Scriptiones Geometrica Volumen I (2014), No. Z6, 1 9. Geometria odwzorowań inżynierskich Zadania 06 Edwin Koźniewski Zak lad Informacji Przestrzennej 1. Przenikanie siȩ figur (bry l) w rzutach Monge a i aksonometrii Zadanie 1 Wyznaczyć rzuty prostok atne i aksonometriȩ wojskow a z k atem 150 o (tj. z k atami 90 o, 120 o, 150 o ) (Rys. Z06-06, Z06-07) lub prawieprostok atn a ze skrótem 4:5 (Rys. Z06-08) przenikaj acego siȩ dachu z wież a. Rys. Z06-01: Przenikanie ostros lupa z graniastos lupem w aksonometrii. Konstrukcja podstawowych punktów wspólnych dwu bry l Dość czȩsto, tak jak na przyk lad przy za lożeniach na Rys. Z06-06ii,iii,v,vi, Z06-07ii,iii krawȩdzie bȩd ace w po lożeniu profilowym nie maj a symetrycznego powtórzenia w uk ladzie nieprofilowym. W celu wyznaczenia niektórych punktów linii przenikania korzystamy wtedy z obrotu bry ly lub transformacji rzutni. Edwin Koźniewski c 2014 Politechnika Bia lostocka, Bia lystok
2 E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich, zadania 06 Rys. Z06-02: Ilustracja obrotu: i) na p laszczyźnie; ii) w przestrzeni - rysunek pogl adowy; iii) w rzutach Monge a Rys. Z06-03: Konstrukcja nieprzyjaźnie po lożonych punktów linii przenikania dachów wieżowych: a2) obrót krawȩdzi ostros lupa do po lożenia czo lowego; a3) konstrukcja punktu przenikania w rzucie pionowym; a4 a5 obrót powrotny (dla graniastos lupa tylko obrót w rzucie pionowym, w przypadku ostros lupa wykonujemy dodatkow a konstrukcjȩ obrotu powrotnego w rzucie poziomym), drugi z punktów otrzymujemy przez symetriȩ; a6) linia przenikania Obrót jest znanym przekszta lceniem określonym na p laszczyźnie przez środek obrotu oraz k at obrotu. W sensie geometrycznym obrót, jako przekszta lcenie, jest zbiorem par punktów. Jednak w celu wsparcia naszej wyobraźni obrót punktu wygodnie jest traktować jako operacjȩ fizyczn a (dynamiczn a). W przestrzeni mówimy o obrocie doko la prostej (osi obrotu), gdzie
E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich, zadania 06 3 Rys. Z06-04: Konstrukcja nieprzyjaźnie po lożonych punktów linii przenikania dachu z wież a: a1) z wykorzystaniem rzutni bocznej; b) zasada wprowadzania trzeciej rzutni; c) odwzorowanie Monge a z trzeci a rzutni a Rys. Z06-05: Konstrukcja nieprzyjaźnie po lożonego punktu linii przenikania: a) dachu z wież a; a1) metod a transformacji uk ladu; c) odwzorowanie Monge a z trzeci a rzutni a każdy punkt obraca siȩ w swojej p laszczyźnie, prostopad lej do osi obrotu, doko la punktu przeciȩcia osi obrotu z t a p laszczyzn a. W rzutach Monge a obrót naj latwiej opisuje siȩ, gdy oś obrotu jest prostopad la do jednej z rzutni. Wówczas p laszczyzna obrotu jest równoleg la do tej rzutni i prostopad la do drugiej rzutni. Obrót punktu w przestrzeni realizowany w p laszczyźnie obrotu tego punktu jest izometryczny (niezmiennik N5) z operacj a na rzutni (na Rys. Z06-02 jest to rzutnia pozioma), w drugim rzucie - z uwagi na rzutuj ace po lożenie p laszczyzny obrotu (na Rys. Z06-02 jest to p laszczyzna pionoworzutuj aca) - latwe jest śledzenie rzutu punktu w czasie obrotu, który
4 E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich, zadania 06 w tym wypadku porusza siȩ po prostej. Nie można zatem uzyskać rozwi azania korzystaj ac z symetrii bry l (dotyczy to konstrukcji Rys. Z06-06: Znaleźć liniȩ przenikania dachu z wież a (dwa ostros lupy) Rys. Z06-07: Znaleźć liniȩ przenikania dachu z wież a (ostros lup z graniastos lupem) w rzutach Monge a). Pozostaje wiȩc inny sposób znalezienia punktów przeciȩcia krawȩdzi o
E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich, zadania 06 5 po lożeniu profilowym. Przytoczymy tu dwa standardowe sposoby. Pierwszy polega na dokonaniu obrotu bry l doko la osi symetrii tych bry l o k at 90 o. Wówczas krawȩdź (-ie) maj aca (-e) pierwotnie po lożenie profilowe otrzymuje po lożenie czo lowe (Rys. Z06-05ii,iii; Z06-07ii,iii). W przypadku graniastos lupa wprawdzie krawȩdź nie zmienia po lożenia poziomorzutuj acego Rys. Z06-08: Znaleźć liniȩ przenikania dachu z wież a z przyporami lub elementami przejściowymi pochodz acymi od trzeciego (środkowego) ostros lupa ale ściana ostros lupa otrzymuje przyjazne po lożenie pionoworzutuj ace (Rys. Z06-07ii,iii). Zauważmy, że sytuacje na rysunkach Z06-06i,iv, Z06-07i nie wymagaj a tego zabiegu. Metoda konstrukcji punktu przenikania leż acego na prostej o po lożeniu profilowym poprzez obrót jest opisana na rysunku Z06-03. Dla uproszczenia można przyj ać, że obracana jest tylko krawȩdź jednej lub dwu bry l lub tylko ściana jednej z bry l, tj. ściana ostros lupa w przypadku gdy jedn a z bry l jest graniastos lup. Na rysunku Z06-04 przedstawiony jest sposób konstrukcji, w którym korzystamy z trzeciej rzutni (tzw. transformacji). W uk ladzie rzutni pionowej i
6 E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich, zadania 06 Rys. Z06-09: Wyznaczanie linii przenikania dachu z wież a z przyporami lub elementami przejściowymi pochodz acymi od trzeciego (środkowego) ostros lupa (w wersji czarno-bia lej) Rys. Z06-10: Wyznaczanie linii przenikania dachu z wież a z przyporami lub elementami przejściowymi pochodz acymi od trzeciego (środkowego) ostros lupa. W rozwi azaniu zadania zastosowano kolory bocznej prosta profilowa ma po lożenie czo lowe. Z uwagi na liczbȩ dodatkowych linii konstrukcyjnych metoda z obrotem jest bardziej ekonomiczna. Rysunek Z06-05 przedstawia rozwi azanie tego samego zadania przy zastosowaniu transformacji uk ladu rzutni, polegaj acej na wprowadzeniu nowej rzutni tak, by p laszczyzna ściany bry ly z któr a przeciȩcia szukamy,
E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich, zadania 06 7 Rys. Z06-11: Wyznaczanie linii przenikania dachu z wież a z przyporami lub elementami przejściowymi pochodz acymi od trzeciego (środkowego) ostros lupa (usuniȩto linie odnosz ace) Rys. Z06-12: Dach z wież a z przyporami lub elementami przejściowymi pochodz acymi od trzeciego (środkowego) ostros lupa w wersji z kolorami z usuniȩtymi elementali niewidocznymi mia la po lożenie rzutuj ace wzglȩdem tej rzutni. Rozwi azuj ac przenikanie trzech ostros lupów konstrukcjȩ realizujemy etapami. Najpierw znajdujemy liniȩ przenikania niskiego ostros lupa ze średnim (kolor niebieski linii przenikania), nastȩpnie średniego z wysokim (kolor żȯ lty). W tym miejscu widać zaletȩ pos lugiwania siȩ kolorami. Tak a możliwość maj a programy komputerowe. Co wiȩcej, w programach kom-
8 E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich, zadania 06 Rys. Z06-13: Dach z wież a z przyporami lub elementami przejściowymi pochodz acymi od trzeciego (środkowego) ostros lupa w wersji bez kolorów Rys. Z06-14: Dach z wież a z przyporami lub elementami przejściowymi pochodz acymi od trzeciego (środkowego) ostros lupa. Trzeci wariant w powiȩkszeniu puterowych wykorzystujemy tzw. warstwy - istotne dobrodziejstwo oprogramowania CAD. W tym miejscu warto wykorzystać warstwy umieszczaj ac każdy z ostros lupów na innej i w trakcie rysowania zamrażać wartwȩ z niewykorzystywanym w danej chwili ostros lupem. Zadanie 2 Wyznaczyć rzuty prostok atne, aksonometriȩ wojskow a z k atem 150 o (tj. z k atami 90 o, 120 o, 150 o ) (Rys. Z06-15) przenikaj acego siȩ dachu z wież a oraz k lad wybranej po laci dachu i po laci wieży.
E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich, zadania 06 9 Rys. Z06-15: Znaleźć liniȩ przenikania dachu z wież a