Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytetu Łódzkiego w Łodzi Dariusz Wardowski Katedra Analizy Nieliniowej Bankowość i metody statystyczne w biznesie - zadania i przykłady część II Łódź 2008
Rozdział 1 Oprocentowanie lokaty 1.1 Równoważność warunków oprocentowania Warunki oprocentowania jakie oferuje bank I są równoważne w danym okresie warunkom oprocentowania jakie oferuje bank II jeżeli przyszła wartość kapitału po tym czasie w banku I jest równa wartości przyszłej identycznej wartości kapitału w banku II. Jeżeli warunki oprocentowania w banku I są równoważne w każdym okresie warunkom oprocentowania w banku II, to mówimy, że warunki określone w banku I są równoważne warunkom określonym w banku II. 1.1.1 Równoważność warunków oprocentowania dla modelu kapitalizacji prostej Załóżmy, że w banku I i w banku II obowiązuje odpowiednio roczna stopa procentowa r 1 i roczna stopa procentowa r 2. Niech m 1, m 2 oznaczają odpowiednio ilość okresów kapitalizacji w ciągu roku w banku I i w banku II. Wówczas warunki oprocentowania są równoważne (dla dowolnego okresu) gdy r 1 = r 2. 1.1.2 Równoważność warunków oprocentowania dla modelu kapitalizacji złożonej Przyjmijmy oznaczenia jak w 1.1.1. Gdy w bankach I i II obowiązuje model kapitalizacji złożonej. Wówczas warunki oprocentowania w banku I są równoważne warunkom oprocentowania w banku II, gdy zachodzi równość: r I ef = r II ef, gdzie r I ef, r II ef oznaczają stopy efektywne odpowiednio w banku I i w banku II. Przykład. 1.1.1 W banku I obowiązuje kapitalizacja półroczna złożona z dołu przy rocznej stopie procentowej 22%, a w banku II kapitalizacja kwartalna złożona z dołu przy rocznej stopie procentowej r. Dla jakiego r warunki oprocentowania w bankach I i II będą równoważne? 1
Rozwiązanie: Ponieważ w obydwu bankach obowiązuje model kapitalizacji złożonej, więc warunki będą równoważne, gdy stopy efektywne w tych bankach będą sobie równe. Obliczymy najpierw roczną stopę efektywną w banku I: r I ef = ( 1 + ) 0, 22 2 1 = 0, 2321. 2 Roczna stopa efektyna w banku II wyraża się wzorem: ( ref II = 1 + 4) r 4 1. Otrzymujemy zatem równanie: ( 1 + r 4) 4 1 = 0, 2321. Stąd ( 1 + r 4) 4 = 1, 2321 1 + r 4 = 4 1, 2321 r = 4 4 1, 2321 4 0, 2143. Zad. 1.1.1 W banku I obowiązuje kapitalizacja półroczna z dołu przy rocznej stopie procentowej 20%. W banku II obowiązuje kapitalizacja kwartalna z góry przy półrocznej stopie procentowej r. Dla jakiej wartości r warunki oprocentowania w bankach I i II będą równoważne dla 4 lat? Czy warunki te będą równoważne dla 8 lat? (Przeprowadzić dokładne obliczenia) Zad. 1.1.2 W banku A obowiązuje kapitalizacja półroczna z góry przy rocznej stopie procentowej r A, a w banku B kapitalizacja kwartalna z dołu przy rocznej stopie procentowej r B. Jaką zależność powinny spełniać stopy r A i r B, aby warunki oprocentowania w tych bankach były równoważne dla 4 lat? Czy warunki te będą równoważne? 1.2 Kapitalizacja przy zmiennej stopie procentowej Rozważamy teraz sytuację gdy wartość stopy procentowej ulega zmianie. Sytuacja taka jest możliwa zwłaszcza dla długich przedziałów czasu. Oznaczmy przez n k, k = 1, 2,..., p, p N, ilość okresów, w których obowiązuje stopa procentowa o wartości r k. Zakładamy, że okres stopy procentowej się nie zmienia i kapitalizacja jest zgodna. Oznaczmy n = n 1 + n 2 + + n p. W modelu kapitalizacji prostej wartość przyszła kapitału K 0 wyraża się wzorem: p P n = K 0 (1 + n i r i ). W modelu kapitalizacji złożonej z dołu wartość przyszła kapitału K 0 wyraża się wzorem: K n = K 0 p 2 (1 + r i ) n i.
W modelu kapitalizacji złożonej z góry wartość przyszła kapitału K 0 wyraża się wzorem: W n = K 0 p (1 r i ) n i. W modelu kapitalizacji ciągłej wartość przyszła kapitału K 0 wyraża się wzorem: W n = K 0 e n 1r 1 +n 2 r 2 + +n pr p. Gdy stopa procentowa jest zmienna, wówczas wprowadza się pojęcie przeciętnej stopy procentowej, czyli takiej dla której przyszła wartość kapitału jest taka sama jak przy zastosowaniu zmieniających się stóp procentowych. W modelu kapitalizacji prostej przeciętna stopa procentowa wyraża się wzorem: r prz = 1 p n i r i. n W modelu kapitalizacji złożonej z dołu przeciętna stopa procentowa wyraża się wzorem: p r prz = n (1 + r i ) n i 1. W modelu kapitalizacji złożonej z góry przeciętna stopa procentowa wyraża się wzorem: p r prz = 1 n (1 r i ) n i. W modelu kapitalizacji ciągłej: r prz = 1 p n i r i. n Przykład. 1.2.1 Przez kolejne 4 kwartały kwartalna stopa procentowa przyjmowała wartości: 14%, 10%, 8%, 11%. Obliczyć przeciętną kwartalną stopę procentową, jeżeli bank stosuje kapitalizację kwartalną z góry. Rozwiązanie. Mamy r 1 = 14%, r 2 = 10%, r 3 = 8%, r 4 = 11%. Okresem każdej stopy jest kwartał. Zatem r prz = 1 4 (1 0, 14)(1 0, 1)(1 0, 8)(1 0, 11) 0, 391. Zad. 1.2.1 Przez kolejne cztery lata roczna stopa procentowa miała nastepujace wartosci: 10%, 12%, 11%, 8%, a przez nastepne dwa lata wynosiła 7%. Wiedzac, ze bank stosował roczna kapitalizacje złozona z dołu, wyznaczyc przecietna roczna stope procentowa i obliczyc wartosc kapitału 100 jp po tych szesciu latach. Zad. 1.2.2 W kolejnych kwartałach roku kwartalna stopa procentowa przyjmowała nastepujace wartosci: 3%, 5%, 7%, 2%. Wyznaczyc przecietną kwartalną stopę procentową, jesli bank stosował kwartalną kapitalizację 1. prostą, 3
2. złozona z góry, 3. złozona z dołu, 4. ciągłą. Zad. 1.2.3 Kwote 200 jp wpłacono do banku na 3 lata. Bank stosuje kapitalizacje złozona roczna przy rocznej stopie procentowej 15%. Wyznaczyc wartosc przyszłą po 3 latach i 10 dniach, przyjmując rózne warianty oprocentowania w czasie przewyższajacym 3 lata: 1. w czasie przekroczonym odsetki nie będą doliczane, 2. za czas przekroczony zostaną dopisane odsetki proste od wartości początkowej według niższej stopy procentowej, 3. bank dolicza odsetki proste od końcowej wartości kapitału według niższej stopy procentowej, 4. bank dolicza odestki proste od końcowej wartości kapitału, ale według innej stopy procentowej jest oprocentowany kapitał początkowy, a według innej zgromadzone odsetki, 5. bank dolicza część odsetek przypadających na 1 okres kapitalizacji, proporcjonalna do liczby przekroczonych dni, 6. bank dolicza odsetki złozone za cały czas trwania lokaty. 1.3 Oprocenotwanie lokaty z uwzględnieniem inflacji Jeżeli rozważamy wzrost kapitału w danym modelu kapitalizacji bez uwzględnienia stopy inflacji, wówczas mówimy o wzroście kapitału w ujęciu nominalnym. Jeśli natomiast uwzględnimy stopę inflacji wówczas rzeczywisty wzrost wartości pieniądza nazwiemy realną stopę procentową. Oznaczmy stopę inflacji przez i, r re niech oznacza realną stopę procentową. Zakładamy tutaj, że okres stopy procentowej pokrywa się z okresem stopy inflacji. Jeżeli oznaczymy przez K 1 nominalny wzrost kapitału K 0 po jednym okresie kapitalizacji, a przez K1 re rzeczywisty wzrost wartości tego kapitału, wówczas wzrost realny jest mniejszy niż nominalny. Związek między K 1 a K1 re możemy zapisać w postaci: Stąd otrzymujemy: K re 1 (1 + i) = K 0 (1 + r). K 0 (1 + r re )(1 + i) = K 0 (1 + r) 1 + r re = 1 + r 1 + i r re = 1 + r 1 + i 1 = r i 1 + i. Z powyższego wzoru otrzymujemy natychmiast informację, że gdy stopa inflacji jest równa nominalnej stopie procentowej wówczas rzeczywsity wzrost kapitału jest równy wartości 4
kapitału początkowego. Realna wartość pieniądza rośnie gdy stopa nominalna jest większa od stopy procentowej. Gdy stopa nominalna jest mniejsza od stopy inflacji wówczas realna wartość kapitału maleje. Rozważy teraz model kapitalizacji niezgodnej. Załóżmy, że w jednym okresie stopy procentowej r dokonujemy m razy kapitalizacji odsetek. Wówczas realną efektywną stopę procentową obliczamy wg wzoru: r re,ef = r ef i 1 + i, gdzie r ef jest stopą efektywną dostasowaną do okresu stopy procentowej r. Gdy nasz rozważanie rozszerzymy na kilka okresów stopy procentowej i przyjmiemy za i k stopę inflacji, która obowiązywała przez n k okresów, gdzie k = 1, 2,..., p, p N. Wówczas po n okresach, gdzie n = n 1 + n 2 + + n p stopę inflacji możemy obliczyć ze wzoru: p i = (1 + i k ) n k 1. k=1 Przeciętna stopa inflacji i prz, przy której realna wartość pieniądza jest taka sama jak przy zastosowaniu zmieniających się stóp inflacji jest postaci: p i prz = n (1 + i k ) n k 1. k=1 Przykład. 1.3.1 W ciągu roku stopa inflacji zmieniała się co pół roku i przyjmowała odpowiednio wartości: 3%, 5%. Wyznaczyć roczną stopę inflacji oraz przeciętną półroczną stopę inflacji. Rozwiązanie. Roczną stopę inflacji obliczamy ze wzoru: i = (1 + 0, 03)(1 + 0, 05) 1 0, 082 = 8, 2%. Przeciętną półroczną stopę inflacji obliczymy ze wzoru: i prz = (1 + 0, 03)(1 + 0, 05) 1 0, 038 = 3, 8%. Zad. 1.3.1 Stopy inflacji w poszczególnych kwartałach były równe: 6%, 5%, 5%, 2%. Roczna stopa procentowa wynosi 16% i bank stosuje kapitalizację miesięczną złożoną z dołu. Jaka jest realna roczna stopa procentowa? Zad. 1.3.2 Oprocentowanie roczne lokaty wynosi 13%, a roczna stopa inflacji wynosi 10%. Ile wynosi realna roczna stopa procentowa? Zad. 1.3.3 Bank stosuje miesięczną kapitalizację złożoną z dołu i półroczna stopa oprocentowania lokaty wynosi 20%. Jaka jest realna półroczna stopa procentowa, jeżeli stopa inflacji w poszczególnych miesiącach była równa odpowiednio: 3%, 5%, 1%, 3%, 7%. Zad. 1.3.4 Płaca pracownika w I kwartale pewnego roku wyniosła 700 jp miesięcznie i była indeksowana co kwartał wskaźnikiem wzrostu płac równym 0, 8 stopy inflacji z poprzedniego kwartału. W kolejnych kwartałach roku stopa inflacji była równa odpowiednio: 5%, 7%, 6%, 4%. Wyznaczyć 5
1. płacę pracownika w I kwartale następnego roku, 2. roczną stopę inflacji, 3. przeciętną kwartalną stopę inflacji, 4. realną stopę wzrostu płacy pracownika w ciągu roku. Zad. 1.3.5 W pewnym roku stopa inflancji wynosiła 6%, zaś roczna stopa procentowa 8%. Jaką kwotę wpłacono na poczatku tego roku, jeśli jej skapitalizowana po tym roku rzeczywista wartośś wynosi 450 jp? Zad. 1.3.6 Pensja pracownika w pierwszym półroczu pewnego roku wynosiła 1000 jp i była indeksowana co pół roku ze wskaznikiem wzrostu równym 0,8 stopy inflacji z poprzedniego półrocza. W ciagu roku półroczne stopy inflacji były równe odpowiednio: 3% i 2%. Obliczyc pensję pracownika w pierwszym półroczu nastepnego roku i realną stopę wzrostu płacy w ciagu roku. Zad. 1.3.7 Nominalny wzrost wartosci kapitału K 0 = 100 jp po jednym roku wyniósł 120 jp. Jaki jest rzeczywisty wzrost wartosci K 0 po jednym roku, jezeli okresem stopy procentowej i stopy inflacji i = 5% jest jednen rok? Zad. 1.3.8 Wartosc kwoty K 0 po dokonaniu waloryzacji o wskaznik inflacji i = 4% wynosi 500 jp. Rzeczywista roczna stopa procentowa wynosi 10%. Jaka jest nominalna wartosc kwoty K 0 (wyrazona w starych cenach) po jednym roku? Zad. 1.3.9 Roczna stopa oprocentowania lokaty wynosi 20% i bank stosuje kwartalną kapitalizację złozoną z dołu. Jaka jest realna roczna stopa procentowa, jeżeli stopa inflacji w poszczególnych kwartałach była równa: 7%, 5%, 4%, 5%. 1.4 Dyskonto matematyczne i handlowe Potrącone z góry odsetki od zaciągniętego kredytu nazywamy dyskontem. Również dyskontem nazywamy potrącenie odsetek od papierów wartościowych, sprzedawanych przed terminem płatności. Zatem dyskonto możemy traktować jako zapłatę poniesioną z góry za udzielenie kredytu lub za wcześniejszy wykup weksla. Dyskontowaniem będziemy nazywali pomniejszanie wartości (kredytu bądź wartości weksla) o dane dyskonto. 1.4.1 Dyskonto matematyczne Odsetki wytworzone przez kapitał w danym okresie czasu nazywamy dyskontem matematycznym. Ten typ dyskonta ma głównie zastosowanie przy kredytach bankowych. W zależności od rodzaju kapitalizacji otrzymujemy wzory na dyskonto matematyczne: 1. W modelu kapitalizacji prostej dyskonto matematyczne nazywamy dyskontem prostym. Jeżeli rozważymy n okresów stopy procentowej r to dyskonto proste obliczamy przy pomocy wzoru: D M = K 0 rn. 6
2. W modelu kapitalizacji złożonej z dołu zgodnej dyskonto matematyczne jest postaci: D M = K 0 [(1 + r) n 1], 3. w modelu kapitalizacji złożonej z góry zgodnej dyskonto matematyczne jest postaci: D M = K 0 [(1 r) n 1], 4. w modelu kapitalizacji złożonej z dołu niezgodnej dyskonto matematyczne jest postaci: D M = K 0 [(1 + r ef ) n 1], 5. w modelu kapitalizacji złożonej z góry niezgodnej dyskonto matematyczne jest postaci: D M = K 0 [(1 r ef ) n 1], 6. w modelu kapitalizacji ciągłej: D M = K 0 (e nr 1). Zad. 1.4.1 Bank przy rocznej stopie procentowej r = 12% stosuje kapitalizację: 1. prostą, 2. roczną złożoną z dołu, 3. roczną złożoną z góry, 4. półroczną złożoną z dołu, 5. miesięczną złożoną z góry, 6. ciągłą. Wyznaczyć wartość dyskonta matematycznego dla 10 lat dla wartości początkowej K 0 = 100jp. Zad. 1.4.2 Bank udziela kredytu, pobierając zapłatę z góry w postaci dyskonta matematycznego wg rocznej stopy procentowej 24% i kapitalizacji półrocznej złożonej z dołu. Jaką kwotę otrzyma do ręki kredytobiorca, jeżeli zaciągnął kredyt w wysokości 300jp na rok? 1.4.2 Dyskonto handlowe Dyskonto handlowe to odsetki potrącane z góry od wartości nominalnej papieru wartościowego (np. weksla), który został sprzedany przed terminem jego płatności. Dyskonto handlowe D H opisuje wzór: D H = W nom dn, gdzie W nom oznacza wartość nominlana weksla, d wartość stopy dyskontowej, n liczba okresów stopy dyskontowej. Jeżeli weksel zostanie wykupiony przed terminem jego płatności wówczas jego wartość nominalna zostaje pomniejszona o dane dyskonto handlowe, 7
w wyniku czego otrzymujemy wartość aktualną weksla (lub innego papieru wartościowego). Mamy zatem W akt = W nom D H. Dwa weksle nazwiemy równoważnymi w danym dniu jeżeli ich wartości aktualne w tym dniu są takie same. Stopa procentowa r jest równoważna stopie dyskontowej d jeżeli dyskonto matematyczne (obliczone wg stopy r) jest równe dyskontowi handlowemu. Zad. 1.4.3 Klient nabył towar w hurtowni za kwotę 100jp przy czym uiści zapłatę za 5 miesięcy powiększoną o odsetki proste wg rocznej stopy 28%. Hurtownia wystawiła odpowiedni weksel kupiecki. Jaką kwotę otrzyma hurtownia jeżeli natychmiast zdyskontuje weksel w banku. Roczna stopa dyskontowa wynosi 30%. Zad. 1.4.4 Weksel o wartości nominalnej 70jp i terminie płatności za 9 miesięcy zamienić na weksel równoważny z terminem płatności za 6 miesięcy. Bieżąca roczna stopa dyskontowa wynosi 15%. Zad. 1.4.5 Wyznaczyć stopę dyskontową, jeżeli dyskonto handlowe weksla o wartości nominalnej 100jp zdyskontowanego na 30 dni przed terminem wykupu wynosi 2jp. Zad. 1.4.6 Wartość K 0 została oprocentowana na 5 lat według rocznej stopy procentowej r = 10% i kapitalizacji prostej. Wyznaczyć roczną stopę dyskontową równoważną stopie r. Czy stopy te będą równoważne dla 10 lat? Zad. 1.4.7 Pozyczke 5000 jp spłacono po trzech miesiacach kwotą 5250 zł. Przyjmując, że opłatą za pożyczkę były odsetki 1. płatne z dołu, obliczyć roczną stopę procentową, 2. płatne z góry, obliczyć roczna stopę dyskontową. 8
Bibliografia [1] E. Smaga, Arytmetyka finansowa, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa-Kraków 2000. [2] A. Kaźmierczak, Polityka pieniądza w gospodarce rynkowej, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2003. [3] M. Belka, A.Bogus Elementarne zagadnienia ekonomii, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 1994. 9