Ekonometra IE Kolokwum 0/1/08 mę, nazwsko, nr ndeksu: Ekonometra ćwczena Kolokwum 1 semestr 0/1/08 Zadane 1 Zadane Zadane 3 Zadane 4 Razem / 5 pkt / 5 pkt / 5 pkt / 5 pkt /0 pkt Skala ocen: do 8,00 punktów 08,05-11,00 punktów 3 11,05-13,00 punktów 3+ 13,05-15,00 punktów 4 15,05-17,00 punktów 4+ 17,05 + punktów 5 Regulamn nformacje dodatkowe Przed przystąpenem do rozwązywana kolokwum należy podpsać każdą kartkę pracy. Prace nepodpsane ne zostaną sprawdzone. Prace neczytelne ne będą sprawdzane Każde zadane należy rozwązać na kartce z treścą zadana. Każda zauważona próba ścągana będze karana podpsem osoby plnującej złożonym na pracy. Perwszy podps oznacza utratę jednego punktu. Drug podps oznacza podzelene wynku punktowego przez. Trzec podps jest równoznaczny z odebranem pracy ponformowanem władz wydzału o zastnałej sytuacj. Zastrzegamy sobe prawo do obnżena progów wymaganych do otrzymana ocen. Osoby rażąco naruszające dyscyplnę przeszkadzające w przeprowadzenu kolokwum mogą zostać wyproszone z sal. O zastnałym fakce zostaną ponformowane władze dzekańske. Powodzena :-)
Ekonometra IE Kolokwum 0/1/08 Użyteczne wartośc krytyczne na pozome ufnośc 5% χ (1) = 3.84 F (1, ) = 3.84 χ () = 5.99 F (, ) = 3.00 χ (3) = 7.81 F (3, ) =.60 χ (4) = 9.49 F (4, ) =.37 χ (5) = 11.07 F (5, ) =.1 χ (6) = 1.59 F (6, ) =.10 χ (7) = 14.07 F (7, ) =.01 χ (8) = 15.51 F (8, ) = 1.94 χ (9) = 16.9 F (9, ) = 1.88 χ (10) = 18.31 F (10, ) = 1.83.. χ (99) = 13. F (100, ) = 1.00 χ (100) = 14.34 F (, 100) = 1.00 Statystyka testu Walda (W). t (1,0.950) = 6.31 N 0.950 = 1.64 t (1,0.975) = 1.70 N 0.975 = 1.96 t (5,0.950) =.01 t (100,0.950) =.01 t (5,0.975) = 1.66 t (100,0.975) = 1.98 W = (Rb q) [σ R(X X) 1 R ] 1 (Rb q)
Ekonometra IE Kolokwum 0/1/08 Zadane 1. Na podstawe próby lczącej 49 obserwacj oszacowano parametry modelu regresj y = α 0 + α 1 1 + α + ε uzyskano R = 0.. Następne dodano do modelu jedną obserwację, która leży na oszacowanej prostej regresj. W efekce dodana obserwacj całkowta suma kwadratów modelu zwększyła sę o 1 procent. 1. Jak wpłynęło to na współczynnk R oraz R. Odpowedź uzasadnj.. Oblcz R oraz R dla modelu z dodatkową obserwacją. 3. Oblcz R dla modelu z jedną zmenną objaśnającą stałą jeżel statystyka t dla tej zmennej wynos 3. 4. ( pkt) Czy statystyka R jest dobrą marą dopasowana modelu? Rozwązane 1. R = 1 RSS T SS. Resztowa suma kwadratów ne zmen sę, całkowta suma kwadratów wzrośne, węc R wzrośne. R = 1 n 1 RSS n 1 n k T SS. Przy rosnącej próbe n k maleje węc R rośne.. R = 1 4 5.05 = 0.08, R = 1 49 47 (1 0.08) = 0.1743 3. R = k 1 N k t 1 + k 1 N k t = 1 48 9 1 + 1 48 9 = 0.1579 4. Statystyka R ne jest dobrą marą dopasowana poneważ: jest dobrą marą wyłączne dla modelu lnowego, dodane zmennej do modelu powoduje jej wzrost, lepszą marą jest skorygowane R wysoke R może być powodowane przez współlnowość zmennych bądź autokorelację
Ekonometra IE Kolokwum 0/1/08 Zadane 1. Na podstawe próby lczącej 79 obserwacj oszacowano parametry modelu regresj y = α 0 + α 1 1 + α + α 3 3 + ε uzyskano R = 0.3. Następne dodano do modelu jedną obserwację, która leży na oszacowanej prostej regresj. W efekce dodana obserwacj całkowta suma kwadratów modelu zwększyła sę o 1 procent. 1. Jak wpłynęło to na współczynnk R oraz R. Odpowedź uzasadnj.. Oblcz R oraz R dla modelu z dodatkową obserwacją. 3. Oblcz R dla modelu z jedną zmenną objaśnającą stałą jeżel statystyka t dla tej zmennej wynos 4. 4. ( pkt) Czy statystyka R jest dobrą marą dopasowana modelu?
Ekonometra IE Kolokwum 0/1/08 Zadane. Na podstawe danych pochodzących z Badana Aktywnośc Ekonomcznej Ludnośc w drugm kwartale 008 zbudowano Klasyczny Model Regresj Lnowej wyjaśnający pozom logarytmu zarobków (lzarobk) za pomocą weku, płc (1-mężczyzna), wykształcena wyższego (1 wyższe, 0 - w pp.) oraz średnego (1 - średne, 0 - w pp.) zmennej ndykatorowej oznaczającej meszkane w dużym meśce powyżej 100 tysęcy meszkańców. Oszacowano następujący model: lzarobk n = stala + β 1 wek + β plec + β 3 wyzsze + β 4 sredne + β 5 dmasto + ε n Otrzymano następujące oszacowana parametrów wektora β: stala β1 β β3 β4 β5 8.359355 -.0050444.315169.999178.475544.5600 oraz ch macerz warancj-kowarancj: Covarance matr of coeffcents of regress model e(v) plec wyzsze sredne dmasto wek _cons -------------+------------------------------------------------------------------------ plec.00534899 wyzsze.00150447.0130379 sredne.00030945.016589.018101 dmasto.00001903 -.0015384 -.00046945.00644079 wek 4.191e-06.00003135.0000346 -.0000313 9.906e-06 _cons -.00365163 -.01800183 -.01708996 -.000451 -.00041.03544379 Uzupełnj znterpretuj brakujące welkośc w ponższej tabel, a następne oceń poprawność modelu analzując wynk testów stotnośc łącznej stotnośc oszacowanych welkośc parametrów. Dokonaj nterpretacj wynków poszczególnych testów, oraz oszacowań współczynnków wektora β, oraz przeprowadź testy na współlnowość. Wedząc, że współczynnk R modelu z dodanym czterema zmennym określającym klasę mejscowośc (masto do 10 tys., masto do 0 tys, masto to 50 tys., masto do 100 tys meszkańców) wynos 0.0381 zweryfkuj hpotezę o łącznej stotnośc dodanych zmennych (zapsz postać statystyk testowej). Oblczena należy przeprowadzć z dokładnoścą do 4 mejsca po przecnku. Source SS df MS Number of obs = 3661 -------------+------------------------------ F( 5, 3655) = 8.07 Model 653.496113 5 130.6993 Prob > F =. Resdual 17017.731 3655 4.6560145 R-squared =. -------------+------------------------------ Adj R-squared =. Total 17671.8 3660 4.88044 Root MSE =.1578 ------------------------------------------------------------------------ lzarobk Coef. Std. Err. t -------------+---------------------------------------------------------- plec... wyzsze... sredne... dmasto... wek... _cons... ------------------------------------------------------------------------ Rozwązane
Ekonometra IE Kolokwum 0/1/08 Source SS df MS Number of obs = 3661 -------------+------------------------------ F( 5, 3655) = 8.07 Model 653.496113 5 130.6993 Prob > F = 0.0000 Resdual 17017.731 3655 4.6560145 R-squared = 0.0370 -------------+------------------------------ Adj R-squared = 0.0357 Total 17671.8 3660 4.88044 Root MSE =.1578 ------------------------------------------------------------------------------ lzarobk Coef. Std. Err. t -------------+---------------------------------------------------------------- plec.315169.0731368 4.7 wyzsze.999178.145958 6.85 sredne.475544.134544 3.53 dmasto.5600.080545 6.98 wek -.0050444.0031474-1.60 _cons 8.359355.18865 44.40 ------------------------------------------------------------------------------ Błędy standardowe to perwastk odpowednch elementów macerzy warancj-kowarancj. Statystyka t-studenta t = b se(b). Przyjmując pozom stotnośc α = 0, 05 pojedynczo są stotne wszystke zmenne poza zmenną wek, gdyż dla pozostałych zmennych wartość bezwzględna statystyk t-studenta>. Łączne wszystke zmenne są stotne o czym śwadczy wysoka wartość statystyk F. k 1 N k F (k 1,N k) 1+ k 1 N k R = F (k 1,N k), gdze k to lczba regresorów łączne ze stałą. Zatem zmenność zmennych nezależnych w 3,7 % wyjaśna warancję zmennej zależnej. parametry pownny być nterpretowane jak semelastycznośc. np. osoby meszkające w dużych mastach osągają przecętne o 56 % wyższe zarobk od pozostałych, td. Uwaga, współczynnk przy zmennej wyższe jest zbyt duży by do nterpretacj stosować przyblżene lnowe!. testujemy hpotezę łączną o czterech parametrach przy dołączonych zmennych równych 0. F = (RSS R RSS U )/J RSS U /(N k) = (RSS R RSS U )/J RSS U /(N k) T SS T SS = (R U R R )/J /(N k) R U F = (0.0381 0.0370)/4 0.0963/365 = 0.00075 0.000637 1.048 porównujemy wynk z wartoścą krytyczną F (4, ) =.37. Poneważ wartość statystyk F jest nższa od wartośc krytycznej, to ne ma podstaw do odrzucena H 0.
Ekonometra IE Kolokwum 0/1/08 Zadane. Na podstawe danych pochodzących z Badana Aktywnośc Ekonomcznej Ludnośc w drugm kwartale 008 zbudowano Klasyczny Model Regresj Lnowej wyjaśnający pozom logarytmu zarobków (lzarobk) za pomocą weku, płc (1-mężczyzna), wykształcena wyższego (1 wyższe, 0 - w pp.) oraz średnego (1 - średne, 0 - w pp.) zmennej ndykatorowej oznaczającej meszkane w dużym meśce powyżej 100 tysęcy meszkańców. Oszacowano następujący model: dochody n = stala + β 1 wek + β plec + β 3 wyzsze + β 4 sredne + β 5 dmasto + ε n Otrzymano następujące oszacowana parametrów wektora β: stala β1 β β3 β4 β5 8.11896.00081.31364.900615.3838361 6396 oraz ch macerz warancj-kowarancj: Covarance matr of coeffcents of regress model e(v) plec wyzsze sredne dmasto wek _cons -------------+------------------------------------------------------------------------ plec.00509974 wyzsze.00137883.0178706 sredne.0004019.0168151.018497 dmasto.00016978 -.00166455 -.000657.006116 wek -6.33e-06.000084.00001531 -.00001115 9.411e-06 _cons -.0031578 -.01834543 -.01793 -.0005319 -.00038705.03481081 Uzupełnj znterpretuj brakujące welkośc w ponższej tabel, a następne oceń poprawność modelu analzując wynk testów stotnośc łącznej stotnośc oszacowanych welkośc parametrów. Dokonaj nterpretacj wynków poszczególnych testów, oraz oszacowań współczynnków wektora β, oraz przeprowadź testy na współlnowość. Wedząc, że współczynnk R modelu z dodanym czterema zmennym określającym klasę mejscowośc (masto do 10 tys., masto do 0 tys, masto to 50 tys., masto do 100 tys meszkańców) wynos 0.0379 zweryfkuj hpotezę o łącznej stotnośc dodanych zmennych (zapsz postać statystyk testowej). Oblczena należy przeprowadzć z dokładnoścą do 4 mejsca po przecnku. Source SS df MS Number of obs = 379 -------------+------------------------------ F( 5, 3786) = 8.95 Model 670.196489 5 134.03998 Prob > F =. Resdual 1753.0557 3786 4.63075955 R-squared =. -------------+------------------------------ Adj R-squared =. Total 180.5 3791 4.80143819 Root MSE =.1519 ------------------------------------------------------------------------ dochody Coef. Std. Err. t -------------+---------------------------------------------------------- wek... plec... sredne... wyzsze... dmasto... _cons... ------------------------------------------------------------------------ Rozwązane
Ekonometra IE Kolokwum 0/1/08 Source SS df MS Number of obs = 379 -------------+------------------------------ F( 5, 3786) = 8.95 Model 670.196489 5 134.03998 Prob > F = 0.0000 Resdual 1753.0557 3786 4.63075955 R-squared = 0.0368 -------------+------------------------------ Adj R-squared = 0.0355 Total 180.5 3791 4.80143819 Root MSE =.1519 ------------------------------------------------------------------------------ lzarobk Coef. Std. Err. t P> t [95% Conf. Interval] -------------+---------------------------------------------------------------- plec.31364.071415 3.5 0.001.09157.371471 wyzsze.900615.1476044 6.10 0.000.61197 1.190013 sredne.3838361.1359879.8 0.005.117194.650458 dmasto.6396.0788137 7.90 0.000.467808.776851 wek.00081.0030677 0.66 0.509 -.0039864.008047 _cons 8.11896.1865765 43.48 0.000 7.747096 8.478696 ------------------------------------------------------------------------------ Wszystke oblczena odpowedz analogczne do poprzednej wersj zadana.
Ekonometra IE Kolokwum 0/1/08 Zadane 3. W modelu lnowym y = β + ε zakładamy, że są nelosowe dla = 1,..., n, E(ε) = 0, var(ε) = σ I. (a) (1 pkt) Wyprowadź estymator MNK sprawdź czy jest neobcążony (uzasadnj dokonując oblczeń). Oblcz jego wartość jeżel n =1 y = 30, n =1 = 15 n =1 = 5 n =1 y = 13 (b) (1 pkt) Pozostajemy przy modelu z pkt (a), ale zakładamy, że E(ε) = θ, var(ε) = σ I, oraz dla = 1,..., n θ są nelosowe. Zakładamy, że ε ma rozkład normalny. Czy przy powyższych założenach estymator MNK dla modelu z pkt (a) będze neobcążony? Zaproponuj sposób estymacj, dzęk któremu można uzyskać neobcążone oszacowane parametru β. (c) (3 pkt) Badacz doszedł do wnosku, że lepej będze oszacować model y = β 0 + β 1 + ε zakładamy, że są nelosowe dla = 1,..., n, E(ε) = 0, var(ε) = σ I. Z teor jednak wynka, że β 0 = 4. Oblcz wartość estymatora MNK dla parametru β 1 w modelu z ogranczenem β 0 = 4 dla danych z podpunktu (a). Czy suma reszt będze równa zero (skomentuj)? Sprawdź neobcążoność estymatora, jeżel ogranczene jest prawdzwe, oraz jeżel jest ono fałszywe. Oblcz warancję estymatora β 1 przy założenu o prawdzwośc ogranczena porównaj z warancją estymatora w modelu bez ogranczeń równą nσ n n =1 ( n =1 ) wedząc, że n n =1 ( n =1 ). Skomentuj uzyskany wynk, czy jest on sprzeczny z twerdzenem Gaussa-Markowa? Rozwązane (a) Macerz X składa sę z jednej kolumny n werszy węc estymator MNK: b = ( [ ] 1 1... n... ) 1 [ ] 1... n n y 1... y n = y = 30 5 = 1, E(b) = E( y ) E( ) = E(y ) E(β + ε) = = β węc estymator jest neobcążony. (b) W tym przypadku wartość oczekwana zmennej zależnej wynos E(y ) = β + θ. Wobec tego wartość oczekwana estymatora jest równa E(b) = E( y ) E( ) = E(y ) = β + θ = β + θ A zatem estymator będze obcążony. Aby uzyskać neobcążony estymator np. wystarczy zauważyć, że ε = ξ + θ, gdze ξ N (0, σ ). wobec tego model można zapsać jako y = β + θ + ξ Ten model spełna założena modelu KMRL dla modelu ze stałą (θ), węc jego oszacowana będą neobcążone.
Ekonometra IE Kolokwum 0/1/08 (c) Mnmalzujemy sumę kwadratów reszt przy ogranczenu b 0 = 4, czyl S R = (y 4 b 1 ). Pochodna względem b 1 jest równa: S b 1 = (y 4 b 1 ) = 0 węc y 4 b 1 = 0 wobec tego b 1 = y 4 30 4 15 = = 1. 5 Suma reszt w tym modelu ne będze równa zero e = y 4 n + 1. = 13 4 n + 1. 15 = 31 4 n Pommo tego, ż w modelu jest stała, to zostało na ną narzucone ogranczene, przez co przy szukanu mnmum sumy kwadratów reszt ne znajdujemy optmum, w zwązku z tym suma reszt ne mus być równa zero (naczej: narzucene ogranczena na stałą sprowadza model do modelu bez stałej). Przy prawdzwym ogranczenu wartość oczekwana zmennej objaśnanej jest równa E(b 1 ) = E(y ) 4 = 4 + β 4 = β 1 Przy fałszywym ogranczenu wartość oczekwana zmennej zależnej będze równa E(b 1 ) = E(y ) 4 = β 0 + β 1 4 = β 1 + (β 0 4) czyl estymator będze obcążony. Obcążene będze proporcjonalne do różncy pomędzy rzeczywstą a zakładaną wartoścą parametru β 0. Warancja estymatora b 1 jest równa ( y 4 ) ( (4 + β var(b 1 ) = var 1 + ε ) ) ( ε = var ) = var var(b 1 ) = var(ε ) ( ) = σ ( ) Czyl warancja w modelu z ogranczenam jest mnejsza lub równa warancj dla modelu bez ogranczeń. Ne jest to sprzeczne z twerdzenem Gaussa-Markowa, poneważ podczas konstrukcj modelu z ogranczenam wykorzystywane są dodatkowe nformacje pochodzące spoza próby.
Ekonometra IE Kolokwum 0/1/08 Zadane 4. Ekonomsta po przeczytanu artykułu ekonometrycznego zwrócł sę do Cebe o pomoc w wyjaśnenu sensu przedstawonego w artykule modelu ekonometrycznego. Odwołując sę do znanych Tobe teor ekonomcznych wytłumacz koledze, tak, żeby sprawdzający Twoje kolokwum zrozumał! W artykule analzowano model: ( ) y = β 0 + β 1 k + β l + β 3 k l + ε Analzujemy zborowość N przedsęborstw, produkujących homogenczny produkt, sprzedawany na konkurencyjnym rynku po cene p. Nech: y wartość sprzedaży -tego przedsęborstwa. k zatrudnene kaptału w -tym przedsęborstwe. l zatrudnene pracy w -tym przedsęborstwe. p cena jednostk produkowanego produktu (a) Co stane sę z oszacowanam parametrów, jeśl zamast analzowanego modelu oszacujemy model (**): y p = β 0 + β 1 k + β l + β 3 k l + ε. Odpowedż uzasadnj! (b) Wyjaśnj jak należy nterpretować parametry modelu (*), tak, żeby ekonomsta zrozumał! Wyjasnj co w nterpretacj należy zmenć dla modelu (**). (c) Z jakch przyczyn w modelu (*) znalazł sę element β 3 k l? Podaj jego sens ekonomczny. (d) Jakch wartośc oszacowań parametrów modelu (*) sę spodzewasz. Odpowedź uzasadnj odwołując sę do teor ekonom. (e) Kolega ponformował Cebe, że posada analogczne dane dla polskch przedsęborstw, oraz dodatkową zmenną określającą welkość przedsęborstwa (w = 1 dla dużego przedsęborstwa, w = 0 w p.p.). Podpowedz, jak zmodyfkować postać funkcyjną modelu (*), aby Twój kolega mógł przetestować hpotezę, że produktywność krańcowa pracy w małych frmach jest stała. Zapsz model postać hpotezy w odnesenu do jego parametrów. (f) ( ) Na prośbę koleg skonstruuj model, w którym uwzględnsz następujące fakty: produktywność krańcowa kaptału maleje wraz ze wzrostem kaptału rośne wraz ze wzrostem pracy, natomast produktywność krańcowa pracy jest malejącą funkcją pracy rosnącą funkcją kaptału. Rozwązane ad (a) Analzowany jest model: Wobec tego model sprowadza sę do: ( ) y p = β 0 + β 1 k + β l + β 3 k l + ε ( ) y p = β 0 + β 1 k + β l + β 3 k l + ε czyl każda obserwacja y została podzelona przez tę samą lczbę! Oznacza to, że wektor zmennych zależnych y został podzelony przez lczbę p! Z wzoru na estymator MNK, mamy: Dla modelu (*): b = (X X) 1 X y
Ekonometra IE Kolokwum 0/1/08 Dla modelu (**): b = (X X) 1 X y p = 1 p (X X) 1 X y = 1 p b Z czego wynka, że oszacowana parametrów modelu (**) są równe oszacowanom modelu (*) podzelonym przez cenę produktu! ad (b) Zauważmy, że w modelu znajdują sę nterakcje zmennych, węc ne możemy nterpretować parametrów osobno, dla każdej zmennej. Musmy odwołać sę do efektów cząstkowych: Dla modelu (*): δe(y ) = β 1 + β 3 l δk Wzrost zatrudnena kaptału o jednostkę powoduje przecętne zmanę wartośc produkcj przedsęborstwa o β 1 + β 3 l. Wpływ zmany lośc kaptału na wartość produkcj przedsęborstwa ne jest lnowy, poneważ zależy od pozomu zatrudnena drugego czynnka produkcj (pracy). δe(y ) = β + β 3 k δk Wzrost zatrudnena pracy o jednostkę powoduje przecętne zmanę wartośc produkcj przedsęborstwa o β +β 3 k. Wpływ zmany lośc pracy na wartość produkcj przedsęborstwa ne jest lnowy, poneważ zależy od pozomu zatrudnena drugego czynnka produkcj (kaptału). Dla modelu (**): Zmenną objaśnaną jest welkość produkcj, a ne jej wartość. Parametry będą zatem mówły o wpływe zman zatrudnena czynnków produkcj na jej welkość a ne wartość wyrażoną w jednostkach penądza. ad (c) Zwykle w teorach ekonomcznych dotyczących produkcj, przyjmuje sę, że wpływ wzrostu nakładów jednego czynnka produkcj zależy od zasobów drugego z czynnków. Innym słowy, to le korzyśc uzyskamy z zatrudnena pracy zależy od tego jakm dysponujemy kaptałem (maszynam, komputeram, przestrzeną td) odwrotne. Spodzewamy sę zatem, że będze występował efekt zwany często synergą, powększane zatrudnena jednego z czynnków prawdopodobne będze zwększało wpływ powększana drugego na wartość produkcj. ad (d) Co do stałej w modelu możemy ne meć ntucj (stała często ne ma sensownej nterpretacj) Pozostałe oszacowana pownny być dodatne, co wynka z dwóch faktów: Wzrost nakładów czynnka produkcj pownen powększać welkość produkcj! Wzrost zatrudnena jednego z czynnków produkcj pownen prowadzć do zwększena przyrostu welkośc produkcj jak wywoła przyrost zatrudnena drugego z nch. Uwaga!!! Przyjrzyj sę powyżej polczonym efektom cząstkowym! ad (e) Należy wprowadzć nterakcje do modelu równeż ze zmenną określającą welkość przedsęborstwa! ( )y = β 0 + β 1 k + β l + β 3 k l + w (β 4 + β 5 k + β 6 l + β 7 k l ) + ɛ y = β 0 + β 4 w + β 1 k + β 5 k w + β l + β 6 l w 1 + β 3 k l + β 7 k l w + ɛ
Ekonometra IE Kolokwum 0/1/08 Odwołując sę do efektu cząstkowego pracy (krańcowej produktywnośc pracy), przy założenu, że w = 0 (poneważ nteresują nas małe frmy): δe(y ) δl = β + β 3 l Produktywność krańcowa (efekt cząstkowy) będze stała równa β jeśl będze prawdzwa hpoteza: H 0 : β 3 = 0. ad (f) Produktywność krańcowa pracy MP L = δe(y ) δl ma być malejącą funkcją lośc pracy rosnącą funkcją kaptału, czyl: δmp L δl < 0 δmp L δk > 0 Zauważymy, że tak będze na przykład dla modelu: (. )y = β 0 + β 1 ln k + β ln l + β 3 ln k ln l + ɛ Krańcowa produktywność pracy będze równa: MP. L = δe(y ) δl = β 1 1 l + β 3 ln k 1 l Analogczne rozważana dotyczą krańcowej produktywnośc kaptału! Rozwązane jest jedyne jedną z możlwych propozycj. Najczęścej wykorzystywaną postacą funkcyjną o wskazanych w zadanu własnoścach jest funkcja Cobb- Douglasa, z której możemy uzyskać postać lnową logarytmując stronam!