Modele wielorównaniowe
|
|
|
- Fabian Mazurek
- 4 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Modele wielorównaniowe Jakub Mućk Katedra Ekonomii Ilościowej Jakub Mućk Metody Ekonometyczne Wykład 6 1 / 47
2 Outline Niezgodność Metody Najmniejszych Kwadratów Pośrednia Metoda Najmniejszych Kwadratów Podwójna Metoda Najmniejszych Kwadratów Potrójna Metoda Najmniejszych Kwadratów 5 Jakub Mućk Metody Ekonometyczne Wykład 6 2 / 47
3 Q E 3 E 2 Q to ilość dobra P to cena dobra E 1, E 2 oraz E 3 to obserwowane wielkości. E 1 P Jakub Mućk Metody Ekonometyczne Wykład 6 3 / 47
4 Q E 2 E 3 Q to ilość dobra P to cena dobra E 1, E 2 oraz E 3 to obserwowane wielkości. Zależność wynikająca z obserwacji empirycznych: Q = β 0 + β 1 P + ε (1) Jakiego znaku jest β 1? E 1 P Jakub Mućk Metody Ekonometyczne Wykład 6 3 / 47
5 Q S E 3 Q to ilość dobra P to cena dobra E 1, E 2 oraz E 3 to obserwowane wielkości. E 1 E 2 Krzywa podaży (S) Q S = β 0 + β 1 P + ε s (1) gdzie ε s to nieobserowalna determinanta podaży (unobservable supply shifter) P Jakub Mućk Metody Ekonometyczne Wykład 6 3 / 47
6 Q S Q to ilość dobra P to cena dobra E 1, E 2 oraz E 3 to obserwowane wielkości. E 1 D 1 E 2 E 3 D 2 D 3 P Krzywa podaży (S) Q S = β 0 + β 1 P + ε s (1) gdzie ε s to nieobserowalna determinanta podaży (unobservable supply shifter) Krzywe popytu (D i ) dla różnych wartości Z Q D = α 0 + α 1 P + α 2 Z + ε d (2) gdzie Z to obserowalna determinanta popytu (observable demand shifter), a ε d to nieobserowalna determinanta popytu (unobservable demand shifter). Jakub Mućk Metody Ekonometyczne Wykład 6 3 / 47
7 Q Q to ilość dobra P to cena dobra E 1, E 2 oraz E 3 to obserwowane wielkości. E 3 S 3 Krzywe podaży (S i ) dla różnych wartości X: Q S = β 0 + β 1 P + β 2 X + ε s (1) S 1 E 1 D 1 E 2 S 2 D 2 D 3 P gdzie X to obserowalna determinanta podaży (observable demand shifter), a ε s to nieobserowalna determinanta podaży (unobservable supply shifter) Krzywe popytu (D i ) dla różnych wartości Z Q D = α 0 + α 1 P + α 2 Z + ε d (2) gdzie Z to obserowalna determinanta popytu (observable demand shifter), a ε d to nieobserowalna determinanta popytu (unobservable demand shifter). Jakub Mućk Metody Ekonometyczne Wykład 6 3 / 47
8 Modele wielorównaniowe mogą pozwolić na wyeliminowanie obciążenia oszacowań wynikającego z jednoczesnej współzależności (simultaneity bias). Modele wielorównaniowe mogą pozwolić na uwzględnienie jednoczesnej współzależności pomiędzy zmiennymi endogenicznymi. Kluczowym problemem jest problem identyfikowalności. Jakub Mućk Metody Ekonometyczne Wykład 6 4 / 47
9 Outline Niezgodność Metody Najmniejszych Kwadratów Pośrednia Metoda Najmniejszych Kwadratów Podwójna Metoda Najmniejszych Kwadratów Potrójna Metoda Najmniejszych Kwadratów 5 Jakub Mućk Metody Ekonometyczne Wykład 6 5 / 47
10 - postać strukturalna Postać strukturalna (structural form) to postać modelu wynikająca z teorii ekonomii. Dla układu M równań γ 11y 1t γ 1M y Mt+ β 11x 1t β 1Kx Kt = ε 1t γ 21y 2t γ 2M y Mt+ β 21x 2t β 2Kx Kt = ε 2t. γ M1y 1t γ MM y Mt+ β M1x Mt β MKx Kt = ε Mt M zmiennych endogenicznych: y 1t, y 2t,..., y Mt. K zmiennych egzogenicznych: x 1t, x 2t,..., x Kt. M strukturalnych zaburzeń losowych: ε 1t, ε 2t,..., ε Mt. Przyjmując, że ε = [ε 1t, ε 2t,..., ε Mt] E(ε) = 0 oraz E(εε T ) = Σ, gdzie Σ to macierz wariancji-kowariancji pomiędzy zaburzeniami strukturalnymi. Jakub Mućk Metody Ekonometyczne Wykład 6 6 / 47
11 - postać strukturalna Postać strukturalna (structural form): przy pomocy zapisu macierzowego dla każdej obserwacji (t): [y 1 y 2... y M ] t + [x 1 x 2... x K] t γ 11 γ γ 1M γ 21 γ γ 2M. γ M1 γ M2... γ MM β 11 β β 1M β 21 β β 2M. β M1 β M2... β MM + = [ε1... ε2 εm ] t Jakub Mućk Metody Ekonometyczne Wykład 6 7 / 47
12 - postać strukturalna Postać strukturalna (structural form) zapis macierzowy: YΓ + XB = ε, (3) gdzie (przyjmując T jako liczbę obserwacji): Y to macierz zmiennych endogenicznych o wymiarach T M. X to macierz zmiennych egzogenicznych o wymiarach T K. ε to macierz struturalnych zaburzeń losowych o wymiarach T M. Γ macierz parametrów przy zmiennych endogenicznych o wymiarach M M. B macierz parametrów przy zmiennych egzogenicznych o wymiarach K M. Ponadto: E(ε) = 0 oraz E(εε T ) = Σ, gdzie Σ to macierz wariancji-kowariancji pomiędzy zaburzeniami strukturalnymi. Zatem na postać strukturalną składają się: Γ, B, ale i Σ. Jakub Mućk Metody Ekonometyczne Wykład 6 8 / 47
13 - postać zredukowana Postać zredukowana (reduced form): Y = XΠ + ν, (4) gdzie Π = BΓ 1 (5) oraz ν to macierz zaburzeń formy zredukowanej: ν = εγ 1 (6) oraz E(νν T ) = ( Γ 1) T ΣΓ 1 = Ω. (7) Jakub Mućk Metody Ekonometyczne Wykład 6 9 / 47
14 - postać zredukowana Postać zredukowana (reduced form): Y = XΠ + ν, (4) gdzie Π = BΓ 1 (5) oraz ν to macierz zaburzeń formy zredukowanej: ν = εγ 1 (6) oraz E(νν T ) = ( Γ 1) T ΣΓ 1 = Ω. (7) Jakub Mućk Metody Ekonometyczne Wykład 6 9 / 47
15 Outline Niezgodność Metody Najmniejszych Kwadratów Pośrednia Metoda Najmniejszych Kwadratów Podwójna Metoda Najmniejszych Kwadratów Potrójna Metoda Najmniejszych Kwadratów 5 Jakub Mućk Metody Ekonometyczne Wykład 6 10 / 47
16 Ilustracja Obserwacje empiryczne: E 1, E 2 oraz E 3. Q S E 3 E 2 E 1 P Jakub Mućk Metody Ekonometyczne Wykład 6 11 / 47
17 Ilustracja Obserwacje empiryczne: E 1, E 2 oraz E 3. Q Q S E 3 E 3 S E 2 E 2 D 3 E 1 P E 1 D 1 D 2 P Jakub Mućk Metody Ekonometyczne Wykład 6 11 / 47
18 Ilustracja Obserwacje empiryczne: E 1, E 2 oraz E 3. Q Q S E 3 E 3 S Q E S 3 3 E 2 E 2 D 3 E S 2 2 D 3 E 1 P E 1 D 1 D 2 P E S 1 1 D 1 D 2 P Jakub Mućk Metody Ekonometyczne Wykład 6 11 / 47
19 I Postać strukturalna (structural form): YΓ + XB = ε (8) Postać zredukowana (reduced form): Y = XΠ + ν (9) Π = BΓ 1 (10) Intuicyjnie, kluczowy jest przypadek, gdy jedna postać zredukowana odpowiada dokładnie jednej postaci strukturalnej. W przypadku, gdy kilka postaci strukturalnych może prowadzić do tej samej postaci zredukowanej pojawia się problem braku identyfikowalności parametrów. Jakub Mućk Metody Ekonometyczne Wykład 6 12 / 47
20 II Przykładowo, niech F będzie pewną nieosobliwą macierzą. Zapiszemy nową, alternatywną postać strukturalną, która będzię transformacją prawdziwej postaci strukturalnej: Y Γ + X B = ε = YΓF + XBF = εf (11) Wtedy postać zredukowana nowej postaci strukturalnej będzie taka sama jak prawdziwej! Π = BFF 1 Γ 1 = BΓ 1 = Π (12) Zatem postacie strukturalne są ekwiwalentne pod względem obserwacji. Kluczowe jest wykorzystanie informacji z poza próby (nonsample information), a więc restrykcji wynikających z teorii ekonomii. Jakub Mućk Metody Ekonometyczne Wykład 6 13 / 47
21 Przykład I Przykład (q d popyt; q s podaż, p cena; z inna zmienna egzogeniczna): q d = α 0 + α 1p + α 2z + ε d (13) q s = β 0 + β 1p + β 2z + ε s (14) q d = q s (15) Po drobnej manipulacji postać zredukowana oraz przy złożeniu, że α 1 β 1: q = α 1β 0 α 0 β 1 p = α 1 β 1 + α 1β 2 α 2 β 1 α 1 β 1 z + α 1ε s α 2 ε d α 1 β 1 = π 11 + π 21z + ν q, (16) β 0 α 0 α 1 β 1 + β 1 α2 α 1 β 2 z + εs ε d α 1 β 1 = π 12 + π 22z + ν p, (17) Postać zredukowana zawiera zaledwie cztery parametry (π 11, π 12, π 21 i π 22), a postać strukturalna aż sześć parametrów (α 0, α 1, α 2, β 0, β 1 i β 2). Oczywistym zatem jest fakt, że nie ma kompletnego rozwiązania dla wszystkich sześciu parametrów postaci strukturalnej w zależności od parametrów postaci zredukowanej. Jakub Mućk Metody Ekonometyczne Wykład 6 14 / 47
22 Przykład II I Modyfikacja: w rówaniu popytowym zamienimy z na x Postać strukturalna [ [q p] Postać zredukowana: [q p] = [1 x z] q d = α 0 + α 1 p + α 2 x + ε d (18) q s = β 0 + β 1 p + β 2 z + ε s (19) q d = q s (20) ] [1 x z] α 1 β 1 [ α0 β 0 α β 2 [ (α1 β 0 α 0 β 1 ) /γ (β 0 α 0 ) /γ α 2 β 1 /γ α 2 /γ α 1 β 2 /γ β 2 /γ ] ] = [ε d ε s] (21) + [ν 1 ν 2 ] (22) gdzie γ = α 1 β 1 Zauważmy, że dopuszczalne postacie strukturalne, w tym nieprawdziwe, modelu mają następującą postać strukturalną: [ ] α0 f 11 + β 0 f 12 α 0 + β 0 f 22 B = BF = α 2 f 11 α 2 f 12 β 2 f 21 β 2 f 22 Jakub Mućk Metody Ekonometyczne Wykład 6 15 / 47,
23 Przykład II II Warto zauwążyć, że gdzy f 12 0 = zmienna x pojawia się w równianiu podażowym. Jest to niespójne z teorią opisaną przez postać struturalną. gdzy f 21 0 = zmienna z pojawia się w równianiu popytowym. Jest to niespójne z teorią opisaną przez postać struturalną. Zatem f 12 = f 21 = 0 aby postać zredukowana była spójna z rozważaną teorią. F = I (jedynki przy zmiennej q) będzie jedyną transformacją gwarantującą spójność postaci zredukowanej z formą strukturalną. Unikalnym rozwiązniem dla postaci strukturalnej jest zatem α 0 = π 11 π 12 ( π31 π 32 ), α1 = π 31 π 32, α 2 = π 22 ( π21 π 22 π 31 π 32 ), β 0 = π 11 π 12 ( π21 π 22 ), β1 = π 21 π 22, β 2 = π 32 ( π31 π 32 π 21 π 22 ). Jakub Mućk Metody Ekonometyczne Wykład 6 16 / 47
24 a liczba parametrów Postać strukturalna: Γ jest nieosobliwą macierzą o wymariach M M = M 2 parametrów. B jest wymiarów K M = KM parametrów. Σ jest macierzą symetryczną o wymariach M M = 1 M(M + 1) 2 parametrów. Zatem postać strukturalna posiada M 2 + KM + 1 M(M + 1). 2 Postać zredukowana Π jest wymiarów K M = KM parametrów. Ω jest macierzą symetryczną o wymariach M M = 1 M(M + 1) 2 parametrów. Zatem postać zredukowana posiada KM + 1 M(M + 1). 2 Różnica w liczbie parametrów to M 2. Dlatego, kluczowe jest wykorzystanie informacji z poza próby (non-sample information). Jakub Mućk Metody Ekonometyczne Wykład 6 17 / 47
25 a liczba parametrów Postać strukturalna: Γ jest nieosobliwą macierzą o wymariach M M = M 2 parametrów. B jest wymiarów K M = KM parametrów. Σ jest macierzą symetryczną o wymariach M M = 1 M(M + 1) 2 parametrów. Zatem postać strukturalna posiada M 2 + KM + 1 M(M + 1). 2 Postać zredukowana Π jest wymiarów K M = KM parametrów. Ω jest macierzą symetryczną o wymariach M M = 1 M(M + 1) 2 parametrów. Zatem postać zredukowana posiada KM + 1 M(M + 1). 2 Różnica w liczbie parametrów to M 2. Dlatego, kluczowe jest wykorzystanie informacji z poza próby (non-sample information). Jakub Mućk Metody Ekonometyczne Wykład 6 17 / 47
26 a źródła restrykcji 1 Normalizacja (Normalization) w każdym równaniu jeden współczynnik powinien mieć wartość 1. Zazwyczaj, jest to parametr przy zmiennej endogenicznej. Wtedy liczba restrykcji redukuje się do M(M 1) (z M 2 ). 2 Tożsamości (Identities). 3 Wykluczenia (Exclusion) zerowe restrykcje na macierze Γ i B. 4 Liniowe restrykcje (Linear restrictions). Aczkolwiek liniowe restykcje mogą czasem prowadzić do błędnej postaci strukturalnej. Przykładowym problem jest brak możliwości zidenyfikowania efektów korzyści skali przy identyfikacji postępu technologicznego dla zagregowanej funkcji produkcji. 5 Restrykcje na macierz wariancji kowariancji zaburzeń losowych Σ. Współczesne badania makroekonomiczne wykorzystują modele wektorowej autoregresji VAR w celu zidentyfikowania wpływu (strukturalnych) szoków makroekonomicznych. Kluczowym założeniem jest tutaj sferyczność macierzy Σ. Jakub Mućk Metody Ekonometyczne Wykład 6 18 / 47
27 I Rozważamy jedną zmienną endogeniczną y j (tj. j-te równanie). Zmienne endogeniczne Zmienne egzogeniczne Włączone Y j X j M j zmiennych K j zmiennych Pominięte Yj X j Mj zmiennych Kj zmiennych Liczba równań (zmiennych endogenicznych): M = M j + M j + 1 Liczba zmiennych egzogenicznych: K = K j + Kj Postać zredukowana: [ ] [ ] [ ] yj Y j Yj = Xj X π j Πj Πj j π j Π j Π j + [ ] v j V j Vj (23) Na podstawie klasyfikacji zmiennych na włączone i pominięte, można zauważyć, że j-ta kolumny macierzy postaci strukturalnej są następujące: Γ T j = [ 1 γ T j 0 ] oraz B T j = [ β T j 0 ]. Jakub Mućk Metody Ekonometyczne Wykład 6 19 / 47
28 II Zależnośność między postacią strukturalną a zredukowaną można zapisać jako: ΠΓ = B, a w przypadku j-tego równania postaci strukturalnej: ΠΓ j = B j, co pozwala nam wyznaczyć dwa układy równań π j Π jγ j = β j, π j = Π j γ j, Drugie równanie ma K j równań i M j niewiadomych. Jeżeli równanie to posiada rozwiązanie to można wyznaczyć β j. Jakub Mućk Metody Ekonometyczne Wykład 6 20 / 47
29 Warunek konieczny (order condition) Warunek konieczny (order condition) dla j tego równania K j M j. (24) Liczba zmiennych egzogenicznych wyłączonych/pomiętych z równania j-tego nie może być mniejsza od liczby zmiennych endogenicznych w równaniu j-tym. Warunek ten gwarantuje, że równanie π j = Π j γ j posiada przynajmniej jedno rozwiązanie. Jakub Mućk Metody Ekonometyczne Wykład 6 21 / 47
30 Warunek wystarczający (rank condition) Warunek wystarczający (rank condition) dla j tego równania rank [ π j, Π j ] = rank [ Π j ] = Mj (25) Spełnienie tego warunku gwarantuje dokładnie jedno rozwiązanie. Jakub Mućk Metody Ekonometyczne Wykład 6 22 / 47
31 Problem identyfikacji Analogicznie do metody zmiennych intrumentalnych można rozróżnić następujące przypadki identyfikowalności dla j-tego równania: 1 Dokładnie identyfikowalne (exactly identified) jeżeli Mj = K j. 2 Nadmiernie identyfikowalne (overidentified) jeżeli Mj < K j. 3 Brak identyfikowalności (underidentified) będzie równoznaczny sytuacji, gdy M j > K j. gdzie Kj to liczba zmiennych egzogenicznych pominiętych z równania j-tego; M j to liczba zmiennych endogenicznych w równaniu j-tym. Jakub Mućk Metody Ekonometyczne Wykład 6 23 / 47
32 - praktyczna metoda Praktycznym sprawdzeniem warunku koniecznego (order condition) i wystarczającego rank condition jest metoda sprawdzająca rząd odpowiedniej podmacierzy. [Krok #1] Zapisujemy w tabeli parametry postaci strukturalnej, a więc: y 1 y 2... y M 1 x 1 x 2... x k Γ T B T [Krok #2] Dla każdego j-tego równania rozważamy macierz pozbawioną: j-tego wiersza; kolumn, ze zmiennymi występującymi w j-tym równaniu. Parametry j-tego równania będą identyfikowalne jeżeli macierz ta będzie miała pełny rząd (liczba wektorów niezależnych liniowo powinna odpowiadać liczbie wierszy). Jakub Mućk Metody Ekonometyczne Wykład 6 24 / 47
33 Praktyczna metoda przykład I q d q s 1 p q d = α 0 + α 1p + ε d q s = β 0 + β 1p + ε s q d = q s 1 0 α 0 α β 0 β Jakub Mućk Metody Ekonometyczne Wykład 6 25 / 47
34 Praktyczna metoda przykład I q d q s 1 p q d = α 0 + α 1p + ε d q s = β 0 + β 1p + ε s q d = q s 1 0 α 0 α β 0 β równanie pierwsze: tylko wektor [1 1] T = niepełny rząd, a więc brak identyfikowalności. Jakub Mućk Metody Ekonometyczne Wykład 6 25 / 47
35 Praktyczna metoda przykład I q d q s 1 p q d = α 0 + α 1p + ε d q s = β 0 + β 1p + ε s q d = q s 1 0 α 0 α β 0 β równanie pierwsze: tylko wektor [1 1] T = niepełny rząd, a więc brak identyfikowalności. równanie drugie: tylko wektor [1 1] T = niepełny rząd, a więc brak identyfikowalności. Jakub Mućk Metody Ekonometyczne Wykład 6 25 / 47
36 Praktyczna metoda przykład II q d q s 1 p z q d = α 0 + α 1p + α 2z + ε d q s = β 0 + β 1p + ε s q d = q s 1 0 α 0 α 1 α β 0 β Jakub Mućk Metody Ekonometyczne Wykład 6 26 / 47
37 Praktyczna metoda przykład II q d q s 1 p z q d = α 0 + α 1p + α 2z + ε d q s = β 0 + β 1p + ε s q d = q s 1 0 α 0 α 1 α β 0 β równanie pierwsze: tylko wektor [1 1] T = niepełny rząd, a więc brak identyfikowalności. Jakub Mućk Metody Ekonometyczne Wykład 6 26 / 47
38 Praktyczna metoda przykład II q d = α 0 + α 1p + α 2z + ε d q s = β 0 + β 1p + ε s q d = q s q d q s 1 p z 1 0 α 0 α 1 α β 0 β równanie pierwsze: tylko wektor [1 1] T = niepełny rząd, a więc brak identyfikowalności. równanie drugie: dwa wektory [1 1] T oraz [ α 2 0] T. Co więcej, [ ] 1 α2 rank = = parametry drugie równania identyfikowalne. Jakub Mućk Metody Ekonometyczne Wykład 6 26 / 47
39 Praktyczna metoda przykład III q d = α 0 + α 1p + α 2z + ε d q s = β 0 + β 1p + β 2x + ε s q d = q s q d q s 1 p z x 1 0 α 0 α 1 α β 0 β 1 0 β Jakub Mućk Metody Ekonometyczne Wykład 6 27 / 47
40 Praktyczna metoda przykład III q d = α 0 + α 1p + α 2z + ε d q s = β 0 + β 1p + β 2x + ε s q d = q s q d q s 1 p z x 1 0 α 0 α 1 α β 0 β 1 0 β równanie pierwsze: dwa wektory wektor [1 1] T oraz [ β 2 0] T. Ważniejsze, że [ ] 1 β2 rank = = parametry pierwszego równania identyfikowalne. Jakub Mućk Metody Ekonometyczne Wykład 6 27 / 47
41 Praktyczna metoda przykład III q d = α 0 + α 1p + α 2z + ε d q s = β 0 + β 1p + β 2x + ε s q d = q s q d q s 1 p z x 1 0 α 0 α 1 α β 0 β 1 0 β równanie pierwsze: dwa wektory wektor [1 1] T oraz [ β 2 0] T. Ważniejsze, że [ ] 1 β2 rank = = parametry pierwszego równania identyfikowalne. równanie drugie: dwa wektory [1 1] T oraz [ α 2 0] T. Co więcej, [ ] 1 α2 rank = = parametry drugie równania identyfikowalne. Jakub Mućk Metody Ekonometyczne Wykład 6 27 / 47
42 Outline Niezgodność Metody Najmniejszych Kwadratów Pośrednia Metoda Najmniejszych Kwadratów Podwójna Metoda Najmniejszych Kwadratów Potrójna Metoda Najmniejszych Kwadratów Niezgodność Metody Najmniejszych Kwadratów Pośrednia Metoda Najmniejszych Kwadratów Podwójna Metoda Najmniejszych Kwadratów Potrójna Metoda Najmniejszych Kwadratów 5 Jakub Mućk Metody Ekonometyczne Wykład 6 28 / 47
43 Niezgodność Metody Najmniejszych Kwadratów Pośrednia Metoda Najmniejszych Kwadratów Podwójna Metoda Najmniejszych Kwadratów Potrójna Metoda Najmniejszych Kwadratów parametrów równań (równanie - po - równaniu) Pośrednia Metoda Najmniejszych Kwadratów; Podwójna Metoda Najmniejszych Kwadratów; Uogólniona Metoda Momentów (GMM, generalized methods of moments); Estymator klasy k; Metoda Największej Wiarygodności z ograniczoną informacją (LIML, limited nformation likelihood). łącznej/systemowej Potrójna Metoda Najmniejszych Kwadratów; Uogólniona Metoda Momentów (GMM, generalized methods of moments); Metoda Największej Wiarygodności z pełną informacją (FIML, full-information likelihood). Jakub Mućk Metody Ekonometyczne Wykład 6 29 / 47
44 Niezgodność Metody Najmniejszych Kwadratów Pośrednia Metoda Najmniejszych Kwadratów Podwójna Metoda Najmniejszych Kwadratów Potrójna Metoda Najmniejszych Kwadratów parametrów równań (równanie - po - równaniu) Pośrednia Metoda Najmniejszych Kwadratów; Podwójna Metoda Najmniejszych Kwadratów; Uogólniona Metoda Momentów (GMM, generalized methods of moments); Estymator klasy k; Metoda Największej Wiarygodności z ograniczoną informacją (LIML, limited nformation likelihood). łącznej/systemowej Potrójna Metoda Najmniejszych Kwadratów; Uogólniona Metoda Momentów (GMM, generalized methods of moments); Metoda Największej Wiarygodności z pełną informacją (FIML, full-information likelihood). Jakub Mućk Metody Ekonometyczne Wykład 6 29 / 47
45 Niezgodność Metody Najmniejszych Kwadratów Pośrednia Metoda Najmniejszych Kwadratów Podwójna Metoda Najmniejszych Kwadratów Potrójna Metoda Najmniejszych Kwadratów Niezgodność Metody Najmniejszych Kwadratów Postać strukturalna dla j-tego równania: y j = Y jγ j + X jβ j + ε j = Z jδ j + ε j gdzie Z j to macierz zmiennych endogenicznych w j-tym równaniu oraz zmiennych egzogenicznych w j-tym równaniu, tj. Z j = [Y j X j]. Postać zredukowana dla zmiennych endogenicznych występujących w j-tym równaniu Y j = Π jx j + ν j gdzie Π j to j-ta kolumna macierzy z postaci zredukowanej. A ν = εγ 1. Estymator najmniejszej metody kwadratów będzie niezgodny: ˆδ OLS j = [ Z T j Z j ] 1 Z T j y j = δ j + [ ] Y T j Y j Yj T 1 [ ] X j Y T j ε j X T j Y j X T j X j X T j ε j plim 1 N XT j ε j dąży do zera, ponieważ zmienne X j są egzogeniczne. Kluczowe jest tutaj komponent plim 1 N YT j ε j, który nie zbiega do 0. Korelacja ta prowadzi do tzw. simultaneous equations bias. Jakub Mućk Metody Ekonometyczne Wykład 6 30 / 47
46 Niezgodność Metody Najmniejszych Kwadratów Pośrednia Metoda Najmniejszych Kwadratów Podwójna Metoda Najmniejszych Kwadratów Potrójna Metoda Najmniejszych Kwadratów Niezgodność Metody Najmniejszych Kwadratów Postać strukturalna dla j-tego równania: y j = Y jγ j + X jβ j + ε j = Z jδ j + ε j gdzie Z j to macierz zmiennych endogenicznych w j-tym równaniu oraz zmiennych egzogenicznych w j-tym równaniu, tj. Z j = [Y j X j]. Postać zredukowana dla zmiennych endogenicznych występujących w j-tym równaniu Y j = Π jx j + ν j gdzie Π j to j-ta kolumna macierzy z postaci zredukowanej. A ν = εγ 1. Estymator najmniejszej metody kwadratów będzie niezgodny: ˆδ OLS j = [ Z T j Z j ] 1 Z T j y j = δ j + [ ] Y T j Y j Yj T 1 [ ] X j Y T j ε j X T j Y j X T j X j X T j ε j plim 1 N XT j ε j dąży do zera, ponieważ zmienne X j są egzogeniczne. Kluczowe jest tutaj komponent plim 1 N YT j ε j, który nie zbiega do 0. Korelacja ta prowadzi do tzw. simultaneous equations bias. Jakub Mućk Metody Ekonometyczne Wykład 6 30 / 47
47 Niezgodność Metody Najmniejszych Kwadratów Pośrednia Metoda Najmniejszych Kwadratów Podwójna Metoda Najmniejszych Kwadratów Potrójna Metoda Najmniejszych Kwadratów Niezgodność Metody Najmniejszych Kwadratów Postać strukturalna dla j-tego równania: y j = Y jγ j + X jβ j + ε j = Z jδ j + ε j gdzie Z j to macierz zmiennych endogenicznych w j-tym równaniu oraz zmiennych egzogenicznych w j-tym równaniu, tj. Z j = [Y j X j]. Postać zredukowana dla zmiennych endogenicznych występujących w j-tym równaniu Y j = Π jx j + ν j gdzie Π j to j-ta kolumna macierzy z postaci zredukowanej. A ν = εγ 1. Estymator najmniejszej metody kwadratów będzie niezgodny: ˆδ OLS j = [ Z T j Z j ] 1 Z T j y j = δ j + [ ] Y T j Y j Yj T 1 [ ] X j Y T j ε j X T j Y j X T j X j X T j ε j plim 1 N XT j ε j dąży do zera, ponieważ zmienne X j są egzogeniczne. Kluczowe jest tutaj komponent plim 1 N YT j ε j, który nie zbiega do 0. Korelacja ta prowadzi do tzw. simultaneous equations bias. Jakub Mućk Metody Ekonometyczne Wykład 6 30 / 47
48 Modele rekurencyjne Niezgodność Metody Najmniejszych Kwadratów Pośrednia Metoda Najmniejszych Kwadratów Podwójna Metoda Najmniejszych Kwadratów Potrójna Metoda Najmniejszych Kwadratów Modele rekurencyjne to modele, w których macierz Γ (określająca zależność między zmiennymi endogenicznymi w postaci strukturalnej) jest trójkątna. Przykład (3 zmienne endogeniczne) y 1 = Xβ 1 +ε 1, y 2 = Xβ 2 + γ 12 y 1 +ε 2, y 3 = Xβ 3 + γ 13 y 1 + γ 23 y 1 +ε 3. Modele w pełni rekurencyjne to modele, w których macierz Γ jest trójkątna oraz Σ (macierz wariancji kowariancji składnika losowego) jest diagonalna. W przypadku model w pełni rekurencyjnych, parametry postaci strukturalnej mogą być szacowane MNK. Wynika to z braku zależności między składnikiem losowym (ε) a zmiennymi endogenicznymi. Dla przykładu: cov (y 1, ε 2 ) = cov (Xβ 1 + ε 1, ε 2 ) = 0 Jakub Mućk Metody Ekonometyczne Wykład 6 31 / 47
49 Modele rekurencyjne Niezgodność Metody Najmniejszych Kwadratów Pośrednia Metoda Najmniejszych Kwadratów Podwójna Metoda Najmniejszych Kwadratów Potrójna Metoda Najmniejszych Kwadratów Modele rekurencyjne to modele, w których macierz Γ (określająca zależność między zmiennymi endogenicznymi w postaci strukturalnej) jest trójkątna. Przykład (3 zmienne endogeniczne) y 1 = Xβ 1 +ε 1, y 2 = Xβ 2 + γ 12 y 1 +ε 2, y 3 = Xβ 3 + γ 13 y 1 + γ 23 y 1 +ε 3. Modele w pełni rekurencyjne to modele, w których macierz Γ jest trójkątna oraz Σ (macierz wariancji kowariancji składnika losowego) jest diagonalna. W przypadku model w pełni rekurencyjnych, parametry postaci strukturalnej mogą być szacowane MNK. Wynika to z braku zależności między składnikiem losowym (ε) a zmiennymi endogenicznymi. Dla przykładu: cov (y 1, ε 2 ) = cov (Xβ 1 + ε 1, ε 2 ) = 0 Jakub Mućk Metody Ekonometyczne Wykład 6 31 / 47
50 Modele rekurencyjne Niezgodność Metody Najmniejszych Kwadratów Pośrednia Metoda Najmniejszych Kwadratów Podwójna Metoda Najmniejszych Kwadratów Potrójna Metoda Najmniejszych Kwadratów Modele rekurencyjne to modele, w których macierz Γ (określająca zależność między zmiennymi endogenicznymi w postaci strukturalnej) jest trójkątna. Przykład (3 zmienne endogeniczne) y 1 = Xβ 1 +ε 1, y 2 = Xβ 2 + γ 12 y 1 +ε 2, y 3 = Xβ 3 + γ 13 y 1 + γ 23 y 1 +ε 3. Modele w pełni rekurencyjne to modele, w których macierz Γ jest trójkątna oraz Σ (macierz wariancji kowariancji składnika losowego) jest diagonalna. W przypadku model w pełni rekurencyjnych, parametry postaci strukturalnej mogą być szacowane MNK. Wynika to z braku zależności między składnikiem losowym (ε) a zmiennymi endogenicznymi. Dla przykładu: cov (y 1, ε 2 ) = cov (Xβ 1 + ε 1, ε 2 ) = 0 Jakub Mućk Metody Ekonometyczne Wykład 6 31 / 47
51 Modele rekurencyjne Niezgodność Metody Najmniejszych Kwadratów Pośrednia Metoda Najmniejszych Kwadratów Podwójna Metoda Najmniejszych Kwadratów Potrójna Metoda Najmniejszych Kwadratów Modele rekurencyjne to modele, w których macierz Γ (określająca zależność między zmiennymi endogenicznymi w postaci strukturalnej) jest trójkątna. Przykład (3 zmienne endogeniczne) y 1 = Xβ 1 +ε 1, y 2 = Xβ 2 + γ 12 y 1 +ε 2, y 3 = Xβ 3 + γ 13 y 1 + γ 23 y 1 +ε 3. Modele w pełni rekurencyjne to modele, w których macierz Γ jest trójkątna oraz Σ (macierz wariancji kowariancji składnika losowego) jest diagonalna. W przypadku model w pełni rekurencyjnych, parametry postaci strukturalnej mogą być szacowane MNK. Wynika to z braku zależności między składnikiem losowym (ε) a zmiennymi endogenicznymi. Dla przykładu: cov (y 1, ε 2 ) = cov (Xβ 1 + ε 1, ε 2 ) = 0 Jakub Mućk Metody Ekonometyczne Wykład 6 31 / 47
52 Modele rekurencyjne Niezgodność Metody Najmniejszych Kwadratów Pośrednia Metoda Najmniejszych Kwadratów Podwójna Metoda Najmniejszych Kwadratów Potrójna Metoda Najmniejszych Kwadratów Modele rekurencyjne to modele, w których macierz Γ (określająca zależność między zmiennymi endogenicznymi w postaci strukturalnej) jest trójkątna. Przykład (3 zmienne endogeniczne) y 1 = Xβ 1 +ε 1, y 2 = Xβ 2 + γ 12 y 1 +ε 2, y 3 = Xβ 3 + γ 13 y 1 + γ 23 y 1 +ε 3. Modele w pełni rekurencyjne to modele, w których macierz Γ jest trójkątna oraz Σ (macierz wariancji kowariancji składnika losowego) jest diagonalna. W przypadku model w pełni rekurencyjnych, parametry postaci strukturalnej mogą być szacowane MNK. Wynika to z braku zależności między składnikiem losowym (ε) a zmiennymi endogenicznymi. Dla przykładu: cov (y 1, ε 2 ) = cov (Xβ 1 + ε 1, ε 2 ) = 0 Jakub Mućk Metody Ekonometyczne Wykład 6 31 / 47
53 Niezgodność Metody Najmniejszych Kwadratów Pośrednia Metoda Najmniejszych Kwadratów Podwójna Metoda Najmniejszych Kwadratów Potrójna Metoda Najmniejszych Kwadratów Pośrednia Metoda Najmniejszych Kwadratów Pośrednia Metoda Najmniejszych Kwadratów (indirect least squares ILS) polega na oszacowaniu parametrów postaci zredukowanej: Klasyczną metodą najmniejszych kwadratów: Y = ΠX + ν (26) ˆΠ OLS = ( X T X ) 1 X T Y. (27) Na podstawie oszacowań ˆΠ OLS można wyznaczyć oszacowania punktowe postaci strukturalnej, tj. ˆΓ ILS oraz ˆB ILS. Jest to możliwe jedynie w przypadku dokładnej identyfikowalności każdego z równań. Jakub Mućk Metody Ekonometyczne Wykład 6 32 / 47
54 Niezgodność Metody Najmniejszych Kwadratów Pośrednia Metoda Najmniejszych Kwadratów Podwójna Metoda Najmniejszych Kwadratów Potrójna Metoda Najmniejszych Kwadratów Podwójna Metoda Najmniejszych Kwadratów Podwójna Metoda Najmniejszych Kwadratów (two-stage least squares 2SLS) polega na wykorzystaniu wszystkich zmiennych egzogenicznych X jako instrumentów dla zmiennych egzogenicznych Y j w j-tym równaniu. [Krok #1] Regresja(e) zmiennych endognenicznych występujących po prawej stronie równania j (Y j) względem wszystkich zmiennych egzogenicznych. = Obliczamy wartości teoretyczne Ŷj. [Krok #2] Regresja y j względem Ŷj. oraz Xj. Powyższa strategią ilustruje warunek konieczny identyfikowalności (order condition). Przypomnijmy: Kj M j. W przeciwnym przypadku liczba zmienny egogenicznych pominiętych w j tym warunku jest większa od liczby zmiennych endogenicznych. [ ] Wtedy macierz zmiennych objaśnających w drugim kroku, a więc Ŷ j X j ma niepełny rząd. Jakub Mućk Metody Ekonometyczne Wykład 6 33 / 47
55 Niezgodność Metody Najmniejszych Kwadratów Pośrednia Metoda Najmniejszych Kwadratów Podwójna Metoda Najmniejszych Kwadratów Potrójna Metoda Najmniejszych Kwadratów Podwójna Metoda Najmniejszych Kwadratów Estymator 2SLS dla parametrów j-tego równania wykorzystujący wartości teoretyczne z pierwszego kroku (Ŷ j ): [ ] ˆδ j 2SLS ŶT = j Y j Ŷj T X 1 [ ] j ŶT j y j X T j Y j X T j X j X T j y. (28) j Po pewnych przekształceniach można uzyskać następującą postać estymatora 2SLS: [ ] ˆδ j 2SLS ŶT = j Ŷ j Ŷj T X 1 [ ] j ŶT j y j X T j Ŷj X T j X j X T j y. (29) j Asymptotyczna wariancja: V ar (ˆδ2SLS j ) = ˆσjj [ẐT j Ẑ j ] 1, (30) gdzie macierz Z j to macierz zmiennych w j-tym równaniu. Z kolei, szacowana zmienność składnika losowego: ( ) T ( ) yj Z ˆδ2SLS j j yj Z ˆδ2SLS j j ˆσ jj =, (31) N zależy od obserwacji (Z j ) a nie od Ẑ j Jakub Mućk Metody Ekonometyczne Wykład 6 34 / 47
56 Niezgodność Metody Najmniejszych Kwadratów Pośrednia Metoda Najmniejszych Kwadratów Podwójna Metoda Najmniejszych Kwadratów Potrójna Metoda Najmniejszych Kwadratów Potrójna Metoda Najmniejszych Kwadratów Potrójna Metoda Najmniejszych Kwadratów (three-stage least squares 3SLS) jest metodą polegającą na jednoczesnej estymacji parametrów modelu wielorównaniowego. Idea polega na połączeniu: Podwójnej Metody Najmniejszych Kwadratów dla każdego równania, Estymatora GLS (Uogólnionej Metody Najmniejszych Kwadratów), który uwzględnia korelację składnika losowego pomiędzy równaniami. Jakub Mućk Metody Ekonometyczne Wykład 6 35 / 47
57 Niezgodność Metody Najmniejszych Kwadratów Pośrednia Metoda Najmniejszych Kwadratów Podwójna Metoda Najmniejszych Kwadratów Potrójna Metoda Najmniejszych Kwadratów Potrójna Metoda Najmniejszych Kwadratów Zapis ogólny: Zapis macierzowy: y 1 y 2. y M Z Z Z M y = Zδ + ε, (32) δ 1 δ 2.. δ M = ε 1 ε 2. ε M, (33) gdzie Z i to zmienne (endogeniczne i egzogeniczne) w i -tym równaniu, a ε 1, ε 2,..., ε M to wektory składników losowych. Jakub Mućk Metody Ekonometyczne Wykład 6 36 / 47
58 Niezgodność Metody Najmniejszych Kwadratów Pośrednia Metoda Najmniejszych Kwadratów Podwójna Metoda Najmniejszych Kwadratów Potrójna Metoda Najmniejszych Kwadratów Potrójna Metoda Najmniejszych Kwadratów składnik losowy Standardowe założenia: E(ε X) = 0 E(εε T X) = Σ = Σ I, gdzie I to macierz jednostkowa o wymiarach równych liczbie obserwacji. Macierz kowariancji: σ11 2 σ σ1m σ21 2 σ σ2m Σ I = σm1 2 σm σmm a więc... (34) Jakub Mućk Metody Ekonometyczne Wykład 6 37 / 47
59 Niezgodność Metody Najmniejszych Kwadratów Pośrednia Metoda Najmniejszych Kwadratów Podwójna Metoda Najmniejszych Kwadratów Potrójna Metoda Najmniejszych Kwadratów Potrójna Metoda Najmniejszych Kwadratów składnik losowy Σ I = σ 2 11 σ σ 2 1M σ 2 11 σ σ 2 1M σ 2 11 σ σ 2 1M σ 2 21 σ σ 2 2M σ 2 21 σ σ 2 2M. σ 2 M1. σ 2 M σ21 2 σ σ 2 2M σ 2 M2... σ 2 MM σ 2 M2... σ 2 MM σ 2 M1 σ 2 M2... σ 2 MM Jakub Mućk Metody Ekonometyczne Wykład 6 38 / 47
60 Niezgodność Metody Najmniejszych Kwadratów Pośrednia Metoda Najmniejszych Kwadratów Podwójna Metoda Najmniejszych Kwadratów Potrójna Metoda Najmniejszych Kwadratów Potrójna Metoda Najmniejszych Kwadratów I Krok pierwszy w 3SLS polega na oszacowaniu macierzy parametrów formy zredukowanej, tj. Π. Parametry Π są szacowane metodą najmniejszych kwadratów dla każdego z równań. Dzięki tym oszacowaniom obliczanone mogą zaostać wartości teoretyczne zmiennych endogenicznych dla każdego z równań, tj. Ŷ j. Krok drugi w 3SLS to oszacowanie 2SLS (podwójnej metody najmniejszych 2SLS kwadratów) wektora parametrów dla każdego z równań, tj. ˆδ j. Na podstawie, uzyskanych oszacowań ˆδ j wyznaczana jest macierz wariancji ko- 2SLS wariancji, uwzględniająca zależność składnika losowego pomiędzy równiami. Estymator kowariancji pomiędzy i-tym a j-tym równaniem: ) ˆσ ij = ( yi Z iˆδ2sls i ) T ( yi Z ˆδ2SLS j j N, (35) Krok trzeci w 3SLS to wykorzystanie estymatora uogólnionej metody najmniejszych kwadratów GLS. Na podstawie szacunków: Ŷ j, a więc Ẑ (pierwszy krok); macierzy warianacji-kowariancji składnika losowego ˆΣ (drugi krok); Jakub Mućk Metody Ekonometyczne Wykład 6 39 / 47
61 Niezgodność Metody Najmniejszych Kwadratów Pośrednia Metoda Najmniejszych Kwadratów Podwójna Metoda Najmniejszych Kwadratów Potrójna Metoda Najmniejszych Kwadratów Potrójna Metoda Najmniejszych Kwadratów II możemy wyznaczyć estymator Potrójnej Metody Najmniejszych Kwadratów ˆδ 3SLS : ˆδ 3SLS = [ Ẑ T ( Σ 1 I ) Ẑ ] 1 Ẑ T ( Σ 1 I ) y. (36) Wariancja estymatora ˆδ 3SLS : V ar(ˆδ 3SLS ) = [ ZT ( Σ 1 I ) Z] 1, (37) gdzie Z = diag[xπ j, X]. Jakub Mućk Metody Ekonometyczne Wykład 6 40 / 47
62 Outline Niezgodność Metody Najmniejszych Kwadratów Pośrednia Metoda Najmniejszych Kwadratów Podwójna Metoda Najmniejszych Kwadratów Potrójna Metoda Najmniejszych Kwadratów 5 Jakub Mućk Metody Ekonometyczne Wykład 6 41 / 47
63 Strukturalne modele dynamiczne (alternatywny zapis uwzględniający indeks obserwacji t, oznacza transpozycję): y tγ + x tb + y t 1Φ = ε, (38) gdzie y t 1 to wektor opóźnionych zmiennych endogenicznych. Macierz Φ wyraża zależność pomiedzy y t 1 oraz y t. Opóźnione zmienne endogeniczne y t 1 są predeterminowane (predetermined). W analizie problemu identyfikowalności y t 1 można zatem traktować jako zmienne egzogeniczne w tym przypadku. Większą liczbę opóźnień można uwzględnić przez dodatkowe równania systemu. [ ] [ ] [y t y t 1] Γ 0 + x 0 I t [B 0] + [y t 1 y t 2] Φ1 I = [ ε t 0 ]. Φ 2 0 (39) Jakub Mućk Metody Ekonometyczne Wykład 6 42 / 47
64 Strukturalne modele dynamiczne (alternatywny zapis uwzględniający indeks obserwacji t, oznacza transpozycję): y tγ + x tb + y t 1Φ = ε, (38) gdzie y t 1 to wektor opóźnionych zmiennych endogenicznych. Macierz Φ wyraża zależność pomiedzy y t 1 oraz y t. Opóźnione zmienne endogeniczne y t 1 są predeterminowane (predetermined). W analizie problemu identyfikowalności y t 1 można zatem traktować jako zmienne egzogeniczne w tym przypadku. Większą liczbę opóźnień można uwzględnić przez dodatkowe równania systemu. [ ] [ ] [y t y t 1] Γ 0 + x 0 I t [B 0] + [y t 1 y t 2] Φ1 I = [ ε t 0 ]. Φ 2 0 (39) Jakub Mućk Metody Ekonometyczne Wykład 6 42 / 47
65 Postać zredukowana dynamicznego modelu wielorównaniowego: y t = x tπ + y t 1Ξ + ν t, (40) gdzie: Ξ = ΦΓ 1, (41) Π = BΓ 1, (42) ν t = ν tγ 1. (43) Jakub Mućk Metody Ekonometyczne Wykład 6 43 / 47
66 Mnożniki krótkookresowe Postać zredukowana dynamicznego modelu wielorównaniowego: y t = x tπ + y t 1Ξ + ν t. (44) Mnożnik jednoczesny/ krótkookresowy/bezpośredni: zmiennej k-tej egzogenicznej na m-tą zmienną endogeniczną. y t,m x t,k = Π k,m, (45) to po prostu odpowiedni element macierzy określającej bezpośredni wpływ zmiennych egzogenicznych na zmienne endogeniczne w postaci zredukowanej. Jakub Mućk Metody Ekonometyczne Wykład 6 44 / 47
67 Dynamiczne mnożniki Postać zredukowana dynamicznego modelu wielorównaniowego: y t = x tπ + y t 1Ξ + ν t. (46) Substytucja y t 1 przez zależność wynikającą z postaci zredukowanej (tj. y t 1 = x t 1Π + y t 2Ξ + ν t 1): y t = x tπ + x t 1ΠΞ + y t 2Ξ 2 + ν t + ν t 1Ξ, (47) Kontynuując dla kolejnych opóźnień (oznaczanych przez s): t 1 ( y t = x t s ΠΞ s) t 1 ( + y 0Ξ t + ν t s Ξ s), (48) s=0 s=0 gdzie y 0 to początkowe wartości zmiennych endogenicznych. Dynamiczny mnożnik: y t,m x t s,k = (ΠΞ s ) k,m (49) pozwala ocenić wpływ zmiany k tej zmiennej egzogenicznej na m-tą zmienną endogeniczną po s okresach. Jakub Mućk Metody Ekonometyczne Wykład 6 45 / 47
68 Dynamiczne mnożniki Postać zredukowana dynamicznego modelu wielorównaniowego: y t = x tπ + y t 1Ξ + ν t. (46) Substytucja y t 1 przez zależność wynikającą z postaci zredukowanej (tj. y t 1 = x t 1Π + y t 2Ξ + ν t 1): y t = x tπ + x t 1ΠΞ + y t 2Ξ 2 + ν t + ν t 1Ξ, (47) Kontynuując dla kolejnych opóźnień (oznaczanych przez s): t 1 ( y t = x t s ΠΞ s) t 1 ( + y 0Ξ t + ν t s Ξ s), (48) s=0 s=0 gdzie y 0 to początkowe wartości zmiennych endogenicznych. Dynamiczny mnożnik: y t,m x t s,k = (ΠΞ s ) k,m (49) pozwala ocenić wpływ zmiany k tej zmiennej egzogenicznej na m-tą zmienną endogeniczną po s okresach. Jakub Mućk Metody Ekonometyczne Wykład 6 45 / 47
69 Postać końcowa modelu i mnożniki długookresowe Postać końcowa modelu: ( y t = x t s ΠΞ s) ( + ν t s Ξ s), (50) s=0 pozwala wyrazić zmienne endogeniczne jako sumę skumulowanych zmian zmiennych egzogenicznych oraz zaburzeń strukturalnych. s=0 Możniki długookresowe (równowagowe): Π [ I + Ξ + Ξ ] = Π [I Ξ] 1 (51) określają łączny (skumulowany) wpływ zmian zmiennych egzogenicznych na zmienne endogeniczne. W przypadku mnożników długookresowych kluczowa jest stabilność, tj. lim t Ξ t = 0. Skumulowane dynamiczne mnożniki: gdzie s jest horyzontem analizy. Π [I Ξ] 1 [I Ξ s ], Jakub Mućk Metody Ekonometyczne Wykład 6 46 / 47
70 Postać końcowa modelu i mnożniki długookresowe Postać końcowa modelu: ( y t = x t s ΠΞ s) ( + ν t s Ξ s), (50) s=0 pozwala wyrazić zmienne endogeniczne jako sumę skumulowanych zmian zmiennych egzogenicznych oraz zaburzeń strukturalnych. s=0 Możniki długookresowe (równowagowe): Π [ I + Ξ + Ξ ] = Π [I Ξ] 1 (51) określają łączny (skumulowany) wpływ zmian zmiennych egzogenicznych na zmienne endogeniczne. W przypadku mnożników długookresowych kluczowa jest stabilność, tj. lim t Ξ t = 0. Skumulowane dynamiczne mnożniki: gdzie s jest horyzontem analizy. Π [I Ξ] 1 [I Ξ s ], Jakub Mućk Metody Ekonometyczne Wykład 6 46 / 47
71 Postać końcowa modelu i mnożniki długookresowe Postać końcowa modelu: ( y t = x t s ΠΞ s) ( + ν t s Ξ s), (50) s=0 pozwala wyrazić zmienne endogeniczne jako sumę skumulowanych zmian zmiennych egzogenicznych oraz zaburzeń strukturalnych. s=0 Możniki długookresowe (równowagowe): Π [ I + Ξ + Ξ ] = Π [I Ξ] 1 (51) określają łączny (skumulowany) wpływ zmian zmiennych egzogenicznych na zmienne endogeniczne. W przypadku mnożników długookresowych kluczowa jest stabilność, tj. lim t Ξ t = 0. Skumulowane dynamiczne mnożniki: gdzie s jest horyzontem analizy. Π [I Ξ] 1 [I Ξ s ], Jakub Mućk Metody Ekonometyczne Wykład 6 46 / 47
72 a stabilność Stabilność jest kluczową charakterystyką dynamicznych modeli wielorównaniowych. Stabilność oznacza, że wpływ zmian zmiennych egzogenicznych na zmienne endogeniczne będzie wygasał w czasie. Wykorzystując dekompozycję spektralną macierzy Ξ (opisującą zależność między zmiennymi endogenicznymi a ich opóźnieniami): Ξ = CΛC 1, (52) gdzie Λ to macierz diagonalna z wartościami własnymi na przekątnej, a C to macierz zawierająca wektory wkłasne. Warto zauważyć, że: a więc Ξ 2 = CΛC 1 CΛC 1 = CΛ 2 C 1, (53) Ξ t = CΛ t C 1, (54) zatem stabilność (lim t Ξ t = 0) jest zagwarantowana jeżeli lim t Λ t = 0. W powyższy przypadku jest to tożsame z sytuacją, gdy moduł wartości własnych (elementy diagonalne Λ) jest mniejszy od jedności. Jakub Mućk Metody Ekonometyczne Wykład 6 47 / 47
73 a stabilność Stabilność jest kluczową charakterystyką dynamicznych modeli wielorównaniowych. Stabilność oznacza, że wpływ zmian zmiennych egzogenicznych na zmienne endogeniczne będzie wygasał w czasie. Wykorzystując dekompozycję spektralną macierzy Ξ (opisującą zależność między zmiennymi endogenicznymi a ich opóźnieniami): Ξ = CΛC 1, (52) gdzie Λ to macierz diagonalna z wartościami własnymi na przekątnej, a C to macierz zawierająca wektory wkłasne. Warto zauważyć, że: a więc Ξ 2 = CΛC 1 CΛC 1 = CΛ 2 C 1, (53) Ξ t = CΛ t C 1, (54) zatem stabilność (lim t Ξ t = 0) jest zagwarantowana jeżeli lim t Λ t = 0. W powyższy przypadku jest to tożsame z sytuacją, gdy moduł wartości własnych (elementy diagonalne Λ) jest mniejszy od jedności. Jakub Mućk Metody Ekonometyczne Wykład 6 47 / 47
74 a stabilność Stabilność jest kluczową charakterystyką dynamicznych modeli wielorównaniowych. Stabilność oznacza, że wpływ zmian zmiennych egzogenicznych na zmienne endogeniczne będzie wygasał w czasie. Wykorzystując dekompozycję spektralną macierzy Ξ (opisującą zależność między zmiennymi endogenicznymi a ich opóźnieniami): Ξ = CΛC 1, (52) gdzie Λ to macierz diagonalna z wartościami własnymi na przekątnej, a C to macierz zawierająca wektory wkłasne. Warto zauważyć, że: a więc Ξ 2 = CΛC 1 CΛC 1 = CΛ 2 C 1, (53) Ξ t = CΛ t C 1, (54) zatem stabilność (lim t Ξ t = 0) jest zagwarantowana jeżeli lim t Λ t = 0. W powyższy przypadku jest to tożsame z sytuacją, gdy moduł wartości własnych (elementy diagonalne Λ) jest mniejszy od jedności. Jakub Mućk Metody Ekonometyczne Wykład 6 47 / 47
Metody Ekonometryczne Modele wielorównaniowe
Metody Ekonometryczne Modele wielorównaniowe Jakub Mućk Szkoła Główna Handlowa w Warszawie Jakub Mućk Metody Ekonometryczne Modele wielorównaniowe 1 / 47 Wprowadzenie Jakub Mućk Metody Ekonometryczne Modele
Ekonometria. Modele wielorównaniowe. Jakub Mućk. Katedra Ekonomii Ilościowej
Ekonometria Modele wielorównaniowe Jakub Mućk Katedra Ekonomii Ilościowej Jakub Mućk Ekonometria Wykład 11 Modele wielorównaniowe 1 / 35 Outline 1 Wprowadzenie do modeli wielorównaniowych 2 Modele równań
Metody Ekonometryczne
Metody Ekonometryczne Jakub Mućk Katedra Ekonomii Ilościowej Jakub Mućk Metody Ekonometyczne Wykład 4 Uogólniona Metoda Najmniejszych Kwadratów (GLS) 1 / 19 Outline 1 2 3 Jakub Mućk Metody Ekonometyczne
Modele wielorownaniowe
Część 1. e e jednorównaniowe są znacznym uproszczeniem rzeczywistości gospodarczej e jednorównaniowe są znacznym uproszczeniem rzeczywistości gospodarczej e makroekonomiczne z reguły składają się z większej
Ekonometria. Wprowadzenie do modelowania ekonometrycznego Estymator KMNK. Jakub Mućk. Katedra Ekonomii Ilościowej
Ekonometria Wprowadzenie do modelowania ekonometrycznego Estymator Jakub Mućk Katedra Ekonomii Ilościowej Jakub Mućk Ekonometria Wykład 1 Estymator 1 / 16 Agenda 1 Literatura Zaliczenie przedmiotu 2 Model
Modele wielorównaniowe. Estymacja parametrów
Modele wielorównaniowe. Estymacja parametrów Ekonometria Szeregów Czasowych SGH Estymacja 1 / 47 Plan wykªadu 1 Po±rednia MNK 2 Metoda zmiennych instrumentalnych 3 Podwójna MNK 4 Estymatory klasy k 5 MNW
Modele wielorównaniowe (forma strukturalna)
Modele wielorównaniowe (forma strukturalna) Formę strukturalna modelu o G równaniach AY t = BX t + u t, gdzie Y t = [y 1t,..., y Gt ] X t = [x 1t,..., x Kt ] u t = [u 1t,..., u Gt ] E (u t ) = 0 Var (u
Ekonometria. Ćwiczenia nr 3. Jakub Mućk. Katedra Ekonomii Ilościowej
Ekonometria Ćwiczenia nr 3 Jakub Mućk Katedra Ekonomii Ilościowej Jakub Mućk Ekonometria Ćwiczenia 3 Własności składnika losowego 1 / 18 Agenda KMNK przypomnienie 1 KMNK przypomnienie 2 3 4 Jakub Mućk
Rozdział 2: Metoda największej wiarygodności i nieliniowa metoda najmniejszych kwadratów
Rozdział : Metoda największej wiarygodności i nieliniowa metoda najmniejszych kwadratów W tym rozdziale omówione zostaną dwie najpopularniejsze metody estymacji parametrów w ekonometrycznych modelach nieliniowych,
Ekonometria. Prognozowanie ekonometryczne, ocena stabilności oszacowań parametrów strukturalnych. Jakub Mućk. Katedra Ekonomii Ilościowej
Ekonometria Prognozowanie ekonometryczne, ocena stabilności oszacowań parametrów strukturalnych Jakub Mućk Katedra Ekonomii Ilościowej Jakub Mućk Ekonometria Wykład 4 Prognozowanie, stabilność 1 / 17 Agenda
Metody Ekonometryczne
Metody Ekonometryczne Goodness of fit i wprowadzenie do wnioskowania statystycznego Jakub Mućk Katedra Ekonomii Ilościowej Jakub Mućk Metody Ekonometyczne Wykład 2 Goodness of fit i wprowadzenie do wnioskowania
1.1 Klasyczny Model Regresji Liniowej
1.1 Klasyczny Model Regresji Liniowej Klasyczny model Regresji Liniowej jest bardzo użytecznym narzędziem służącym do analizy danych empirycznych. Analiza regresji zajmuje się opisem zależności między
Heteroscedastyczność. Zjawisko heteroscedastyczności Uogólniona Metoda Najmniejszych Kwadratów Stosowalna Metoda Najmniejszych Kwadratów
Formy heteroscedastyczności Własności estymatorów MNK wydatki konsumpcyjne 0 10000 20000 30000 40000 14.4 31786.08 dochód rozporz¹dzalny Zródlo: Obliczenia wlasne, dane BBGD 2004 Formy heteroscedastyczności
K wartość kapitału zaangażowanego w proces produkcji, w tys. jp.
Sprawdzian 2. Zadanie 1. Za pomocą KMNK oszacowano następującą funkcję produkcji: Gdzie: P wartość produkcji, w tys. jp (jednostek pieniężnych) K wartość kapitału zaangażowanego w proces produkcji, w tys.
Endogeniczność i Metoda Zmiennych Instrumentalnych (IV)
Endogeniczność i (IV) Endogeniczność i IV Jakub Mućk Katedra Ekonomii Ilościowej Jakub Mućk Metody Ekonometyczne Wykład 5 Endogeniczność i IV 1 / 26 Outline Istota problemu 1 Istota problemu Błąd pomiaru
Ekonometria. Model nieliniowe i funkcja produkcji. Jakub Mućk. Katedra Ekonomii Ilościowej
Ekonometria Model nieliniowe i funkcja produkcji Jakub Mućk Katedra Ekonomii Ilościowej Jakub Mućk Ekonometria Wykład 7 i funkcja produkcji 1 / 23 Agenda 1 2 3 Jakub Mućk Ekonometria Wykład 7 i funkcja
Statystyka opisowa. Wykład V. Regresja liniowa wieloraka
Statystyka opisowa. Wykład V. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis treści 1 Prosta regresji cechy Y względem cech X 1,..., X k. 2 3 Wyznaczamy zależność cechy Y od cech X 1, X 2,..., X k postaci Y = α 0 +
Ekonometria. Weryfikacja liniowego modelu jednorównaniowego. Jakub Mućk. Katedra Ekonomii Ilościowej
Ekonometria Weryfikacja liniowego modelu jednorównaniowego Jakub Mućk Katedra Ekonomii Ilościowej Jakub Mućk Ekonometria Wykład 2 Weryfikacja liniowego modelu jednorównaniowego 1 / 28 Agenda 1 Estymator
EKONOMETRIA. Prof. dr hab. Eugeniusz Gatnar.
EKONOMETRIA Prof. dr hab. Eugeniusz Gatnar egatnar@mail.wz.uw.edu.pl Sprawy organizacyjne Wykłady - prezentacja zagadnień dotyczących: budowy i weryfikacji modelu ekonometrycznego, doboru zmiennych, estymacji
Metoda najmniejszych kwadratów
Metoda najmniejszych kwadratów Przykład wstępny. W ekonomicznej teorii produkcji rozważa się funkcję produkcji Cobba Douglasa: z = AL α K β gdzie z oznacza wielkość produkcji, L jest nakładem pracy, K
Ekonometria. Własności składnika losowego. Jakub Mućk. Katedra Ekonomii Ilościowej
Ekonometria Własności składnika losowego Jakub Mućk Katedra Ekonomii Ilościowej Jakub Mućk Ekonometria Wykład 3 Własności składnika losowego 1 / 31 Agenda KMNK przypomnienie 1 KMNK przypomnienie 2 3 4
Metody Ekonometryczne
Metody Ekonometryczne Niesferyczność macierzy wariancji kowariancji składnika losowego Jakub Mućk Katedra Ekonomii Ilościowej Jakub Mućk Metody Ekonometyczne Wykład 3 Niesferyczność macierzy wariancji
Ekonometria. Model nieliniowe i funkcja produkcji. Jakub Mućk. Katedra Ekonomii Ilościowej. Modele nieliniowe Funkcja produkcji
Ekonometria Model nieliniowe i funkcja produkcji Jakub Mućk Katedra Ekonomii Ilościowej Jakub Mućk Ekonometria Ćwiczenia 7 Modele nieliniowe i funkcja produkcji 1 / 19 Agenda Modele nieliniowe 1 Modele
Metoda największej wiarogodności
Wprowadzenie Założenia Logarytm funkcji wiarogodności Metoda Największej Wiarogodności (MNW) jest bardziej uniwersalną niż MNK metodą szacowania wartości nieznanych parametrów Wprowadzenie Założenia Logarytm
JEDNORÓWNANIOWY LINIOWY MODEL EKONOMETRYCZNY
JEDNORÓWNANIOWY LINIOWY MODEL EKONOMETRYCZNY Będziemy zapisywać wektory w postaci (,, ) albo traktując go jak macierz jednokolumnową (dzięki temu nie będzie kontrowersji przy transponowaniu wektora ) Model
Modele zapisane w przestrzeni stanów
Modele zapisane w przestrzeni stanów Modele Przestrzeni Stanów (State Space Models) sa to modele, w których część parametrów jest nieobserwowalna i losowa. Zachowanie wielowymiarowej zmiennej y t zależy
Stosowana Analiza Regresji
Stosowana Analiza Regresji Wykład VIII 30 Listopada 2011 1 / 18 gdzie: X : n p Q : n n R : n p Zał.: n p. X = QR, - macierz eksperymentu, - ortogonalna, - ma zera poniżej głównej diagonali. [ R1 X = Q
Stanisław Cichocki Natalia Nehrebecka. Wykład 7
Stanisław Cichocki Natalia Nehrebecka Wykład 7 1 1. Metoda Największej Wiarygodności MNW 2. Założenia MNW 3. Własności estymatorów MNW 4. Testowanie hipotez w MNW 2 1. Metoda Największej Wiarygodności
Modele Wielorównaniowe
Rozdział 8 Modele Wielorównaniowe Modele wielorównaniowe o równaniach współzależnych (Simultaneus Equations Model) stosuje się do opisu zależności między zmiennymi, które wzajemnie i równocześnie wpływają
Macierze. Rozdział Działania na macierzach
Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i, j) (i 1,..., n; j 1,..., m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F R lub F C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy
Własności statystyczne regresji liniowej. Wykład 4
Własności statystyczne regresji liniowej Wykład 4 Plan Własności zmiennych losowych Normalna regresja liniowa Własności regresji liniowej Literatura B. Hansen (2017+) Econometrics, Rozdział 5 Własności
Mikroekonometria 3. Mikołaj Czajkowski Wiktor Budziński
Mikroekonometria 3 Mikołaj Czajkowski Wiktor Budziński Zadanie 1. Wykorzystując dane me.hedonic.dta przygotuj model oszacowujący wartość kosztów zewnętrznych rolnictwa 1. Przeprowadź regresję objaśniającą
Zawansowane modele wyborów dyskretnych
Zawansowane modele wyborów dyskretnych Jerzy Mycielski Uniwersytet Warszawski grudzien 2013 Jerzy Mycielski (Uniwersytet Warszawski) Zawansowane modele wyborów dyskretnych grudzien 2013 1 / 16 Model efektów
REGRESJA LINIOWA Z UOGÓLNIONĄ MACIERZĄ KOWARIANCJI SKŁADNIKA LOSOWEGO. Aleksander Nosarzewski Ekonometria bayesowska, prowadzący: dr Andrzej Torój
1 REGRESJA LINIOWA Z UOGÓLNIONĄ MACIERZĄ KOWARIANCJI SKŁADNIKA LOSOWEGO Aleksander Nosarzewski Ekonometria bayesowska, prowadzący: dr Andrzej Torój 2 DOTYCHCZASOWE MODELE Regresja liniowa o postaci: y
VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa.
VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa. W rozdziale tym zajmiemy się dokładniej badaniem stabilności rozwiązań równania różniczkowego. Pojęcie stabilności w
Zależność. przyczynowo-skutkowa, symptomatyczna, pozorna (iluzoryczna),
Zależność przyczynowo-skutkowa, symptomatyczna, pozorna (iluzoryczna), funkcyjna stochastyczna Korelacja brak korelacji korelacja krzywoliniowa korelacja dodatnia korelacja ujemna Szereg korelacyjny numer
III. Układy liniowe równań różniczkowych. 1. Pojęcie stabilności rozwiązań.
III. Układy liniowe równań różniczkowych. 1. Pojęcie stabilności rozwiązań. Analiza stabilności rozwiązań stanowi ważną część jakościowej teorii równań różniczkowych. Jej istotą jest poszukiwanie odpowiedzi
Metody Ekonometryczne
Metody Ekonometryczne Metoda Najmniejszych Kwadratów Jakub Mućk Katedra Ekonomii Ilościowej Jakub Mućk Metody Ekonometyczne Wykład 1 1 / 45 Outline Literatura Zaliczenie przedmiotu 1 Sprawy organizacyjne
Ekonometria - ćwiczenia 1
Ekonometria - ćwiczenia 1 Mateusz Myśliwski Zakład Ekonometrii Stosowanej Instytut Ekonometrii Kolegium Analiz Ekonomicznych Szkoła Główna Handlowa 5 października 2012 1 Sprawy organizacyjne 2 Czym jest
Spis treści Wstęp Estymacja Testowanie. Efekty losowe. Bogumiła Koprowska, Elżbieta Kukla
Bogumiła Koprowska Elżbieta Kukla 1 Wstęp Czym są efekty losowe? Przykłady Model mieszany 2 Estymacja Jednokierunkowa klasyfikacja (ANOVA) Metoda największej wiarogodności (ML) Metoda największej wiarogodności
STATYSTYKA. Rafał Kucharski. Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2
STATYSTYKA Rafał Kucharski Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2 Zależność przyczynowo-skutkowa, symptomatyczna, pozorna (iluzoryczna), funkcyjna stochastyczna
Uogólniona Metoda Momentów
Uogólniona Metoda Momentów Momenty z próby daż a do momentów teoretycznych (Prawo Wielkich Liczb) plim 1 n y i = E (y) n i=1 Klasyczna Metoda Momentów (M M) polega na szacowaniu momentów teoretycznych
Mikroekonometria 5. Mikołaj Czajkowski Wiktor Budziński
Mikroekonometria 5 Mikołaj Czajkowski Wiktor Budziński Zadanie 1. Wykorzystując dane me.hedonic.dta przygotuj model oszacowujący wartość kosztów zewnętrznych rolnictwa 1. Przeprowadź regresję objaśniającą
Modele wielorównaniowe. Problem identykacji
Modele wielorównaniowe. Problem identykacji Ekonometria Szeregów Czasowych SGH Identykacja 1 / 43 Plan wykªadu 1 Wprowadzenie 2 Trzy przykªady 3 Przykªady: interpretacja 4 Warunki identykowalno±ci 5 Restrykcje
Wektory i wartości własne
Treść wykładu Podprzestrzenie niezmiennicze... Twierdzenie Cayley Hamiltona Podprzestrzenie niezmiennicze Definicja Niech f : V V będzie przekształceniem liniowym. Podprzestrzeń W V nazywamy niezmienniczą
Stanisław Cichocki Natalia Nehrebecka. Zajęcia 8
Stanisław Cichocki Natalia Nehrebecka Zajęcia 8 1. Testy diagnostyczne 2. Testowanie prawidłowości formy funkcyjnej modelu 3. Testowanie normalności składników losowych 4. Testowanie stabilności parametrów
Prognozowanie i Symulacje. Wykład I. Matematyczne metody prognozowania
Prognozowanie i Symulacje. Wykład I. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis treści Szeregi czasowe 1 Szeregi czasowe 2 3 Szeregi czasowe Definicja 1 Szereg czasowy jest to proces stochastyczny z czasem dyskretnym
a 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn x 1 x 2... x m ...
Wykład 15 Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem i niech α 1, α 2,, α n, β K. Równanie: α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n = β z niewiadomymi x 1, x 2,, x n nazywamy równaniem liniowym. Układ: a 21 x
Wst p do ekonometrii II
Wst p do ekonometrii II Wykªad 1: Modele ADL. Analiza COMFAC. Uogólniona MNK (1) WdE II 1 / 36 Plan wykªadu 1 Restrykcje COMFAC w modelach ADL ADL(1,1) ADL(2,2) 2 Uogólniona MNK Idea UMNK Znajdowanie macierzy
dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory;
Wykłady 8 i 9 Pojęcia przestrzeni wektorowej i macierzy Układy równań liniowych Elementy algebry macierzy dodawanie, odejmowanie, mnożenie macierzy; macierz odwrotna dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia
Mikroekonometria 4. Mikołaj Czajkowski Wiktor Budziński
Mikroekonometria 4 Mikołaj Czajkowski Wiktor Budziński Endogeniczność regresja liniowa W regresji liniowej estymujemy następujące równanie: i i i KMRL zakłada, że wszystkie zmienne objaśniające są egzogeniczne
EKONOMETRIA prowadzący: Piotr Piwowarski
EKONOMETRIA prowadzący: Piotr Piwowarski Termin konsultacji: poniedziałek 13:15 14:45 wtorek 13:15 14:45 pokój 1101/1102 jedenaste piętro e-mail: piotr.piwowarski@poczta.umcs.lublin.pl strona internetowa:
Natalia Neherbecka. 11 czerwca 2010
Natalia Neherbecka 11 czerwca 2010 1 1. Konsekwencje heteroskedastyczności i autokorelacji 2. Uogólniona MNK 3. Stosowalna Uogólniona MNK 4. Odporne macierze wariancji i kowariancji b 2 1. Konsekwencje
Własności wyznacznika
Własności wyznacznika Rozwinięcie Laplace a względem i-tego wiersza: n det(a) = ( 1) i+j a ij M ij (A), j=1 gdzie M ij (A) to minor (i, j)-ty macierzy A, czyli wyznacznik macierzy uzyskanej z macierzy
Stosowana Analiza Regresji
Stosowana Analiza Regresji Wykład VI... 16 Listopada 2011 1 / 24 Jest to rozkład zmiennej losowej rozkład chi-kwadrat Z = n i=1 X 2 i, gdzie X i N(µ i, 1) - niezależne. Oznaczenie: Z χ 2 (n, λ), gdzie:
Prawdopodobieństwo i statystyka
Wykład XV: Zagadnienia redukcji wymiaru danych 2 lutego 2015 r. Standaryzacja danych Standaryzacja danych Własności macierzy korelacji Definicja Niech X będzie zmienną losową o skończonym drugim momencie.
Zadanie 1 Zakładając liniową relację między wydatkami na obuwie a dochodem oszacować MNK parametry modelu: y t. X 1 t. Tabela 1.
tel. 44 683 1 55 tel. kom. 64 566 811 e-mail: biuro@wszechwiedza.pl Zadanie 1 Zakładając liniową relację między wydatkami na obuwie a dochodem oszacować MNK parametry modelu: gdzie: y t X t y t = 1 X 1
Wektory i wartości własne
Treść wykładu Podprzestrzenie niezmiennicze Podprzestrzenie niezmiennicze... Twierdzenie Cayley Hamiltona Podprzestrzenie niezmiennicze Definicja Niech f : V V będzie przekształceniem liniowym. Podprzestrzeń
macierze jednostkowe (identyczności) macierze diagonalne, które na przekątnej mają same
1 Macierz definicja i zapis Macierzą wymiaru m na n nazywamy tabelę a 11 a 1n A = a m1 a mn złożoną z liczb (rzeczywistych lub zespolonych) o m wierszach i n kolumnach (zamiennie będziemy też czasem mówili,
Równania liniowe. Rozdział Przekształcenia liniowe. Niech X oraz Y będą dwiema niepustymi przestrzeniami wektorowymi nad ciałem
Rozdział 6 Równania liniowe 6 Przekształcenia liniowe Niech X oraz Y będą dwiema niepustymi przestrzeniami wektorowymi nad ciałem F Definicja 6 Funkcję f : X Y spełniającą warunki: a) dla dowolnych x,
Stanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka
Stanisław Cichocki Natalia Nehrebecka 1 2 3 1. Wprowadzenie do danych panelowych a) Charakterystyka danych panelowych b) Zalety i ograniczenia 2. Modele ekonometryczne danych panelowych a) Model efektów
Stosowana Analiza Regresji
Model jako : Stosowana Analiza Regresji Wykład XI 21 Grudnia 2011 1 / 11 Analiza kowariancji Model jako : Oprócz czynnika o wartościach nominalnych chcemy uwzględnić wpływ predyktora o wartościach ilościowych
13 Układy równań liniowych
13 Układy równań liniowych Definicja 13.1 Niech m, n N. Układem równań liniowych nad ciałem F m równaniach i n niewiadomych x 1, x 2,..., x n nazywamy koniunkcję równań postaci a 11 x 1 + a 12 x 2 +...
Rozdział 5. Macierze. a 11 a a 1m a 21 a a 2m... a n1 a n2... a nm
Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i,j) (i = 1,,n;j = 1,,m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F = R lub F = C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy F
STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD listopada 2009
STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 7 23 listopada 2009 Wykład 6 (16.XI.2009) zakończył się zdefiniowaniem współczynnika korelacji: E X µ x σ x Y µ y σ y = T WSPÓŁCZYNNIK KORELACJI ρ X,Y = ρ Y,X (!) WSPÓŁCZYNNIK
KARTA PRZEDMIOTU. 12. PRZEDMIOTOWE EFEKTY KSZTAŁCENIA Odniesienie do kierunkowych efektów kształcenia (symbol)
KARTA PRZEDMIOTU 1. NAZWA PRZEDMIOTU: Ekonometria 2. KIERUNEK: MATEMATYKA 3. POZIOM STUDIÓW: I stopnia 4. ROK/ SEMESTR STUDIÓW: III/6 5. LICZBA PUNKTÓW ECTS: 5 6. LICZBA GODZIN: 30 / 30 7. TYP PRZEDMIOTU
Statystyka i eksploracja danych
Wykład XII: Zagadnienia redukcji wymiaru danych 12 maja 2014 Definicja Niech X będzie zmienną losową o skończonym drugim momencie. Standaryzacją zmiennej X nazywamy zmienną losową Z = X EX Var (X ). Definicja
x x 1. Przedmiot identyfikacji System x (1) x (2) : x (s) a 1 a 2 : a s mierzone, a = zestaw współczynników konkretyzujacych F ()
. Przedmiot identyfikacji System () x (2) x * a z y ( s ) x y = F (x,z)=f(x,z,a ),gdziex = F () znane, a nieznane x () x (2) x (s) mierzone, a = a a 2 a s zestaw współczynników konkretyzujacych F () informacja
Modelowanie danych hodowlanych
Modelowanie danych hodowlanych 1. Wykład wstępny 2. Algebra macierzowa 3. Wykorzystanie różnych źródeł informacji w predykcji wartości hodowlanej 4. Kowariancja genetyczna pomiędzy spokrewnionymi osobnikami
3. Macierze i Układy Równań Liniowych
3. Macierze i Układy Równań Liniowych Rozważamy równanie macierzowe z końcówki ostatniego wykładu ( ) 3 1 X = 4 1 ( ) 2 5 Podstawiając X = ( ) x y i wymnażając, otrzymujemy układ 2 równań liniowych 3x
Ekonometria. Modele regresji wielorakiej - dobór zmiennych, szacowanie. Paweł Cibis pawel@cibis.pl. 1 kwietnia 2007
Modele regresji wielorakiej - dobór zmiennych, szacowanie Paweł Cibis pawel@cibis.pl 1 kwietnia 2007 1 Współczynnik zmienności Współczynnik zmienności wzory Współczynnik zmienności funkcje 2 Korelacja
3. Wykład Układy równań liniowych.
31 Układy równań liniowych 3 Wykład 3 Definicja 31 Niech F będzie ciałem Układem m równań liniowych o niewiadomych x 1,, x n, m, n N, o współczynnikach z ciała F nazywamy układ równań postaci: x 1 + +
Szacowanie optymalnego systemu Bonus-Malus przy pomocy Pseudo-MLE. Joanna Sawicka
Szacowanie optymalnego systemu Bonus-Malus przy pomocy Pseudo-MLE Joanna Sawicka Plan prezentacji Model Poissona-Gamma ze składnikiem regresyjnym Konstrukcja optymalnego systemu Bonus- Malus Estymacja
Ekonometria. Modelowanie zmiennej jakościowej. Jakub Mućk. Katedra Ekonomii Ilościowej
Ekonometria Modelowanie zmiennej jakościowej Jakub Mućk Katedra Ekonomii Ilościowej Jakub Mućk Ekonometria Ćwiczenia 8 Zmienna jakościowa 1 / 25 Zmienna jakościowa Zmienna ilościowa może zostać zmierzona
#09. Systemy o złożonej strukturze
#09 Systemy o złożonej strukturze system składa się z wielu elementów, obiekty (podsystemy) wchodzące w skład systemu są ze sobą połączone i wzajemnie od siebie zależne mogą wystąpić ograniczenia w dostępności
Met Me ody numer yczne Wykład ykład Dr inż. Mic hał ha Łanc Łan zon Instyt Ins ut Elektr Elektr echn iki echn i Elektrot Elektr echn olo echn
Metody numeryczne Wykład 3 Dr inż. Michał Łanczont Instytut Elektrotechniki i Elektrotechnologii E419, tel. 4293, m.lanczont@pollub.pl, http://m.lanczont.pollub.pl Zakres wykładu Pojęcia podstawowe Algebra
Współczynniki korelacji czastkowej i wielorakiej STATYSTYKA OPISOWA. Dr Alina Gleska. Instytut Matematyki WE PP. 18 listopada 2017
STATYSTYKA OPISOWA Dr Alina Gleska Instytut Matematyki WE PP 18 listopada 2017 1 Regresja krzywoliniowa 2 Model potęgowy Model potęgowy y = αx β e można sprowadzić poprzez zlogarytmowanie obu stron równania
Wykład 14. Elementy algebry macierzy
Wykład 14 Elementy algebry macierzy dr Mariusz Grządziel 26 stycznia 2009 Układ równań z dwoma niewiadomymi Rozważmy układ równań z dwoma niewiadomymi: a 11 x + a 12 y = h 1 a 21 x + a 22 y = h 2 a 11,
Rozdział 8. Regresja. Definiowanie modelu
Rozdział 8 Regresja Definiowanie modelu Analizę korelacji można traktować jako wstęp do analizy regresji. Jeżeli wykresy rozrzutu oraz wartości współczynników korelacji wskazują na istniejąca współzmienność
Stanisław Cichocki. Natalia Neherbecka. Zajęcia 13
Stanisław Cichocki Natalia Neherbecka Zajęcia 13 1 1. Kryteria informacyjne 2. Testowanie autokorelacji 3. Modele dynamiczne: modele o rozłożonych opóźnieniach (DL) modele autoregresyjne o rozłożonych
Dynamiczne stochastyczne modele równowagi ogólnej
Dynamiczne stochastyczne modele równowagi ogólnej mgr Anna Sulima Instytut Matematyki UJ 8 maja 2012 mgr Anna Sulima (Instytut Matematyki UJ) Dynamiczne stochastyczne modele równowagi ogólnej 8 maja 2012
Mikroekonometria 2. Mikołaj Czajkowski Wiktor Budziński
Mikroekonometria 2 Mikołaj Czajkowski Wiktor Budziński Klasyczny Model Regresji Liniowej (KMRL) Postać modelu regresji liniowej: yi = Xiβ + εi Modelujemy liniową zależność y od zmiennych objaśniających
parametrów strukturalnych modelu = Y zmienna objaśniana, X 1,X 2,,X k zmienne objaśniające, k zmiennych objaśniających,
诲 瞴瞶 瞶 ƭ0 ƭ 瞰 parametrów strukturalnych modelu Y zmienna objaśniana, = + + + + + X 1,X 2,,X k zmienne objaśniające, k zmiennych objaśniających, α 0, α 1, α 2,,α k parametry strukturalne modelu, k+1 parametrów
Ekonometria egzamin 07/03/2018
imię, nazwisko, nr indeksu: Ekonometria egzamin 07/03/2018 1. Egzamin trwa 90 minut. 2. Rozwiązywanie zadań należy rozpocząć po ogłoszeniu początku egzaminu a skończyć wraz z ogłoszeniem końca egzaminu.
Losowe zmienne objaśniające. Rozszerzenia KMRL. Rozszerzenia KMRL
MNK z losową macierzą obserwacji Równanie modelu y = X β + ε Jeżeli X zawiera elementy losowe to należy sprawdzić czy E(b β) = E[(X X ) 1 X ε]? = E[(X X ) 1 X ]E(ε) Przypomnienie: Nieskorelowane zmienne
ESTYMACJA BŁĘDU PREDYKCJI I JEJ ZASTOSOWANIA
ESTYMACJA BŁĘDU PREDYKCJI I JEJ ZASTOSOWANIA Jan Mielniczuk Wisła, grudzień 2009 PLAN Błędy predykcji i ich podstawowe estymatory Estymacja błędu predykcji w modelu liniowym. Funkcje kryterialne Własności
PROGRAMOWANIE KWADRATOWE
PROGRAMOWANIE KWADRATOWE Programowanie kwadratowe Zadanie programowania kwadratowego: Funkcja celu lub/i co najmniej jedno z ograniczeń jest funkcją kwadratową. 2 Programowanie kwadratowe Nie ma uniwersalnej
WNIOSKOWANIE W MODELU REGRESJI LINIOWEJ
WNIOSKOWANIE W MODELU REGRESJI LINIOWEJ Dana jest populacja generalna, w której dwuwymiarowa cecha (zmienna losowa) (X, Y ) ma pewien dwuwymiarowy rozk lad. Miara korelacji liniowej dla zmiennych (X, Y
Przekształcenia liniowe
Przekształcenia liniowe Zadania Które z następujących przekształceń są liniowe? (a) T : R 2 R 2, T (x, x 2 ) = (2x, x x 2 ), (b) T : R 2 R 2, T (x, x 2 ) = (x + 3x 2, x 2 ), (c) T : R 2 R, T (x, x 2 )
STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO Wykład 7
STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO Wykład 7 Analiza korelacji - współczynnik korelacji Pearsona Cel: ocena współzależności między dwiema zmiennymi ilościowymi Ocenia jedynie zależność liniową. r = cov(x,y
Wykład 5. Metoda eliminacji Gaussa
1 Wykład 5 Metoda eliminacji Gaussa Rozwiązywanie układów równań liniowych Układ równań liniowych może mieć dokładnie jedno rozwiązanie, nieskończenie wiele rozwiązań lub nie mieć rozwiązania. Metody dokładne
Tydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja), Równania różniczkowe, wartości własne, funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L
Tydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja) Równania różniczkowe wartości własne funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L Wszelkie pytania oraz uwagi o błędach proszę kierować na przemek.majewski@gmail.com
Kalibracja. W obu przypadkach jeśli mamy dane, to możemy znaleźć równowagę: Konwesatorium z Ekonometrii, IV rok, WNE UW 1
Kalibracja Kalibracja - nazwa pochodzi z nauk ścisłych - kalibrowanie instrumentu oznacza wyznaczanie jego skali (np. kalibrowanie termometru polega na wyznaczeniu 0C i 100C tak by oznaczały punkt zamarzania
Analiza numeryczna Lista nr 3 (ćwiczenia) x x 2 n x.
Analiza numeryczna Lista nr 3 (ćwiczenia) Sprawdzić że macierz ma wartości własne2+ 222 2 2 Niechx R n Udowodnić że 2 0 0 x x 2 n x 3 NiechA R n n będzie macierzą symetryczną Wiadomo że wówczas istnieje
Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności. dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl
Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl Statystyczna teoria korelacji i regresji (1) Jest to dział statystyki zajmujący
15. Macierze. Definicja Macierzy. Definicja Delty Kroneckera. Definicja Macierzy Kwadratowej. Definicja Macierzy Jednostkowej
15. Macierze Definicja Macierzy. Dla danego ciała F i dla danych m, n IN funkcję A : {1,...,m} {1,...,n} F nazywamy macierzą m n ( macierzą o m wierszach i n kolumnach) o wyrazach z F. Wartość A(i, j)
PODSTAWY AUTOMATYKI. MATLAB - komputerowe środowisko obliczeń naukowoinżynierskich - podstawowe operacje na liczbach i macierzach.
WYDZIAŁ ELEKTROTECHNIKI I AUTOMATYKI Katedra Inżynierii Systemów Sterowania PODSTAWY AUTOMATYKI MATLAB - komputerowe środowisko obliczeń naukowoinżynierskich - podstawowe operacje na liczbach i macierzach.
STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO Wykład 5
STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO Wykład 5 Analiza korelacji - współczynnik korelacji Pearsona Cel: ocena współzależności między dwiema zmiennymi ilościowymi Ocenia jedynie zależność liniową. r = cov(x,y
Redukcja wariancji w metodach Monte-Carlo
14.02.2006 Seminarium szkoleniowe 14 lutego 2006 Plan prezentacji Wprowadzenie Metoda losowania warstwowego Metoda próbkowania ważonego Metoda zmiennych kontrolnych Metoda zmiennych antytetycznych Metoda
Ekonometria egzamin 06/03/ W trakcie egzaminu wolno używać jedynie długopisu o innym kolorze atramentu niż czerwony oraz kalkulatora.
imię, nazwisko, nr indeksu: Ekonometria egzamin 06/03/2019 1. Egzamin trwa 90 minut. 2. Rozwiązywanie zadań należy rozpocząć po ogłoszeniu początku egzaminu a skończyć wraz z ogłoszeniem końca egzaminu.