Modele wielorównaniowe. Problem identykacji

Modele wielorównaniowe. Problem identykacji Ekonometria Szeregów Czasowych SGH Identykacja 1 / 43

Plan wykªadu 1 Wprowadzenie 2 Trzy przykªady 3 Przykªady: interpretacja 4 Warunki identykowalno±ci 5 Restrykcje na parametry stochastyczne 6 Zadania Identykacja 2 / 43

Plan prezentacji 1 Wprowadzenie 2 Trzy przykªady 3 Przykªady: interpretacja 4 Warunki identykowalno±ci 5 Restrykcje na parametry stochastyczne 6 Zadania Identykacja 3 / 43

Wprowadzenie Prezentacja dost pna pod adresem http://web.sgh.waw.pl/~atoroj/ Identykacja 4 / 43

Wprowadzenie Problem identykacji Specykacja modelu y t A + xt B = εt y posta strukturalna Estymacja t = xt( 1) BA 1 + ε t A 1 }{{}}{{} Π v t posta zredukowana Identykacja parametrów postaci strukturalnej BA 1 = Π posta strukturalna Elementy macierzy B i A nie zawsze mo»na zidentykowa na podstawie macierzy Π. Z czego wynika ewentualny brak tej mo»liwo±ci i pod jakimi warunkami identykacja jest mo»liwa? Identykacja 5 / 43

Przykªad 1 Przykªad 1 Rozwa»my model konkurencyjnego rynku pozostaj cego w równowadze, skªadaj cy si ze stochastycznych równa«popytu i poda»y oraz to»samo±ci b d cej warunkiem równowagi: d t = α 0 α 1p t + ε d t s t = β 0 + β 1p t + ε s t d t = s t ( q t) gdzie d - popyt, s - poda», α 1, β 1 > 0, α 0 > β 0. Zmienne endogeniczne to q t i p t. Po uwzgl dnieniu to»samo±ci zapisujemy posta strukturaln : [ qt p t [ 1 1 α 1 β 1 { q t + α 1p t α 0 = ε d t q t β 1p t β 0 = ε s t + [1 [ α 0 β 0 = [ ε d t ε s t Identykacja 7 / 43

Przykªad 1 Posta zredukowana: [ qt p t [ π1 π 2 = [1 [ [ 1 1 1 α }{{} 0 β 0 + }{{} α 1 β 1 }{{} 1 2 2 2 }{{} 1 2 + [ ε d t ε s [ 1 1 1 t = α 1 β 1 = [1 [ [ π 1 π 2 + v1 v 2 = [ α 0 β 0 [ 1 1 α 1 β 1 1 = = 1 [ [ β α 1+ β α0 β 1 1 1 0 [ α 1 1 α0 β 1 +β 0 α 1 α 0 β 0 α 1 +β 1 α 1 +β 1 = = Identykacja 8 / 43

Przykªad 1 Rozwa»my α 0 β 0 α 1 β 1 = 4 2 1 1 oraz α 0 β 0 α 1 β 1 = 5 1 2 2. Oba wektory mogªyby wynika [ z oszacowania [ wektora parametrów postaci π1 3 zredukowanej =. aden z parametrów postaci π 2 1 strukturalnej nie jest identykowalny. Identykacja 9 / 43

Przykªad 2 Przykªad 2 Równanie popytu w tym samym modelu uzupeªniamy o dochód rozporz dzalny konsumentów y t z parametrem α 2. Posta strukturalna: d t = α 0 α 1p t + α 2y t + ε d t s t = β 0 + β 1p t + ε s t d t = s t ( q t) { q t + α 1p t α 0 α 2y t = ε d t q t β 1p t β 0 = ε s t [ qt p t [ 1 1 α 1 β 1 + [ 1 y t [ α 0 β 0 α 2 0 = [ ε d t ε s t Identykacja 10 / 43

Przykªad 2 Posta zredukowana: [ qt p t [ [ [ 1 α0 β = 1 0 1 1 yt + }{{} α 2 0 α 1 β 1 }{{}}{{} 2 2 2 2 }{{} 2 2 + [ ε d t ε s [ 1 1 1 t = α 1 β 1 = [ [ π 1 y 11 π 12 t + [ v π 21 π 1 v 2 22 [ [ π11 π 12 α0 β = 0 π 21 π 22 α 2 0 [ 1 1 α 1 β 1 1 = [ α0 β 1 +β 0 α 1 α 0 β 0 α 1 +β 1 α 1 +β 1 α 2 β 1 α 2 α 1 +β 1 α 1 +β 1 Identykacja 11 / 43

Przykªad 2 Po rozszerzeniu specykacji parametry równania poda»y staªy si identykowalne: β 1 = π 21 π 22 α 0 β 0 ( β 1 ) α 1 + β }{{ 1 }{{}} π 21 π 12 π 22 + α 0β 1 + β 0 α 1 = β 0 α 1 + β }{{ 1 } π 11 Identykacja 12 / 43

Przykªad 2 Niech β 0 = 1 i β 1 = 2: Zarówno dla α 0 α 1 α 2 = [ π11 π 12 π 21 π 22 3 2 2 =, jak i dla [ 2α0 +α 1 α 1 +2 2α 2 α 1 +2 α 0 α 1 α 2 = α 0 1 α 1 +2 α 2 α 1 +2 [ 2 1 speªniona jest równo± Π = 2 1. Parametry równania popytu 1 2 wci» s zatem nieidentykowalne. 5 6 4,. Identykacja 13 / 43

Przykªad 3 Przykªad 3 Równanie poda»y z przykªadu 2 uzupeªniamy o zasób kapitaªu w±ród producentów na rozwa»anym rynku: Posta strukturalna: d t = α 0 α 1p t + α 2y t + ε d t s t = β 0 + β 1p t + β 2r t + ε s t d t = s t ( q t) { q t + α 1p t α 0 α 2y t = ε d t q t β 1p t β 0 β 2r t = ε s t [ qt p t [ 1 1 α 1 β 1 + [ 1 y t r t α 0 β 0 α 2 0 0 β 2 = [ ε d t ε s t Identykacja 14 / 43

Przykªad 3 Posta zredukowana: [ qt p t = [ 1 y t r t α 0 β 0 [ 1 α 2 0 1 1 + α 0 β 1 β 1 2 }{{}}{{} 2 2 3 2 }{{} 3 2 + [ ε d t ε s [ 1 1 1 t = α 1 β 1 = [ 1 y t r t π 11 π 12 π 21 π 22 π 31 π 31 + [ v 1 v 2 π 11 π 12 π 21 π 22 π 31 π 31 = α 0 β 0 α 2 0 0 β 2 [ 1 1 α 1 β 1 1 = α 0 β 1 +β 0 α 1 α 0 β 0 α 1 +β 1 α 1 +β 1 α 2 β 1 α 2 α 1 +β 1 α 1 +β 1 α 1 β 2 β 2 α 1 +β 1 α 1 +β 1 Identykacja 15 / 43

Przykªad 3 β 0 i β 1 ustalamy jak wcze±niej. α 1 = π 31 π 32 β 2 β 2 = α 1 + β 1 α 1 }{{}}{{} π π 32 π 31 32 α 2 = α 2 α 1 + β 1 }{{} π 22 α 1 }{{} π π 31 32 + β 1 }{{} π 21 π 22 + β 1 }{{} π 21 π 22 α 0 = α 0 β 0 α 0 + α 1 α 0 + α 1 }{{} + β 0 α 0 = π 12α 1 +β 0 }{{} 1 π 12 }{{} π 31 π 12 π f (Π) 32 Po rozszerzeniu specykacji równie» parametry równania popytu staªy si identykowalne. Identykacja 16 / 43

Interpretacja graczna Przykªad 1: ilustracja graczna q d(α 0,α 1 ) s(β 0,β 1 ) d(α 0,α 1 ) s(β 0,β 1 ) p Identykacja 18 / 43

Interpretacja graczna Przykªad 2: ilustracja graczna d(α 0,α 1,α 2 y 1 ) q d(α 0,α 1, α 2 y 1 ) d(α 0,α 1, α 2 y 2 ) s(β 0,β 1 ) d(α 0,α 1,α 2 y 2 ) p Identykacja 19 / 43

Interpretacja graczna Przykªad 3: ilustracja graczna q s(β 0,β 1,β 2 r 2 ) d(α 0,α 1, α 2 y 1 ) d(α 0,α 1, α 2 y 2 ) s(β 0,β 1,β 2 r 1 ) p Identykacja 20 / 43

Wnioski Wnioski z przykªadów 1 Brak identykowalno±ci parametrów postaci strukturalnej wynika ze specykacji modelu. 2 Nie jest to w szczególno±ci efekt zbyt krótkiej próby czy bª dów w procesie estymacji. 3 Brak identykowalno±ci parametrów postaci strukturalnej nie musi oznacza,»e model jest zªy; oznacza jedynie,»e na gruncie dost pnych danych nie jest mo»liwe ustalenie warto±ci poszczególnych jego parametrów. Ewentualny brak identykowalno±ci dotyczy wszystkich parametrów danego równania (por. przykªady 1, 2, 3). St d mówimy o identykowalno±ci równa«, a gdy wszystkie równania s identykowalne - o identykowalno±ci modelu. Identykacja 21 / 43

Warunek konieczny i wystarczaj cy Liczba identifykowanych parametrów Liczba parametrów postaci strukturalnej Σ A ε;m M symetryczna M M B K M {}}{{}}{ M 2 {}}{ + KM + M (M + 1) 1 2 Ró»nica wynosi maksymalnie M 2. Liczba parametrów postaci zredukowanej Σ v;m M symetryczna Π K M {}}{{}}{ KM + M (M + 1) 1 2 W przykªadzie 3 osi gni cie identykowalno±ci wymagaªo przyj cia M 2 = 4 dodatkowych zaªo»e«: 1 o normalizacji ze wzgl du na zmienn q t w pierwszym i drugim równaniu, st d A 11 = 1 i A 12 = 1; 2 o wykluczeniu niektórych zmiennych z niektórych równa«, st d B 22 = 0 i B 31 = 0. Identykacja 23 / 43

Warunek konieczny i wystarczaj cy Notacja Posta strukturalna: y t A + x t B = ε t, A M M, B K M, M zmiennych endogenicznych (o warto±ciach dla t w poziomym wektorze y t ), K zmiennych egzogenicznych (o warto±ciach dla t w poziomym wektorze x t ). j-te równanie postaci strukturalnej: y t A [:,j + x t B [:,j = ε j,t, gdzie A [:,j, B [:,j to j-ta kolumna macierzy odpowiednio A i B. Ze wzgl du na normalizacj w równaniu j oraz wykluczenie niektórych zmiennych z tego równania klasykujemy jego zmienne i wªa±ciwe im parametry: Identykacja 24 / 43

Warunek konieczny i wystarczaj cy Zmienne Ozn. Rodzaj Liczba Parametry yj zmienna obja±niana w równaniu j, 1 1 wzgl dem niej normalizacja Endogeniczne Ỹj zmienne wyst puj ce w równaniu j M j Ỹj Xj Xj Ã [:,j bie» ce jako zmienne obja±niaj ce zmienne nie wyst puj ce w M j Ã [:,j = 0 równaniu j jako zmienne obja±niaj ce Z góry ustalone zmienne wyst puj ce w równaniu j jako zmienne obja±niaj ce K j B[:,j zmienne nie wyst puj ce w K j B[:,j = 0 równaniu j jako zmienne obja±niaj ce Identykacja 25 / 43

Warunek konieczny i wystarczaj cy Model w postaci zredukowanej [ yj,t ỹ j,t ỹ j,t = [ ~x j,t x j,t }{{}}{{} yt xt 1 {}}{ d j M j {}}{ D (1) M j {}}{ D (2) } K j d j D (3) D (4) } Kj } {{ } Π [ + v j,t ṽ j,t ṽj,t } {{ } vt Poniewa» Π = BA 1 czyli ΠA = B, dla j-tej kolumny macierzy A i B mo»emy zapisa : ΠA [:,j = B [:,j [ dj D (1) D (2) d j D (3) D (4) 1 Ã [:,j 0 = [ B[:,j 0 Identykacja 26 / 43

Warunek konieczny i wystarczaj cy St d: { dj + D (1) Ã [:,j = B[:,j d j + D (3) Ã [:,j = 0 { D (3) Ã [:,j = dj B [:,j = d j D (1) Ã [:,j } K j rownan } K j rownan z M j parametrami } Kj rownan z M j niewiadomymi ( ) }wzor na pozostale K j parametrow Dla ka»dego równania ( j ) mo»liwe s nast puj ce przypadki: 1 Kj < M j niesko«czenie wiele rozwi za«, parametry postaci strukturalnej równania j nie s identykowalne; 2 Kj = M j dokªadnie jedno rozwi zanie, identykowalno± jednoznaczna; 3 K j > M j identykowalno± nadmierna, mo»na testowa czy sprzeczno±ci s istotne statystycznie. Identykacja 27 / 43

Warunek konieczny i wystarczaj cy Warunek konieczny identykowalno±ci Warunkiem koniecznym identykowalno±ci równania j jest Kj M j, tzn. by liczba zmiennych egzogenicznych nie wyst puj cych w tym równaniu byª przynajmniej taka, jak liczba zmiennych endogenicznych wyst puj cych w tym równaniu jako zmienne obja±niaj ce. Przykªady (c.d.): 1 K 1 = 0 < M 1 = 1 brak identykowalno±ci równania 1 K 2 = 0 < M 2 = 1 brak identykowalno±ci równania 2 2 K1 = 0 < M 1 = 1 brak identykowalno±ci równania 1 K 2 = 1 = M 2 = 1 równanie 2 jest identykowalne 3 K1 = 1 = M 1 = 1 równanie 1 jest identykowalne K 2 = 1 = M 2 = 1 równanie 2 jest identykowalne Fakt: Warunek konieczny identykowalno±ci jest speªniony dla wszystkich równa«modelu, je»eli w ka»dym z nich wyst puje wªasna, unikalna zmienna egzogeniczna. Identykacja 28 / 43

Warunek konieczny i wystarczaj cy Warunek wystarczaj cy identykowalno±ci Warunkiem wystarczaj cym istnienia jednoznacznego rozwi zania ukªadu równa«( ) jest nie tylko K j = M j, lecz równie» peªen rz d kolumnowy (liniowa niezale»no± wszystkich kolumn) macierzy D (3) : r ( D (3)) = M j Wniosek: warunek wystarczaj cy identykowalno±ci j-tego równania zawiera w sobie warunek konieczny, bowiem przy Kj < M j liczba wierszy macierzy D (3) jest ni»sza od liczby kolumn, a taka macierz nie mo»e mie M j kolumn liniowo niezale»nych. Identykacja 29 / 43

Metoda z tabel Metoda z tabel W praktyce speªnienie warunku koniecznego mo»na równie» bada korzystaj c z nast puj cej metody: 1 Zapisujemy parametry postaci strukturalnej (tzn. takiej, w której wszystkie zmienne z parametrami s po jednej stronie znaku równo±ci) w tabeli, w której wiersze odpowiadaj zmiennym endogenicznym (równaniom), a kolumny - wszystkim zmiennym w modelu (parametry przyporz dkowujemy tym zmiennym). 2 W celu sprawdzenia identykowalno±ci parametrów j-tego równania wykre±lamy z tabeli: 1 wiersz odpowiadaj cy temu równaniu (j); 2 kolumny odpowiadaj ce zmiennym, które s w tym równaniu (y j,t, ỹ j,t, x j,t ). 3 Sprawdzamy, czy macierz parametrów, która pozostaªa po wykre±leniach, ma tyle liniowo niezale»nych kolumn, ile wierszy. Identykacja 30 / 43

Metoda z tabel Metoda z tabel przykªady 1, 2, 3 1 d t = α 0 α 1p t + ε d t s t = β 0 + β 1p t + ε s t d t = s t 1 d t s t p t α 0-1 0 α 1 β 0 0-1 β 1 0 1-1 0 [ [ 1 1 dla równania 1:, dla równania 2: 2 wiersze > 1 wektor - brak 1 1 identykowalno±ci obu równa«identykacja 31 / 43

Metoda z tabel 2 d t = α 0 α 1p t + α 2y t + ε d t s t = β 0 + β 1p t + ε s t d t = s t 1 d t s t p t y t α 0-1 0 α 1 α 2 β 0 0-1 β 1 0 0 1-1 0 0 [ 1 dla równania 1: 2 wiersze > 1 wektor - brak identykowalno±ci; dla 1 [ 1 α2 równania 2: 2 wektory liniowo niezale»ne - równanie 1 0 identykowalne Identykacja 32 / 43

Metoda z tabel 3 d t = α 0 α 1p t + α 2y t + ε d t s t = β 0 + β 1p t + β 2r t + ε s t d t = s t 1 d t s t p t y t r t α 0-1 0 α 1 α 2 0 β 0 0-1 β 1 0 β 2 0 1-1 0 0 0 [ [ 1 β2 1 α2 dla równania 1:, dla równania 2: 1 0 1 0 niezale»ne - oba równania identykowalne, 2 wektory liniowo Identykacja 33 / 43

Restrykcje stochastyczne Restrykcje nakªadane na parametry stochastyczne W ogólnym przypadku symetryczna macierz wariancji-kowariancji wektora skªadników losowych postaci strukturalnej Cov (ε) = E ( ε T ε ) = Σ ε zawiera M (M + 1) 1 2 ró»nych elementów, podobnie jak mo»liwa do oszacowania macierz wariancji-kowariancji wektora skªadników losowych postaci zredukowanej Cov (v) = E ( ) ( (εa v T 1 v = E ) T ( )) εa 1 = ( ( E A 1) ) T εt εa 1 = ( A 1) T Σε A 1 = Σ v. Zaªo»enie o wzajemnej niezale»no±ci skªadników losowych postaci strukturalnej pozwala umie±ci zera na M (M + 1) 1 M 2 niediagonalnych miejscach macierzy Σ ε, co mo»e pozwoli wykorzysta równanie ( A 1) T Σε A 1 = Σ v w procesie identykacji elementów macierzy A. Identykacja 35 / 43

Restrykcje stochastyczne Przykªad 1 (c.d.) [ σ 2 Zaªó»my,»e Σ ε = d 0 0 σs 2. Wówczas [ σ 2 Σ v = v,1,1 σv,1,2 2. σv,2,2 2 = ( A 1) T Σε A 1 = [ β 1 α 1 [ [ = α 1 +β 1 α 1 +β 1 σ 2 β d 0 1 1 1 0 α 1 +β 1 α 1 +β 1 σs 2 α 1 α 1 +β 1 ( ) [ 2 = 1 β 2 1 σd 2 + α2 1 σ2 s β 1 σd 2 α 1σs 2 α 1 +β 1. σd 2 + σ2 s 1 α 1 +β 1 α 1 +β 1 1 α 1 +β 1 = 2 z 3 równo±ci wykorzystujemy do ustalenia σd 2 oraz σ2 s, trzecia za± ustanawia zale»no± mi dzy α 1 a β 1. Ta zale»no± oraz dwie równo±ci π 1 =... i π 2 =... (por. wcze±niej) to wci» za maªo, by zidentykowa 4 parametry postaci strukturalnej. Identykacja 36 / 43

Restrykcje stochastyczne Przykªad 2 (c.d.) [ σ 2 Wykorzystajmy zaªo»enie Σ ε = d 0 0 σs 2 w drugim modelu. Po uwzgl dnieniu trzeciej zale»no±ci miedzy α 1 i β 1 mo»emy zidentykowa 3 parametry równania popytu na podstawie 3 równa«. Zaªó»my,»e wyniki estymacji parametrów postaci zredukowanej modelu 2 uzupeªnimy o wyniki estymacji wariancji-kowariancji wektora skªadników losowych postaci zredukowanej [ vt: σ 2 Σ v = v,1,1 σv,1,2 2 ( ) [ 2. σv,2,2 2 = 1 β 2 1 σ 2 d + α2 1 σ2 s β 1 σ 2 d α 1σ 2 s α 1 +β 1. σ 2 d + σ2. Zgodnie z s dotychczasowymi ustaleniami, β 0 = 1 i β 1 = 2. Mo»emy zatem zapisa 3 dodatkowe równania: ( ) 2 σv,1,1 2 = 1 (4σ 2 α 1 +2 d + α 2 ) 1 σ2 s ( ) 2 σv,1,2 2 = 1 (2σ 2 α 1 +2 d α 1 σs 2 ) ( ) 2 σv,2,2 2 = 1 (σ 2 α 1 +2 d + σs 2 ) Identykacja 37 / 43

Restrykcje stochastyczne Wyznaczamy z ostatniego równania σs 2 i podstawiamy do pozostaªych dwóch: ( ) 2 ( ( )) σv,1,1 2 = 1 α 1 +2 4σd 2 + α2 1 σv,2,2 2 (α 1 + 2) 2 σd 2 = ( ) 2 1 (4 ) α 1 +2 α 2 1 σ 2 d + α1 2σ2 v,2,2 = 2 α 1 2+α 1 σd 2 + α2 1 σ2 v,2,2 ( ) 2 ( )) σv,1,2 2 = 1 2σd 2 α 1 = ( 1 α 1 +2 α 1 +2 ( σ 2 v,2,2 (α 1 + 2) 2 σ 2 d ) 2 (2 + α1 ) σd 2 α 1σv,2,2 2 = 1 2+α 1 σd 2 α 1σv,2,2 2 Z ukªadu mo»na wyrugowa σd 2: σ 2 v,1,1 α2 1 σ2 v,2,2 = (2 α 1) ( σ 2 v,1,2 + α 1σ 2 v,2,2 2σ 2 v,1,2 + 2α 1σ 2 v,2,2 α 1σ 2 v,1,2 α2 1 σ2 v,2,2 ) = Identykacja 38 / 43

Restrykcje stochastyczne Po redukcji powtarzaj cych si skªadników i rozwi zaniu ze wzgl du na α 1 otrzymujemy: α 1 = σ2 v,1,1 2σ2 v,1,2 2σ 2 v,2,2 σ2 v,1,2 Niech (z wyników estymacji) Σ v = 3 2 12 [ 3 1 2. 3 4. Wówczas α 1 = 2 34 1 = 2. Pozostaªe dwie równo±ci z przykªadu 2 pozwalaj 2 α 0 3 zidentykowa α 1 = 2. α 2 2 Identykacja 39 / 43

Restrykcje stochastyczne Do identykowalno±ci mog te» prowadzi inne, liniowe i nieliniowe restrykcje nakªadane na parametry stochastyczne i strukturalne. Identykacja 40 / 43

Zadania Zadanie 1 Dany jest nast puj cy model ekonometryczny: y 1,t = 1 + 0, 5y 2,t + x 1,t + 0, 1x 2,t + ε 1,t y 2,t = 2 2y 1,t + 0, 5y 1,t 1 + ε 2,t 1 Omów identykowalno± poszczególnych równa«modelu. 2 Przedstaw przykªad takiej zmiany (takich zmian) specykacji, które doprowadziªyby do jednoznacznej identykowalno±ci wszystkich równa«. 3 Przedstaw przykªad takiej zmiany (takich zmian) specykacji, które doprowadziªyby do braku identykowalno±ci przynajmniej jednego z równa«. Identykacja 42 / 43

Zadania Zadanie 2 Zaproponowano nast puj cy model wielorównaniowy: y 1,t = α 0 + α 1 y 2,t + α 2 x 1,t + α 3 x 3,t + ε 1,t y 2,t = β 0 + β 1 y 1,t + β 2 x 2,t + ε 2,t 1 Przeprowad¹ analiz identykowalno±ci pierwszego równania. 2 Przeprowad¹ analiz identykowalno±ci drugiego równania. 3 Czy do estymacji powy»szego modelu mo»na zastosowa po±redni MNK? 4 Zaproponuj tak zmian specykacji, która sprawi,»e oba równania stan si jednoznacznie identykowalne. Identykacja 43 / 43