Metody matematyczne dla fizyków II Równania różniczkowe

Metody matematyczne dla fizyków II Równania różniczkowe Krzysztof Golec Biernat Instytut Fizyki Jadrowej PAN w Krakowie Instytut Fizyki Uniwerstytetu Rzeszowskiego (19 lutego 211) Wersja robocza nie do dystrybucji Kraków/Rzeszów 26-7

Spis treści 15 Równania różniczkowe zwyczajne 5 15.1 Równania zwyczajne drugiego rzȩdu.............. 5 15.2 Klasyfikacja punktów osobliwych................ 7 15.3 Punkt w nieskończoności..................... 8 15.4 Równanie niejednorodne..................... 9 16 Rozwia zania równań różniczkowych 12 16.1 Rozwi azania wokół punktów regularnych............ 12 16.1.1 Przykład......................... 14 16.2 Drugie rozwi azanie........................ 16 16.3 Rozwi azania wokół RPO..................... 17 17 Równanie Bessela 2 17.1 Przykład dla ν 2 = 1/4...................... 23 17.2 Inne funkcje Bessela....................... 24 18 Równanie hipergeometryczne Gaussa 26 18.1 Równanie konfluentne Gaussa.................. 27 2

19 Równanie Legendre a 29 19.1 Wielomiany Legendre a..................... 3 19.2 Stowarzyszone wielomiany Legendre a............. 31 2 Teoria Sturma Liouville a 32 2.1 Problem własny.......................... 32 2.2 Iloczyn skalarny......................... 34 2.3 Operatory samosprzȩżone.................... 34 2.4 Własności operatorów samosprzȩżonych............ 36 2.5 Zupełność funkcji własnych................... 36 21 Wielomiany ortogonalne 38 21.1 Konstrukcja wielomianów ortogonalnych............ 38 21.2 Wielomiany Hermite a...................... 4 21.3 Wielomiany Lageurre a...................... 41 21.4 Wielomiany Jacobiego...................... 42 21.4.1 Wielomiany Gegenbauera................ 43 21.4.2 Wielomiany Czebyszewa................. 43 21.4.3 Wielomiany Legendre a................. 43 21.5 Podsumowanie.......................... 44 22 Szeregi Fouriera 46 22.1 Problem własny.......................... 46 22.2 Ortogonalność funkcji własnych................. 48 22.3 Szereg Fouriera.......................... 49 22.4 Zbieżność szeregu Fouriera.................... 51 22.5 Przykłady rozwiniȩć....................... 51 22.6 Równość Parsevala........................ 53 22.7 Obliczanie sum szeregów..................... 54 3

23 Transformaty całkowe I 55 23.1 Zespolona postać szeregu Fouriera............... 55 23.2 Transformata Fouriera...................... 56 23.3 Splot funkcji........................... 58 23.4 Delta Diraca........................... 59 24 Transformaty całkowe II 61 24.1 Transformata Fouriera...................... 61 24.1.1 Wzory konwolucyjne................... 62 24.2 Transformata Laplace a..................... 63 24.2.1 Wzory konwolucyjne................... 66 24.2.2 Pewne transformaty Laplace a............. 67 24.3 Transformata Mellina...................... 68 24.3.1 Wzory konwolucyjne................... 7 24.4 Całki Mellina-Barnesa...................... 71 24.5 Transformata Borela....................... 73 25 Równania różniczkowe cza stkowe 74 25.1 Równanie falowe......................... 74 25.2 Równanie dyfuzji......................... 75 4

Wykład 15 Równania różniczkowe zwyczajne 15.1 Równania zwyczajne drugiego rzȩdu Wiele równań fizyki ma forme liniowych równań różniczkowych zwyczajnych drugiego rze du, postaci α(z)w (z) + β(z)w (z) + γ(z)w(z) = (15.1) gdzie w(z) jest poszukiwana funkcja zmiennej zespolonej z, natomiast funkcje α(z),β(z),γ(z) sa znane. Primy oznaczaja różniczkowanie po z. Dziela c przez α(z) otrzymamy gdzie w (z) + p(z)w (z) + q(z)w(z) =, (15.2) p(z) = β(z) α(z), γ(z) q(z) = α(z). (15.3) Ze wzgle du na zero wyste puja ce po prawej stronie (15.1), rozważamy równania jednorodne. Równania jednorodne maja zawsze dwa liniowo niezależne rozwia zania szczególne w 1 (z) i w 2 (z). Rozwia zanie ogólne w(z) to ich kombinacja liniowa gdzie c 1,c 2 sa dowolnymi liczbami zespolonymi. w(z) = c 1 w 1 (z) + c 2 w 2 (z) (15.4) 5

Definicja Dwie funkcje w 1 (z) i w 2 (z) sa liniowo niezależne jeżeli spełniony jest warunek a 1 w 1 (z) + a 2 w 2 (z) = <=> a 1 = a 2 =. (15.5) Jeśli warunek ten nie jest spełniony to wtedy jedna z funkcji wyraża sie przez drugia, na przykład w 1 (z) = a 2 w 2 (z)/a 1. Twierdzenie Warunkiem koniecznym i wystarczaja cym liniowej niezależności rozwia zań jest by istniał punkt z, w którym wyznacznik Wronskiego (wronskian) W, zdefiniowany poniżej, jest różny od zera: W(z ) = w 1 (z ) w 2 (z ) w 1 (z ) w 2 (z ). (15.6) Rozważmy bowiem kombinacje liniowa po lewej stronie relacji (15.5). Różniczkuja c po z dostaniemy układ równań na współczynniki a 1 i a 2 a 1 w 1 (z) + a 2 w 2 (z) = a 1 w 1(z) + a 2 w 2(z) = (15.7) Jeśli istnieje z takie, że W(z ) to jedynym rozwia zaniem jest a 1 = a 2 = i funkcje sa liniowo niezależne. Natomiast warunek liniowej niezależności rozwia zań implikuje różny od zera wronskian w każdym punkcie. Stałe c 1 i c 2 w rozwia zaniu ogólnym (15.4) można wyznaczyć znaja c wartości w(z ) i w (z ) w dowolnym punkcie z, poprzez rozwia zanie układu równań c 1 w 1 (z ) + c 2 w 2 (z ) = w(z ) c 1 w 1(z ) + c 2 w 2(z ) = w (z ). (15.8) Niezerowe rozwia zanie istnieje, gdyż W(z ). 6

15.2 Klasyfikacja punktów osobliwych Be dziemy poszukiwali rozwia zań równania jednorodnego poprzez rozwijanie funkcji w(z) w szereg pote gowy wokół wybranego punktu z. W zwia zku z tym wprowadźmy naste puja ce definicje. Punkt z jest punktem regularnym równania (15.2) jeśli p(z) i q(z) sa analityczne w tym punkcie. Można je wtedy rozwina ć w szereg Taylora w pewnym otoczeniu tego punktu p(z) = p m (z z ) m q(z) = m= m= q m (z z ) m. (15.9) Jeśli p(z) lub q(z) nie sa analityczne w punkcie z to jest on punktem osobliwym równania (15.2). Dla takich punktów istnieje bardziej szczegółowy podział. Jeżeli w punkcie osobliwym z funkcja p(z) ma co najwyżej biegun 1. rze du, natomiast q(z) ma co najwyżej biegun 2 rze du to jest on regularnym punktem osobliwym. Wtedy w pewnym otoczeniu pierścieniowym z p(z) = p m (z z ) m 1 q(z) = m= m= q m (z z ) m 2. (15.1) Jeżeli powyższe warunki nie sa spełnione to z jest nieregularnym punktem osobliwym. Twierdzenie Fuchsa Dla punktu regularnego lub regularnie osobliwego można zawsze znaleźć przynajmniej jedno rozwia zanie szczególne równania (15.2) poprzez rozwinie cie wokół tego punktu w szereg postaci w(z) = a n (z z ) n+c, (15.11) n= gdzie c jest liczba zespolona do wyznaczenia. Promień zbieżności tego szeregu jest określony przez odległości do najbliższego punktu osobliwego równania (15.2). 7

15.3 Punkt w nieskończoności Punkt z = badamy wykonuja c transformacje t = 1/z, przy pomocy której nieskończoność została odwzorowana w punkt t =. Zapiszmy równanie (15.2) przy pomocy zmiennej t. Różniczkuja c, znajdujemy dw dz = dw dt dt dz = 1 dw x 2 dt Dla drugiej pochodnej otrzymujemy d 2 w dz 2 = d dt Sta d otrzymujemy ( ) dw dt dz dz = d ( t2 dt t 2 dw dt = t2 dw dt ) = t 4 d2 w dw + 2t3 dt2 dt d 2 w dw + p(z) dz2 dz + q(z)w = t4 d2 w { dt 2 + 2t 3 p(t)t 2} dw dt + q(t)w i ostateczne równanie w nowej zmiennej ma postać gdzie d 2 w dw + P(t) + Q(t)w =, (15.12) dt2 dt P(t) = 2t p(t) t 2, Q(t) = q(t) t 4 (15.13) Jeżeli dla t (z ) zachodzi p(t) = 2t + p 2 t 2 +... => p(z) = 2 z + p 2 z 2 +... q(t) = q 4 t 4 + q 5 t 5 +... => q(z) = q 4 z 4 + q 5 +... (15.14) z5 to z = jest punktem regularnym. Natomiast, gdy w tej samej granicy mamy p(t) = p 1 t + p 2 t 2 +... => p(z) = p 1 z + p 2 z 2 +... q(t) = q 2 t 2 + q 3 t 3 +... => q(z) = q 2 z 2 + q 3 +.... (15.15) z3 to z = jest regularnym punktem osobliwym. 8

RÓWNANIE RPO NPO Oscylatora harmonicznego w + ω 2 w = brak Hermite a - kwantowy oscylator harmoniczny w 2z w + 2αw = brak Laguerre a - atom wodoru z w + (1 z)w + aw = Bessela z 2 w + z w + (z 2 ν 2 )w = Konfluentne z w + (γ z)w αw = Czebyszewa (1 z 2 )w z w + n 2 w = 1,1, brak Legendre a - kwantowy kre t orbitalny (1 z 2 )w 2z w + [l(l +1) ]w m2 = 1 z 2 1,1, brak Gaussa (hipergeometryczne) z(z 1)w + [(1+α+β)z γ]w + αβ w =,1, brak W obu przypadkach możemy szukać rozwia zania w postaci szeregu Frobeniusa wokół nieskończoności ( ) 1 n+c w = a n t n+c = a n. (15.16) z n= n= W tabelce obok podajemy przykłady jednorodnych równań różniczkowych zwyczajnych drugiego rze du wraz z regularnymi (RPO) i nieregularnymi (NPO) punktami osobliwymi. 15.4 Równanie niejednorodne Niejednorodne równanie różniczkowe zwyczajne drugiego rze du ma postać w (z) + p(z)w (z) + q(z)w(z) = f(z), (15.17) gdzie f(z) jest znana funkcja. Rozwia zanie ogólne to w(z) = c 1 w 1 (z) + c 2 w 2 (z) + u(z), (15.18) 9

gdzie w 1 i w 2 to liniowo niezależne rozwia zania równania jednorodnego, natomiast u to rozwia zanie szczególne równania niejednorodnego. Można je zbudować z rozwia zań w 1 i w 2 w naste puja cy sposób. Rozważmy rozwia zanie ogólne równania jednorodnego (15.4), w którym uzmienniliśmy stałe c 1 i c 2 u(z) = c 1 (z)w 1 (z) + c 2 (z)w 2 (z). (15.19) Dobierzemy je tak by u(z) było rozwia zaniem szczególnym równania niejednorodnego. Różniczkuja c po z dostaniemy u = { c 1 w 1 +c 2 w 2} + {c 1 w 1 +c 2 w 2 } }{{} c 3 (15.2) Zaża dajmy by c 3 =. Wtedy różniczkuja c raz jeszcze, znajdujemy u = { c 1 w 1 +c 2 w 2} + { c 1 w 1 +c 2 w 2}. (15.21) Po podstawieniu obu pochodnych do (15.17) i wykorzystaniu faktu, że w 1 i w 2 sa rozwia zaniami równania jednorodnego, otrzymujemy { c 1 w 1 +c 2 w 2 } = f. (15.22) Sta d naste puja cy układ równań na pochodne c 1 i c 2 c 3 c 1 w 1 +c 2 w 2 = c 1 w 1 +c 2 w 2 = f. (15.23) Dla rozwia zań liniowo niezależnych wronskian W jest różny od zera, wiec c 1 = 1 w 2 W f w 2 = w 2f W, c 2 = 1 w 1 W w 2 f = w 1f W. Ostatecznie, rozwia zania z c 1 (z) = z z w 2 (ζ) W(ζ) f(ζ)dζ, c 2(z) = z w 1 (ζ) f(ζ)dζ. (15.24) W(ζ) Podstawiaja c do (15.19), otrzymujemy rozwia zanie szczególne równania niejednorodnego u(z) = z z z { w1 (ζ)w 2 (z) w 2 (ζ)w 1 (z) W(ζ) } f(ζ)dζ z G(z,ζ)f(ζ)dζ, (15.25) 1

gdzie G(z,ζ) jest funkcja Greena zbudowana z rozwia zań równania jednorodnego. Ostatecznie, rozwiazanie ogólne równania (15.17) to z u(z) = c 1 w 1 (z) + c 2 w 2 (z) + z G(z,ζ)f(ζ)dζ (15.26) 11

Wykład 16 Rozwia zania równań różniczkowych 16.1 Rozwia zania wokół punktów regularnych Niech z be dzie punktem regularnym równania co oznacza, że słuszne sa wzory (1.9): w (z) + p(z)w (z) + q(z)w(z) =, (16.1) p(z) = p m (z z ) m m= q(z) = q m (z z ) m. (16.2) m= Poszukajmy rozwia zania w postaci w(z) = a n (z z ) n (16.3) n= w pewnym otoczeniu z z < R. Promień zbieżności R jest określony przez odległość z do najbliższegu punktu osobliwego równania (16.1). Policzmy w (z) = a n n(z z ) n 1 (16.4) n=1 w (z) = a n n(n 1)(z z ) n 2. n=2 12

Wygodnie jest zmienić wskaźniki sumowania tak by zaczynały sie od n = w (z) = w (z) = a n+1 (n+1)(z z ) n n= a n+2 (n+2)(n+1)(z z ) n. (16.5) n= Podstawiamy powyższe szeregi wraz z (16.2) do równania (16.1): a n+2 (n+2)(n+1)(z z ) n n= { }{ } + p m (z z ) m a l+1 (l +1)(z z ) l m= l= { }{ } + q m (z z ) m a l (z z ) l =. (16.6) m= l= Skorzystamy naste pnie ze wzoru na mnożenie dwóch szeregów ( )( ) ( n ) A m B l = A n l B l. (16.7) m= l= n= l= Oznaczaja c dla szeregów w drugiej linijce (16.6) A m = p m (z z ) m, B l = a l+1 (l +1)(z z ) l oraz podobnie dla szeregów w trzeciej linijce, otrzymujemy + + a n+2 (n+2)(n+1)(z z ) n n= { n } p n l a l+1 (l +1) (z z ) n n= l= { n q n l a l }(z z ) n =. (16.8) n= l= Wyrazy przy każdej pote dze (z z ) n musza znikać, sta d warunek n a n+2 (n+2)(n+1) + [p n l a l+1 (l +1) + q n l a l ] =. (16.9) l= 13

Otrzymaliśmy zatem rekurencje wia żaca a n+2 z wyrazami a l dla l (n+1). Przykładowo, dla n =,1 otrzymamy 2a 2 +p a 1 +q a = => a 2 = a 2 (a,a 1 ) 6a 3 +(2p a 2 +p 1 a 1 )+(q a 1 +q 1 a ) = => a 3 = a 3 (a,a 1 ). W ten sposób znajdujemy współczynniki szeregu (16.3) jako funkcje dwóch pierwszych współczynników: a n = a n (a,a 1 ), n 2 (16.1) i wtedy w(z) = a + a 1 (z z ) + a n (z z ) n. (16.11) n=2 Postać (16.11) rozwia zania pozwala znaleźć dwa liniowo niezależne rozwia zania poprzez odpowiedni dobór współczynników a i a 1. Warunkiem koniecznym i wystarczaja cym liniowej niezależności rozwia zń jest istnienie punktu, w którym wronskian W był różny od zera. Dobieraja c zatem dwie pary współczynników (a,a 1 ) oraz (b,b 1 ) dla rozwia zań (16.11) tak by dla z = z zachodziło W(z ) = a b a 1 b 1 = a b 1 b a 1 (16.12) to otrzymamy dwa liniowo niezależne rozwia zania. Poniższy przykład ilustruje te metode. 16.1.1 Przykład Poszukajmy rozwia zania równania w (z) + w(z) =. (16.13) Funkcje p(z) = i q(z) = 1, sta d punkt z = jest punktem regularnym równania. Podstawiaja c rozwia zanie w postaci w(z) = a n z n, (16.14) n= 14

dla którego w (z) = a n+2 (n+2)(n+1)z n, (16.15) n= dostajemy [a n+2 (n+2)(n+1) + a n ]z n =. (16.16) n= Sta d zwia zek a n a n+2 = (n+2)(n+1). (16.17) Dla parzystych wskaźników znajdujemy a 2 = a 1 2 = a ( 1)1 2! a 4 = a 2 3 4 = a ( 1)2 4! a 6 = a 4 5 6 = a ( 1)3 6!. Sta d ogólna postać współczynników dla k 1: a 2k 2 a 2k = (2k 1)(2k) = a ( 1)k (2k)!. (16.18) W ten sposób otrzymaliśmy rozwia zanie ( ) w 1 (z) = a 1 z2 2! + z4 4! z6 6! +... = a cosz. (16.19) Podobnie, dla nieparzystych wskaźników znajdziemy a 3 = a 1 2 3 = a ( 1)1 1 3! a 5 = a 3 4 5 = a ( 1)2 1 5! a 7 = a 5 6 7 = a ( 1)3 1 7!, co prowadzi do drugiego, liniowo niezależnego rozwia zania ( ) w 2 (z) = a 1 z z3 3! + z5 5! z7 7! +... = a 1 sinz. (16.2) Rozwia zanie ogólne to w(z) = a cosz + a 1 sinz. (16.21) 15

16.2 Drugie rozwia zanie Przedstawiona powyżej metoda znajdowania drugiego, liniowo niezależnego rozwia zania stosuje sie tylko do rozwia zań wokół punktów regularnych. W ogólności, drugie rowia zanie można znaleźć przy pomocy pierwszego za pomoca wzoru, który wyprowadzimy. Założmy, że w 1 i w 2 sa liniowo niezależnymi rozwia zaniami równania (1.1). Traktuja c wronskian W(z) jako znana funkcje podzielmy obie strony równania w 1 w 2 w 2 w 1 = W (16.22) przez w1 2, otrzymuja c 1 dw 2 w 1 dz w 2 dw 1 w1 2 dz = d dz Sta d rozwia zanie ostatniego równania ( ) w2 w 1 = W w1 2. (16.23) { z } W(ξ) w 2 (z) = w 1 (z) exp w1 2 dξ (ξ) (16.24) Wzór ten może służyć do znalezienia drugiego rozwia zania pod warunkiem, że funkcja W jest znana. W tym celu policzmy pochodna wronskianu W = (w 1 w 2 w 2 w 1) = w 1 w 2 w 2 w 1 = w 1 ( pw 2 qw 2 ) w 2 ( pw 1 qw 1 ) = p(w 1 w 2 w 2 w 1). (16.25) Sta d równanie W = pw (16.26) i jego rozwia zanie dane wzorem { ξ } W(ξ) = exp p(ζ) dζ (16.27) Dolne granice całkowania (stałe całkowania) należy wybrać tak by otrzymać najprostsze wzory. 16

Przykład Jeżeli pierwsze rozwia zanie równania oscylatora harmonicznego (16.13) to w 1 (z) = cosz to drugie, liniowo niezależno ma postać w 2 (z) = cosz z dζ cos 2 ζ 16.3 Rozwia zania wokół RPO = cosz tgz = sinz. (16.28) Niech z be dzie regularnym punktem osobliwym (RPO) równania w (z) + p(z)w (z) + q(z)w(z) =, (16.29) co oznacza, że słuszne sa wzory (1.1): p(z) = p m (z z ) m 1 m= q(z) = q m (z z ) m 2. (16.3) m= Poszukajmy rozwia zania równania (16.29) w postaci szeregu Frobeniusa w(z) = a n (z z ) n+c, (16.31) n= gdzie c jest liczba do wyznaczenia. Różniczkuja c, otrzymamy w (z) = a n (n+c)(z z ) n+c 1 n= w (z) = a n (n+c)(n+c 1)(z z ) n+c 2. (16.32) n= Podstawiaja c do równania (16.29), znajdujemy a n (n+c)(n+c 1)(z z ) n+c 2 n= { }{ } + p m (z z ) m 1 a l (l +c)(z z ) l+c 1 + m= l= { }{ q m (z z ) m 2 m= 17 l= a l (z z ) l+c } =. (16.33)

Korzystaja c ze wzoru ( )( ) ( n A m B l = m= l= n= l= przy mnożeniu dwóch szeregów, znajdujemy A n l B l ). + + a n (n+c)(n+c 1)(z z ) n+c 2 n= { n } p n l a l (l +c) (z z ) n+c 2 n= l= { n q n l a l }(z z ) n+c 2 =. (16.34) n= l= Sta d warunek znikania współczynników przy każdej pote dze (z z ) n+c 2 : n } a n (n+c)(n+c 1) + {p n l a l (l +c) + q n l a l =. Wyciagaja c wyrazy proporcjonalne do a n z sumy dostajemy l= a n { (n+c)(n+c 1)+(n+c)p +q } + Dla n = mamy tylko jeden wyraz n 1 l= a { c(c 1) + cp + q } =. {... } =. (16.35) Zakładaja c, że a otrzymujemy równanie charakterystyczne F(c) c 2 + (p 1)c + q = (16.36) Pozwala ono znaleźć wartość stałej c. Dla n 1 znajdujemy rekurencje n 1 a n F(n+c) + {(l +c)p n l a l + q n l a l } =. (16.37) l= Rekurencja ta jest użyteczna o ile F(n+c). Niech c 1,c 2 be da pierwiastkami równania charakterystycznego (16.36). W zależności od relacji mie dzy tymi liczbami otrzymujemy nastepuja ce wyniki. 18

Jeżeli c 1 c 2 i nie jest liczba całkowita to istnieja dwa liniowo niezależne rozwia zania w postaci szeregów Frobeniusa. Jeżeli c 1 c 2 = m > jest liczba całkowita to na ogól otrzymujemy tylko jedno rozwia zanie w postaci szeregu Frobeniusa z c = c 1. Dla c = c 2 natomiast zachodzi F(m+c 2 ) = F(c 1 ) =. Konstrukcja z szeregiem Forbeniusa prowadzi wtedy (chociaż nie zawsze) do rozwia zania liniowo zależnego od poprzedniego. Aby znaleźć drugie rozwia zanien należy wykorzystać wzór (11.21). W wyniku tego otrzymamy w obszarze < z z < R drugie rozwia zanie postaci w 2 (z) = w 1 (z) ln(z z ) + b k (z z ) k+c 2. (16.38) Jest ono osobliwe dla z = z ze wzgle du na wyste puja cy logarytm, a także ze wzgle du na drugi szereg jeśli c 2 jest liczba zespolona lub liczba całkowita mniejsza od zera.. Dla c 1 = c 2 drugie rozwia zanie ma postać (16.38) z c 2 c 1 +1. k= 19

Wykład 17 Równanie Bessela Rozwia żmy równanie Bessela z parametrem m =,1,2,... Wtedy z 2 w (z) + z w (z) + (z 2 m 2 )w(z) = (17.1) p(z) = 1 z, q(z) = m2 +1. (17.2) z2 Punkt z = jest regularnym punktem osobliwym, natomiast z = jest NPO. Sta d poszukiwana forma rozwia zania w postaci szeregu pote gowego Frobeniusa wokół z = : w(z) = a n z n+c. (17.3) n= Jedynie niezerowe współczynniki rozwinie cia p(z) i q(z) wokół zera to p = 1, q = m 2, q 2 = 1. (17.4) Sta d równanie charakterystyczne z pierwiastkami c 1 = m i c 2 = m. F(c) = c 2 m 2 = (17.5) Poszukamy rozwia znia dla wie kszego pierwiastka c 1 = m. Wtedy F(n+m) = (n+m) 2 m 2 = n(n+2m) (17.6) 2

dla każdego n > i relacja (16.37) przyjmuje naste puja ca postać dla n 2 n(n+2m)a n + a n 2 =. (17.7) Dla n = 1 mamy a 1 =, sta d wszystkie współczynniki z nieparzystymi wskaźnikami znikaja. Natomiast dla parzystych n = 2k, gdzie k = 1,2,..., otrzymujemy a 2k 2 a 2k = (2k)(2k +2m) = a 2k 2 2 2 k (k +m). (17.8) Kolejne współczynniki to a a 2 = 2 2 1 (1+m) a 2 a 4 = 2 2 2 (2+m) = a ( 1)2 2 4 (1 2)(1+m)(2+m) a 2k = ( 1) k a 2 2k k! (1+m)...(k +m) = ( 1)k m! 2 2k k!(k +m)! i sta d rozwia zanie w(z) = a 2 m m! k= a ( 1) k ( ) z 2k+m. (17.9) k! (k +m)! 2 Pomijaja c nieistotne stałe czynniki przed suma, otrzymujemy funkcje Bessela m-tego rze du J m (z) = k= ( 1) k ( ) z 2k+m (17.1) k! (k +m)! 2 Szereg jest bezwzgle dnie zbieżny w całej płaszczyźnie zespolonej. Wzór (17.1) można rozszerzyć na zespolone wartości parametru m ν C, zaste puja c w mianowniku Wtedy funkcja Bessela (k +m)! = Γ(k +m+1) Γ(k +ν +1). J ν (z) = k= ( 1) k ( ) z 2k+ν (17.11) k! Γ(k +ν +1) 2 21

jest rozwia zaniem równaniem Bessela z parametrem m = µ C. Jeżeli tylko pierwistki równania charakterystycznego spełniaja warunek, że c 1 c 2 = 2ν nie jest liczba całkowita to J ν (z) i J ν (z) sa liniowo niezależnymi rozwia zaniami, a rozwia zanie ogólne to ich kombinacja liniowa. Dla m Z, drugie rozwia zanie jest liniowo zależne od pierwszego. Kłada c bowiem ν = m we wzorze (17.11), otrzymamy ( 1) k ( ) z 2k m J m (z) =. (17.12) k! Γ(k m+1) 2 Zauważmy, że 1 Γ(k m+1) k= = dla k =,1...(m 1), sta d sumowanie w powyższym wzorze rozpoczyna sie od k = m. Zmieniaja c naste pnie wskaźnik sumowania na k = k m, znajdujemy wzór dla dodatnich całkowitych m ( 1) k ( ) z 2k m J m (z) = k! Γ(k m+1) 2 = k=m k = ( 1) k +m ( ) z 2k +m (k +m)! Γ(k +1) 2 = ( 1) m J m (z). (17.13) Aby znaleźć drugie rozwia zanie liniowo niezależne od J m zauważmy, że dla niecałkowitego ν kombinacja liniowa Y ν (z) = J ν(z)cosνπ J ν (z) sinνπ (17.14) jest rozwia zaniem równania Bessela liniowo niezależnym od J ν. Przechodza c naste pnie do granicy J ν (z)cosνπ J ν (z) Y m (z) = lim, (17.15) ν m sinνπ otrzymujemy poszukiwane drugie rozwia zanie dla całkowitych m. Podsumowuja c, dla dowolnych wartości parametru m = ν C w równaniu Bessela rozwia zaniem ogólnym jest kombinacja liniowa w(z) = c 1 J ν (z) + c 2 Y ν (z). (17.16) 22

Asymptotyka obu rozwia zań dla z to J ν (z) Y ν (z) ( ) 1 z ν (17.17) Γ(ν +1) 2 2 π lnz dla ν = ( ) Γ(ν) ν 2 π z dla ν. (17.18) Tak wie c dla całkowitego dotatniego m, J m (z) jest nieosobliwe w zerze w przeciwieństwie do Y m (z). Dla rzeczywistych x mamy J ν (x) Y ν (x) 2 πx cos ( x 2 πx sin ( x ) 2ν +1 π 4 (17.19) ) 2ν +1 π. (17.2) 4 Obie funkcje zachowuja sie jak funkcje trygonometryczne z zanikaja ca amplituda proporcjonalna do 1/ x. 17.1 Przykład dla ν 2 = 1/4 Rozwia zać równanie Bessela dla ν 2 = 1/4 z 2 w (z) + z w (z) + Korzystaja c ze wzorów (9.14) i (9.15), otrzymamy ( z 2 1 ) w(z) = (17.21) 4 J 1 2 (z) = = = k= k= 2 πz ( 1) k ( ) 1 z 2k+ 2 k! Γ(k + 1 2 +1) 2 ( 1) k ( ) (2k +1)! 1 ( z 2k+1 ( z π k! 2 2k+1 k! 2) 2 k= ) 1/2 ( 1) k z 2k+1 2 (2k +1)! = sinz. (17.22) πz 23

Podobnie, dla ν = 1 2, znajdujemy J 1 (z) = 2 = = = = k= ( 1) k ( ) 1 z 2k 2 k! Γ(k 1 2 +1) 2 2 πz + k=1 2 πz + k=1 2 πz + 2 πz ( 1) k ( ) 1 z 2k 2 k! Γ(k + 1 2 ) 2 ( 1) k k! ( 1) k k! k=1 ( 1 + ( 1) k k=1 k + 1 ( ) 1 2 z 2k 2 Γ(k + 1 2 +1) 2 ( 2k +1 (2k +1)! 2 ) z2k (2k)! 2 2k+1 k! π ) 1 ( z 2 = ) 2k 1 2 2 cosz. (17.23) πz Sta d ogólne rozwia zanie równania Bessela z ν 2 = 1/4 wyraża sie poprzez funkcje elementarne sinz cosz w(z) = c 1 + c 2. (17.24) z z 17.2 Inne funkcje Bessela Cze sto użyteczne sa funkcje skonstruowane z funkcji Bessela J ν i Y ν. Tak zwane funkcje Hankela pierwszego i drugiego rodzaju to H (1) ν (z) = J ν (z) + iy ν (z) (17.25) H (2) (z) = J ν (z) iy ν (z). (17.26) Ich postać asymptotyczna dla rzeczywistych x to [ ( 2 H ν (1,2) (x) = πx exp ±i x )] 2ν +1 π. (17.27) 4 Natomiast dla z mamy zachowanie osobliwe takie jak Y ν. 24

Zmodyfikowane lub hiperboliczne funkcje Bessela sa zdefiniowane jako I ν (z) = i ν J ν (iz) (17.28) K ν (z) = π 2 iν+1 H (1) ν (iz). (17.29) Sa one dwoma liniowo niezależnymi rozwia zaniami równania z 2 w + z w (z 2 +ν 2 )w =. (17.3) Ich zachowanie asymptotyczne dla rzeczywistych x to I ν (x) K ν (x) 1 2πx e x (17.31) π 2x e x. (17.32) Dla zespolonego z funkcja I ν jest regularna tak jak J ν, natomiast K ν jest osobliwa tak jak Y ν. 25

Wykład 18 Równanie hipergeometryczne Gaussa Równanie hipergeometryczne Gaussa z(z 1) d2 w dw + [(1+α+β)z γ] + αβ w = (18.1) dz2 dz ma trzy regularne punkty osobliwe w z =,1,. Łatwo pokazać bezpośrednim rachunkiem, że równanie Gaussa można zapisać w równoważnej postaci d (z d ) dz dz +γ 1 w = (z d )(z dz +α d ) dz +β w (18.2) Udowodnimy, że w obszarze z < 1 rozwia zanie wokół z = ma postać szeregu hipergeometrycznego: w(z) = n= (α) n (β) n (γ) n z n n! (18.3) gdzie symbol Pochhammera to (α) n = α(α +1)...(α +n 1) = Γ(α +n). (18.4) Γ(α) 26

Działaja c poniższymi operatorami różniczkowymi, otrzymujemy (z d dz +β ) w = (z d dz +α )(z d dz +β ) w = n= n= a także d (z d ) dz dz +γ 1 w = d ( dz = = = = n=1 n= n= n= n= (α) n (β) n (γ) n (α) n (β) n (γ) n (α) n (β) n (γ) n (α) n (β) n (γ) n (α) n+1 (β) n+1 (γ) n+1 (α) n (β) n (γ) n (α) n (β) n (γ) n (n+β) zn n! (n+α)(n+β) zn n!, (18.5) ) (n+γ 1) zn n! n(n+γ 1) zn 1 n! (n+γ) zn n! (α +n)(β +n) (n+γ) zn (γ +n) n! (n+α)(n+β) zn n!, (18.6) Porównuja c prawe strony równości (18.5) i (18.6) otrzymujemy równanie Gaussa w formie (18.2). W ogólności, jednym z rozwia zań szczególnych równania (18.1) jest funkcja hipergeometryczna w(z) = 2 F 1 (α, β, γ; z), (18.7) reprezentowana w obszarze z < 1 przez szereg hipergeometryczny (18.3). Wiele funkcji specjalnych można zapisać przy pomocy funkcji hipergeometrycznej z odpowiednimi wartościami parametrów α, β, γ. 18.1 Równanie konfluentne Gaussa Zamieńmy zmienna z = x/β w równaniu hipergeometrycznym Gaussa. Wtedy d dz = dx d dz dx = β d dx, d 2 d2 = β2 dz2 dx 2 27

i sta d równanie Gaussa przyjmuje postać β 2 x β ( ) x d 2 [ β 1 w dx 2 + β (1+α+β) x ] dw β γ + αβ w =. (18.8) dx Dziela c obie strony przez β, a naste pnie przechodza c do granicy β, dostajemy x d2 w dw + (x γ) + αw =. (18.9) dx2 dx Kłada c na powrót x = z otrzymujemy konfluentne równanie Gaussa z d2 w dw + (γ z) αw = (18.1) dz2 dz W rezultacie tej procedury dwa regularne punkty osobliwe (RPO) równania Gaussa zlewaja sie w jeden, 1, tworza c nieregularny punkt osobliwy (NPO) równania konfluentnego w z =. Punkt z = pozostaje RPO tego równania. Równanie konfluentne można zapisać w równoważnej postaci d (z d ) dz dz +γ 1 w = (z d ) dz +α w (18.11) Podstawiaja c w równaniu (18.3) wyrażenie z = x/β, dostajemy w(x) = n= (α) n (β) n (γ) n β n x n n! = n= (α) n (γ) n ( 1+ 1 ) (... β 1+ n 1 β ) x n n!. Przechodza c do granicy β oraz kłada c x = z, otrzymujemy poszukiwane rozwia zanie równania (18.1) w(z) = n= (α) n z n (γ) n n! (18.12) Reprezentuje on w obszarze z < 1 konfluentna funkcje hipergeometryczna w(x) = 1 F 1 (α, γ; x). (18.13) Wiele funkcji specjalnych można wyrazić przy pomocy funkcji konfluentnej. 28

Wykład 19 Równanie Legendre a Rozważmy równanie Legendre a dla dowolnej wartości parametru µ C (1 z 2 ) d2 w dw 2z + µ(µ+1)w = (19.1) dz2 dz Ma ono trzy regularne punkty osobliwe w z = ±1,. Można je zatem sprowadzić do równania hipergeometrycznego Gaussa y(y 1) d2 w dw + [(1+α+β)y γ] + αβ w =, (19.2) dy2 dy wykonaja c transformacje y = 1 2 (1 z), (19.3) przeprowadzaja ca punkty z = ±1 w punkty osobliwe y =,1 równania hipergeometrycznego. Otrzymujemy wtedy oraz d dz = d dy dy dz = 1 2 d dy, d 2 dz 2 = 1 4 dy 2 (1 z 2 ) = 4y(1 y), z = 1 2y. Po podstawieniu do (19.1) otrzymujemy równanie hipergeometryczne y(y 1) d2 w dw + (2y 1) µ(µ+1)w = (19.4) dy2 dy d 2 29

z parametrami spełniaja cymi zwia zki γ = 1, α +β = µ, αβ = µ(µ+1). (19.5) Dwa ostatnie równania prowadza do α = µ oraz β = µ+1. Jedno z rozwia zań równania hipergeometrycznego (19.2) jest funkcja hipergeometryczna 2F 1 (α, β, γ ; y), która w przypadku równania (19.4) przyjmuje postać w(y) = 2 F 1 ( µ, µ+1, 1; y). (19.6) Dla y < 1 jest ona reprezentowana przez szereg hipergeometryczny 2F 1 ( µ, µ+1, 1; y) = gdzie symbol Pochhammera n= ( µ) n (µ+1) n y n (1) n n!, (19.7) ( µ) n = ( µ)( µ+1)...( µ+n 1) (19.8) i podobnie dla pozostałych wielkości. Zauważmy przy tym, że (1) n = n!. (19.9) Podstawiaja c relacje (19.3) do (19.7), otrzymamy w obszarze z 1 < 2 rozwia zanie rówanie Legendre a w postaci w(z) = n= ( µ) n (µ+1) n (n!) 2 ( ) 1 z n. (19.1) 2 19.1 Wielomiany Legendre a Równanie Legendre a pojawia sie w fizyce w problemach o symetrii sferycznej, opisywanych równaniami różniczkowymi z operatorem Laplace a, gdy zmienna z = cos θ. Wtedy szereg (19.1) powinien być zbieżny na granicy obszaru zbieżności dla z = 1 (θ = π). Tak nie jest i jedynym rozwia zaniem problemu jest założenie, że dopuszczalne sa tylko całkowite wartości µ: µ = l =,1,2,... (19.11) Wtedy dla wszystkich n (l +1) zachodzi dla ( µ) n we wzorze (19.1) ( l) n = ( l)( l +1)...( l +l)...( l +n 1) = (19.12) 3

i nieskończony szereg (19.1) staje sie wielomianem Legendre a stopnia l: P l (z) = l n= Kilka pierwszych wielomianów to P (z) = 1 P 1 (z) = z W ogólności słuszna jest własność ( l) n (l +1) n (n!) 2 P 2 (z) = 1 2 (3z2 1) ( ) 1 z n (19.13) 2 P 3 (z) = 1 2 (5z3 3z). (19.14) P l ( z) = ( 1) l P l (z). (19.15) Parzystość wielomianów jest wie c określona przez parzystość l. Ograniczaja c argument do liczb rzeczywistych z przedziału 1 x 1, otrzymujemy warunek ortogonalności dla wielomianów Legendre a 1 P l (x)p l (x)dx = dla l l. (19.16) 1 Ponadto sa one unormowane tak, że 1 Pl 2 (x)dx = 2 2l +1. (19.17) 1 19.2 Stowarzyszone wielomiany Legendre a Zdefiniujmy na koniec stowarzyszone wielomiany Legendre a gdzie l =,1,... oraz m =,1,...l. P (m) l (z) = (1 z 2 m/2 dm ) dz m P l(z) (19.18) Sa one rozwia zaniem stowarzyszonego równania Legendre a [ ] (1 z 2 )w 2z w + l(l +1) m2 1 z 2 w =. (19.19) Pojawia sie ono w opisie kwantowego kre tu orbitalnego dla orbitalnej liczby kwantowej l oraz magnetycznej liczby kwantowej m. 31

Wykład 2 Teoria Sturma Liouville a Rozważmy równanie Legendre a (19.1) dla rzeczywistych z = x [ 1,1] oraz całkowitych dodatnich wartości µ = l. Można je wtedy zapisać w postaci równania własnego { (1 x 2 ) d2 dx 2 2x d dx } P l (x) = l(l +1)P l (x). (2.1) Liczba λ l = l(l +1) jest wartościa własna operatora różniczkowego w równaniu Legendre a, natomiast P l (x) jest funkcja własna odwpwiadaja ca wartości własnej λ l. 2.1 Problem własny W ogólności równanie własne ma postać gdzie ˆLf λ (x) = λf λ (x), (2.2) ˆL = α(x) d2 dx 2 + β(x) d + γ(x), α(x) (2.3) dx jest operatorem różniczkowym działaja ceym na funkcje zespolone f(x) o argumencie rzeczywistym x [a, b]. Funkcja α(x) może być równa zeru tylko na końcach tego przedziału. ˆL jest operatorem liniowym, tzn. dla dowolnych funkcji f,g oraz liczb a,b C zachodzi ˆL{af(x)+bg(x)} = a ˆLf(x) + b ˆLg(x). (2.4) 32

Zagadnienie Sturma Liouville a polega na rozwia zaniu równania własnego (2.2) dla operatora ˆL spełniaja cego warunek samosprze żoności (dyskutowany w naste pnym rozdziale). Liczba λ nazywa sie wartościa własna, natomiast f λ to funkcja własna do wartości własnej λ. Zbiór wszystkich wartości własnych nazywa sie widmem operatora ˆL. Operator (2.3) można zapisać w innej postaci mnożac go przez funkcje w(x) spełniaja ca równanie Wtedy zachodzi gdzie funkcje [w(x)α(x)] = w(x)β(x). (2.5) wα d2 dx 2 +[wα] d dx +wγ = d dx ( p(x) dg ) +q(x), (2.6) dx p(x) = w(x)α(x), q(x) = w(x)γ(x). (2.7) Równanie własne (2.2) przyjmuje wiec równoważna postać { ( d p(x) d ) } +q(x) f(x) = λw(x)f(x) (2.8) dx dx Funkcje w(x) można znaleźć dziela c obie strony równania (2.5) przez w(x)α(x). W wyniku otrzymujemy rówanie Sta d zawsze nieujemne rozwia zanie d β(x) ln(w(x)α(x)) = dx α(x). (2.9) w(x) = 1 { x } β(y) α(x) exp α(y) dy. (2.1) Przykład Dla operatora w równaniu Legendre a (2.1) funkcja w(x) = 1, gdyż α (x) = (1 x 2 ) = 2x = β(x). Nie ma wie c konieczności szukania w i operator ˆL w tym przypadku to ˆL = d ( (1 x 2 ) d ). (2.11) dx dx 33

2.2 Iloczyn skalarny Funkcja w(x), nazywana waga, służy do określenia iloczynu skalarnego w przestrzeni funkcji, na które działa operator ˆL f g = b Iloczyn skalarny ma naste puja ce własności a f (x)g(x)w(x)dx (2.12) f g = g f (2.13) f λg = λ f g, λ C (2.14) f g 1 +g 2 = f g 1 + f g 2 (2.15) f f, (2.16) przy czym f f = <=> f. (2.17) Drugi i trzeci warunek wyraża własność liniowości iloczynu skalarnego wzgle - dem drugiego argumentu. Z własności (2.13) wynika warunek antyliniowości dla pierwszego argumentu. λf g = λ f g f 1 +f 2 g = f 1 g + f 2 g (2.18) Z własności (2.13) wynika także to, że f f jest liczba rzeczywista, co umożliwia nałożenie warunku (2.16). Wprowadźmy na koniec naste puja ca definicje. Dwie niezerowe funkcje sa ortogonalne jeśli f 1 f 2 =. (2.19) 2.3 Operatory samosprzȩżone Warunek samosprze żoności lub hermitowskości operator liniowego jest określony wzgle dem iloczynu skalarnego w przestrzeni, w której on działa. 34

Definicja Operator liniowy ˆL jest samosprze żony jeżeli dla dowolnych funkcji f i g z przestrzeni, w której dziaa la L, zachodzi f ˆLg = ˆLf g (2.2) Znajdziemy warunek jaki musi spełniać operator różniczkowy (2.3) by był on samosprze żony. Rozważmy b f ˆLg = f (x)w(x) {α(x) d2 dx 2 +β(x) d } dx +γ(x) g(x) dx = a b a { ( d f (x) dx p(x) dg dx ) } +q(x)g(x) dx. W ostatniej linijce wykorzystaliśmy wzór (2.6). Całkuja c dwukrotnie przez cze ści, dostajemy f ˆLg [ = p(x) f (x) dg dx df ] b dx g(x) + b { d a dx Wyrażenie w drugiej linijce to słuszny jest naste puja cy warunek ( p(x) df dx a ) +q(x)f(x)} g(x)dx. ˆLf g. Tak wie c ˆL jest samosprze żony, gdy [ p(x) f (x) dg dx df ] b dx g(x) = (2.21) Zauważmy, że warunek ten nakłada ograniczenie zarówno na operator ˆL (poprzez funkcje p) jaki i na przestrzeń funkcji, w której on działa. Przykład Operator (2.11) jest samosprze żony wzgle dem iloczynu skalarnego f g = 1 1 a f (x)g(x)dx, (2.22) określonego dla funkcji posiadaja cych skończona wartość w x = ±1. Funkcja p(x) = 1 x 2 znika w x = ±1 i warunek (2.21) jest spełniony. 35

2.4 Własności operatorów samosprzȩżonych Operatory samosprze żone pełnia bardzo ważna role w mechanice kwantowej, gdyż słuszne sa naste puja ce twierdzenia. Twierdzenie Wartości własne operatorów samosprze żonych sa rzeczywiste. Udowodnimy to korzystaja c z równania własnego: ˆLf λ = λf λ. Wtedy f λ ˆLf λ = λ f λ f λ = ˆLfλ f λ = λ f λ f λ, gdzie skorzystaliśmy z samosprze żoności oraz własności iloczynu skalarnego. Ponieważ f λ f λ >, sta d λ = λ jest liczba rzeczywista. Twierdzenie Funkcje własne operatorów samosprze żonych do różnych wartości własnych sa ortogonalne. Aby udowodnić to twierdzenie, rozważmy dwie funkcje własne f λ1,f λ2 odpowiadaja ce różnym wartościom własnym: f λ1 ˆLf λ2 = λ 2 f λ1 f λ2 = ˆLfλ1 f λ2 = λ 1 f λ1 f λ2. Ponieważ λ 1 λ 2 to f λ1 f λ2 = i funkcje własne sa ortogonalne. Twierdzenia to wyjaśnia dlaczego wartości własne operatora w równaniu Legendre a sa rzeczywiste, a wielomiany Legendre a, sa ortogonalne. 2.5 Zupełność funkcji własnych Zbiór funkcji własnych operatorów samosprze żonych tworzy układ zupełny. Oznacza to, że dowolna funkcje zespolona f(x), całkowalna z kwadratem b f f = f(x) 2 w(x)dx <, (2.23) a 36

regularne p(x) > w(x) > osobliwe p(x) w(x) okresowe p(a) = p(b) w(x) > Tablica 2.1: Rodzaje zagadnień Sturma-Liouville a. Liczby a i b to granice całkowania w iloczynie skalarnym (2.12). można zapisać przy pomocy funkcji własnych. W przypadku, gdy istnieja tylko dyskretne wartości własne {λ n } n=1, f(x) = a n f n (x), (2.24) n=1 gdzie a n C to współczynniki rozwinie cia. Szereg po prawej stronie jest zbieżny do f(x) w całym przedziale [a,b] w sensie wartości średniej b lim N a N 2 f(x) a n f n (x) w(x)dx =. (2.25) n=1 Pozostaje odpowiedzieć na pytanie kiedy spektrum wartości własnych w zagadnieniu Sturma-Liouville a jest tylko dyskretne. Jest to zwia zane z podziałem zagadnień Sturma-Liouville a określonym w powyższej tabelce. Dla regularnych zagadnień Sturma Liouville a istnieja tylko dyskretne wartości własnych. Sa one niezdegenerowane co oznacza, że każdej wartości własnej odpowiada tylko jedna funkcja własna (z dokładknokścia do przemnożenia przez stała ). Szereg (2.24) jest wtedy zbieżny punktowo do f(x) w każdym punkcie cia głości funkcji lub do średniej w każdym punkcie niecia głości. 1 2 [f(x+) + f(x )] (2.26) Zagadnienia osobliwe nie musza mieć tylko dyskretnych wartości własnych. W ogólności ich zbiór ich wartości własnych, nazywany widmem, może być dyskretny, cia gły lub mieszany. Funkcje własne do dyskretnych wartości własnych moga, ale nie musza tworzyć układu zupełnego. Podobnie dla zadania okresowego. 37

Wykład 21 Wielomiany ortogonalne 21.1 Konstrukcja wielomianów ortogonalnych Naszym celem jest rozwia zanie równania własnego dla samosprze żonych operatorów (2.3), {α(x) d2 dx 2 + β(x) d dx + γ(x) } W n (x) = λ n W n (x), (21.1) w klasie funkcji be da cych wielomianami rzeczywistymi stopnia n W n (x) = n w k x k. (21.2) k= W wyniku otrzymamy zbiór wielomianów ortogonalnych, numerowanych stopniem wielomianu n =,1,2,... i tworza cych w wie kszości przypadków układ zupełny, przy pomocy którego można rozwijać funkcje w szereg. Aby obie strony równania (21.1) były wielomianem stopnia n, funkcja α(x) musi być co najwyżej wielomianem drugiego stopnia, β(x) wielomianem pierwszego stopnia, a γ(x) stała α(x) = α +α 1 x+α 2 x 2 β(x) = β +β 1 x γ(x) = γ. (21.3) 38

Bez straty ogólności możemy położyć γ =, gdyż współczynnik ten przesuwa tylko wartości własne: λ n λ n +γ. Oprócz tego możemy zawsze wykonać transformacje liniowa x = ax +b, (21.4) która pozwala w wygodny sposo ustalić dwa spośród pie ciu pozostałych współczynników. Można jeszcze ustalić jeden współczynnik, przeskalowuja c wielomian W n(x) = cw n (x). (21.5) Pozostajemy wie c z dwoma niezależnymi współczynnikami. Wykorzystuja c te uwagi skonstruujemy pełna klase wielomianów ortogonalnych wyznaczaja c funkcje (21.3) oraz wage w(x) tak, by operator L był samosprze żony. Wartości własne λ n otrzymujemy podstawiaja c (21.3) do (21.1): (α +α 1 x+α 2 x 2 )W n + (β +β 1 x)w n = λ n W n. (21.6) Podstawiaja c postać (21.2) rozwia zania, (α +α 1 x+α 2 x 2 )(n(n 1)w n x n 2 +...) + (β +β 1 x)(nw n x n 1 +...) = λ n (w n x n +...). (21.7) a naste pnie porównuja c współczynniki przy pote dze x n, znajdujemy λ n = n(n 1)α 2 + nβ 1 (21.8) Samosprze żoność operatora L oznacza, że waga jest dana wzorem (2.1): natomiast warunek (2.21) przyjmuje postać { x } β(y) w(x)α(x) = exp α(y) dy, (21.9) w(x)α(x) [ W n(x)w m(x) W n (x)w m (x) ] b a =. (21.1) Ponieważ nie nakładamy żadnych ograniczeń na przestrzeń wielomianów, warunek ten może być spełniony tylko dla w(a)α(a) = w(b)α(b) =. (21.11) 39

Jeśli a,b = ± to w(x)α(x) znika szybciej niz dowolna ujemna pote ga x. Tak wie c, funkcja β(x) nie może być równa zeru, gdyż wtedy z (21.9) wynika, że w(x)α(x) 1. Zachowamy wie c β(x) w ogólnej formie, natomiast rozważymy trzy przypadki, gdy funkcja α(x) jest 1. funkcja stała : α(x) = α 2. funkcja liniowa : α(x) = α +α 1 x 3. funkcja kwadratowa : α(x) = α +α 1 x+α 2 x 2 21.2 Wielomiany Hermite a Zakładamy, że α(x) jest stała. Oznacza to, że możemy przyja c, iż dwa istotne parametry to α 1 = α 2 =. Pozostałe trzy parametry α,β,β 1 można wybrać już dowolnie, korzystaja c z istnieja cej swobody parametryzacji. Zapiszmy { x } β +β 1 y w(x)α(x) = exp dy = exp α { β1 2α (x+β /β 1 ) 2 Wybieraja c α = 1 oraz β = i β 1 = 2, dostajemy funkcje }. (21.12) α(x) = 1, β(x) = 2x (21.13) oraz wage zapewniaja ca spełnienie warunku samosprze żoności (21.1): w(x) = e x2 < x <. (21.14) Wadze tej odpowiadaja wielomiany Hermite a W n (x) = H n (x), (21.15) spełniaja ce warunek ortogonalności dla n m H n (x)h m (x)e x2 dx =. (21.16) Tworza one układ zupełny. Obliczaja c z warunku (21.8): λ n = 2n, otrzymujemy równanie Hermite a dla wielomianów H n : H n 2xH n + 2nH n = (21.17) 4

21.3 Wielomiany Lageurre a Zakładamy, że α(x) jest funkcja liniowa i wtedy jeden z istotnych parametrów to α 2 =. Wybieraja c α = oraz α 1 = 1 otrzymujemy α(x) = x. (21.18) Po ustaleniu trzech parametrów pozostaje wcia ż jeden istotny i jeden swobodny parametr. Rozważmy { x } β +β 1 y w(x)α(x) = exp dy = x β e β1x. y Wybieraja c β 1 = 1 oraz parametryzuja c β = s+1, dostajemy Sta d waga zapewniaja ca warunek smosprze żoności, β(x) = s+1 x. (21.19) w(x) = x s e x x, (21.2) dla stowarzyszonych wielomianów Lageurre a W n (x) = L (s) n (x). (21.21) Sa one ortogonalne dla s > 1, tzn. dla n m zachodzi L (s) n (x)l (s) m (x)e x x s dx =. (21.22) Wielomiany Lageurre a nie tworza układu zupełnego. Wyliczaja c λ n = n, otrzymujemy stowarzyszone równanie Lageurre a xl (s) n + (s+1 x)l (s) n + nl (s) n =. (21.23) Dla s = otrzymujemy zwykłe wielomiany Lageurre a L n (x) spełniaja ce powyższe równanie z s = xl n + (1 x)l n + nl n =. (21.24) Dla całkowitch s > sa one zwia zane ze stowarzyszonymi wielomianami Lageurre a wzorem L (s) n (x) = ( 1) s ds dx s L n+s(x). (21.25) 41

21.4 Wielomiany Jacobiego Zakładamy, że α(x) jest funkcja kwadratowa. Wykorzystuja c swobode parametryzacji kładziemy: a = 1, a 1 = oraz a 2 = 1. Wtedy α(x) = 1 x 2. (21.26) Dwa parametry funkcji β sa wie c istotnymi parametrami. Wprowadzaja c nowe oznaczenia β(x) = (q p) (p+q +2)x, (21.27) otrzymamy Wtedy β(x) (q p) (p+q +2)x = α(x) 1 x 2 = q +1 1+x p+1 1 x. { x } β(y) w(x)α(x) = exp α(y) dy = (1 x) p+1 (1+x) q+1 i sta d naste puja ca postać wagi dla p,q > 1: w(x) = (1 x) p (1+x) q, x 1. (21.28) Wadze tej odpowiadaja wielomiany Jacobiego spełniaja ce warunek ortogonalności dla n m 1 1 W n (x) = J (p,q) n (x), (21.29) J n (p,q) (x)j m (p,q) (x)(1 x) p+1 (1+x) q+1 dx =. (21.3) Wielomiany Jacobiego tworza układ zupełny. Wyliczaja c, λ n = n(n+p+q +1), stwierdzamy, że spełnione jest naste - puja ce równanie Jacobiego (1 x 2 )J (p,q) n + [q p (p+q +2)x]J (p,q) n + J (p,q) n n(n+p+q +1) = (21.31) Przedstawiona analiza wyczerpuje liste wszystkich możliwych wielomianów ortogonalnych w zagadnieniu Sturma Liouville a. Rozważmy jeszcze szczególne przypadki wielomianów Jacobiego. 42

21.4.1 Wielomiany Gegenbauera Dla p = q = (m 1/2) > 1 otrzymujemy wielomiany Gegenbauera spełniaja ce równanie G (m) n (x) = J n (m 1/2,m 1/2) (x). (21.32) (1 x 2 )G (m) n (2m+1)xG (m) n + n(n+2m)g (m) n = (21.33) Sa one ortogonalne wzge dem naste puja cego iloczynu skalarnego 1 G (m) n (x)g (m) k (x)(1 x 2 ) m 1/2 dx = C n δ nk. (21.34) 1 21.4.2 Wielomiany Czebyszewa Dla m = mamy wielomiany Czebyszewa spełniaja ce równanie T n (x) = J ( 1/2, 1/2) n (x). (21.35) oraz relacje ortogonalności 1 T n (x)t k (x) (1 x 2 )T n xt n + n 2 T n = (21.36) 1 21.4.3 Wielomiany Legendre a dx = C 1 x 2 nδ nk. (21.37) W końcu, dla p = q = dostajemy wielomiany Legendre a które spełniaja równanie P n (x) = J (,) n (x), (21.38) (1 x 2 )P n 2xP n + n(n+1)p n = (21.39) a także relacje ortogonalności 1 P n (x)p k (x)dx = C n δ nk. (21.4) 1 Współczynniki normalizacyjne C n sa podane w Tablicy 21.5. 43

Wielomiany W n α(x) β(x) λ n Hermite a H n 1 2x 2n Laguerre a L (s) n x s+1 x n Jacobiego J n (p,q) 1 x 2 (q p) (p+q +2)x n(n+p+q +1) Gegenbauera G (m) n 1 x 2 (2m+1)x n(n+2m) Czebyszewa T n 1 x 2 x n 2 Legendre a P n 1 x 2 2x n(n+1) Tablica 21.1: Funkcje i wartości własne w równaniu różniczkowym (21.41). Parametry wielomianów: p,q > 1, m > 1/2 i s > 1. 21.5 Podsumowanie Podsumowaniem sa dwie tabelki. W pierwszej z nich podajemy funkcje α(x) i β(x) oraz wartości własne λ n dla równania, które spełniaja wielomiany α(x)w n + β(x)w n +λ n W n =. (21.41) W drugiej tabelce specyfikujemy wage w(x), przedział całkowania [a,b] oraz współczynnik normalizacyjny C n w relacji ortogonalności W n W m = b a W n (x)w m (x)w(x)dx = C n δ nm. (21.42) Przedstawione zagadnienia Sturma Liouville a sa osobliwe i wielomiany nie musza tworzyć układów zupełnych. Tak jest dla wielomianów Lageurre a, natomiast reszta wielomianów tworzy układy zupełne. Wtedy dla dowolnej funkcji rzeczywistej f(x), określonej na przedziale [a, b] i całkowalnej z kwadratem, zachodzi f(x) = a n W n (x), (21.43) n= gdzie równość należy rozumieć w sensie wartości średniej b lim N a N 2 f(x) a n W n (x) w(x)dx =. (21.44) n= 44

Współczynniki rozwinie cia obliczymy wykorzystuja c warunek ortogonalności wielomianów a n = 1 C n Z warunku ortogonalności wynika równość Parsevala f(x)w n (x)w(x)dx. (21.45) b f 2 (x)w(x)dx = C n a 2 n. (21.46) a n= Wielomiany W n w(x) [a,b] C n Hermite a H n e x2 [, ] π 2 n n! Laguerre a n x s e x [, ] Γ(s+n+1)/n! Jacobiego J n (p,q) (1 x) p (1+x) q [ 1,1] Gegenbauera G (m) n ( 1 x 2 ) m 1/2 [ 1, 1] Czebyszewa T n ( 1 x 2 ) 1/2 [ 1,1] π/2(1+δ n ) Legendre a P n 1 [ 1,1] 2/(2n+1) L (s) 2 p+q+1 Γ(n+p+1)Γ(n+q+1) n!(2n+p+q+1)γ(n+p+q+1) 2 2m 1 Γ 2 (n+m+1/2) n!(n+m)γ(n+2m) Tablica 21.2: Funkcje wagowe, granice całkowanie oraz współczynnik normalizacyjny w iloczynie skalarnym (21.42). 45

Wykład 22 Szeregi Fouriera 22.1 Problem własny Zilustrujemy rozwia zywanie zagadnienia Sturma-Liouville a na przykładzie operatora ˆL = d 2 /dx 2, d 2 f(x) dx 2 = λf(x), (22.1) działaja cego w przestrzeni funkcji rzeczywistych, określonych dla x [ L,L] i spełniaja cych warunki brzegowe f( L) = f(l), f ( L) = f (L). (22.2) Dla tego operatora mamy p(x) = w(x) = 1. Sta d iloczyn skalarny jest zadany przez f g = L L f(x)g(x)dx. (22.3) Warunek samosprze żoności (13.39) jest spełniony na mocy warunków brzegowych [ f(x)g (x) f (x)g(x) ] L =. (22.4) Operator ˆL jest wie c samosprze żony L L f ˆLg = L f(x)g (x)dx = L L f (x)g(x)dx = ˆLf g (22.5) 46

i wartości własne λ w równaniu (22.1) sa rzeczywiste. Rozpatrzmy trzy przypadki. 1. Dla λ =, otrzymujemy jako rozwia zanie ogólne Warunki brzegowe (22.2) prowadza do równania f(x) = c 1 +c 2 x. (22.6) c 1 c 2 L = c 1 +c 2 L (22.7) przy dowolnym współczynniku c 1. Sta d c 2 = i naste puja ca funkcja własna f (x) = c 1 = 1. (22.8) 2. Dla λ = µ 2 >, rozwia zanie ogólne równania (22.1) to f(x) = c 1 e µx + c 2 e µx. (22.9) Nakładaja c warunki brzegowe otrzymamy układ równań który prowadzi do c 1 e µl + c 2 e µl = c 1 e µl + c 2 e µl c 1 e µl c 2 e µl = c 1 e µl c 2 e µl, (22.1) (e µl e µl )(c 1 c 2 ) = (e µl e µl )(c 1 +c 2 ) =. (22.11) Ponieważ µ możemy podzielić oba równania przez (e µl e µl ) otrzymuja c jako rozwia zanie c 1 = c 2 =. Nie istnieje wie c niezerowa funkcja własna dla dodatnich wartości własnych. 3. Pozostaje przypadek λ = µ 2 <. Rozwia zaniem ogólnym jest wtedy f(x) = c 1 sin(µx)+c 2 cos(µx). (22.12) Warunki brzegowe (22.2) prowadza do układu równań z którego wynika c 1 sin(µl)+c 2 cos(µl) = c 1 sin(µl)+c 2 cos(µl) c 1 cos(µl)+c 2 sin(µl) = c 1 cos(µl) c 2 sin(µl), (22.13) c 1 sin(µl) =, c 2 sin(µl) =. (22.14) 47

Sta d niezerowe rozwia zanie dla gdzie n 1 jest liczba całkowita. Otrzymaliśmy wie c wartości własne µ = nπ/l, (22.15) λ n = n2 π 2 L 2. (22.16) Odpowiadaja ce im liniowo niezależne funkcje własne to f n (x) = cos nπx L, f n(x) = sin nπx L. (22.17) Wartości własne dla n 1 sa dwukrotnie zdegenerowane. Powyższe wzory obejmuja przypadek n =, gdyż wtedy pierwsza funkcja wynosi f (x) = 1. Równanie (22.1) z wartościami własnymi (22.16), d 2 f n (x) dx 2 + n2 π 2 L 2 f n(x) =, (22.18) jest równaniem klasycznego oscylatora harmonicznego z cze stościami własnymi k n = n π L, (22.19) be da cymi całkowita wielokrotnościa cze stości podstawowej π/l. Funkcje własne (22.17) opisuja drgania harmoniczne z cze stościami własnymi. Okresem drgań jest 2L. Jeżeli x jest zmienna przestrzenna to 2L = λ jest długościa fali, natomiast gdy x jest czasem to 2L = T jest okresem drgań. 22.2 Ortogonalność funkcji własnych Na podstawie własności operatorów samosprze żonych, układ funkcji własnych jest ortogonalny dla n m f n f m = L L f n (x)f m (x)dx = C n δ nm (22.2) 48

Ortogonalne sa także funkcje własne do tej samej wartości własnej λ n, L L sin nπx L Wykorzystuja c wzory nπx cos L dx = 1 2 L L sin 2nπx dx =. (22.21) L sin 2 α = 1 2 (1 cosα), cos2 α = 1 2 (1+cosα) (22.22) łatwo pokazać, że współczynniki normalizacyjne C n dla n 1 to natomiast dla n = znajdujemy C n = f n f n = L, (22.23) L C = f f = dx = 2L. (22.24) L 22.3 Szereg Fouriera Rozważmy funkcje okresowa o okresie 2L: f(x+2l) = f(x). (22.25) Wtedy f( L) = f(l) i w przedziale [ L,L] możemy rozwina ć f(x) w szereg Fouriera funkcji własnych (22.17): f(x) = a 2 + n=1 ( a n cos nπx L + b n sin nπx ) L (22.26) Wzór ten można rozszerzyć na cała oś rzeczywista, na podstawie warunku okresowości. Całkuja c obie stronu równości (22.26) w granicach ±L znajdujemy wartość wspólczynnika a : a = 1 L L L f(x)dx. (22.27) 49

Wspólczynniki dla n 1 znajdziemy mnoża c obie strony przez cos(nπx/l) oraz sin(nπx/l), a naste pnie całkuja c w tych samych granicach i wykorzystuja c warunek ortogonalności (22.2). Sta d a n = 1 L b n = 1 L L L L L f(x) cos nπx dx (22.28) L f(x) sin nπx dx. (22.29) L Szereg Fouriera dostarcza rozkładu funkcji okresowej na sume drgań harmonicznych. Współczynniki szeregu sa wyrażone przez całki z funkcji f(x). Powoduje to, że istnienie zbieżnego szeregu Fouriera wymaga dużo słabszych założeń co do funkcji f(x) niż w przypadku szeregu Taylora, gdy ża damy by istniały pochodne dowolnie wysokiego rze du. Zauważmy, że dla funkcji parzystych, spełniaja cych f( x) = f(x), każdy współczynnik b n = i wtedy f(x) = a 2 + n=1 a n cos nπx L (22.3) ze współczynnikami L a = 2 f(x)dx, L a n = 2 L L f(x) cos nπx dx. (22.31) L Podobnie dla funkcji nieparzystych, dla których f( x) = f(x), wszystkie współczynniki a n = i wtedy f(x) = n=1 b n sin nπx L (22.32) ze współczynnikami b n = 2 L L f(x) sin nπx dx. (22.33) L 5

22.4 Zbieżność szeregu Fouriera Wyjaśnienia wymaga problem zbieżność szeregu Fouriera. Odpowiedzia jest Twierdzenie Dirichleta Jeżeli funkcja okresowa f(x+2l) = f(x) ma w przedziale [ L,L] skończona liczbe ekstremów i punktów niecia głości x i, w których istnieja granice jednostrone f(x i +) i f(x i ) oraz funkcja jest kawałkami gładka w przedziałach (x i,x i+1 ) to szereg Fouriera jest zbieżny punktowo do wartości f(x) w punktach cia głości, natomiast w punktach niecia głości jest zbieżny do średniej 1 2 [f(x i+)+f(x i )]. (22.34) Warunki Dirichleta sa wystarczaja ce, ale nie konieczne do zbieżności szeregu. Istnieja funkcje, które ich nie spełniaja, a mimo to szereg Fouriera jest zbieżny. Przy założeniach Dirichleta, szereg Fouriera można całkować wyraz po wyrazie, a w przedziałach otwartych (x i,x i+1 ) można go podobnie różniczkować. Własność ta jest konsekwencja tego, że szereg Fouriera jest jednostajnie zbieżny w każdym podprzedziale domknie tym przedziału (x i,x i+1 ), natomiast w przedziale [ L, L] jest zbieżny w sensie wartości średniej. 22.5 Przykłady rozwiniȩć 1. Znajdźmy rozwinie cie Fouriera funkcji okresowej f(x + 2) = f(x) zadana w przedziale ( 1, 1] wzorem f(x) = { 1 1 < x 1 < x 1 (22.35) Funkcja jest nieparzysta i niezerowe współczynniki to 1 b n = 2 sin(nπx)dx = 2 nπ siny dy nπ = 2 nπ ( cosy) nπ = 2 nπ (1 ( 1)n ) (22.36) 51

Pozostaja tylko nieparzyste współczynniki b 2k+1 = dla k =,1,2,... i sta d rozwinie cie f(x) = k= 4 (2k +1)π (22.37) 4 sin(2k +1)πx. (22.38) (2k +1)π Zgodnie ze wzorem (22.34) w punktach niecia głości funkcji w x =,±1 szereg Fouriera jest zbieżny do wartości Różniczkuja c szereg (22.38) otrzymamy 4 1 2 ( 1+1) =. (22.39) cos(2k +1)πx =. (22.4) k= Szereg ten jest zbieżny do zera w każdym podprzedziale nie zawieraja cym punktów niecia głości funkcji f(x). W punktach tych szereg jest rozbieżny. 2. Rozważmy funkcje okresowa f(x+2) = f(x) zadana w przedziale ( 1,1] wzorem f(x) = x 1 < x 1 (22.41) Funkcja jest nieparzysta wie c otrzymujemy rozwinie cie w szereg sinusów ze współczynnikami 1 b n = 2 x sin(nπx)dx = 2 nπ (nπ) 2 y siny dy Sta d dla x ( 1,1) zachodzi = 2 ( y cosy +siny) nπ (nπ) 2 = ( 1) n+1 2 nπ (22.42) x = ( 1) n+1 2 sin(nπx). (22.43) nπ n=1 W punktach niecia głości funkcji f(x) szereg Fouriera daje średnia z granic prawo- i lewostronnej równa zeru. Różniczkuja c szereg wyraz po wyrazie dla x ( 1,1) znajdujemy 2 ( 1) n+1 cos(nπx) = 1. (22.44) n=1 52

22.6 Równość Parsevala Rozważmy ogólnie rozwinie cie f(x) = a n f n (x), (22.45) n gdzie funkcje bazowe f n spełniaja warunek ortogonalności f n f m = C n δ nm, C n R. (22.46) Zbieżność szeregu w (22.45) do funkcji f(x) w sensie wartości średniej oznacza, że dla cia gu sum cze sciowych S N (x) = N a n f n (x), (22.47) n zachodzi Policzmy naste pnie lim f S N f S N =. (22.48) N f S N f S N = f f f S N S N f + S N S N. (22.49) Korzystaja c z własności ortogonalności (22.46), znajdujemy f S N = N C n a n 2 = S N f = S N S N. (22.5) n Sta d po podstawieniu do (22.49) otrzymujemy nierówność Bessela f f N C n a n 2. (22.51) n Warunek zbieżności w sensie wartości średniej (22.48) prowadzi w granicy N do równości Parsevala f f = C n a n 2 (22.52) n 53