Maemayka II WYKLD. Całka eozaczoa. Rachuek całkowy. Twerdzea o całkach eozaczoych. Całkowae wybraych klas fukcj. Całkowae fukcj wymerych. Całkowae fukcj rygoomeryczych.. Defcja fukcj perwoej. Fukcję F : J R gdze J R jes przedzałem azywamy fukcją perwoą fukcj f : J R a przedzale J jeżel F ( ) f ( ) J.. fukcją perwoą fukcj cos jes fukcja. fukcją perwoą fukcj 3 jes fukcja s bo cos s 3 3 bo 3. Twerdzee o rodze fukcj perwoych. Jeżel fukcja F jes perwoa do fukcj f a przedzale J o wedy każda fukcja perwoa jes posac G( ) F( ) c c R. Twerdzee o seu fukcj perwoej. Jeżel fukcja f jes cągła a przedzale J o ma fukcję perwoą F a przedzale J. Defcja całk eozaczoej. Całką eozaczoą fukcj f : J R a przedzale J azywamy każdą fukcję perwoą do fukcj f a przedzale J Całkę eozaczoą fukcj f zapsujemy: f ( ) d. Wosek o pochodej całk całce z pochodej.. Jeżel fukcja f ma fukcję perwoą a przedzale J o wedy. Jeżel f ( ) d f ( ) J. f jes określoa a przedzale J o wedy f ( ) d f ( ) c J c R. KB 6/7 Sroa /
Maemayka II RCHUNEK CŁKOWY. Wzory a całk eozaczoe. Wzór Uzasadee d c poeważ c ad a c a poeważ a d c p p d c p d l c R N poeważ p R p p poeważ p p R p poeważ l a a d c a R poeważ l a a l a a s d cos c poeważ cos s cos d s c s cos poeważ d cg c s d g c cos d arcg c d arccg c d arcs c d arccos c poeważ poeważ p cg s g cos arcg arccg arcs arccos poeważ poeważ poeważ poeważ Uwaga. Całka eozaczoa e mus być fukcją elemearą a eż wyrażeem zbudowaym ze skończoej lczby dzałań a fukcjach elemearych. Na przykład całk fukcj z poższej abel są akm fukcjam. e s cos s l KB 6/7 Sroa
Maemayka II TWIERDZENI O CŁKCH NIEOZNCZONYCH. Twerdzee o lowośc całk eozaczoej. Jeżel fukcje f g mają fukcje perwoe o. f ( ) g( ) d f ( ) d g( ) d. f ( ) g( ) d f ( ) d g( ) d 3. af ( ) d a f ( ) d a R. Twerdzee o całkowau przez częśc. Jeżel fukcje f g mają cągłe pochode o f ( ) g ( ) d f ( ) g( ) - f ( ) g( ) d. Twerdzee o całkowau przez podsawee. Jeżel. fukcja f : I R jes cągła. fukcja : J I ma cągłą pochodą a przedzale J o wedy f ( ) d f ( ( )) ( ) d. Wzór z werdzea o całkowau przez podsawee dobrze jes pamęać w posac gdze zmelśmy ylko azwy zmeych. f ( )) ( ) d ( f ( y) dy Wykorzysujemy pojęce różczk fukcj przyjmuje posać dy f ( ) d. df ( ) f ( ) d co przy ozaczeu y f () e y d dy d d dy y e dy e y c e c. KB 6/7 Sroa 3/
Maemayka II CŁKOWNIE WYBRNYCH KLS FUNKCJI. Całkowae fukcj wymerych. Fukcje wymere o lorazy welomaów L( ) : M ( ). jeżel weloma L () ma sopeń rówy lub wyższy od sopa welomau M () o wykoujemy dzelee welomaów. jeżel welomay podzelły sę bez reszy o wykoujemy całkowae w przecwym raze wykoujemy krok 3 3. weloma M () zajdujący sę w maowku doprowadzamy do posac loczyowej zawerającej czyk oraz p q z 4. reszę z dzelea z puku rozkładamy a sumę ułamków prosych worząc osobo każdego czyka wysępującego w maowku odpowedą sumę: a. jeżel wysąpł czyk o worzymy sumę... b. jeżel w maowku wysąpł czyk p q B B... p q p q B p q przy czym każdego czyka współczyk B są e o worzymy sumę Całkowae fukcj rygoomeryczych. Typowym sposobem całkowaa wyrażeń wymerych R (s cos ) będących fukcjam s cos jes sosowae podsaweń. Najważejszym podsaweem jes podsawee g. Kosekwecje ego podsawea zesawmy w abelę: Podsawee Zamaa fuckj Różczka g s cos d d d Oblczymy całkę 3s 4cos sosując podsawee g. KB 6/7 Sroa 4
Maemayka II d 3s 4cos d 6 4( d d ) d 3 l l C l C g g ( d )( ). W zależośc od własośc fukcj R (s cos ) używamy róweż podsaweń: a. R( s cos ) R(s cos ) podsawea cos. Wedy d s oraz d. b. R(s cos ) R(s cos ) podsawea s. Wedy d cos oraz d. c. R( s cos ) R(s cos ) podsawea g. Wedy d s cos oraz d. KB 6/7 Sroa /