Teoria falowa Równania Maxwella

Teoria falowa Równania Maxwella Oś falowodu oś z Równania Maxwella E B, t H J D t, D, B 0. Jeżeli E x,y,z,t Re E x,y,z e i t 1 2 E x,y,z e i t E x,y,z e i t, 1

W postaci zespolonej: E i B, prawo indukcji Faradaya H J i D,ogólne prawo Ampera D, B 0, prawo Coulomba prawo Gaussa. Równania materiałowe B 0 H M, D 0 E P, J E, gdzie: 0 ( 8.8542 10 12 As/Vm) jest przenikalnością elektryczną próżni, 0 ( 4 10 7 Vs/Am) przenikalnością magnetyczną próżni, a jest przewodnictwem właściwym. P i M elektryczny i magnetyczny moment diolowy. 2

Przenikalność elektryczną i magnetyczną ośrodka podaje się względem przenikalności próżni, Wtedy 0 r i 0 r. Zakładamy r 1. Prawo zachowania ładunku J t. Impedancja właściwa E H 0 0 1/2 377. 3

Falowody planarne Mody TE Kierunek propagacji z. Falowód nieograniczony w y. Zatem y 0. Niech n n x oraz n 2 n 3, h grubość światłowodu E E t E z, H H t H z. Szukamy rozwiązania E x,y,z E x,y exp i z oraz H x, y,z H x,y exp i z. e x x e y y e z z t e z z. e x, e y, e z są wersorami wzdłuż osi x, y i z. Podstawiając do równań Maxwella 4

t E t i H z, t H t i E z, t E z i e z E t i H t, t H z i e z H t i E t, gdzie: t / x, / y,0. Dla TE H y 0, czyli E z 0, z(3) E y H x, i E x 0, az(1) 1 2 3 4 oraz z (4) E y x i H z H z x i H x i E y. Dla TE tylko E y 0 oraz H y E x E z 0. Równanie Helmholtza dla rdzenia ( x h/2) 5

2 E y x 2 2 n 2 1 k 2 0 E y 0, 5 apłaszcza ( x h/2) 2 E y x 2 2 n 2 2 k 2 0 E y 0. 6 E y i H z są składowymi stycznymi do powierzchni x h/2 iciągłe natych powierzchniach. H z jest proporcjonalne do de y /dx, czyli de y /dx jest ciągłe powierzchniach rozdziału ośrodków. Rozwiązania harmoniczne 2 n 2 1 k 2 0 0, Rozwiązania gasnące 2 n 2 2 k 2 0 0. Zatem k 2 0 n 2 2 2 k 2 0 n 2 1. Podstawimy 2 k 2 0 n 2 1 2, 2 2 k 0 2 n 2 2. 6

2 E y x 2 2 E y 0, 7 2 E y x 2 2 E y 0, 8 Rozwiązanie (7) E y x Acos x Bsin x, Poza rdzeniem z (8) E y x Ce x ; x h/2 De x ; x h/2. n 2 x n 2 x. Dla modów symetrycznych E y x E y x, a dla antysymetrycznych E y x E y x. Czyli E y x Acos x; x h/2 Ce x ; x h/2. 7

Z warunku ciągłości E y x i de y /dx w x h/2 Acos h/2 Ce h/2 i Asin h/2 Ce h/2. Dzieląc ostatnie równania przez siebie i mnożąc obustronnie przez h/2 h tg h 2 2 h 2. 9 Ponieważ 2 2 k 2 0 n 2 2, a 2 k 2 0 n 2 1 2, to 2 k 2 0 n 2 1 n 2 2 2 imożemy napisać h 2 V 2 4 2 gdzie: i h 2 1/2, 8

V k 0 h n 1 2 n 2 2 1/2 jest znormalizowaną częstotliwością tg V 2 4 2 Dla modu antysymetrycznego E y x i podobnie Niech 1/2. B sin x; x h/2 x De x ; x h/2 x ctg V 2 4 2 1/2. V 0 V 2 Mody symetryczne tg V 0 2 2 1/2 Mody antysymetryczne 10 ctg V 2 0 2 1/2 11 Równanie V 2 0 2 1/2 jest równaniem okręgu o promieniu V 0 na 9

płaszczyźnie (, ). η 8 6 ξtgξ ξ ξ ctg ξtgξ ξ ξ ctg ξtgξ ξ ξ ctg 4 V 0 2 0 0 π/2 π 3π/2 2π 5π/2 ξ Wykres funkcji tg (linie ciągłe mody symetryczne) i tg 1 (linie kropkowane mody antysymetryczne) w funkcji. Punkty przecięcia tych funkcji z ćwiartkami okręgu o promieniu V 0 (linia przerywana) wyznaczają stałe propagacji falowodu Wnioski: 1. Jeżeli 0 V 0 /2, jeden mod TE, sy metryczny względem x. Falowód jednomodowy. 2. Jeżeli /2 V 0, jeden symetryczny i jeden antysymetryczny. Ogólnie, jeśli 2m V 2m 1, 10

to m 1 symetrycznych modów i m antysymetrycznych. Jeżeli 2m 1 V 2m 2, m 1 symetrycznych i m 1 antysymetrycznych (m 0,1,2...). Stąd: liczba modów jest liczbą całkowitą najbliższą (i większą niż) V/. 3. Jeżeli V 1 to rozwiązania będą bliskie /2,,3 /2,..., a stałe propagacji odpowiadające m k 2 0 n 2 1 2 m h/2 m 1 /2. m 0,2,4... mody symetryczne, m 1,3,5... mody niesymetryczne. Dla modu podstawowego 0 /2 4. Ponieważ B 2 /k 2 2 0 n 2 1 2 n 2 2 1 n 2 V. 2 0 to dla modów prowadzonych 0 B 1. Częstotliwość (punkt) odcięcia. Częstotliwość odcięcia 11

a) dla symetrycznych V c 2 tg V c 0, 2 b) dla antysymetrycznych V c 2 ctg V c 0. 2 Częstotliwość odcięcia V c d V c m, gdzie: parzyste m odpowiada modom symetrycznym, a nieparzyste antysymetrycznym. Dla modu podstawowego nie ma punktu odcięcia (V c 0), co oznacza, że w strukturze będzie się propagował przynajmniej jeden mod. Ponieważ tg V 0 1 B m B 2 1 B. Stąd dla modów symetrycznych V 0 1 1 B m 2 arctg B 1 B gdzie: m 0, 2, 4, 6,.. Dla modów antysymetrycznych:, 12

V 0 1 1 B gdzie: m 1,3,5,... m 1 2 arctg B 1 B, 1.0 m = 0 B 0.8 0.6 α = 0 α = 0 m = 1 α = 0 m = 2 0.4 0.2 α = 10 α = 10 α = 10 0 2 4 6 8 10 12 14 16 V Zależność B f(v) dla modów TE, gdzie: n 2 2 n 3 2 n 1 2 n 2 2, 13

Mody TM E y H x H z 0, E x H y 0, E z i 0 H y x. n 2 x 1 n 2 H y x 2 n 2 k 0 2 H y. W rdzeniu wpłaszczu 2 H y x 2 2 H y 0, 2 H y 2 H x 2 y 0. Dla modów symetrycznych tg n 1 2 2 n V 0 2 2 1/2 2 Dla modów antysymetrycznych ctg n 1 2 n 2 2 V 0 2 2 1/2. 14

Światłowody paskowe a) c) n 1 n 1 n 2 n 2 b) d) n d n 3 n 1 n 2 n 1 n2 Geometria najważniejszych typów falowodów paskowych. Obszary propagacji fali są ciemniejsze a) n 2 x n 3 h n 1 n 5 y n 4 s b) n 2 n 3 n 1 n 5 h n 1 n 4 s Przekrój falowodu paskowego opisanego w tekście (a). Konstrukcja składania światłowodu paskowego z dwu falowodów planarnych do metody efektywnego współczynnika załamania (b) 15

x 1. Mody E pq i Epq y. Równanie charakterystyczne 2k x h 2arctg gdzie: 2 n 2 2 k x 2arctg n 2 n 2 n 1, n 4 n 4 n 1, m p 1, k x n 1 2 k 0 2 2 k y 2. 2 2 k y 2 n 2 2 k 0 2, 4 n 4 2 k x 2m, 4 2 k 2 y n 2 4 k 2 0. Dla fal w płaszczyźnie prostopadłej 2k y s 2arctg 3 k x 2arctg 5 k x gdzie: l q 1, k y n 2 1 k 2 0 2 k 2 x. I dalej 2l, 16

3 2 k x 2 n 3 2 k 0 2, 5 2 k x 2 n 5 2 k 0 2. Rozwiązujemy graficznie 2. Metoda efektywnego współczynnika załamania 3. Metoda Kumara Niech n 2 x,y n 2 x n 2 y, gdzie: n 2 x i n 2 y są wybranymi funkcjami. n 2 x n 2 y 1 n 2 1 2 ; x h/2 1 n 2 2 2 ; x h/2, 1 n 2 1 2 ; y s/2 1 n 2 2 2 ; y s/2. Równanie falowe x,y 2 2 k 2 x 2 y 2 0 n 2 x,y 2 0. Niech 17

x, y X x Y y, gdzie: X x i Y y 2 X x k 2 0 2 n 2 2 x 1 X 0, 2 Y y 2 k 0 2 n 2 y 2 2 Y 0, gdzie: 1 1 2 2 2. Po podstawieniu otrzymujemy ( 2x/h): dla 1 2 X 2 1 2 X 0, dla 1 2 X V 2 1 2 2 1 X 0, gdzie: V 1 k 0 h/2 n 2 1 n 2 2 1/2 i 1 h/2 k 2 0 n 2 1 /2 2 1 1/2. Rozwiązania symetryczne X x A cos 1 1 B exp V 1 2 1 2 1/2 1. Z warunków ciągłości X x i pochodnej na w 18

1 1 tg 1 V 2 1 2 1 1/2, stąd wyznaczamy 1. Antysymetryczne 1 ctg 1 V 2 1 2 1 1/2. Podobnie dla Y y : dla modów symetrycznych 2 tg 2 V 2 2 2 2 1/2, dla modów antysymetrycznych 2 ctg 2 V 2 2 2 2 1/2, gdzie: V 2 k 0 s/2 n 2 1 n 2 2 1/2 i 2 s/2 k 2 0 n 2 1 /2 2 2 1/2. Stąd 2 1 1 2 2 n 2 1 k 2 0 4 1 2 h 4 2 2 2 s, 2 a znormalizowana stała propagacji B 1 1 2 V 2 2 2 1 V. 2 2 19

Światłowody cylindryczne Współrzędne cylindryczne r, i z, x rcos, y rsin, z z, E E r r E E z z i podobnie: H H r, H, H z. Równanie Helmholtza 2 k 2 0 n 2 E 2 E r 2 r 2 E E r r 2 k 0 2 n 2 E r r 2 E 2 E r r 2 E r 2 k 2 0 n 2 E 2 k 2 0 n 2 E z z 0. gdzie: 2 2 r 1 2 r r 1 2 r 2 2 Wyrażenia w nawiasach 0, 2 z 2. Wszystkie, z wyjątkiem wyrazuzeskładową z zawierają zarówno E r,jakie. Rozważmy z-ową składową pola elektrycznego fali. 20

Znając E z, pozostałe składowe z równań Maxwella E i H, Niech H i E. E z E z r, exp i z. Szukamy E z r, z równania 2 E z r 2 1 r Oznaczmy Niech E z r 1 r 2 2 E z 2 k 0 2 n 2 r 2 E z 0. 2 k 0 2 n 2 r 2. E z r, R r. Po podstawieniu r 2 R 2 R r 2 r R R r 2 r 2 1 2 2. 21

Stąd (równanie Bessela) oraz 2 R r 2 1 r R r 2 p2 r 2 R 0, Ogólne rozwiązanie 1 2 2 p 2. A sin p B cosp. musi spełniać warunek symetrii obrotowej: 2, p 0, 1, 2,. Tak więc E z r,,t, z R r exp ip exp i t z. Rozwiązania równania Bessela funkcje Bessela Jeżeli: 0, dla fal rdzenia r a R r CJ p r DY p r. 0, falpłaszcza r a R r C I p r D K p r. 22

J p r funkcja Bessela pierwszego rodzaju rzędu p, Y r funkcja Bessela drugiego rodzaju rzędu p. I p r oraz K p r zmodyfikowane funkcje Bessela: pierwszego i drugiego rodzaju rzędu p. a) Amplituda J(x) 0 0 J (x) 1 Y(x) 1 b) -2 5 Y(x) 0 0 2 4 x 6 8 10 Amplituda 4 3 K(x) 1 I(x) 1 K(x) 0 I(x) 0 2 1 0 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 x Funkcje Bessela pierwszego i drugiego rzędu (a) oraz zmodyfikowane funkcje Bessela pierwszego i drugiego 23

Podstawienie rzędu (b) U a k 0 2 n 1 2 r 2 1/2, W a 2 k 0 2 n 2 2 r 1/2, znormalizowane poprzeczne stałe propagacji Znormalizowana częstotliwość V 2 U 2 W 2. Zatem Czyli dla r a E z AJ p V a 2 0 NA. Ur a sin p, dla r a E z CK p Wr a sin p, Składowa H z dla r a H z BJ p 24 Ur a cosp,

adlar a H z DK p Wr a cosp. Mody południkowe Mody hybrydowe Równanie charakterystyczne cylindrycznego światłowodu skokowego J p U UJ p U K p W WK p W 1 2 J p U UJ p U K p W WK p W p 2 1 U 1 1 1 2 W 2 2 U 2 1 W 2 p 2 n ef U 2 B 2. gdzie: B n ef 2 n 2 n 2 2 1 n 2 W 2 U 2 W, 2 a n ef /k 0. 25

Jeżeli p 0, to a) mody TE J 1 U UJ 0 U b) mody TM 1 J 1 U 2 UJ 0 U K 1 W WK 0 W 0, K 1 W WK 0 W 0. Jeżeli p 0 zwykle rozwiązuje się problem numerycznie Ogólnie występują: TE,TM,HEiEH, Podstawowy mod: HE 11. Jeśli 1 2 n 1 n 2 1. to przybliżenia słabego prowadzenia (ang.weakly guiding approximation). W tym przybliżeniu J p U UJ p U K p W WK p W p 1 U 1. 2 W 2 26

Zwłasności funkcji Bessela a) dla znaku (mody EH) J p 1 U UJ p U K p 1 W WK p W 0, b) dla znaku (mody HE) J p 1 U UJ p U K p 1 W WK p W 0. Wprowadźmy wskaźnik m, takiże m Ogólnie 1 dla mod: TE i TM, p 0 p 1 dla mod EH, p 1 p 1 dla mod HE, p 1 U J m 1 U J m U W K m 1 W K m W. Mody liniowo spolaryzowane: LP ml (ang. Linear Polarized)., 27

Mody światłowodu cylindrycznego m Mod LP Mody zdegenerowane Liczba 0 LP 0l 2 HE 1l 2 1 LP 1l TE 0l, TM 0l,2 HE 2l 4 1 LP ml 2 EH m 1,l,2 HE m 1,l 4 Częstotliwości odcięcia są wyznaczone przez U J m 1 U 0. J m U Ale J 1 x J 1 x, toczęstotliwości odcięcia z warunku J m 1 U 0. Mod podstawowy LP 01 ma częstotliwość odcięcia równą zeru. Skokowy światłowód cylindryczny jest jednomodowy (mod LP 01 ), jeśli 0 V 2.4048. czyli a 2.405 0 2 NA. Jeśli V 1, liczba propagowanych modów 28

i N V2 2. B W2 V 2 1 U2 V 2 LP 01 LP 11 LP 21 Rozkład natężenia i kierunki pola elektrycznego dla trzech najniższych modów LP 29

Światłowody gradientowe Najczęściej n 1 n 0 1 2 n rr 2, gdzie: r 2 x 2 y 2, n r n 0. a) b) c) Promienie w światłowodach gradientowych: poosiowe (a), leżące w płaszczyźnie przechodzącej przez oś rdzenia (południkowe) (b), helikalne (c) Ogólniej n r n 1 1 2 r a g 1/2 ; dla r a n 1 1 2 1/2 ; dla r a, 1.8 g 2.2. Dla r a imałych wartości n a n 1 1 2 1/2 n 1 1 n 2, Apertura numeryczna falowodu 30

gradientowego NA n 1 2 n 2 2 n 1 2 n 1 2 1 2 n 1 2. Równanie promienia w światłowodach parabolicznych Równanie promienia 2 r z 1 2 n r n r, gdzie: jest jednostkowym wektorem w kierunku r. Niech n n 0 1 2 n rr 2. r xi yj, gdzie: i i j wersory w układzie kartezjańskim. Wtedy i lub 31 n r n r xi n r yj. 2 r z 2 n r xi n r yj n 0 1 2 n r x 2 y 2,

2 r z 2 1 2 Rozwiązanie n r n 0 x 2 y 2 2 r z 2 n r n 0 xi n r n 0 yj 0. r z r 0 cos n r n 0 z r 0 n 0 n r sin n r n 0 z 32

Mody w światłowodzie gradientowym Niech n 2 r r n 1 2 gdzie: 2 /a G 1. Równanie Helmholtza czyli 1 r2 G 2, t 2 E k 2 1 r2 G 2 2 E 0, 2 E x 2 E 2 y 2 k2 1 r2 G 2 2 E 0. Załóżmy, że E x, y X x Y y. Wtedy Y Y k 2 2 k2 G 2 y2 X X k2 G 2 x2 T, gdzie: druga pochodna. Stąd oraz X T k2 G 2 x2 X 0 33

Y k 2 2 T k2 G 2 y2 Y 0. Funkcje Hermita Gaussa H n u exp u 2 /2. Podstawmy u k/g x, wtedy d 2 X du TG u 2 X 0. 2 k Funkcja Hermita Gaussa 1/2 X x H m k x exp k x 2 G 2h jest rozwiązaniem, jeśli Funkcja zależna od y T 2m 1 k G. Y y H p k G 1/2 y exp k 2h y 2 jest jego rozwiązaniem, jeśli G k 0 k 2 2 T 2p 1, lub Stała propagacji 2 k 2 T 2p 1 k G. 34

k 1 2 kg 1 m p 1/2, lub inaczej k 1 2 kh 1 m p 2 1/2 1/2. Natężenie pola zależy od stałych dyskretnych i ma postać E x,y,z E 0 H m 2 x 2 y w H p w gdzie: w 2 2G/k. exp r2 w 2 exp ik 1 1/2 z, 35

Liczba modów Mamy, że d 2 X du 2 2m 1 u2 X 0. Jeżeli m jest duże, X sin 2m 1 u 2 1/2 u. Dla dużych u (u k/g 1/2 x) X exp u 2 2m 1 1/2 u, Dla fal prowadzonych 2m 1 u 2 kx2 G. Ponieważ w 2 2G/k, to 2m 1 2 r w. Jest to górna granica liczby modów w światłowodzie gradientowym. Jeżeli m p,to N mp, Metoda WKB 36

Literatura 1. B. Ziętek, Optoelektronika, Wyd.UMK, Toruń 2004. 2. Ch.C.Davis,Lasers and electro optics, Cambridge University Press, Cambridge 1996. 3. K. J. Eberling, Integrated optoelectronics, Springer-Verlag, Berlin 1993. 4. G. Einarsson, Podstawy techniki światłowodowej, WKŁ, Warszawa 1996. 5. A. K. Ghatak, K. Thyagarajan, Optical electronics, Cambridge University Press, Cambridge 1989. 6. A. Kowalski, Podstawy telekomunikacji, Oficyna Wydawnicza PW, Warszawa 1998. 7. J. C. Palais, Zarys telekomunikacji światłowodowej, WKŁ, Warszawa 1991. 8. A. Pawluczyk, Elementy i układy optoelektroniczne, WKŁ, Warszawa 1984. 9. J. Petykiewicz, Podstawy fizyczne optyki scalonej, PWN, Warszawa 1989. 10. J. Siuzdak, Wstęp dowspółczesnej 37

telekomunikacji światłowodowej, WKŁ, Warszawa 1999. 11. M. Szustakowski, Elementy techniki światłowodowej, WNT,Warszawa 1992. 12. T. Tamir, Integrated Optics, Springer-Verlag, Berlin 1975. 13. J. Wilson, J. F. Hawkes, Optoelectronics an introduction, Prentice Hall, New York 1989. 14. A. Yariv, Quantum Electronics, ed. III, John Wiley & Sons, New York 1989. 15. A. Yariv, P. Yeh, Opticzeskie wolny w kristalach, Mir, Moskwa 1987; tłm. z ang. A. Yariv, P. Yeh, Optical Waves in Cristals. Propagation and control of laser radiation, J.Wiley&Sons,New York 1984. 16. B. E. A. Saleh, M. C. Teich, Fundamentals of photonics, John Wiley & Sons, New York 1991. 17. A. K. Ghatak, K. Thyagarajan, Optical electronics, Cambridge University Press, Cambridge 1989. 18. A. K. Ghatak, K. Thyagarajan, Introduction to fiber optics, Cambridge 38

University Press, Cambridge 2000. 19. J. E. Midwinter, Optoelektronika i technika światłowodowa, WKŁ, Warszawa 1995. 20. F. G. Smith, T. A. King, Optics and photonics, John Wiley & Sons, Ltd., New York, Toronto 2000. 21. M. Young, Optics and Lasers, Springer-Verlag, Berlin 2000. 22. K. Iizuka, Elements of Photonics, John Wiley & Sons, New York 2002. 23. M. Malinowski, Lasery światłowodowe, Oficyna Wydawnicza PW, Warszawa 2003. 24. J. Hecht, Understanding Fiber Optics, Pearson Prentice Hall, New Jersey 2002. 25. A. Majewski, Podstawy techniki światłowodowej, Oficyna Wydawnicza PW, Warszawa 2000. 39