parametrem λ. 7.6 Znajdź rozkład zmiennej losowej X, której momenty są określone wzorem: (a) m n (X) = n n+1 dla n = 1,,... (b) m k (X) = 1 4 + k 1 dla k = 1,,... 7.7 Niech funkcja tworząca momenty zmiennej X będzie określona dla t ( t 0, t 0 ), gdzie t 0 > 0. Wykaż, że wówczas (a) zmienna X ma wszystkie momenty skończone, tzn. E ( X n) < + dla n = 1,, 3,... (b) M X (t) = + k=0 t k m k(x) k! (c) k-ta pochodna M (k) X (0) = m k(x). 7.8 Znając funkcję tworzącą momenty rozkładu normalnego N(0, 1) (z zad. 5), wykorzystaj zad. 7c do obliczenia momentów zmiennej o rozkładzie N(0, 1). 7.9 Wykaż, że jeśli funkcje tworzące momenty zmiennych X i Y są równe na przedziale ( t 0, t 0 ) dla pewnego t 0 > 0, to zmienne te mają jednakowy rozkład. 7.10 (przykład dwóch różnych rozkładów o jednakowych momentach) Niech f(x) = 1 π 1 (ln x) x e 1l (0,+ ) (x) i określmy g(x) = f(x) ( 1 + sin(π ln x) ). Wykaż, że obie funkcje są gęstościami (różnymi), ale mają jednakowe momenty rzędu k = 1,, 3,... 6 k-tym momentem zmiennej X nazywamy liczbę m k,x = E(X k ) = R x k dµ X (x). 8
8 Zadania różne 8.1 Zmienna losowa X ma rozkłąd wykładniczy E(λ). Wyznacz rozkład zmiennej losowej Y = X p dla każdego p > 0. Co można powiedzieć o przypadku p < 0 (p = 0)? 8. Urządzenie skłąda się z dwóch elementów pracujących niezależnie od siebie. Każdy z nich ulega awarii po czasie T (w godzinach), który jest zmienną losową o rozkładzie wykładniczym o gęstości f(x) = 0, 1 e 0,1 x dla x > 0 (poza tym f(x) = 0). Oblicz prawdopodobieństwo tego, że urządzenie będzie działało bez awarii przez co najmniej 0 godzin 8.3 Egzamin składa się z dziesięciu pytań, na które wybiera się jedną z pięciu odpowiedzi. (a) Jakie jest prawdopodobieństwo udzielenia poprawnej odpowiedzi na co najmniej połowę pytań, jeśli wybiera się odpowiedzi na chybił trafił? (b) Jaka jest wartość oczekiwana liczby punktów uzyskanych przy odpowiedzi metodą chybił trafił, jeśli za udzielenie poprawnej odpowiedzi otrzymuje się 3 punkty, a za złą odejmuje się punkty? (c) Jaka jest odpowiedź w punkcie (b), jeśli udziela się odpowiedzi jedynie na k = 0, 1,... pytań? Zadania z egzaminu aktuarialnego z działu: Prawdopodobieństwo i Statystyka (nr w nawiasie oznacza zad./egz.) 8.4 (/LXVI) Niech X będzie zmienną losową o rozkładzie wykładniczym o gęstości f(x) = e x dla x > 0 i niech Z oznacza część całkowitą zmiennej X (Z = [X]), a U część ułamkową (U = {X}). Wtedy wartość oczekiwana E ( ZU ) jest równa: (A) 1 (e 1), (B) e e(e 1), (C) e (e 1), (D) e e 1, (E) e(e ) (e 1). 8.5 (4/LXVI) W urnie znajduje się r = 5 kul, z których m = 15 jest białych i r m = 10 czarnych. Losujemy bez zwracania najpierw n 1 = 6 kul, a następnie spośród kul pozostałych w urnie, losujemy bez zwracania n = 9 kul. Niech S 1 oznacza liczbę białych kul wybranych w pierwszym losowaniu, S oznacza liczbę białych kul wybranych w obu losowaniach. Oblicz Cov(S 1, S). (A) 1,14, (B) 0,54, (C) 0,60, (D) 0,90, (E) 0,36. 8.6 (6/LXVI) Załóżmy, że X 1, X,..., X n,... są niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie jednostajnym na przedziale [0, 1], zaś N jest zmienną losową o rozkładzie ujemnym dwumianowym danym wzorem P ( N = n ) ( ) n+ = p 3 (1 p) n dla n = 0, 1,,..., niezależną od zmiennych X 1, X,..., X n,... n { min(x1, X Niech M n =,..., X N ), gdy N > 0 0, gdy N = 0 Wtedy E(M N) jest równa: (A) p p3, (B) p + p, (C) 1 + p p, (D) p + p p 3, (E) p + p p 3. 8.7 (4/LXV) Zmienna losowa (X, Y ) ma rozkład prawdopodobieństwa o funkcji gęstości f(x, y) = e x, gdy 0 < y < x < +, oraz f(x, y) = 0 w przeciwnym przypadku. Niech U = Y X i V = Y + X. Wtedy E ( V U = ) jest równa (A) 5, (B) 1, (C) 3, (D) 4, (E). 8.8 (5/LXV) Niech Z 1, Z,..., Z n będą niezależnymi zmiennymi losowymi z rozkładu o gęstości danej wzorem f(x) = (1 + x) 3, gdy x > 0. Wtedy E( Z 1 +Z + +Z n min(z 1, Z,..., Z n ) = t ), gdzie t jest ustaloną liczbą dodatnią, jest równa (A) n + t 1, (B) (n 1)t + n 1, (C) nt + n 1, (D) (n 1)t + n 1, (E) (n + 1)t + n 1. 9
8.9 (7/LXV) Rzucono niezależnie 16 razy symetryczną monetą. Obliczyć prawdopodobieństwo, że uzyskano mniej niż 6 serii, jeśli wiadomo, że uzyskano 10 orłów i 6 reszek. 48 (A) 1001, (B) 47 1001, (C) 44 1001, (D) 46 1001, (E) 45 1001. UWAGA: Serią nazywamy ciąg elementów jednego typu, przed i za którym występuje element drugiego typu, na przykład w ciągu aaabbbaabbbba jest 5 serii (3 serie elementów a i serie elementów b). 8.10 (4/LXIV) Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie wykładniczym o wartości oczekiwanej 1. Niech U = ln X Y. Wtedy: (a) zmienne U i Y są niezależne (b) funkcja gęstości rozkładu brzegowego zmiennej U wyraża się wzorem g(u) = (c) P ( U > 0 ) = 1 3 (d) E ( Y U =1 ) = e e + 1 (e) funkcja gęstości rozkładu brzegowego zmiennej U wyraża się wzorem g(u) = e u (1 + e u dla u R ) e u (1 + e u dla u>0 ) 8.11 (10/LXIV) Rzucamy trzema sześciennymi kostkami do gry. Następnie rzucamy ponownie tymi, na których nie wypadły jedynki. W trzeciej rundzie rzucamy tymi kostkami, na których do tej pory nie wypadły jedynki. Oblicz prawdopodobieństwo, że po co najwyżej trzech rundach na wszystkich kostkach będą jedynki (wybierz najbliższą wartość) (A) 0,01, (B) 0,050, (C) 0,06, (D) 0,017, (E) 0,075. 8.1 (7/LXIII) Zmienna losowa (X, Y, Z) ma rozkład normalny z wartością oczekiwaną EX = 0, EY = EZ = 1 1 1 0 i macierzą kowariancji 1 4. Obliczyć Var ( X(Y + Z) ) 0 4 (A) 1, (B) 13, (C) 16, (D) 17, (E) 18. 8.13 (10/LXIII) Niech N będzie zmienną losową o rozkładzie ujemnym dwumianowym danym wzorem ( ) ( ) n 3 1 P (N = n) = (n + 1) dla n = 0, 1,,..., zaś X 1, X,..., X n,... zmiennymi losowymi niezależnymi od N i od siebie nawzajem. Zakładamy, że każda ze zmiennych X i ma rozkład Benoulli ego 4 4 P (X i =1) = p i P (X i =0) = q, gdzie p+q = 1, 0<p<1. Niech N 1 = N X i gdy N >0, oraz 0 gdy N =0, ( ) i=1 N1 i niech N 0 = N N 1. Wtedy E jest równa N 0 + 1 ( (A) 7p 16q, (B) p q, (C) p ( ) ) ( 3 1, (D) p ( ) ) 3 p 1, (E) q 4 q q 4 p 3(q + 1). 8.14 (6/LXIII) Niech X 1 będzie zmienną losową o rozkładzie jednostajnym na przedziale (0, 1), X zmienną losową o rozkładzie jednostajnym na (0, X 1 ), X 3 zmienną losową o rozkładzie jednostajnym na (0, X ) itd. Niech N oznacza zmienną losową taką, że P (N = n) = n! (e λ gdy n = 1,, 3,..., gdzie λ > 0 jest 1) ustaloną liczbą. Zmienna N jest niezależna od zmiennych X 1, X, X 3,... Wtedy E ( X 1 X X N N! ) jest równa (A) eλ 1 λ λ(e λ 1), (B) eλ + 1, (C) λ(eλ 1 λ) e λ, (D) 1, (E) eλ (1 + λ) 1 λ(e λ 1). 8.15 (6/LXII) Z urny, w której są dwie kule białe i trzy czarne, wylosowano jedną kulę, a następnie wrzucono ją z powrotem dorzucając kulę w tym samym kolorze, co wylosowana. Następnie z urny wylosowano dwie kule i wrzucono je z powrotem dorzucając dwie kule identyczne z wylosowanymi. Następnie wylosowano trzy kule. Okazało się, że są to trzy kule białe. Oblicz prawdopodobieństwo, że w drugim losowaniu wylosowano kule różnych kolorów. (A) 16 44, (B) 9 81, (C) 4 7, (D) 3 17, (E) 7 30. λ n 10