2.1 Wartość Aktualna Renty Stałej

Transkrypt

1 2.1 Wartość Aktualna Renty Stałej Zakładamy że dana osoba ma dostać kwotę o stałej wartości nominalnej x przez N okresów (zwykle miesięcznie lub rocznie), np. stała renta/emerytura. Zakładamy że pierwsza wypłata zajdzie w czasie t 0, potem czas między wypłatami wynosi 1, czyli ostatnia wypłata zajdzie w czasie t 0 + N 1. Uwaga: Jednostką czasu jest czas między wypłatami. 1 / 30

2 Wartość Aktualna Renty Stałej Osoba wolałaby dostać kwotę Nx teraz niż taką rentę np. ona mogłaby zainwestować tę kwotę, wziąć x w każdym okresie czasu. Wtedy stan konta po N jednostkach czasu jeszcze będzie dodatni. Tak jak w Rozdziale 1, zakładamy że wartość aktualna przychodu x, który ma zajść za t jednostek czasu, wynosi V (x; t) = xα t, gdzie α jest dyskonto na jednostkę czasu. 2 / 30

3 Wartość Aktualna Renty Stałej Często dyskonto zależy od (oczekiwanej) inflacji. Daje to miarę siły nabywczej tej renty. Gdy oczekiwana inflacja jest 100i% na jednostkę czasu, opdowiednie dyskonto wynosi α = i. Gdy inflacja jest dosyć niska ( 5% rocznie), możemy korzystać z przybliżenia. α 1 i. Czasami dyskonto zależy od stopy procentowej (w równaniach powyżej i jest zastąpione przez R). Daje to miarę siły inwestycyjnej tej renty. 3 / 30

4 Wzór na sumę szeregu geometrycznego Niech a i = cr i. Wtedy a 0, a 1, a 2,... jest ciągiem geometrycznym c, cr, cr 2,.... Niech S k będzie sumą pierwszych k elementów tego ciągu, a 0, a 1,... a k 1. Mamy k 1 S k = cr i = c(1 + r + r r k 1 ) i=0 Należy zanotować że rs k = c(r + r 2 + r r k ). Odejmując drugie równanie od pierwszego, otrzymujemy S k rs k = c(1 r k ) (1 r)s k = c(1 r k ) 4 / 30

5 Wzór na sumę szeregu geometrycznego Wynika z tego że k 1 S k = i=0 W szczególności, gdy r < 1 S = cr i = c(1 r k ). 1 r cr i = i=0 c 1 r Uwaga: c jest pierwszym elementem ciągu a r jest stosunkiem r = a i+1 a i. 5 / 30

6 Wzór na sumę szeregu geometrycznego Wynika z tego że wartość aktualna takiej renty wyraża się wzorem V A = t 0 +N 1 t=t 0 V (x; t)=xα t 0 + xα t xα t 0+N 1 =xα t 0 [1 + α α N 1 ] =xα t 0 N 1 i=0 α i = xαt 0 (1 α N ). 1 α 6 / 30

7 Wynik: Wzór na sumę szeregu geometrycznego Wartość aktualna renty stałej wyraża się wzrorem V A = xαt 0 (1 α N ), 1 α gdzie x jest wypłata (otrzymana co jednostkę czasu), α jest dyskonto na jednostkę czasu, pierwsza wypłata zajdzie w czasie t 0 oraz N jest liczbą wypłat. 7 / 30

8 Przykład 2.1 Stała renta o kwocie 2000zł ma zostać wypłacona co miesiąc przez 10 lat. Zakładać że oczekiwana inflacja wynosi 5% rocznie. Korzystając z odpowiedniego przybliżenia dla dyskonta rocznego, wyznaczyć i) Dyskonto miesięczne ii) Wartość aktualna takiej renty, gdy pierwsza wypłata ma zajść teraz. iii) Wartość aktualna takiej renty, gdy pierwsza wypłata ma zajść za dwa lata. 8 / 30

9 Przykład / 30

10 Przykład / 30

11 Przykład / 30

12 Wartość aktualna ogólnego ciągu przyszłych wypłat Gdy wartość wypłat jest zmienna, aby wyznaczyć wartość aktualną, najłatwiej zsumować wypłaty dyskontowane krok po kroku. Takie ciągi przychodów są często spotykane w analizie kosztów i korzyści (zob. Rozdział 3). 12 / 30

13 2.2 Spłacenie pożyczek Zakładamy że dług o kwocie M ma zostać spłacony przy stopie rocznej 100R% w ciągu T jednostek czasu (gdzie jednostka czasu jest okresem kapitalizacji - tutaj rok). Nie bierzemy pod uwagę opłat organizacyjnych (można założyć że są doliczone do wartości długu). Zakładamy że dług jest kapitalizowany co roku (na początku roku) w zależności od obecnej nominalnej wartości długu (na ćwiczeniach rozważamy inne sposoby kapitalizacji długu). Zakładamy że zastosowano stałe, miesięczne raty. 13 / 30

14 Spłacenie pożyczek Na przykład, zakładamy że dłużnik ma spłacić pożyczkę o wartości nominalnej zł przy stopie rocznej 5% i ratach miesięcznych $600. W pierwszym roku, oprocentowanie wynosi 5 000zł (5% z zł). Dłużnik spłaca 7 200zł (12 rat o kwocie 600zł). Wynika z tego że w pierwszym roku nominalna wartość długu maleje o 2 200zł (= ). Więc, nominalna wartość długu po roku wynosi zł (= ). 14 / 30

15 Spłacenie pożyczek W drugim roku, oprocentowanie wynosi (0, ). Dłużnik spłaca 7 200zł (12 rat o kwocie 600zł). Wynika z tego że w drugim roku nominalna wartość długu maleje o 2 310zł (= ). Więc, nominalna wartość długu po dwóch latach wynosi zł (= ). Uwaga: Z czasem nominalna wartość maleje coraz szybciej. 15 / 30

16 Ograniczenia na raty Dosyć łatwo możemy wyznaczyć dolne i górne ograniczenia na odpowiednią ratę za pomocą następujących faktów: 1. Dolne ograniczenie - W pierwszym okresie suma rat miesięcznych musi być większa niż oprocentowanie. 2. Górne ogranicznenie - Rata miesięczna musi być mniejsza od tej, która zapewnia że nominalna wartość długu po jednym okresie wynosi M(T 1) T. Górne ograniczenie wynika z faktu że nominalna wartość długu spada coraz szybciej, czyli gdy proporcja 1/T długu jest spłacona w pierwszym okresie, wartość spłacona w ciągu T okresów będzie większa niż nominalna wartość długu. 16 / 30

17 Ograniczenia na raty Na przykład, gdy pożyczono na 20 lat zł przy nominalnej stopie rocznej 10% i kapitalizacji rocznej. Aby spłacić oprocentowanie w pierwszym roku (10 000zł), rata miesięczna wynosi = 833, 33. Aby spłacić 1/20 nominalnej kwoty długu (5 000zł) w pierwszym roku, w sumie = musi zostać spłacone (oprocentowanie+spłata netto). W tym wypadku, rata miesięczna wynosi = / 30

18 Ograniczenia na raty Wynika z tego że rata miesięczna musi być między 833,33zł and 1250zł. Jest to dosyć szeroki przedział, ale przynajmniej ilustruje jakiego rzędu ma być rata. 18 / 30

19 Równanie różnicowe dla nominalnej wartości długu Niech nominalna wartość długu po t okresach będzie x t, t = 0, 1,..., T, gdzie T jest termin spłacenia, p jest rata miesięczna, x 0 = M jest nominalna wartość pożyczki. Wynika z tego że po t + 1 okresach nominalna wartość długu wynosi x t+1 = (1 + R p )x t Fp, x 0 = M. gdzie R p jest stopą procentową na jednostkę czasu. Pierwsza składowa, (1 + R p )x t, jest nominalną wartością długu po nałożeniu oprocentowania, F jest liczbą miesięcy w okresie (między kapitalizacjami długu, tutaj F = 12), czyli druga składowa jest sumą rat w jednym okresie. Korzystając z tego wzoru, możemy łatwo wyznaczyć nominalną wartość długu po t jednostkach czasu. 19 / 30

20 Wyznaczenie odpowiedniej raty miesięcznej Korzystając z równania różnicowego z ostatniego slajdu, można wyznaczyć wzór na nominalną wartość długu po t okresach. Skoro z definicji x T = 0 (dług zostanie spłacony po T okresach), otrzymujemy następujący wzór na odpowiednią ratę miesięczną: p = R pm(1 + R p ) T F [(1 + R p ) T 1], gdzie F jest liczbą rat spłaconych w każdym okresie (między kapitalizacjami), tutaj / 30

21 Przykład 2.2 Zakładamy że pożyczono zł na 20 lat przy stopie rocznej 10% nałożonej co roku. i) Wyznaczyć odpowiednią ratę miesięczną. ii) W oparciu o takiej wypłacie, wyznaczyć nominalną wartość tego długu po t latach, gdzie t = 1, 2, / 30

22 Przykład / 30

23 Przykład / 30

24 Efektywny koszt pożyczenia Należy zanotować że kapitalizacja zachodzi na początku każdego okresu. Czyli nominalna stopa procentowa nie uwzględnia faktu że część długu jest spłacona podczas każdego okresu. Wynika z tego że efektywna stopa procentowa jest większa niż nominalna stopa procentowa. 24 / 30

25 Efektywny koszt pożyczenia Efektywny koszt pożyczenia można wyrazić za pomocą efektywnej rocznej stopy procentowej APR (z angielskiego, annual percentage rate). Przy stałych ratach można oszacować APR, R E, za pomocą wzoru R E 2AF M(N + 1), gdzie A jest różnicą między sumą rat a nominalną wartością pożyczki, F liczba rat w ciągu roku (tutaj zawsze 12), N jest liczbą wszystkich rat. 25 / 30

26 Oszacowanie APR W tym wypadku, N = 12T (12 rat co roku przez T lat). Różnicą między sumą rat a nominalną wartością pożyczki wynosi A = 12Tp M (suma rat minus nominalna wartość pożyczki). Więc, R E 24(12Tp M) M(12T + 1). 26 / 30

27 Realna stopa procentowa Realna stopa procentowa uwzględnia fakt że rzeczywista wartość pieniędzy maleje względem czasu z powodu inflacji. Zakładamy że (nominalna lub efektywna) stopa procentowa wynosi 100R% rocznie oraz inflacja wynosi 100i% rocznie. Realna stopa procentowa, 100r%, spełnia równanie 1 + r = 1 + R 1 + i. Gdy inflacja jest niska, możemy korzystać z przybliżenia r R i. 27 / 30

28 Przykład 2.3 i) Oszacować APR dla pożyczki z przykładu 2.2. ii) Zakładamy że inflacja roczna wynosi 3%. W oparciu o APR, oszacować realną stopę procentową za pomocą a) wzóru na realną stopę procentową b) aproksymacji. 28 / 30

29 Przykład / 30

30 Przykład / 30