Zadania z Koncentracji Miary I

Zadania z Koncentracji Miary I Przez λ n oznaczamy n-wymiarową miarę Lebesgue a, a przez σ n unormowaną miarę powierzchniową na S n. Jeśli µ jest miarą na X, d), to określamy dla dowolnego zbioru A miarę wewnętrzną A, µ A) = sup{µc): C A, C BX)}. Przypomnijmy, że dla podzbioru A przestrzeni metrycznej X, d) i t > 0 określamy A t = {x X : dx, A) < t}. Ponadto dla miary µ na X, d) i zbioru borelowskiego A definiujemy miarę brzegu A jako µ + µa t ) µa) A) = lim inf. t 0+ t Uwagi: 1) Miarę wewnętrzną µ wprowadzamy, by uniknąć problemów z mierzalnością sumy zbiorów borelowskich. Daje się jednak pokazać, że suma zbiorów borelowskich, choć nie musi być borelowska jest mierzalna w sensie Lebesguea. 2) Jeśli µ miara na R n z ciągłą gęstością g, a zbiór A jest porządny, to µ + A) = gx)dh n 1 x), A zatem na przykład dla porządnych zbiorów λ + n A) to miara powierzchniowa brzegu A. 1. Wykaż, że dla dowolnych niepustych zbiorów borelowskich A, B R λ 1, A + B) λ 1 A) + λ 1 B) 2. Nierówność Prekopy-Leindlera) Wykaż, że jeśli s [0, 1], f, g, h są nieujemnymi funkcjami mierzalnymi na R n takimi, że to hsx + 1 s)y) fx) s gy) 1 s dla x, y R n hx)dx fx)dx) s gx)dx) 1 s R n R n R n Wskazówki: i) Dla n = 1 zauważ, że można zakładać, że sup x fx) = sup x gx) = 1 i wtedy fx)dx = 1 0 λ 1{f > t})dt, gx)dx = 1 0 λ 1{g > t})dt oraz 1 hx)dx 0 λ 1{h > t})dt i można stosować poprzednie zadanie. ii) Krok indukcyjny. Ustalmy funkcje mierzalne f, g, h na R n+1 i dla x, y R rozpatrzmy funkcje f x ) = fx, ), g y ) = gy, ) i h sx+1 s)y ) = fsx + 1 s)y, ) i wykorzystajmy dla nich założenie indukcyjne. 3. Nierówność Brunna-Minkowskiego) i) Wykaż, że dla dowolnych niepustych zbiorów borelowskich A, B R n i s [0, 1] λ n, sa + 1 s)b) λ n A) s λ n B) 1 s. ii) Wykaż, że dla dowolnych niepustych zbiorów borelowskich A, B R n λ n, A + B) 1/n λ n A) 1/n + λ n B) 1/n. 1

4. Klasyczna izoperymetria) Wykaż, że jeśli A jest zbiorem borelowskim w R n takim, że λ n A) = λ n Bx, r)), to i) Dla wszystkich t > 0, λ n A t ) λ n Bx, r)) t ) = λ n Bx, r + t)). ii) λ + n A) λ + n Bx, r)) = λ n 1 Bx, r)). 5. Niech x 0 będzie ustalonym punktem S n a H podprzestrzenią w R n+1 wymiaru n, nie przechodzącą przez x 0. Wówczas R n+1 \H jest sumą dwóch otwartych półprzestrzeni H + zawierającej x 0 i H nie zawierającej x 0. Niech i = i H : S n S n będzie odbiciem względem H. Określmy dla mierzalnej, ograniczonej funkcji f : S n R max{fx), fix)} dla x H + f H x) := min{fx), fix)} dla x H fx) dla x H Wykaż, że i) dist σn f) = dist σn f H ). ii) Jeśli f jest Lipschitzowska ze stałą L, to f H też jest Lipschitzowska ze stałą L. iii) S n dx 0, x)fx)dσ n x) S n dx 0, x)f H x)dσ n x) ponadto, jeśli f jest ciągła, to równość zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy f = f H. 6. Funkcję g na S n nazywamy radialną względem ustalonego punktu x 0 S n, jeśli dx, x 0 ) dy, x 0 ) implikuje gx) gy). Jeśli f : S n R jest funkcją mierzalną ograniczoną to jej radialną symetryzacją nazywamy funkcję radialną f taką, że dist σn f) = dist σn f ). Udowodnij, że i) Funkcja f istnieje i jest jednoznacznie wyznaczona z dokładnością do zbioru miary zero. ii) Funkcja g jest radialna wtedy i tylko wtedy gdy g H = g dla wszystkich H. 7. Ustalmy funkcję L-Lipschitzowską f : S n R i niech A := {g : S n R: dist σn f) = dist σn g), g L-Lipschitzowska}. Ponadto niech m := inf g A S n dx 0, x)gx)dσ n x). Udowodnij, że i) Istnieje ciąg g k ) A jednostajnie zbieżny do pewnej funkcji g taki, że S n dx 0, x)g k x)dσ n x) m przy k skorzystać z twierdzenia Arzeli-Ascoli) ii) g A oraz m = S n dx 0, x)gx)dσ n x). iii) g = f. 8. Izoperymetria sferyczna) Wykaż, że jeśli A jest zbiorem borelowskim w S n takim, że σ n A) = σ n Bx 0, r)), to i) Dla wszystkich t > 0, σ n A t ) σ n Bx 0, r)) t ) = σ n Bx 0, r + t)). ii) σ + n A) σ + n Bx, r)). Wskazówka. Wykorzystaj fakt, że symetryzacja radialna funkcji max{t dx, A), 0} jest 1-Lipschitzowska. 9. Wykaż, że σ n A) 1 2 implikuje 1 σ na t ) e n 1)t2 /2. 2

Zadania z Koncentracji Miary II 1. Miarę µ na R n nazywamy logarytmicznie wklęsłą jeśli dla dowolnych dwu niepustych zbiorów borelowskich A, B i s [0, 1], µ sa + 1 s)b) µa) s µb) 1 s. i) Wykaż, że jeśli K jest zbiorem zwartym wypukłym o niepustym wnętrzu to rozkład jednostajny na K jest logarytmicznie wklęsły. ii) Wykaż, że afiniczny obraz miary logarytmicznie wklęsłej jest logarytmicznie wklęsły. iii) Wykaż, że jeśli funkcja f : R n, ] jest wypukła oraz miara µ ma gęstość g = e f, to µ jest logarytmicznie wklęsła. iv) Wykaż, że rozkłady gaussowskie są logarytmicznie wklęsłe. v) Wykaż, że jeśli miara logarytmicznie wklęsła µ ma ciągłą gęstość g, to g jest logarytmicznie wklęsła tzn. jest postaci jak w punkcie ii)). Uwaga 1. Daje się wykazać znaczne wzmocnienie v) - jeśli µ jest logarytmicznie wklęsła i nie jest skoncentrowana na podprzestrzeni afinicznej niższego wymiaru, to µ ma logarytmicznie wklęsłą gęstość. Uwaga 2. Można wykazać, że miary probabilistyczne logarytmicznie wklęsłe to słabe granice rzutów rozkładów jednostajnych na ciałach wypukłych. 2. Wykaż, że jeśli µ jest probabilistyczną miarą logarytmicznie wklęsłą oraz A jest zbiorem symetrycznym wypukłym takim, że µa) = a > 0, to dla r > 1, 1 a ) r+1)/2. 1 µra) a a 3. Wykaż, że jeśli X ma rozkład logarytmicznie wklęsły a jest dowolną normą na R n to dla p > 1, gdzie C jest stałą absolutną. E X p ) 1/p CpE X, 4. Dla ε 0, 1) i miary probabilistycznej µ na X, d) określmy α ε µt) := sup{1 µa t ): µa) ε}. Wykaż, że jeśli α µ t 0 ) < ε to dla t > 0, α ε µt + t 0 ) α µ t). 5. Wykaż, że dla dowolnej ustalonej) miary probabilistycznej na X, d) i ε > 0 zachodzi α ε µt) 0 przy t. 6. Wykaż, że jeśli ϕ jest funkcją L-Lipschitzowską z X, d) w Y, ρ) oraz ν = µ ϕ 1, to α ε νt) α µ t/l). 7. Wykaż, że transport radialny miary γ n na rozkład jednostajny na kuli jednostkowej ma stałą Lipschitza nie większą niż C/ n. 3

Zadania z Koncentracji Miary III 1. Załóżmy, że wiemy, że dla mierzalnej funkcji F istnieje stała a F taka, że Wówczas jeśli αt 0 ) < 1/2, to µ{ F a F t}) αt) dla t > 0. µ{ F Med µ F ) t + t 0 }) αt) dla t > 0. Ponadto, jeśli ᾱ = 0 αt)dt <, to F jest całkowalna oraz a F F dµ ᾱ oraz µ{ F F dµ t + ᾱ}) αt) dla t > 0. W szczególności jeśli αt) C 1 exp t p /C 2 ), to dla dowolnego ε > 0 i m {Med µ F ), F dµ} µ{ F m t)) C 3 exp 1 ε) t p /C 2 ) dla t > 0, gdzie C 3 zależy tylko od C 1, ε i p. 2. Wykaż, że jeśli X i są niezależnymi zmiennymi losowymi takimi, że a i X i b i oraz S = n X i, to dla D 2 = n b i a i ) 2. PS ES + t) 2 exp t2 2D 2 ) 3. Niech Y i bedą niezależnymi wektorami losowymi w pewnej ośrodkowej przestrzeni Banacha oraz S = n Y i. Wykaż, że dla D 2 = n Y i 2. P S E S t) 2 exp t2 8D 2 ) 4

Zadania z Koncentracji Miary IV 1. Wykaż, że jeśli miara ν jest L-lipschitzowskim obrazem miary µ oraz µ spełnia nierówność Poincaré ze stałą C, to ν spełnia nierówność Poincaré ze stałą CL 2. 2. Niech µ będzie symnetryczną miarą logwklęsłą na R z gęstością gx) taką, że Var µ x) = 1. i) Wykaż, że istnieją stałe uniwersalne C 1 i C 2 takie, że C1 1 g0) C 2 wsk. rozpatrzeć dodatkowo x 0 = inf{x > 0: gx) g0)/e}.) ii) Wykaż, że istnieje stała uniwersalna L taka, że µ jest L-lipschitzowskim obrazem symetrycznej miary wykładniczej ν. 3. Przeprowadzić analogiczne rozumowanie dla miar logwklęsłych na prostej bez założenia symetrii. 4. Wykaż, że by udowodnić nierówność Poincaré dla miary µ na R n wystarczy wykazać, że Var µ f) C f 2 dµ dla funkcji f C 1 ogrr n ). 5

Zadania z Koncentracji Miary V Mówimy, że miara µ na przestrzeni X, d) spełnia nierówność Cheegera ze stałą c > 0, jeśli µ + A) c min{µa), 1 µa)} dla dowolnego zbioru borelowskiego A. 1. Wykaż, że nierówność Poincaré jest równoważna nierówności E µ f Med µ f 2 CE µ f 2 dla wszystkich funkcji Lipschitzowskich. Co więcej optymalne stałe w obu nierównościach spełniają C opt C opt 1 + 2) 2 C opt. 2. Wykaż, że symetryczny rozkład wykładniczy ν spełnia nierówność Cheegera ze stałą c = 1. 3. Wykaż, że miara µ spełnia nierówność Cheegera ze stałą c > 0 wtedy i tylko wtedy, gdy µa) = ν, x] µa t ) ν, x + ct] dla t > 0. 4. Niech µ będzie miarą na prostej, F t) = µ, t], zaś p będzie gęstością jej części absolutnie ciągłej. Wykaż, że następujące warunki są równoważne i) µ spełnia nierówność Cheegera ze stałą c > 0 ii) µ jest 1 c -lipschitzowskim obrazem ν px) iii) essinf min{f x),1 F x)} c 5. Wykaż, że miara µ na R n spełnia nierówność Cheegera ze stałą c > 0 wtedy i tylko wtedy gdy ce µ f Med µ f E µ f dla wszystkich lipschitzowskich funkcji f. 6. Wykaż, że nierówność Cheegera na R n implikuje nierówność Poincaré ze stałą 2 c. 7. Pokaż, że miara na R z gęstością 1+α 2 x α I { x 1} dla α 0, 1) spełnia nierówność Poincaré, a nie spełnia nierówności Cheegera. 6

Zadania z Koncentracji Miary VI W zadaniach poniżej I = I γ = ϕφ 1 ). 1. Wykaż, że X f dµ R µ + {x: fx) > r})dr Wskazówka: Najpierw rozpatrzeć ograniczone f, co można zredukować do przypadku f 0. Rozpatrując zbiory Ar) = {x: fx) > r} i funkcje f t x) = sup dx,y)<t fy) wykaż, że {x: f t x) > r} = Ar) t oraz, że X i przejdź z t 0+. f t f dµ = t 0 µar) t ) µar)) dr t 2. Wykaż, że jeśli miara µ spełnia logarytmiczną nierówność Sobolewa ze stałą C, to spełnia nierówność Poincaré z tą samą stałą. 3. Wykaż, że jeśli miary µ i spełniają nierówność Bobkowa ze stałymi C i, to miara µ 1 µ n spełnia nierówność Bobkowa ze stałą max i C i. 4. Wykaż, że następujące dwie własności miary µ są równoważne: i) µa t ) ΦΦ 1 µa))+t) dla dowolnego zbioru borelowskiego A i t > 0 ii) µ + A) IµA)) dla dowolnego zbioru borelowskiego A. 5. Wykaż, że dla dowolnych liczb a, b [0, 1], I a + b 2 ) 1 I 2 2 b a)2 a) + + 1 I 4 2 2 b a)2 b) + 4 i wywnioskuj stąd, że miara γ n spełnia nierówność Bobkowa ze stałą 1. 6. Wykaż, że It) 2t ln 1 t przy t 0+ i wywnioskuj stąd, że nierówność Bobkowa implikuje logarytmiczną nierówność Sobolewa. 7

Zadania z Koncentracji Miary VII 1. Wykaż, że jeśli para µ, ϕ) ma własność τ), to i) µa + B ϕ t)) e t µa) e t 1)µA)+1, ii) µa + B ϕ t)) > min{e t/2 µa), 1/2}, iii) jeśli µa) 1 2, to 1 µa + B ϕt)) < e t/2 1 µa)) oraz iv) jeśli µa) = ν, x], to µa + B ϕ t)) ν, x + t/2]. 2. Dla miary probabilistycznej µ na R n określamy Λ µ t) = ln M µ t) = ln e t,x dµx) i Λ µt) = LΛ µ t) = sup{ s, t Λ µ s): s R n }. Ogólnie Lft) = sup s s, t fs)) nazywamy transformatą Legendre a funkcji f). Wykaż, że jeśli µ, ϕ) ma własność τ) oraz ϕ jest wypukła, to Lϕ 2Λ µ oraz ϕt) 2Λ µt/2). 3. Udowodnij, że dla symetrycznego rozkładu wykładniczego na R Λ νt) = 1 + t 2 1 + t 1 ln 2 1 ) min{t 2, t }. 2 Zatem znaleziona na wykładzie funkcja kosztu dla miary ν jest optymalna z dokładnością do stałej. 4. Wykaż, że para γ n, 1 4 x 2 ) ma własność τ) oraz, że 1 4 x 2 jest optymalną funkcją kosztu. 5. Niech µ będzie symetryczną miarą logarytmicznie wklęsłą na R o wariancji 1. Określmy hx) = ln µ[x, ) dla x > 0 oraz { x 2 dla x 2/3 hx) = max{ 4 9, h x )} dla x > 2/3. Wykaż, że Λ µt) ht) oraz para µ, ht/c)) ma własność τ) dla pewnej uniwersalnej stałej C. 8

Zadania z Koncentracji Miary VIII 1. Załóżmy, że zmienne Y i są niezależne oraz u i Y i v i prawie na pewno. Niech T będzie ograiczonym podzbiorem R n oraz Wykaż, że gdzie Z = sup t i Y i. P Z MedZ) t) 4 exp t2 4σ 2 ), σ 2 = sup t 2 i v i u i ) 2. Ponadto E Z MedZ) 4 πσ i VarZ) 16σ 2. 2. Nierówność Chinczyna-Kahane a) Niech ε i będą niezależnymi symetrycznymi zmiennymi takimi, że Pε i = ±1) = 1 2, zaś v 1,..., v n wektorami w pewnej przestrzeni unormowanej F. Wykaż, że dla M = Med n v iε i ) i t > 0 gdzie P v i ε i M t) 4 exp t2 16σ 2 ), σ 2 = sup{ ϕ 2 v i ): ϕ F, ϕ 1}. Wywnioskuj stąd, że istnieje stała C < taka, że dla dowolnego p 1, oraz E v i ε i p ) 1/p M + C pσ E v i ε i p ) 1/p C pe v i ε i 2 ) 1/2. 3. Zmodyfikowana nierówność Sobolewa). Niech ν oznacza symetryczny rozkład wykładniczy na R, tzn. rozkład z gęstością 1 2 e x. i) Wykaż, że dla dowolnej funkcji gładkiej f na R takiej, że f ρ < 1 zachodzi Ent ν e f ) 2 1 ρ f ) 2 e f dν. ii) Udowodnij, że jeśli funkcja F C 1 R n ) spełnia max i i F 1 to dla λ ρ < 1, Ent ν ne λf ) 2λ2 1 ρ n iii) Wywnioskuj stąd, że jeśli F C 1 R n ) spełnia i F ) 2 e λf dν n. to ν n {F max i F b oraz i i F ) 2 a 2 F dν n + t}) exp 1 4 min{ t b, t2 a 2 }). 9

Zadania z Koncentracji Miary IX Ciałem wypukłym nazywamy zwarty wypukły podzbiór R n wnętrzu. o niepustym 1. Wykaż, że E max 1 i n g i c lnn + 1). 2. Wykaż, że jeśli K jest symetrycznym ciałem wypukłym w R n oraz ε > 0 to istnieje podprzestrzeń V wymiaru cε) log n oraz elipsoida E w V taka, że E K V 1 + ε)e. 3. Wykaż, że każda n wymiarowa elipsoida ma n 2 -wymiarowy przekrój, który jest kulą euklidesową. 4. Wykaż, że jeśli K jest symetrycznym ciałem wypukłym w R n oraz ε > 0 to istnieje podprzestrzeń V wymiaru cε) log n oraz ρ > 0 takie, że gdzie B V = {x V : x = 1}. ρb V K V 1 + ε)ρb V, 5. Wykaż, że jeśli l k 2 się wkłada ze stałą C w l n p oraz p 2, to k AC)pn 2/p, gdzie AC) jest stałą zależną tylko od C. 6. Wykaż, że jeśli l k 2 się wkłada ze stałą C w l n, to k AC) log n. 7. Oblicz dl n p ). Co można powiedzieć o wymiarze przekrojów kuli jednostkowej w l n p, które są bliskie euklidesowym? 10

Zadania z Koncentracji Miary X 1. Wykaż, że /2 x e y2 dy 1 /2 x e x2 dla x i wykorzystaj to do dowodu faktu, że dla X N a, σ 2 1 ), lim t t log PX t) = 1 2 2σ. 2 2. Niech X będzie scentrowanym wektorem gaussowskim w ośrodkowej przestrzeni Banacha F. Wykaż, że istnieją wektory x 1, x 2,... w F oraz zmienne g 1, g 2,... o rozkładzie N 0, 1) takie, że X = x ig i, przy czym szereg jest zbieżny p.n. i w każdym L p. Jak się zmieni odpowiedź, jeśli nie założymy scentrowania X? Wskazówka. Rozpatrzyć domkniętą powłokę liniową wektorów ϕx)) ϕ F w L 2. Za g i można wziąć bazę ortonormalną tej przestrzeni Hilberta. 3. Załóżmy, że g i, g j są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie N 0, 1) oraz X = n i,j=1 a i,jg i g j. Wykaż, że gdzie i) P X C t a ij ) HS + t a ij ) op )) 2e t, a ij ) op = sup{ a i jx i y j : x 2 i 1, yj 2 1} ij i j oraz a ij ) HS = ij a 2 ij) 1/2. ii) X p C p a ij ) op + p a ij ) HS ) dla p 2. iii) X p Cp X 2 dla p 2. 4. Niech Y 1,..., Y n będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie z gęstością 1 2 e x. Wykaż, że dla dowolnych a 1,..., a n R oraz Y = n a iy i, PY Ct a + t a 2 )) e t i wywnioskuj stąd, że Y p Cp a + p a 2 ) dla p 2. Wykaż, że Y p 1 C p a + p a 2 ) dla p 2. 5. Niech Y = n v iy i gdzie v i są wektorami w pewnej przestrzeni Banacha F, a Y i są jak w poprzednim zadaniu. Wykaż, że P Y E Y + Ct sup ϕv i ) + t sup ϕv i ) 2 )) e t ϕ 1 ϕ 1 i wywnioskuj stąd, że dla p 2, E Y p ) 1/p E Y + Cp sup ϕv i ) + p sup ϕv i ) 2 ) ϕ 1 ϕ 1 oraz E Y p ) 1/p E Y + sup E ϕy ) p ) 1/p. ϕ 1 11

Zadania z Koncentracji Miary XI W zadaniach tej serii zakładamy, że S = X i, gdzie X i są niezależnymi, ograniczonymi zmiennymi losowymi o średniej zero. 1. Nierówność Hoeffdinga. Wykaż, że PS t) exp 2. Nierówność Bernsteina. Udowodnij, że i) jeśli liczby σi 2, M < są takie, że to oraz dla t > 0, ii) jeśli X i C, to t 2 2 n X i 2 E X i k k! 2 σ2 i M k 2 dla k 2, λ 2 n ) E expλs) exp σ2 i dla M λ < 1 21 M λ ) PS t) exp t 2 ) 2 n σ2 i + 2Mt t 2 ) PS t) exp 2VarS) + 2 3 Ct. 3. Nierówność Benetta. Wykaż, że jeśli X i C, to dla λ > 0 oraz dla t 0, PS t) exp ), VarS) ) E expλs) exp C 2 e λc tc 1) VarS) Ct )) C 2 h exp VarS) gdzie hx) := 1 + x) ln1 + x) x dla x 0. t 2C ln 1 + tc )), VarS) 4. Rozpatrując jako przypadki graniczne zmienne o rozkładzie gaussowskim i Poissona, przedyskutuj optymalność oszacowania w nierówności Bennetta. 12

Zadania z Koncentracji Miary XII 1. Załóżmy, że ϕ i : R R dla 1 i n są funkcjami 1-lipschitzowskimi oraz ϕ i 0) = 0. Wykaż, że dla dowolnego ograniczonego T R n oraz funkcji wypukłej niemalejącej G: R R, EG sup ) ε i ϕ i t i ) EG sup ε i t i ). Wskazówka. Sprowadzić zadanie do wykazania, że dla ograniczonego zbioru T R 2 i funkcji 1-lipschitzowskiej ϕ takiej, że ϕ0) = 0 zachodzi ) ) EG t 1 + ε 1 ϕt 2 )) EG t 1 + ε 1 t 2 ). sup sup Następnie zredukować do zbioru dwupunktowego T i rozpatrzyć przypadki 2. Przy założeniach poprzedniego zadania udowodnij, że dla dowolnej funkcji wypukłej niemalejącej F : [0, ) [0, ), 1 EF 2 sup ) ε i ϕ i t i ) EF sup ε i t i ). 3. Załóżmy, że wektory losowe X i w pewnej ośrodkowej przestrzeni Banacha są scentrowane, wspólnie ograniczone oraz szereg S = X i jest zbieżny prawie na pewno. Wykaż, że istnieje λ > 0 takie, że E expλ S log + S ) <. 13