Wykład FIZYKA I 11. Fale mechaniczne Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak Instytut Fizyki Politechniki Wrocławskiej http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/fizyka1.html
FALA Falą nazywamy każde rozprzestrzeniające się (rozchodzące się w przestrzeni) zaburzenie (odkształcenie, drganie). Drgania: x(t) Fale: y(x,t) Fale przenoszą energię, ale nie transportują materii. Fale mogą rozchodzić się w ośrodkach materialnych (i związane są wtedy ze zmianą parametrów takiego ośrodka, jak np. ciśnienie i gęstość w gazach w przypadku fali akustycznej w powietrzu) ale mogą też nie potrzebować ośrodka materialnego do propagacji (fale elektromagnetyczne). Rodzaje fal: - fale mechaniczne; - fale elektromagnetyczne; - fale materii (cząstki).
FALA Fala poprzeczna gdy drgania zachodzą w kierunku prostopadłym do kierunku rozchodzenia się fali. Fala podłużna gdy drgania zachodzą w kierunku równoległym do kierunku rozchodzenia się fali. Równanie falowe: r 1 v t Rozwiązanie ogólne: dowolna funkcja argumentu: u x vt (u)
FALA Przykłady rozwiązań równania falowego: Fala harmoniczna: Fala płaska: Acost x v Aexp A r Acos t T x itexp ik r Fala kulista: exp i t exp ik r Acos t kx
FALA Przykład: fala biegnąca dla dowolnej, ustalonej wartości t: v y x t y cos x vt, 0 y, 0 x x t const y cos - to długość fali (odległość między powtarzającymi się fragmentami fali, np. grzbietami ); - prędkość przesuwania się grzbietu fali, czyli prędkość fazowa fali; (a co dla ustalonej wartości x?)
FALA Wielkości opisujące falę: - Związki między prędkością, okresem i długością fali: v f T T - okres fali; - częstość kołowa; f - częstotliwość; - Liczba falowa (wektor falowy): k - Prędkość fazowa: v k (to nie jest definicja!)
FALA STOJĄCA Zakładamy odbicie fali harmonicznej od granicy ośrodków ze skokiem fazy równym radianów: y t x Asin Asin T x t Asin cos T t T x Równanie to przedstawia tzw. falę stojącą taki rodzaj drgań ośrodka, który charakteryzuje się regularnym występowaniem na przemian miejsc, gdzie amplituda drgań jest równa zeru (węzły) i gdzie jest maksymalna - równa A (strzałki).
FALA STOJĄCA Generowanie fal stojących: Przykład: płaska, prostokątna membrana o bokach a i b można na niej wzbudzić falę stojącą tylko taką, która opowiada ułożeniu się na każdej krawędzi całkowitej wielokrotności połowy odpowiadającej jej długości fali figury Chladniego.
NAKŁADANIE SIĘ FAL Nakładamy na siebie dwie fale harmoniczne o jednakowej amplitudzie i zbliżonych częstotliwościach i : 1 y t acos 1t acos t Jako falę wypadkową otrzymujemy: gdzie: y t acos t cos t 1 1
NAKŁADANIE SIĘ FAL acos t to funkcja modulująca (obwiednia) [zakładamy, że częstości różnią się nieznacznie]
NAKŁADANIE SIĘ FAL PACZKA FALOWA Dokładamy trzecią falę o częstości i amplitudzie : a Pięć fal sinusoidalnych zsumowanych według podobnej reguły:
NAKŁADANIE SIĘ FAL PACZKA FALOWA Nieskończona liczba fal o względnych amplitudach danych funkcją Gaussa: G exp jest odchyleniem standardowym tu: rozrzut częstości Suma nieskończonej ilości fal sinusoidalnych będzie wtedy dana funkcją: G t cos d exp 1 t cos t
NAKŁADANIE SIĘ FAL PACZKA FALOWA G t cos d exp cos t 1 t t 1 Odchylenie standardowe tego rozkładu: nazywane jest szerokością paczki fal. Funkcja G to transformata Fouriera paczki fal.
NAKŁADANIE SIĘ FAL PACZKA FALOWA Nakładamy na siebie dwie rozchodzące się w przestrzeni fale harmoniczne o jednakowej amplitudzie i zbliżonych częstotliwościach i oraz zbliżonych liczbach falowych i : 1 k1 k y x, t acos 1t k1x acos t kx Jako falę wypadkową otrzymujemy: gdzie: k y t acos t kxcos t kx 1 1 k k 1 k k 1 k
NAKŁADANIE SIĘ FAL PRĘDKOŚĆ PACZKI FALOWEJ Funkcja modulująca jest teraz równa: acos t kx i ma ona maksimum dla: t kx 0 a stąd otrzymujemy: x t k
NAKŁADANIE SIĘ FAL PACZKA FALOWA Prędkość grupowa v g prędkość rozchodzenia się paczki fal sinusoidalnych o zbliżonych częstościach (prędkość grzbietu obwiedni): v g d dk Prędkość fazowa v f - prędkość rozchodzenia się stałej fazy (każdej fali składowej osobno): v f i k i
FALE AKUSTYCZNE Jest to rodzaj fal sprężystych rozchodzących się w ciągłym ośrodku materialnym odkształceń objętościowych lub odkształceń postaci (w ciałach stałych). Fale akustyczne w powietrzu są przykładem fal podłużnych, polegających na rozchodzeniu się zagęszczeń i rozrzedzeń powietrza. Założenia: lokalny ruch cząsteczek powoduje zmianę gęstości gazu; zmiana gęstości jest równoważna zmianie ciśnienia gazu; nierównomierny rozkład ciśnienia powoduje lokalny ruch cząstek gazu.
FALE AKUSTYCZNE Równanie falowe dla fali dźwiękowej w powietrzu: Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak x f t f 0 p p p v gdzie: - gęstość Po wykorzystaniu prawa Hooke a i równania Clapeyrona: B v gdzie: (moduł ściśliwości) V V p B
FALE AKUSTYCZNE Natężenie fali dźwiękowej: P sm - szybkość przenoszenia energii (moc); - amplituda fali; I P S 1 v s m Ludzkie ucho odbiera dźwięk o amplitudzie od 10-5 m do 10-11 m, czyli stosunek natężeń dla tych dwóch granic wynosi 10 1! Stąd zamiast natężenia fali dźwiękowej używa się głośności dźwięku 10dB log I I 0 I 1 0 10 W m - to standardowe natężenie odniesienia.