Wykład z modelowania matematycznego.

Załóżmy, że równanie różniczkowe x (t) = f (t, x) (1) ma rozwiązanie ogólne x(t) = ϕ(t, c). (2)

Załóżmy, że równanie różniczkowe x (t) = f (t, x) (1) ma rozwiązanie ogólne x(t) = ϕ(t, c). (2) Rodzina funkcji (2) opisuje rodzinę krzywych całkowych zależnych od parametru c. Rozwiązaniu szczególnemu spełniającemu warunek początkowy odpowiada ta krzywa całkowa należąca do rodziny, która przechodzi przez punkt (t 0, x 0 ).

Załóżmy, że układ normalny dwóch równań różniczkowych x 1 (t) = f 1 (t, x 1, x 2 ) x 2 (t) = f 2(t, x 1, x 2 ). (3) ma rozwiązanie ogólne x1 (t) = ϕ 1 (t, c 1, c 2 ) x 2 (t) = ϕ 2 (t, c 1, c 2 ). (4)

Każda z funkcji w (4) opisuje powierzchnię walcową w przestrzeni Otx 1 x 2, a ich przecięcie - krzywą w tej przestrzeni. Układ (3) definiuje w każdym punkcie (t 0, x 1 (t 0 ), x 2 (t 0 )) pewnego obszaru przestrzeni pochodne x 1 (t 0), x 2 (t 0), z których otrzymujemy kierunek styczny do krzywej całkowej w tym punkcie i w konsekwencji pole kierunków w przestrzeni. Rozwiązanie ogólne układu (3) jest dwuparametrową rodziną krzywych, stycznych w każdym swoim punkcie do kierunku wyznaczonego przez pole.

Każda z funkcji w (4) opisuje powierzchnię walcową w przestrzeni Otx 1 x 2, a ich przecięcie - krzywą w tej przestrzeni. Układ (3) definiuje w każdym punkcie (t 0, x 1 (t 0 ), x 2 (t 0 )) pewnego obszaru przestrzeni pochodne x 1 (t 0), x 2 (t 0), z których otrzymujemy kierunek styczny do krzywej całkowej w tym punkcie i w konsekwencji pole kierunków w przestrzeni. Rozwiązanie ogólne układu (3) jest dwuparametrową rodziną krzywych, stycznych w każdym swoim punkcie do kierunku wyznaczonego przez pole. Uwaga. Analogiczna sytuacja ma miejsce w przypadku ogólnym układu n równań. Rozwiązaniem ogólnym układu są krzywe całkowe w przestrzeni R n+1. Rodzina tych krzywych jest zależna od n parametrów.

Przykład 2. Układ ma rozwiązanie ogólne x 1 (t) = x 2 x 2 (t) = k2 x 1 (5)

Przykład 2. Układ ma rozwiązanie ogólne x1 (t) = c 1 cos kt + c 2 sin kt x 1 (t) = x 2 x 2 (t) = k2 x 1 (5) x 2 (t) = c 1 k sin kt + c 2 k cos kt.

Przykład 2. Układ ma rozwiązanie ogólne x1 (t) = c 1 cos kt + c 2 sin kt x 1 (t) = x 2 x 2 (t) = k2 x 1 (5) x 2 (t) = c 1 k sin kt + c 2 k cos kt. Jeśli dodamy warunek początkowy x 1 (0) = a, x 2 (0) = b,

Przykład 2. Układ ma rozwiązanie ogólne x1 (t) = c 1 cos kt + c 2 sin kt x 1 (t) = x 2 x 2 (t) = k2 x 1 (5) x 2 (t) = c 1 k sin kt + c 2 k cos kt. Jeśli dodamy warunek początkowy x 1 (0) = a, x 2 (0) = b, to rozwiązaniem szczególnym jest x1 (t) = a cos kt + b k sin kt x 2 (t) = ak sin kt + b cos kt.

Krzywa całkowa jest postaci Uwaga. Wektor styczny do krzywej dla t = 0, tj. w punkcie (a, b) jest równy [b, k 2 a].

W wielu zastosowaniach fizycznych (szczególnie w mechanice) zmienną t interpretuje się jako czas. W tych przypadkach wygodny jest także inny sposób analizy geometrycznej rozwiązań, polegający na tym, że czas t nie odgrywa roli jednej ze współrzędnych, równoważnej ze współrzędnymi przestrzennymi, lecz jest parametrem w równaniu parametrycznym. Jeśli uda się go wyrugować, to otrzymamy krzywą na tzw. płaszczyźnie fazowej Ox 1 x 2.

Przykład 2 CD. Układ x 1 (t) = x 2 x 2 (t) = k2 x 1 jest układem autonomicznym. Podnosząc jego rozwiązanie do kwadratu stronami i dodając mamy

Przykład 2 CD. Układ x 1 (t) = x 2 x 2 (t) = k2 x 1 jest układem autonomicznym. Podnosząc jego rozwiązanie do kwadratu stronami i dodając mamy x 1 2 + ( ) 2 ( ) x2 b 2 = a 2 +. k k Jest to elipsa na płaszczyźnie fazowej Ox 1 x 2.

Analiza stabilności jest jednym ze sposobów jakościowego badania rozwiązań równania różniczkowego. Pytanie dotyczy tego jak zmieni się globalny przebieg rozwiązania pod wpływem małych zaburzeń warunków początkowych. Sens takiego pytania jest oczywisty tam gdzie równania różniczkowe stosowane są do opisu zjawisk z dziedziny fizyki, chemii, biologii, ekonomii.

Niech dany będzie układ równań X (t) = F (t, X ), (6) gdzie F : R n+1 R n jest klasy C 1 i niech Y (t) będzie rozwiązaniem tego układu w przedziale [0, ).

Niech dany będzie układ równań X (t) = F (t, X ), (6) gdzie F : R n+1 R n jest klasy C 1 i niech Y (t) będzie rozwiązaniem tego układu w przedziale [0, ). Mówimy, że rozwiązanie Y (t) jest stabilne w sensie Lapunowa jeśli dla każdego ε > 0 istnieje takie t 0 0 oraz δ > 0, że dla każdego rozwiązania X (t) układu (6) spełniającego nierówność X (t 0 ) Y (t 0 ) < δ (7) zachodzi X (t) Y (t) < ε dla każdego t t 0. (8)

Jeśli ponadto lim X (t) Y (t) = 0, t to mówimy, że rozwiązanie Y (t) jest stabilne asymptotycznie.

Jeśli ponadto lim X (t) Y (t) = 0, t to mówimy, że rozwiązanie Y (t) jest stabilne asymptotycznie. Jeśli przy każdym δ > 0 istnieje chociaż jedno rozwiązanie X (t), dla którego nierówność (8) nie zachodzi, to rozwiązanie Y (t) nazywamy niestabilnym.

Powyższa definicja oznacza, że jeśli wartości początkowe (tzn. w chwili t 0 ) rozwiązań różnią się mało od wartości początkowych rozwiązania stabilnego, to będą nadal różnić się mało na całym przedziale (t 0, ).

Powyższa definicja oznacza, że jeśli wartości początkowe (tzn. w chwili t 0 ) rozwiązań różnią się mało od wartości początkowych rozwiązania stabilnego, to będą nadal różnić się mało na całym przedziale (t 0, ). Uwaga. Jeśli X (t) = [x 1 (t),..., x n (t)] T, Y (t) = [y 1 (t),..., y n (t)] T, to nierówność (8) oznacza x j (t) y j (t) < ε dla każdego j = 1,..., n.

Równanie liniowe X (t) = A(t)X (t) + B(t) nazywamy stabilnym (niestabilnym) jeśli wszystkie jego rozwiązania X (t) są stabilne (niestabilne) w sensie Lapunowa.

Równanie liniowe X (t) = A(t)X (t) + B(t) nazywamy stabilnym (niestabilnym) jeśli wszystkie jego rozwiązania X (t) są stabilne (niestabilne) w sensie Lapunowa. Tw. Równanie liniowe X (t) = A(t)X (t) jest stabilne wtedy i tylko wtedy gdy rozwiązanie X (t) = 0 jest stabilne w sensie Lapunowa.

Równanie liniowe X (t) = A(t)X (t) + B(t) nazywamy stabilnym (niestabilnym) jeśli wszystkie jego rozwiązania X (t) są stabilne (niestabilne) w sensie Lapunowa. Tw. Równanie liniowe X (t) = A(t)X (t) jest stabilne wtedy i tylko wtedy gdy rozwiązanie X (t) = 0 jest stabilne w sensie Lapunowa. Uwaga. Oznacza to, że jeśli choć jedno z rozwiązań równania jednorodnego jest stabilne (niestabilne), to takie są wszystkie rozwiązania tego równania.

Niech dane będzie równanie x (t) = f (t, x). (9)

Niech dane będzie równanie x (t) = f (t, x). (9) Równanie (9), w którym prawa strona nie zależy jawnie od t, nazywamy równaniem autonomicznym. Równanie autonomiczne ma więc postać x (t) = f (x). (10)

Niech dane będzie równanie x (t) = f (t, x). (9) Równanie (9), w którym prawa strona nie zależy jawnie od t, nazywamy równaniem autonomicznym. Równanie autonomiczne ma więc postać x (t) = f (x). (10) Podobnie, jeśli dany jest układ równań X (t) = F (t, X ), (11) gdzie X = [x 1,..., x n ] T, to układ ten nazywamy układem autonomicznym gdy jest postaci X (t) = F (X ). (12)

Zbiór G R n+1 określoności funkcji F nazywamy rozszerzoną przestrzenią fazową układu (12), a jego rzut D na przestrzeń R n zmiennych x 1,..., x n stanowiących składowe wektora X - przestrzenią fazową układu (12). W przypadku n = 2 zamiast o przestrzeni mówimy o płaszczyźnie fazowej. Trajektorią lub orbitą fazową nazywamy rozwiązanie układu (12) w przestrzeni fazowej. Trajektorię określa zarówno układ równań różniczkowych, jak i warunki początkowe. Z twierdzenia o istnieniu i jednoznaczności rozwiązania układ równań wynika

Tw. Przez każdy punkt płaszczyzny fazowej przechodzi dokładnie jedna orbita.

Tw. Przez każdy punkt płaszczyzny fazowej przechodzi dokładnie jedna orbita. Wynika stąd, że dwie różne orbity się nie przecinają. Możliwa jest jednak sytuacja, że orbita ma punkt samoprzecięcia.

Tw. Przez każdy punkt płaszczyzny fazowej przechodzi dokładnie jedna orbita. Wynika stąd, że dwie różne orbity się nie przecinają. Możliwa jest jednak sytuacja, że orbita ma punkt samoprzecięcia. Podzbiór przestrzeni fazowej wypełniony przez trajektorie fazowe nazywa się obrazem lub portretem fazowym układu. Punkt X 0 nazywamy punktem krytycznym lub punktem osobliwym układu (12) jeśli F (X 0 ) = 0. Ponieważ w tym przypadku mamy X (t) = 0, czyli X (t) = const = X 0, więc X 0 jest punktem (położeniem) równowagi. Punkt przestrzeni fazowej, który nie jest punktem krytycznym nazywamy punktem regularnym.

Przykład 2 CD. Trajektoriami fazowymi układu (5) są elipsy x 1 2 + ( ) 2 ( ) x2 b 2 = a 2 +. k k

Przykład 3. Wyznaczyć portret fazowy układu x 1 (t) = x 2 + x 1 (1 x 1 2 x 2 2 ) x 2 (t) = x 1 + x 2 (1 x 1 2 x 2 2 ). (13)

Wprowadzając współrzędne biegunowe x 1 = r cos θ, x 2 = r sin θ układ (13) można zapisać w postaci

Wprowadzając współrzędne biegunowe x 1 = r cos θ, x 2 = r sin θ układ (13) można zapisać w postaci r (t) = r(1 r 2 ) θ (t) = 1.

Wprowadzając współrzędne biegunowe x 1 = r cos θ, x 2 = r sin θ układ (13) można zapisać w postaci r (t) = r(1 r 2 ) θ (t) = 1. Zauważmy, że układ ten ma następujące rozwiązania: r(t) = 0 punkt x 1 = x 2 = 0, θ(t) = t + d

Wprowadzając współrzędne biegunowe x 1 = r cos θ, x 2 = r sin θ układ (13) można zapisać w postaci r (t) = r(1 r 2 ) θ (t) = 1. Zauważmy, że układ ten ma następujące rozwiązania: r(t) = 0 punkt x 1 = x 2 = 0, θ(t) = t + d r(t) = 1 θ(t) = t + d okrąg x 1 2 +x 2 2 = 1 orbita okresowa,

Wprowadzając współrzędne biegunowe x 1 = r cos θ, x 2 = r sin θ układ (13) można zapisać w postaci r (t) = r(1 r 2 ) θ (t) = 1. Zauważmy, że układ ten ma następujące rozwiązania: r(t) = 0 punkt x 1 = x 2 = 0, θ(t) = t + d r(t) = 1 θ(t) = t + d r(t) = et c+e 2t θ(t) = t + d okrąg x 1 2 +x 2 2 = 1 orbita okresowa, orbity spiralne nawijające się od wewnątrz i od zewnątrz na okrąg jednostkowy.

Rozwiązania układu równań różniczkowych można pogrupować w pewne klasy, którym przypisujemy jeden typ orbity fazowej. Z topologicznego punktu widzenia należy wyróżnić trzy kategorie orbit:

Rozwiązania układu równań różniczkowych można pogrupować w pewne klasy, którym przypisujemy jeden typ orbity fazowej. Z topologicznego punktu widzenia należy wyróżnić trzy kategorie orbit: orbity otwarte orbity zamknięte punkty krytyczne.

Rozwiązania układu równań różniczkowych można pogrupować w pewne klasy, którym przypisujemy jeden typ orbity fazowej. Z topologicznego punktu widzenia należy wyróżnić trzy kategorie orbit: orbity otwarte orbity zamknięte punkty krytyczne. Orbitom zamkniętym w przestrzeni fazowej odpowiadają rozwiązania okresowe. O orbicie zamkniętej mówimy, że jest cyklem granicznym jeśli istnieje obszar wypełniony trajektoriami fazowymi zmierzającymi do tej krzywej gdy t + lub t.

Przykład 5. Zbadać stabilność równania X (t) = AX (t), gdzie [ ] α β A =. β α

Jednym z rozwiązań tego równania jest funkcja stała Y (t) = 0. Ponieważ jest to równanie autonomiczne, jest to położenie równowagi. Rozwiązaniem ogólnym tego równania jest [ ] [ x1 (t) e αt ] (c 1 sin βt + c 2 cos βt) X (t) = = x 2 (t) e αt. (c 1 cos βt c 2 sin βt)

Jednym z rozwiązań tego równania jest funkcja stała Y (t) = 0. Ponieważ jest to równanie autonomiczne, jest to położenie równowagi. Rozwiązaniem ogólnym tego równania jest [ ] [ x1 (t) e αt ] (c 1 sin βt + c 2 cos βt) X (t) = = x 2 (t) e αt. (c 1 cos βt c 2 sin βt) Jeśli α < 0, to x 1 (t) i x 2 (t) są dowolnie bliskie 0 dla dostatecznie dużych t. Stąd rozwiązanie Y (t) = 0 jest asymptotycznie stabilnym położeniem równowagi.

Jednym z rozwiązań tego równania jest funkcja stała Y (t) = 0. Ponieważ jest to równanie autonomiczne, jest to położenie równowagi. Rozwiązaniem ogólnym tego równania jest [ ] [ x1 (t) e αt ] (c 1 sin βt + c 2 cos βt) X (t) = = x 2 (t) e αt. (c 1 cos βt c 2 sin βt) Jeśli α < 0, to x 1 (t) i x 2 (t) są dowolnie bliskie 0 dla dostatecznie dużych t. Stąd rozwiązanie Y (t) = 0 jest asymptotycznie stabilnym położeniem równowagi. Jeśli α > 0, to x 1 (t) i x 2 (t) oscylują wokół funkcji stale równej 0, przy czym oscylacje te zwiększają się ze wzrostem t. Stąd rozwiązanie Y (t) = 0 nie jest stabilnym położeniem równowagi.

Z algebry liniowej wiadomo, że dla macierzy kwadratowej stopnia 2 istnieje nieosobliwa macierz Q taka, że J = Q 1 AQ jest w postaci Jordana, tzn. jest macierzą jednej z trzech następujących postaci

Z algebry liniowej wiadomo, że dla macierzy kwadratowej stopnia 2 istnieje nieosobliwa macierz Q taka, że J = Q 1 AQ jest w postaci Jordana, tzn. jest macierzą jednej z trzech następujących postaci [ ] [ ] [ ] a 0 a 1 a b lub lub. 0 b 0 a b a

Z algebry liniowej wiadomo, że dla macierzy kwadratowej stopnia 2 istnieje nieosobliwa macierz Q taka, że J = Q 1 AQ jest w postaci Jordana, tzn. jest macierzą jednej z trzech następujących postaci [ ] [ ] [ ] a 0 a 1 a b lub lub. 0 b 0 a b a Ponadto, jeśli A ma dwie różne wartości własne, to J jest macierzą diagonalną z wartościami własnymi na przekątnej.

Jeśli J jest postacią kanoniczną macierzy A, to Q przeprowadza bazę kanoniczną na bazę przestrzeni wyjściowej. Oznacza to, że jeśli równanie X (t) = AX w bazie kanonicznej przyjmie postać Y (t) = JY, to X = QY. Kolumny macierzy Q są zbudowane z wektorów bazy kanonicznej wyrażonych we współrzędnych zmiennej X.

Załóżmy, że mamy układ X (t) = AX (14) ze stałą macierzą A = [ a11 a 12 a 21 a 22 ].

Załóżmy, że mamy układ X (t) = AX (14) ze stałą macierzą [ ] a11 a 12 A =. a 21 a 22 Punkt X = 0 jest punktem krytycznym tego równania. Jest on jedynym punktem krytycznym gdy det A 0.

Załóżmy, że det A 0. Będziemy analizować rozwiązania układu w otoczeniu punktu krytycznego, czyli X = 0. W tym celu rozważmy wielomian charakterystyczny macierzy A p(λ) = λ 2 λ(a 11 + a 22 ) + (a 11 a 22 a 21 a 12 )

Załóżmy, że det A 0. Będziemy analizować rozwiązania układu w otoczeniu punktu krytycznego, czyli X = 0. W tym celu rozważmy wielomian charakterystyczny macierzy A p(λ) = λ 2 λ(a 11 + a 22 ) + (a 11 a 22 a 21 a 12 ) lub inaczej p(λ) = λ 2 λ tr A + det A, gdzie tr A oznacza ślad macierzy A. Z założenia det A 0 wynika, że λ 0.

I. > 0

I. > 0 Macierz A ma dwie różne rzeczywiste wartości własne λ 1 = 1 2 (tr A ), λ 2 = 1 2 (tr A + ), gdzie = (tr A) 2 4 det A.

I. > 0 Macierz A ma dwie różne rzeczywiste wartości własne λ 1 = 1 2 (tr A ), λ 2 = 1 2 (tr A + ), gdzie = (tr A) 2 4 det A. Odpowiadające im wektory własne są liniowo niezależne i tworzą bazę kanoniczną w R 2. W bazie tej A ma postać [ ] λ1 0 J =. 0 λ 2.

Równanie (14) sprowadza się wtedy do układu y 1 (t) = λ 1 y 1 y 2 (t) = λ 2y 2,

Równanie (14) sprowadza się wtedy do układu y 1 (t) = λ 1 y 1 y 2 (t) = λ 2y 2, którego rozwiązania wyrażają się wzorami y1 (t) = c 1 e λ 1t y 2 (t) = c 2 e λ 2t.

Równanie (14) sprowadza się wtedy do układu y 1 (t) = λ 1 y 1 y 2 (t) = λ 2y 2, którego rozwiązania wyrażają się wzorami y1 (t) = c 1 e λ 1t y 2 (t) = c 2 e λ 2t. Równanie orbit w przestrzeni fazowej jest postaci y 2 = cy 1 λ 2 /λ 1.

Równanie (14) sprowadza się wtedy do układu y 1 (t) = λ 1 y 1 y 2 (t) = λ 2y 2, którego rozwiązania wyrażają się wzorami y1 (t) = c 1 e λ 1t y 2 (t) = c 2 e λ 2t. Równanie orbit w przestrzeni fazowej jest postaci y 2 = cy 1 λ 2 /λ 1. Obraz orbit w otoczeniu punktu krytycznego X = 0 zależy od znaku pierwiastków λ 1, λ 2.

IA. λ 2 < λ 1 < 0 portret fazowy Punkt krytyczny X = 0 nazywany jest węzłem. Jest to punkt stabilny (rozwiązania dążą do punktu krytycznego gdy t ),

IB. λ 1 < λ 2 < 0 portret fazowy Punkt krytyczny X = 0 jest węzłem stabilnym.

IC. λ 2 > λ 1 > 0 portret fazowy Punkt krytyczny X = 0 jest węzłem niestabilnym (rozwiązania oddalają się od punktu krytycznego gdy t ).

ID. λ 1 > λ 2 > 0 portret fazowy Punkt krytyczny X = 0 jest węzłem niestabilnym.

IE. λ 1 λ 2 < 0 Punkt krytyczny X = 0 jest siodłem. Półosie współrzędnych też są orbitami, przy czym na półosiach Ox 1 punkt zbliża się do punktu krytycznego, zaś na półosiach Ox 2 punkt oddala się od punktu krytycznego. Zatem siodło nie jest punktem stabilnym.

II. = 0 Macierz A ma podwójną wartość własną λ 0.

II. = 0 Macierz A ma podwójną wartość własną λ 0. IIA. Jeśli wartości własnej λ 0 odpowiadają dwa liniowo niezależne wektory własne, to tworzą one bazę kanoniczną w R 2 i A ma w tej bazie postać [ ] λ0 0 J =. 0 λ 0.

Równanie (14) sprowadza się wtedy do układu y 1 (t) = λ 0 y 1 y 2 (t) = λ 0y 2,

Równanie (14) sprowadza się wtedy do układu y 1 (t) = λ 0 y 1 y 2 (t) = λ 0y 2, którego rozwiązania wyrażają się wzorami y1 (t) = c 1 e λ 0t y 2 (t) = c 2 e λ 0t.

Równanie (14) sprowadza się wtedy do układu y 1 (t) = λ 0 y 1 y 2 (t) = λ 0y 2, którego rozwiązania wyrażają się wzorami y1 (t) = c 1 e λ 0t y 2 (t) = c 2 e λ 0t. Równanie orbit w przestrzeni fazowej jest postaci y 2 = cy 1.

Portret fazowy tworzą proste. Punkt krytyczny X = 0 jest węzłem gwiaździstym.

Portret fazowy tworzą proste. Punkt krytyczny X = 0 jest węzłem gwiaździstym. W zależności od znaku λ 0 mamy: węzeł stabilny gdy λ 0 < 0 węzeł niestabilny gdy λ 0 > 0

IIB. Jeśli A ma tylko jeden wektor własny odpowiadający wartości własnej λ 0, to A ma postać kanoniczną [ ] λ0 1 J =. 0 λ 0.

Równanie (14) sprowadza się wtedy do układu y 1 (t) = λ 0 y 1 + y 2 y 2 (t) = λ 0y 2,

Równanie (14) sprowadza się wtedy do układu y 1 (t) = λ 0 y 1 + y 2 y 2 (t) = λ 0y 2, którego rozwiązania wyrażają się wzorami y1 (t) = (c 1 + c 2 t)e λ 0t y 2 (t) = c 2 e λ0t.

Równanie (14) sprowadza się wtedy do układu y 1 (t) = λ 0 y 1 + y 2 y 2 (t) = λ 0y 2, którego rozwiązania wyrażają się wzorami y1 (t) = (c 1 + c 2 t)e λ 0t y 2 (t) = c 2 e λ0t. Równanie orbit w przestrzeni fazowej jest postaci y 1 = 1 y 2 ln y 2 + cy 2. λ 0

Punkt krytyczny X = 0 jest węzłem zdegenerowanym.

Punkt krytyczny X = 0 jest węzłem zdegenerowanym. W zależności od znaku λ 0 mamy: węzeł stabilny gdy λ 0 < 0 węzeł niestabilny gdy λ 0 > 0

Uwaga. Kształt krzywych stanowiących orbity łatwiej wykreślić zaznaczając prostą, na której y 2 osiąga wartości ekstremalne, tzn prostą y 1 = λ 0 y 2 (gdyż tam y 2 (t) = 0).

III. < 0 Macierz A ma dwie wartości własne, wzajemnie sprzężone λ 0 i λ 0. Postacią kanoniczną macierzy A jest [ ] α β J =, β > 0. β α.

Równanie (14) sprowadza się wtedy do układu y 1 (t) = αy 1 βy 2 y 2 (t) = βy 1 + αy 2.

Równanie (14) sprowadza się wtedy do układu y 1 (t) = αy 1 βy 2 y 2 (t) = βy 1 + αy 2. Przechodząc do współrzędnych biegunowych y 1 = r cos θ, y 2 = r sin θ mamy r cos θ rθ sin θ = αr cos θ βr sin θ r sin θ + rθ cos θ = βr cos θ + αr sin θ.

Po a) pomnożeniu pierwszego równania przez cos θ, drugiego równania przez sin θ i dodaniu stronami oraz b) pomnożeniu pierwszego równania przez sin θ, drugiego równania przez cos θ i odjęciu stronami otrzymujemy

Po a) pomnożeniu pierwszego równania przez cos θ, drugiego równania przez sin θ i dodaniu stronami oraz b) pomnożeniu pierwszego równania przez sin θ, drugiego równania przez cos θ i odjęciu stronami otrzymujemy r (t) = αr którego rozwiązaniem jest θ (t) = β,

Po a) pomnożeniu pierwszego równania przez cos θ, drugiego równania przez sin θ i dodaniu stronami oraz b) pomnożeniu pierwszego równania przez sin θ, drugiego równania przez cos θ i odjęciu stronami otrzymujemy r (t) = αr θ (t) = β, którego rozwiązaniem jest r(t) = r0 e αt θ(t) = θ 0 + βt.

Po a) pomnożeniu pierwszego równania przez cos θ, drugiego równania przez sin θ i dodaniu stronami oraz b) pomnożeniu pierwszego równania przez sin θ, drugiego równania przez cos θ i odjęciu stronami otrzymujemy r (t) = αr θ (t) = β, którego rozwiązaniem jest r(t) = r0 e αt θ(t) = θ 0 + βt. Równanie orbit w przestrzeni fazowej jest postaci r(θ) = r 0 e α β (θ θ 0).

IIIA. Jeśli α = 0, to orbity są koncentrycznymi okręgami o promieniu r 0. Punkt krytyczny X = 0 nazywany jest środkiem. Jest to punkt stabilny, ale nie asymptotycznie stabilny.

IIIB. Jeśli α 0, to orbity są spiralami. W zależności od znaku α mamy

IIIB. Jeśli α 0, to orbity są spiralami. W zależności od znaku α mamy spiralę zwijającą się do punktu X = 0, punkt krytyczny X = 0 nazywamy ogniskiem stabilnym - gdy α < 0, spiralę rozwijającą się od punktu X = 0, punkt krytyczny X = 0 nazywamy ogniskiem niestabilnym - gdy α > 0.

Powyższa klasyfikacja dotyczyła układów, dla których det A 0. Jeśli det A = 0, to przynajmniej jedna wartość własna macierzy A jest równa 0. Możliwe są dwa przypadki.

Jeśli rz A = 0, to A = 0 i każdy punkt jest punktem krytycznym. Równanie (14) jest w tym przypadku trywialne X (t) = 0. Jego rozwiązanie jest stałe X (t) = X 0.

Jeśli rz A = 1, to istnieje cała prosta złożona z punktów krytycznych. W tym przypadku równanie charakterystyczne przyjmuje postać p(λ) = λ (λ tr A).

Jeśli teraz λ 1 0 i λ 2 = 0, to postacią kanoniczną macierzy A jest [ ] λ1 0 J =, 0 0.

Jeśli teraz λ 1 0 i λ 2 = 0, to postacią kanoniczną macierzy A jest [ ] λ1 0 J =, 0 0. a równanie (14) jest postaci y 1 (t) = λ 1 y 1 y 2 (t) = 0.

Jeśli teraz λ 1 0 i λ 2 = 0, to postacią kanoniczną macierzy A jest [ ] λ1 0 J =, 0 0. a równanie (14) jest postaci y 1 (t) = λ 1 y 1 y 2 (t) = 0. Punktami krytycznymi są wszystkie punkty osi Oy 2 (y 1 = 0). Rozwiązania tego równania y1 (t) = c 1 e λ 1t y 2 (t) = c 2 tworzą portret fazowy w postaci układu prostych poziomych.

Dla λ 1 < 0 punkty krytyczne są stabilne, dla λ 1 > 0 punkty krytyczne są niestabilne.

Jeśli λ 1 = λ 2 = 0, to postacią kanoniczną macierzy A jest [ ] 0 0 J =, 1 0.

Jeśli λ 1 = λ 2 = 0, to postacią kanoniczną macierzy A jest [ ] 0 0 J =, 1 0. a równanie (14) jest postaci y 1 (t) = 0 y 2 (t) = y 1.

Jeśli λ 1 = λ 2 = 0, to postacią kanoniczną macierzy A jest [ ] 0 0 J =, 1 0. a równanie (14) jest postaci y 1 (t) = 0 y 2 (t) = y 1. Punktami krytycznymi są wszystkie punkty osi Oy 2.

Rozwiązania tego równania y1 (t) = c 1 y 2 (t) = c 2 e t

Rozwiązania tego równania y1 (t) = c 1 y 2 (t) = c 2 e t tworzą portret fazowy w postaci układu prostych pionowych.

Przykład 6. Znaleźć portret fazowy układu X (t) = AX, gdzie [ ] 7 4 A =. 6 7

Przykład 6. Znaleźć portret fazowy układu X (t) = AX, gdzie [ ] 7 4 A =. 6 7 Wielomian charakterystyczny p(λ) = λ 2 25 ma pierwiastki λ 1 = 5, λ 2 = 5. Odpowiadają im wektory własne [ ] [ ] [ ] 1 2 1 2 v 1 =, v 2 =, stąd Q =. 3 1 3 1 Ponieważ λ 1 λ 2 < 0, zatem X = 0 jest siodłem.

Przykład 6. Znaleźć portret fazowy układu X (t) = AX, gdzie [ ] 7 4 A =. 6 7 Wielomian charakterystyczny p(λ) = λ 2 25 ma pierwiastki λ 1 = 5, λ 2 = 5. Odpowiadają im wektory własne [ ] [ ] [ ] 1 2 1 2 v 1 =, v 2 =, stąd Q =. 3 1 3 1 Ponieważ λ 1 λ 2 < 0, zatem X = 0 jest siodłem. Równanie [ w ] 5 0 zmiennych Y jest postaci Y (t) = JY, gdzie J =, a 0 5 jego rozwiązanie: y1 (t) = c 1 e 5t y 2 (t) = c 2 e 5t.

Na płaszczyźnie fazowej Oy 1 y 2 równanie orbit przyjmuje postać y 1 y 2 = c.

Na płaszczyźnie fazowej Oy 1 y 2 równanie orbit przyjmuje postać y 1 y 2 = c. Rozwiązanie na płaszczyźnie Ox 1 x 2 jest postaci [ ] [ ] [ ] x1 1 2 y1 =, x 2 3 1 y 2 czyli x1 (t) = c 1 e 5t + 2c 2 e 5t x 2 (t) = 3c 1 e 5t + c 2 e 5t. Portrety fazowe odpowiednio na płaszczyźnie fazowej Oy 1 y 2 oraz Ox 1 x 2 ( rys.11, rys.12 ).

Przykład 7. Znaleźć portret fazowy układu X (t) = AX, gdzie [ ] 3 2 A =. 2 1 Wielomian charakterystyczny p(λ) = (λ + 1) 2 ma pierwiastek λ 0 = 1. Odpowiadają mu wektory własne v 1, v 2 takie, że [ ] 1 (A λ 0 I )v 1 = 0 stąd v 1 = 1 oraz (A λ 0 I )v 2 = v 1 stąd v 2 = [ 1 3/2 ].

Zatem [ 1 1 ] [ 1 1 ] Q = 1 3/2 oraz J = Q 1 AQ = 0 1. Punkt X = 0 jest węzłem stabilnym.

Przykład 8. Znaleźć portret fazowy układu X (t) = AX, gdzie [ ] 1 4 A =. 9 1 Wielomian charakterystyczny p(λ) = λ 2 35 ma pierwiastki λ 1 = 35i, λ 2 = 35i. Odpowiadają im wektory własne [ ṽ 1 = ] [ 4 1 oraz ṽ 2 = 35i ] 4 1 +. 35i

Niech v 1 = Re ṽ 2 oraz v 2 = Im ṽ 2, więc v 1 = [ 4 1 ] oraz v 2 = [ ] 0. 35 Zatem [ 4 0 Q = 1 35 ] oraz J = Q 1 AQ = [ 0 35 35 0 ]. Punkt X = 0 jest środkiem.

Badanie portretów fazowych układów liniowych o stałych współczynnikach można wykorzystać do badanie portretów fazowych układów nieliniowych autonomicznych. O dwóch trajektoriach będących rozwiązaniami równań X (t) = AX oraz Y (t) = BY mówimy, że są topologicznie sprzężone, jeśli istnieje homeomorfizm 1 przekształcający jedną trajektorię na drugą. 1 odwzorowanie h : A B jest homeomorfizmem zbioru A na zbiór B jeśli h jest funkcją ciągłą i różnowartościową zbioru A na zbiór B oraz h 1 jest funkcją ciągłą.

Tw. Niech dane będą dwa równania liniowe X (t) = AX oraz Y (t) = BY. Jeśli 1 wszystkie wartości własne macierzy A i B mają niezerową część rzeczywistą, 2 liczba wartości własnych z dodatnią częścią rzeczywistą macierzy A i B jest taka sama, 3 liczba wartości własnych z ujemną częścią rzeczywistą macierzy A i B jest taka sama, to równania te mają trajektorie topologicznie sprzężone.

Niech dany będzie układ autonomiczny X (t) = F (X ) i niech X = 0 będzie jego punktem krytycznym.

Niech dany będzie układ autonomiczny X (t) = F (X ) i niech X = 0 będzie jego punktem krytycznym.linearyzacją tego układu w otoczeniu punktu X = 0 nazywamy układ liniowy o stałych współczynnikach X (t) = AX taki, że układ X (t) = F (X ) można zapisać w postaci X (t) = AX + g(x ), (15) gdzie g(x ) jest funkcją ciągłą spełniającą warunek g(x ) lim = 0. X 0 X

Jeśli X = 0 nie jest punktem krytycznym układu X (t) = F (X ), ale X = X 0 jest punktem krytycznym, to linearyzację przeprowadzamy wokół tego punktu.

Jeśli X = 0 nie jest punktem krytycznym układu X (t) = F (X ), ale X = X 0 jest punktem krytycznym, to linearyzację przeprowadzamy wokół tego punktu. Odpowiednikiem równania (15) jest X (t) = A(X X 0 ) + g(x ), gdzie g(x ) jest funkcją ciągłą spełniającą warunek lim X X 0 0 g(x ) X X 0 = 0.

Tw. Grobmana-Hartmana Jeśli układowi autonomicznemu X (t) = F (X ) odpowiada układ zlinearyzowany X (t) = AX i wszystkie wartości własne macierzy A mają niezerowe części rzeczywiste, to portret fazowy układu X (t) = F (X ) jest w otoczeniu punktu krytycznego X = 0 homeomorficzny z portretem fazowym układu zlinearyzowanego X (t) = AX.

Dla układów nieliniowych mamy więc analogiczną klasyfikację punktów krytycznych jak dla układów liniowych. Jeśli punkt X = 0 jest węzłem, ogniskiem lub siodłem układu zlinearyzowanego, to jest on także węzłem, ogniskiem lub siodłem układu wyjściowego. Ponadto, jeśli wszystkie trajektorie w dostatecznie małym otoczeniu punktu krytycznego X = 0 równania X (t) = F (X ) są krzywymi zamkniętymi otaczającymi ten punkt, to taki punkt nazywamy środkiem.

Przykład 9. Układ x 1 (t) = x 1 + 4x 2 + e x 1 1 x 2 (t) = x 2 x 2 e x 1 ma jedyny punkt krytyczny X = 0 (czyli x 1 = x 2 = 0).

Układ zlinearyzowany jest postaci x 1 (t) = 2x 1 + 4x 2 x 2 (t) = 2x 2. Wartościami własnymi są liczby λ 1 = 2, λ 2 = 2. Stąd punkt X = 0 jest siodłem.

Przykład 10. Układ x 1 (t) = ln(1 x 2 + x 2 2 ) x 2 (t) = 3 x 1 2 + 8x 2 ma punkty krytyczne (3, 0), ( 3, 0), (1, 1), ( 1, 1).

Układ zlinearyzowany w otoczeniu punktu (3, 0) jest postaci x 1 (t) = x 2 x 2 (t) = x 1 4 3 x 2 + 3. Wartościami własnymi są liczby λ 1 = 2 3 13 3, λ 2 = 2 3 + 13 3. Stąd punkt (3, 0) jest siodłem.

Układ zlinearyzowany w otoczeniu punktu (1, 1) jest postaci x 1 (t) = x 2 1 x 2 (t) = 1 3 x 1 4 3 x 2 + 5 3. Wartościami własnymi są liczby λ 1 = 1, λ 2 = 1 3. Stąd punkt (1, 1) jest węzłem stabilnym. Analogicznie badamy dwa pozostałe punkty.

Przykład 11. Dane są dwa układy x 1 (t) = x 2 + x 1 (x 1 2 + x 2 2 ) x 2 (t) = x 1 + x 2 (x 1 2 + x 2 2 ) oraz x 1 (t) = x 2 x 1 (x 1 2 + x 2 2 ) x 2 (t) = x 1 x 2 (x 1 2 + x 2 2 )

Przykład 11. Dane są dwa układy x 1 (t) = x 2 + x 1 (x 1 2 + x 2 2 ) x 2 (t) = x 1 + x 2 (x 1 2 + x 2 2 ) oraz x 1 (t) = x 2 x 1 (x 1 2 + x 2 2 ) x 2 (t) = x 1 x 2 (x 1 2 + x 2 2 ) Oba układy mają taką samą linearyzację wokół jedynego punktu krytycznego X = 0: x 1 (t) = x 2 x 2 (t) = x 1.

Przykład 11. Dane są dwa układy x 1 (t) = x 2 + x 1 (x 1 2 + x 2 2 ) x 2 (t) = x 1 + x 2 (x 1 2 + x 2 2 ) oraz x 1 (t) = x 2 x 1 (x 1 2 + x 2 2 ) x 2 (t) = x 1 x 2 (x 1 2 + x 2 2 ) Oba układy mają taką samą linearyzację wokół jedynego punktu krytycznego X = 0: x 1 (t) = x 2 x 2 (t) = x 1. Dla równania zlinearyzowanego X = 0 jest środkiem gdyż λ 1 = i, λ 2 = i, ale Re λ 1 = Re λ 2 = 0!

Po przejściu do współrzędnych biegunowych mamy odpowiednio w obu przypadkach r (t) = r 3 θ (t) = 1 oraz r (t) = r 3 θ (t) = 1 Zatem punkt X = 0 jest ogniskiem niestabilnym i ogniskiem stabilnym odpowiednio.