Elementy Teorii Miary i Całki

Elementy Teorii Miary i Całki c Lech Drewnowski Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. dama Mickiewicza w Poznaniu Poznań 2008 http://main2.amu.edu.pl/ drewlech/dydaktyka.html http://main2.amu.edu.pl/ drewlech/tem211-ld2008.pdf

Spis treści Rozdział 1. PRELIMINRI 1 1.1. Stałe oznaczenia i konwencje 1. Stałe oznaczenia 1 B. Konwencje 1 1.2. Prosta rozszerzona R 1. Porządek w R 1 B. Przedziały w R i R 1 C. Topologia prostej rozszerzonej R 2 D. Działania w R 2 1.3. Odwzorowania i przeciwobrazy 3 1.4. Przestrzenie topologiczne i metryczne 4 Rozdział 2. PRZESTRZENIE MIERZLNE I ODWZOROWNI MIERZLNE 7 2.1. Zamkniętość rodzin zbiorów na różne działania 7. Podstawowe warunki zamkniętości 7 B. Najmniejsze rodziny spełniające dany układ warunków 8 2.2. Podstawowe typy rodzin zbiorów 9. Półpierścienie, (σ-) pierścienie i (σ-) algebry 9 B. Przykłady 10 C. Generowane (σ-) pierścienie i (σ-) algebry 11 D. Produkty półpierścieni 13 2.2-Z Zadania 13 2.3. σ-algebry zbiorów i przestrzenie mierzalne 15 2.3-Z Zadania 17 2.4. Odwzorowania mierzalne 17. Pojęcie odwzorowania mierzalnego i proste przykłady 17 B. Mierzalność odwzorowań złożonych 18 C. σ-algebry zapewniające mierzalność odwzorowania 18 2.4-Z Zadania 19 2.5. Podprzestrzenie przestrzeni mierzalnych 20 2.5-Z Zadania 22 2.6. Odwzorowania mierzalne na podzbiorach przestrzeni mierzalnych 22. Mierzalność odwzorowań na dowolnych zbiorach 22 B. Mierzalność odwzorowań na zbiorach mierzalnych 23 C. Mierzalność odwzorowań złożonych ogólniej 24 2.6-Z Zadania 24 2.7. σ-algebry generowane przez dowolne rodziny zbiorów 24. Przekroje σ-algebr i σ-algebry generowane 24 B. Jakie zbiory należą do generowanej σ-algebry? 25 C. σ-algebra generowana przez ślad danej rodziny na zbiorze 26 D. Mierzalność względem rodziny generatorów to pełna mierzalność 26 2.7-Z Zadania 26 iii

iv SPIS TREŚCI 2.8. Charakteryzacje σ-algebr generowanych przez pewne rodziny zbiorów 27. Przypadek rodzin zamkniętych na dopełnienia 27 B. Przypadek rodzin zamkniętych na przekroje 28 C. Przypadek algebr 29 2.9. Zbiory borelowskie w przestrzeniach topologicznych 29. σ-algebra zbiorów borelowskich 29 B. Zbiory borelowskie w podprzestrzeniach 30 C. Pewne charakteryzacje σ-algebry zbiorów borelowskich 31 2.9-Z Zadania 32 2.10. Zbiory borelowskie w R i R 32. Zbiory borelowskie w R 32 B. Zbiory borelowskie w R 33 C. Związek między B(R) i B(R) 34 2.10-Z Zadania 34 2.11. Odwzorowania mierzalne do przestrzeni topologicznych 35. Odwzorowania mierzalne i odwzorowania borelowskie 35 B. Mierzalność odwzorowań złożonych jeszcze raz 35 2.11-Z Zadania 36 2.12. Funkcje mierzalne o wartościach w R lub R (1) 36. Związki między funkcjami mierzalnymi do R i R 36 B. Złożenia z funkcjami borelowskimi 37 C. Charakteryzacje funkcji mierzalnych 37 2.12-Z Zadania 37 2.13. σ-algebry indukowane przez rodziny odwzorowań 38 2.13-Z Zadania 39 2.14. Produkty przestrzeni mierzalnych 39. σ-algebry produktowe i ich generatory 39 B. Mierzalność odwzorowań do produktów 40 2.14-Z Zadania 41 2.15. Zbiory borelowskie w produktach przestrzeni topologicznych 42 2.15-Z Zadania 42 2.16. Zbiory borelowskie w przestrzeni R k 43 2.16-Z Zadania 43 2.17. Funkcje mierzalne o wartościach w R lub R (2) 43. Mierzalność zbiorów określonych przez nierówności 44 B. Działania na funkcjach mierzalnych 45 2.17-Z Zadania 46 2.18. Ciągi funkcji mierzalnych 46. Mierzalność granicy ciągu odwzorowań mierzalnych 47 B. Mierzalność zbioru, gdzie ciąg odwzorowań jest zbieżny 47 C. Mierzalność funkcji granicznych w przypadku rzeczywistym 47 2.18-Z Zadania 49 2.19. Funkcje mierzalne jako granice ciągów funkcji prostych 49. Funkcje proste 49 B. Lemat o ciągu borelowskich funkcji prostych na R 50 C. Funkcje mierzalne są granicami ciągów funkcji prostych 50 2.19-Z Zadania 51 Rozdział 3. MIRY I PRZESTRZENIE Z MIRĄ 53 3.1. Podstawowe typy funkcji zbioru 53. Podstawowe określenia 53 B. Przykłady funkcji zbioru 54

SPIS TREŚCI v C. Własności funkcji skończenie addytywnych na (pół)pierścieniach 55 3.2. Półpierścienie z własnością () 56 3.3. Miary i ich podstawowe własności 58. Miary i przestrzenie z miarą 58 B. Proste przykłady miar 59 C. Podstawowe własności miar 60 D. Twierdzenie o równości miar 62 3.3-Z Zadania 62 3.4. Zbiory miary zero i zbiory pomijalne 64. σ-ideały zbiorów miary zero i zbiorów pomijalnych 64 B. Relacje między zbiorami zachodzące modulo zbiory miary zero 64 C. Ogólnie o warunkach zachodzących prawie wszędzie 65 3.4-Z Zadania 65 3.5. Miary zupełne i uzupełnianie miar 66. Miary zupełne 66 B. Zbiory prawie mierzalne 66 C. Uzupełnianie miar i przestrzeni z miarą 67 3.5-Z Zadania 68 3.6. Podprzestrzenie przestrzeni z miarą i obrazy miar 69 3.6-Z Zadania 69 3.7. Miary zewnętrzne i Twierdzenie Carathéodory ego 69. Miary zewnętrzne: Określenie i proste własności 69 B. Warunek Carathéodory ego 70 C. Twierdzenie Carathéodory ego 71 3.7-Z Zadania 72 3.8. Standardowa konstrukcja miar zewnętrznych 73. Miara zewnętrzna α wyznaczona przez dowolną funkcję α 73 B. Przybliżanie miary zewnętrznej α () od góry 74 C. Warunki zapewniające α -mierzalność zbioru 75 D. (σ-) skończoność miary Carathéodory ego wyciętej z α 75 E. Charakteryzacje zbiorów α -mierzalnych 76 F. Otoczki mierzalne dowolnych zbiorów 77 G. Równość dwóch miar zewnętrznych 78 3.8-Z Zadania 78 3.9. Rozszerzanie miar z półpierścieni na generowane σ-algebry 79. Rozszerzanie miar z półpierścieni na generowane pierścienie 79 B. Rozszerzanie miar z półpierścieni na generowane σ-algebry 80 Rozdział 4. MIR LEBESGUE 83 Wprowadzenie 83 Przedziały w przestrzeni R k i ich objętości 83 4.1. Przeliczalna addytywność k-wymiarowej objętości 84 4.2. Miara Lebesgue a w przestrzeni R k 86. Miara zewnętrzna Lebesgue a λ k 86 B. Zbiory mierzalne w sensie Lebesgue a i miara Lebesgue a λ k 88 C. Charakteryzacje zbiorów mierzalnych w sensie Lebesgue a 90 D. Regularność miary Lebesgue a 91 4.2-Z Zadania 91 4.3. Niezmienniczość miar Borela i Lebesgue a 93. Niezmienniczość względem translacji 93 B. Niezmienniczość względem izometrii 95 4.3-Z Zadania 96

vi SPIS TREŚCI 4.4. Istnienie zbiorów niemierzalnych w sensie Lebesgue a 97 4.5. Miary Lebesgue a-stieltjesa w R 98 Rozdział 5. ODWZOROWNI MIERZLNE N PRZESTRZENICH Z MIRĄ 101 5.1. Odwzorowania prawie mierzalne 101 5.1-Z Zadania 103 5.2. Twierdzenie Jegorowa 103 5.2-Z Zadania 105 5.3. Zbieżność według miary 105 5.3-Z Zadania 108 5.4. Funkcje mierzalne w sensie Lebesgue a. Twierdzenie Łuzina 108 5.4-Z Zadania 110 Rozdział 6. OGÓLN TEORI CŁKI 111. Ogólny zarys 111 B. Ważna uwaga 112 6.1. Całkowanie funkcji prostych 112. Różne zapisy funkcji prostych 112 B. Całka funkcji prostej 114 C. Funkcje proste całkowalne 114 D. Całka funkcji prostej danej w postaci rozłącznej 115 E. Podstawowe własności całki funkcji prostych 116 6.1-Z Zadania 118 6.2. Całkowanie nieujemnych funkcji mierzalnych 118. Całka nieujemnej funkcji mierzalnej 118 B. Nierówność Czebyszewa 119 C. Elementarne własności nieujemnej funkcji całkowalnej 119 D. Równości i nierówności dla całek 119 E. Liniowość całki 121 F. Całkowanie granicy ciągu nieujemnych funkcji mierzalnych 122 G. Całka nieoznaczona Całka jako miara 124 6.2-Z Zadania 126 6.3. Całkowanie dowolnych funkcji mierzalnych 127. Całka funkcji mierzalnej 127 B. Istnienie całki na podzbiorach 128 C. Elementarne własności funkcji całkowalnych 128 D. Równości i nierówności dla całek 129 E. Gęstość funkcji prostych całkowalnych w zbiorze funkcji całkowalnych 130 F. Całka nieoznaczona 131 G. Całkowanie funkcji określonych prawie wszędzie 132 H. ddytywność całki 133 I. Liniowość całki na przestrzeni funkcji całkowalnych 134 J. Całkowanie granicy ciągu funkcji mierzalnych 134 K. Całkowanie funkcji mierzalnych względem pod-σ-algebry 137 L. Całkowanie względem miary będącej całką nieoznaczoną 137 M. Całkowanie względem miary będącej obrazem innej miary 137 6.3-Z Zadania 138 6.4. Całka Lebesgue a 138 6.5. Całka Riemanna a całka Lebesgue a 140

SPIS TREŚCI vii Rozdział 7. PRODUKTOWNIE MIR I CŁKOWNIE N PRODUKTCH 143. Podstawowe założenia i oznaczenia 143 B. Cel i problemy z nim związane 143 7.1. lgebra produktowa 144 7.1-Z Zadania 145 7.2. Cięcia zbiorów mierzalnych i funkcji mierzalnych w produktach 145 7.2-Z Zadania 146 7.3. Mierzalność funkcji x ν(c x ) i y µ(c y ) 147 7.4. Produkt miar 148 7.4-Z Zadania 149 7.5. Całkowanie na produktach. Twierdzenia Tonelliego i Fubiniego 149. Całkowanie funkcji nieujemnych: Twierdzenie Tonelliego 149 B. Całkowanie funkcji dowolnych: Twierdzenie Fubiniego 151 7.5-Z Zadania 152 7.6. Uzupełnione produkty miar 152. Uzupełnianie miar produktowych 152 B. Produkt miar Lebesgue a 153 C. Zbiory miary zero w produktach uzupełnionych 154 D. Funkcje mierzalne na produktach uzupełnionych 154 7.6-Z Zadania 154 7.7. Całkowanie na produktach uzupełnionych 155 7.7-Z Zadania 155 Rozdział 8. RÓŻNICZKOWNIE 157 8.1. Twierdzenie Vitaliego 157 8.2. Różniczkowanie funkcji monotonicznych 158 8.3. Całka pochodnej funkcji niemalejącej 160 8.4. Różniczkowanie całki nieoznaczonej Lebesgue a 161 Rozdział 9. TWIERDZENIE RDON-NIKODYM 163 Bibliografia 165

ROZDZIŁ 1 PRELIMINRI. Stałe oznaczenia. 1.1. Stałe oznaczenia i konwencje N = {1, 2, 3,... } zbiór liczb naturalnych (liczb całkowitych dodatnich) Z zbiór liczb całkowitych Z + = N 0 = N {0} = {0, 1, 2,... } zbiór nieujemnych liczb całkowitych Q zbiór (rzeczywistych) liczb wymiernych R zbiór (lub ciało) liczb rzeczywistych R + = {α R : α 0} = [0, ) zbiór nieujemnych liczb rzeczywistych R = [, ] = R {, } rozszerzony zbiór liczb rzeczywistych (prosta rozszerzona) C zbiór (lub ciało) liczb zespolonych P() = rodzina (zbiór) wszystkich podzbiorów zbioru = moc (liczba kardynalna) zbioru B. Konwencje. Zbiór przeliczalny = zbiór skończony lub równoliczny z N Zbiór przeliczalny nieskończony = zbiór równoliczny z N. Ciąg = ciąg nieskończony; milcząco przyjmujemy, że użyty indeks, np. w zapisie ( n ), przebiega N. Rodzina zbiorów = zbiór zbiorów, tj. zbiór, którego elementami są zbiory. Ciąg (rodzina) rozłącznych zbiorów = ciąg (rodzina) parami rozłącznych zbiorów. Ciąg rosnący (liczb, zbiorów, funkcji) = ciąg niemalejący. Ciąg malejący = ciąg nierosnący. Ciąg ściśle rosnący (malejący) = ciąg rosnący (malejący), w którym każde dwa kolejne wyrazy są różne. Funkcja = odwzorowanie o wartościach liczbowych (z R, R lub C). Rodzina indeksowana (a i ) i I (a i : i I) pewnych obiektów (liczb, zbiorów, etc.) to odwzorowanie, które każdemu elementowi (indeksowi) i I przyporządkowuje obiekt a i. (Nie wyklucza się, że dla wielu par różnych indeksów i, j I może być a i = a j.) Należy taką rodzinę odróżniać od zbioru jej elementów {a i : i I}. Jeżeli n (n N) i są zbiorami, to zapis n [ n ] oznacza, że ciąg zbiorów ( n ) jest rosnący [malejący] i jego sumą [przekrojem] jest zbiór. 1.2. Prosta rozszerzona R. Porządek w R. Dla α, β R relacja α < β rozumiana jest w zwykły sposób. Przyjmujemy ponadto, że < i że < γ < dla każdego γ R. Dla dowolnych α, β R zapis α β oznacza oczywiście, że α < β lub α = β. Każdy niepusty zbiór R ma w R kres dolny inf i kres górny sup. B. Przedziały w R i R. Przez przedział w R rozumiemy dowolny zbiór I R taki, że jeśli x, y I, z R i x z y, to z I. Jeżeli I jest niepustym przedziałem w R, to 1

2 1. PRELIMINRI liczby a := inf I i b := sup I (a, b R) nazywamy jego końcami, odpowiednio lewym i prawym. Nietrudno widzieć, że ogólna postać przedziału I o końcach a, b jest następująca: I = {z R : a < z < b} K, gdzie K {a, b}. Zatem możliwe typy takich przedziałów I są takie (używając tradycyjnych oznaczeń): (a, b), [a, b), (a, b], [a, b]. Jest oczywiste, że przekrój dowolnej rodziny przedziałów jest przedziałem. Przedziały w R określa się podobnie (w podanej powyżej definicji należy zastąpić z R przez z R); są to po prostu te spośród przedziałów w R, które zawierają się w R. C. Topologia prostej rozszerzonej R. Dla dowolnego punktu α R jego standardowe otoczenia to przedziały U(α, r) := (α r, α + r), gdy α R; U(, r) := [, r), gdy α = ; U(, r) := (r, ], gdy α =, gdzie r > 0. O zbiorze R mówimy, że jest otwarty, gdy zawiera pewne standardowe otoczenie każdego swojego punktu: α r > 0 : U(α, r). Określona w ten sposób rodzina zbiorów otwartych tworzy topologię prostej rozszerzonej R. Dalsze pojęcia pochodne, jak np. zbioru domkniętego, zwartego, itp., czy ciągu zbieżnego i jego granicy, wprowadza się w R tak jak w każdej innej przestrzeni topologicznej. Odnotujmy następujące fakty: R zawiera prostą rzeczywistą R jako podprzestrzeń otwartą i gęstą. Zatem zbiór R jest otwarty w R wtedy i tylko wtedy, gdy jest otwarty w R, a domknięciem R w R jest R. R jest metryzowalną przestrzenią zwartą, homeomorficzną z każdym przedziałem zwartym [a, b] R, gdzie a < b. (Przykładem homeomorfizmu R na przedział [ 1, 1] jest odwzorowanie h określone wzorami h(α) = α/(1 + α ) dla x R i h(± ) = ±1.) D. Działania w R. Wiadomo, że działania w R, traktowane jako funkcje dwóch zmiennych (α, β) α + β, (α, β) α β, (α, β) αβ, (α, β) α/β o wartościach w R, są ciągłe na swoich zbiorach określoności w R R, tzn. na zbiorze R R w przypadku dodawania, odejmowania i mnożenia, oraz na zbiorze {(α, β) R R : β 0} w przypadku mnożenia. Największymi podzbiorami produktu R R, na które te działania-funkcje można rozszerzyć z zachowaniem ciągłości do działań-funkcji o wartościach w R, są (odpowiednio) R R {(, ), (, )}, R R {(0, ± ), (±, 0)}, R R {(, ), (, )}, {(α, β) R R : β 0} {(±, ± )}. Te (jedyne!) ciągłe rozszerzenia działań otrzymuje się przyjmując, że

1.3. ODWZOROWNI I PRZECIWOBRZY 3 α + = + α :=, gdy α (, ] α + ( ) = ( ) + α :=, gdy α [, ) α β := α + ( β), gdy prawa strona ma sens α = α :=, gdy α (0, ] α = α :=, gdy α [, 0) α ( ) = ( ) α :=, gdy α (0, ] α ( ) = ( ) α := oo, gdy α [, 0) α := 0, ± gdy α (, ) ± β := 1 (± ), β gdy β (, ) i β 0. W innych przypadkach działania te nie są określone. Tak więc pozostają niezdefiniowane wyrażenia + ( ),, ( ) ( ), 0 (± ), (± )/(± ). Uwaga. W teorii miary i całki w pewnych sytuacjach celowe jest stosowanie umowy, że 0 (± ) := 0. Sumy w R mające więcej niż dwa składniki definiujemy przez indukcję, przyjmując, że dla n 2 i dowolnych α 1,..., α n, α n+1 R: n+1 i=1 ( n ) α i := α i + α n+1, o ile prawa strona jest określona (ma sens). i=1 Nietrudno widzieć, że suma n i=1 α i w R jest określona wtedy i tylko wtedy, gdy nie ma w niej pary składników będących nieskończonościami różnych znaków. Gdy ten warunek jest spełniony, to wartość tej sumy nie zależy od kolejności składników ani sposobu, w jaki się je pogrupuje. 1.3. Odwzorowania i przeciwobrazy Zebrane są tu pewne określenia, oznaczenia i własności związane z odwzorowaniami, często używane w dalszym ciągu. Jeżeli E, to odwzorowanie inkluzji j E, : E określamy wzorem j E, (x) = x dla x E. Zawężeniem lub obcięciem odwzorowania f : Y do zbioru E nazywamy odwzorowanie f E : E Y (czasem oznaczane też f E ) określone wzorem (f E)(x) = f(x) dla x E. Zatem f E = f j E,. Dla danego odwzorowania f : Y : Obrazem zbioru przez odwzorowanie (lub: w odwzorowaniu) f nazywamy zbiór f() := {f(x) : x } = {y Y : x : y = f(x)} Y. Przeciwobrazem zbioru B Y przez odwzorowanie (lub: w odwzorowaniu) f nazywamy zbiór f 1 (B) := {x : f(x) B}. Przeciwobrazem rodziny B podzbiorów zbioru Y przez odwzorowanie (lub: w odwzorowaniu) f nazywamy rodzinę f 1 [B] utworzoną z przeciwobrazów wszystkich zbiorów należących do B: f 1 [B] := {f 1 (B) : B B}. Podstawowe własności operacji przeciwobrazu są następujące:

4 1. PRELIMINRI 1. Jeżeli f : Y, to dla dowolnych zbiorów i B, C Y : f() B f 1 (B), B C = f 1 (B) f 1 (C), f 1 (Y ) =, f 1 (B C) = f 1 (B) f 1 (C), f 1 (Y B) = f 1 (B). Ponadto dla dowolnej rodziny (B i ) i I podzbiorów zbioru Y : ( ) f 1 B i = ( ) f 1 (B i ), f 1 B i = f 1 (B i ). i I i I i I i I 2. Jeżeli f : Y i E, to (f E) 1 (B) = E f 1 (B) dla każdego B Y. 3. Jeżeli f : Y i f() F Y, to 4. Jeżeli E, to f 1 (B) = f 1 (F B) dla każdego B Y. je, 1 (B) = E dla każdego. 5. Jeżeli f : Y, a g : Y Z, to (g f) 1 (C) = f 1( g 1 (C) ) dla każdego C Z. 1.4. Przestrzenie topologiczne i metryczne Zebrane są tu pewne podstawowe określenia i fakty z topologii ogólnej, oraz kilka nieco bardziej specjalnych twierdzeń dotyczących przestrzeni metryzowalnych, które będą użyteczne w dalszym ciągu. W żadnym wypadku nie jest to jednak przegląd tego, co z topologii może nam być potrzebne w różnych miejscach wykładu. Odwzorowanie f przestrzeni topologicznej w przestrzeń topologiczną Y jest ciągłe wtedy i tylko wtedy, gdy przeciwobraz przez f dowolnego zbioru otwartego [domkniętego] w Y jest zbiorem otwartym [domkniętym] w. Rodzinę U podzbiorów otwartych przestrzeni topologicznej nazywamy bazą tej przestrzeni (lub bazą jej topologii), jeżeli każdy zbiór otwarty w jest sumą pewnej ilości zbiorów z U. Jest to równoważne następującemu warunkowi: Dla dowolnego zbioru otwartego G i dowolnego punktu x G istnieje zbiór U U taki, że x U G. Topologia indukowana w podzbiorze E przestrzeni topologicznej to najmniejsza topologia w E, przy której odwzorowanie inkluzji j E, : E jest ciągłe; tworzą ją wszystkie zbiory postaci G E, gdzie G jest dowolnym podzbiorem otwartym przestrzeni. Zbiór E rozważany z tą topologią nazywamy podprzestrzenią (topologiczną) przestrzeni. Produkt 1 n przestrzeni topologicznych 1,..., n to zbiór 1 n wyposażony w topologię produktową, tj. najmniejszą topologię taką, że ciągłe są wszystkie projekcje p i : 1 n i, gdzie p i (x 1,..., x n ) = x i (i = 1,..., n). Jeżeli w każdej z przestrzeni i wybrana jest jakaś jej baza U i (w szczególności może to być rodzina wszystkich zbiorów otwartych w i ), to rodzina zbiorów postaci U 1 U n, gdzie U i U i dla i = 1,..., n, jest bazą przestrzeni 1 n. Jeżeli, 1,..., n są przestrzeniami topologicznymi, to odwzorowanie f = (f 1,..., f n ) : 1 n jest ciągłe wtedy i tylko wtedy, gdy ciągłe są wszystkie odwzorowania składowe f i : i. O przestrzeni topologicznej mówimy, że ma własność Lindelöfa, gdy każda rodzina zbiorów otwartych w zawiera przeliczalną podrodzinę o tej samej sumie, co rodzina wyjściowa.

1.4. PRZESTRZENIE TOPOLOGICZNE I METRYCZNE 5 Przestrzeń topologiczną nazywamy ośrodkową, jeżeli istnieje w niej przeliczalny podzbiór gęsty D, czyli taki, którego domknięciem jest cała przestrzeń, co jest równoważne temu, by każdy niepusty zbiór otwarty w zawierał choć jeden punkt zbioru D. Jeżeli = (, d) jest przestrzenią metryczną, to dla kul otwartych i kul domkniętych w używamy oznaczeń, odpowiednio, K(x, r) i B(x, r). Podzbiór G przestrzeni metrycznej nazywamy otwartym, gdy dla każdego punktu x G istnieje liczba r > 0 taka, że K(x, r) G. Rodzina wszystkich tak zdefiniowanych zbiorów otwartych tworzy topologię przestrzeni metrycznej. Nazywa się ją też topologią wyznaczoną w przez metrykę d. W każdej przestrzeni metrycznej kule otwarte [domknięte] są zbiorami otwartymi [domkniętymi]. Ciąg (x n ) punktów przestrzeni topologicznej nazywamy zbieżnym do punktu x (nazywanego granicą tego ciągu) i piszemy x n x gdy n lub lim n x n = x, jeżeli każde otoczenie U punktu x zawiera prawie wszystkie wyrazy tego ciągu, tj. istnieje wskaźnik m (zależny od U) taki, że x n U dla każdego n m. W przypadku, gdy jest przestrzenią metryczną, to otoczeniowe określenie zbieżności i granicy równoważne jest metrycznemu : x n x lim n d(x n, x) = 0. O przestrzeni topologicznej mówimy, że jest metryzowalna, jeżeli jej topologia daje się wyznaczyć przez pewną metrykę d w. Podzbiór przestrzeni metryzowalnej jest w niej domknięty wtedy i tylko wtedy, gdy granica każdego ciągu (x n ) zbieżnego w należy do. Gdy mówimy, jak w poniższych twierdzeniach, o przestrzeni metryzowalnej, a nie metrycznej, to robimy tak dla podkreślenia faktu, że nie jest ważne, jaka konkretnie metryka mogłaby być użyta dla wyznaczenia topologii rozważanej przestrzeni (ale to, że taka metryka istnieje, jest istotne). 1.4.1. Twierdzenie. Metryzowalna przestrzeń topologiczna ma przeliczalną bazę wtedy i tylko wtedy, gdy jest ośrodkowa. Dowód. Załóżmy, że przestrzeń jest ośrodkowa i niech D będzie zbiorem przeliczalnym gęstym w. Niech d będzie metryką wyznaczającą topologię w. Pokażemy, że przeliczalna rodzina kul otwartych K := {K(z, n 1 ) : z D, n N} jest bazą przestrzeni. Istotnie, niech G będzie zbiorem otwartym w i niech x G. Wtedy K(x, r) G dla pewnego r > 0. Wybierzmy n N większe od 2/r. Z gęstości D w wynika istnienie z D takiego, że d(z, x) < n 1. Wówczas x K(z, n 1 ) K(x, r). Tak więc dla każdego x G istnieje kula K K taka, że x K G. Zatem K jest rzeczywiście bazą przestrzeni. Na odwrót, załóżmy, że ma przeliczalną bazę U. Z każdego zbioru U U wybierzmy jakiś punkt x U i niech D będzie zbiorem wszystkich tych punktów. Oczywiście, D jest zbiorem przeliczalnym. Ponadto, każdy niepusty zbiór otwarty w zawiera jakiś zbiór z bazy U i wobec tego zawiera co najmniej jeden punkt zbioru D. Zatem zbiór D jest gęsty w. 1.4.2. Twierdzenie. Każda przestrzeń topologiczna metryzowalna i ośrodkowa ma własność Lindelöfa. Dowód. Na mocy poprzedniego twierdzenia (1.4.1) przestrzeń ma przeliczalną bazą U. Weźmy dowolną rodzinę (G i : i I) zbiorów otwartych w i niech G będzie jej sumą. Dla każdego x G znajdujemy indeks i(x) I taki, że x G i(x) G, a następnie zbiór U x U taki, że x U x G i(x) (co jest możliwe, bo U jest bazą). Mamy x U x G dla każdego x G,

6 1. PRELIMINRI więc x G U x = G. Rodzina (U x : x G) zawiera się w U, zatem jest przeliczalna. Istnieje więc przeliczalny podzbiór C zbioru G taki, że {U x : x G} = {U x : x C}. Mamy teraz G = U x = U x G i(x) G x G x C i widzimy, że (G i(x) : x C) jest przeliczalną podrodziną wyjściowej rodziny o sumie równej G. 1.4.3. Twierdzenie. Niech = (, d) będzie dowolną przestrzenią metryczną. Wówczas: (a) Dla każdego niepustego zbioru otwartego G istnieje nieujemna funkcja ciągła ϕ : R taka, że G = {x : ϕ(x) > 0}. (b) Dla każdego zbioru otwartego G istnieje ciąg rosnący (G n ) zbiorów otwartych w taki, że G = G n i G n G n+1 dla n = 1, 2,... ; x C w konsekwencji G jest także sumą ciągu zbiorów domkniętych (G n ). Dowód. (a) Jeśli G =, to wymaganą funkcją jest ϕ 1 na. Zakładajmy więc dalej, że G. Rozważmy funkcję ϕ : R określoną wzorem ϕ(x) = d(x, G) = inf{d(x, z) : z G}. Spełnia ona warunek ϕ(x) ϕ(x ) d(x, x ) dla dowolnych x, x (uzasadnij to!), a wobec tego jest ciągła. Ponadto, ponieważ G jest zbiorem domkniętym, to ϕ(x) > 0 wtedy i tylko wtedy, gdy x G. (b) Możemy zakładać, że G. Niech ϕ będzie funkcją, której istnienie zapewnia nam udowodniona już część (a). Dla każdego n N przyjmijmy G n := {x : ϕ(x) > n 1 } = ϕ 1( (n 1, ) ). Zbiory G n są otwarte i G n G (tzn. tworzą ciąg rosnący o sumie G). Ponadto, G n {x : ϕ(x) n 1 } G n+1, a ponieważ środkowy zbiór jest domknięty, to G n G n+1.

ROZDZIŁ 2 PRZESTRZENIE MIERZLNE I ODWZOROWNI MIERZLNE 2.1. Zamkniętość rodzin zbiorów na różne działania Rodzina (lub: klasa) zbiorów to to samo co zbiór zbiorów, czyli zbiór, którego elementami są zbiory. Dla dowolnego zbioru będziemy przez P() oznaczać rodzinę wszystkich jego podzbiorów; w teorii mnogości nazywa się ją zwykle zbiorem potęgowym zbioru i oznacza 2. Rodziny podzbiorów zbioru są więc tym samym, co podzbiory zbioru potęgowego P(): P(). Każdą rodzinę zbiorów można traktować jako rodzinę podzbiorów pewnego zbioru, o którym w takim przypadku będziemy niekiedy mówić, że obejmuje rodzinę ; najmniejszym takim zbiorem jest oczywiście suma rodziny.. Podstawowe warunki zamkniętości. W teorii miary i całki ważne są przede wszystkim takie rodziny zbiorów, które są zamknięte na pewne działania mnogościowe, tzn. działania te, wykonane na zbiorach z, dają w wyniku zbiory należące do. Najważniejsze z takich warunków zamkniętości precyzuje poniższa definicja. 2.1.1. Definicja. O rodzinie zbiorów mówimy, że jest zamknięta na (skończone) sumy, jeżeli zawiera sumę B dowolnych dwóch zbiorów, B ; wtedy także suma dowolnego skończonego ciągu zbiorów z należy do ; (skończone) przekroje, jeżeli zawiera przekrój B dowolnych dwóch zbiorów, B ; wtedy także przekrój dowolnego skończonego ciągu zbiorów z należy do ; różnice, jeżeli zawiera różnicę B dowolnych dwóch zbiorów, B ; dopełnienia do zbioru obejmującego, jeżeli zawiera dopełnienie dowolnego zbioru ; przeliczalne sumy, jeżeli zawiera sumę n dowolnego ciągu ( n ) ; przeliczalne przekroje, jeżeli zawiera przekrój n dowolnego ciągu ( n ). Uwaga. Niekiedy rozważa się też bardziej specjalne warunki zamkniętości, jak np. zamkniętość na sumy rosnących ciągów zbiorów, zamkniętość na sumy rozłącznych ciągów zbiorów, zamkniętość na przekroje malejących ciągów zbiorów. Odnotujmy kilka prostych powiązań między tymi własnościami: 2.1.2. Tw. Niech będzie rodziną zbiorów. (a) Zamkniętość rodziny na przeliczalne sumy [przekroje] pociąga jej zamkniętość na skończone sumy [przekroje]. (b) Zamkniętość rodziny na różnice pociąga jej zamkniętość na przekroje. (c) Zamkniętość rodziny na przeliczalne sumy i różnice pociąga jej zamkniętość na przeliczalne przekroje. (d) Zamkniętość rodziny na sumy [przekroje] i dopełnienia do zbioru obejmującego pociąga jej zamkniętość na przekroje [sumy] i różnice. (e) Zamkniętość rodziny na przeliczalne sumy [przekroje] i dopełnienia do zbioru obejmującego pociąga jej zamkniętość na przeliczalne przekroje [sumy]. 7

8 2. PRZESTRZENIE MIERZLNE I ODWZOROWNI MIERZLNE Dowód. Te stwierdzenia wynikają bezpośrednio z podanych poniżej równości. (a) B = n i B = n, gdy 1 := i n := B dla n 2. (b) (c) B = ( B). n = 1 ( 1 n ). (d) B = ( ( ) ( B) ) i B = ( ( ) B ). B = ( ( ) ( B) ) i B = ( B). (e) n = ( n ), n = ( n ). B. Najmniejsze rodziny spełniające dany układ warunków. 2.1.3. Definicja. Dla dowolnej rodziny zbiorów definiuje się rodziny s, d, σ, δ oraz c następująco: s := rodzina wszystkich zbiorów będących sumami skończonych podrodzin rodziny ; zatem s wtedy i tylko wtedy, gdy jest sumą jakiegoś skończonego ciągu 1,..., n zbiorów z ; d := rodzina wszystkich zbiorów będących przekrojami skończonych podrodzin rodziny ; zatem d wtedy i tylko wtedy, gdy jest przekrojem jakiegoś skończonego ciągu 1,..., n zbiorów z ; σ := rodzina wszystkich zbiorów będących sumami przeliczalnych podrodzin rodziny ; zatem σ wtedy i tylko wtedy, gdy jest sumą jakiegoś ciągu ( n ) ; δ := rodzina wszystkich zbiorów będących przekrojami przeliczalnych podrodzin rodziny ; zatem σ wtedy i tylko wtedy, gdy jest przekrojem jakiegoś ciągu ( n ) ; c := { : } gdy ustalony jest zbiór obejmujący. 2.1.4. Uwaga. Jest oczywiste, że zamkniętość rodziny na sumy, przekroje, przeliczalne sumy, przeliczalne przekroje lub dopełnienia jest równoważna odpowiednio równościom = s, = d, = σ, = δ, = c. W ogólnym przypadku, jak łatwo widzieć, s, d, σ, δ i c to najmniejsze rodziny zbiorów zawierające rodzinę i zamknięte odpowiednio na sumy, przekroje, przeliczalne sumy, przeliczalne przekroje i dopełnienia. (Uogólnieniem tego faktu jest poniżej Wn. 2.1.6.) W szczególności więc s = ( s ) s σ = ( σ ) σ, d = ( d ) d δ = ( δ ) δ. Ponadto z praw de Morgana łatwo wynika, że oraz ( c ) c =, ( c ) s = ( d ) c, ( c ) d = ( s ) c, ( c ) σ = ( δ ) c, ( c ) δ = ( σ ) c. Operacje σ, δ i inne można powtarzać, dostając w ten sposób m.in. rodziny σ σδ := ( σ ) δ σδσ := ( σδ ) σ δ δσ := ( δ ) σ δσδ := ( δσ ) δ Poniżej przez klasę rodzin zbiorów rozumiemy zbiór, którego elementami są rodziny zbiorów. 2.1.5. Twierdzenie. Przekrój (czyli część wspólna) dowolnej niepustej klasy rodzin zbiorów, z których każda spełnia ten sam układ (U) warunków, wybranych spośród warunków zamkniętości wymienionych w Def. 2.1.1, jest rodziną zbiorów także spełniającą ten układ warunków.

2.2. PODSTWOWE TYPY RODZIN ZBIORÓW 9 Dowód. Niech będzie niepustą klasą rodzin zbiorów i niech 0 oznacza przekrój klasy. Zatem, jeśli jest zbiorem, to 0 :. Należy uzasadnić, że rodzina 0 spełnia każdy z warunków zamkniętości występujących w układzie (U). Dla przykładu przyjmijmy, że jednym z tych warunków jest zamkniętość na przeliczalne sumy. Niech więc ( n ) będzie ciągiem zbiorów z rodziny 0 i niech oznacza jego sumę. Mamy pokazać, że 0. W myśl określenia 0, każda z rodzin zawiera nasz ciąg ( n ), a ponieważ jest zamknięta na przeliczalne sumy, to zawiera też jego sumę. Wobec tego 0. 2.1.6. Wniosek. Dla dowolnej rodziny zbiorów C i dowolnego układu (U) warunków, wybranych spośród warunków zamkniętości wymienionych w Def. 2.1.1, istnieje najmniejsza rodzina zbiorów B zawierająca rodzinę C i spełniająca ten układ warunków. Dowód. Niech oznacza sumę zbiorów tworzących rodzinę C. Klasa wszystkich tych rodzin P(), które zawierają rodzinę C i spełniają układ warunków (U), jest niepusta, bo należy do niej rodzina P(). Na mocy poprzedniego twierdzenia, rodzina B, będąca przekrojem rodzin tworzących klasę, również spełnia układ warunków (U), a ponadto zawiera oczywiście rodzinę C. Jeśli jakaś rodzina zbiorów B spełnia (U) i zawiera C, to własności te ma także rodzina B B (tu ponownie korzystamy z poprzedniego twierdzenia). le B B P(), więc B B i na mocy określenia rodziny B mamy B B B, a stąd B B. To pokazuje, że B jest najmniejszą rodziną zbiorów spełniającą (U) i zawierającą C. 2.2. Podstawowe typy rodzin zbiorów W poniższych definicjach wprowadzamy podstawowe typy rodzin zbiorów, z jakimi często ma się do czynienia w teorii miary i całki. Zauważmy, że wszystkie one za wyjątkiem półpierścieni są wyróżnione poprzez nałożenie pewnych kombinacji warunków zamkniętości z Def. 2.1.1.. Półpierścienie, (σ-) pierścienie i (σ-) algebry. 2.2.1. Definicje. Niepustą rodzinę zbiorów nazywa się: Półpierścieniem zbiorów, jeżeli, B : B oraz, B : B jest sumą pewnego skończonego ciągu rozłącznych zbiorów z. Uwaga. W drugim z tych warunków można zakładać, że B, bo B = ( B), gdzie B na mocy pierwszego warunku, przy czym B. Pierścieniem zbiorów, jeżeli jest zamknięta na sumy i różnice zbiorów, czyli, B : B oraz, B : B. Uwaga. Wtedy, w myśl Tw. 2.1.2 (b), rodzina jest także zamknięta na przekroje. σ-pierścieniem zbiorów, jeżeli jest pierścieniem zbiorów zamkniętym na przeliczalne sumy, czyli gdy spełnione są następujące warunki: ciągu ( n ) w : n oraz, B : B. Uwaga. Wtedy, w myśl Tw. 2.1.2 (c), rodzina jest także zamknięta na przeliczane przekroje. Jeżeli przy tym ustalony jest zbiór obejmujący rodzinę (tj. P()), to w powyższych przypadkach mówi się też półpierścień, pierścień oraz σ-pierścień podzbiorów zbioru. Niepustą rodzinę podzbiorów zbioru ( P()) nazywa się: lgebrą (lub: ciałem) podzbiorów zbioru lub, krócej, algebrą w zbiorze, jeżeli jest pierścieniem zbiorów zawierającym zbiór. Uwaga. Jest to równoważne zamknietości na sumy [przekroje] i dopełnienia do. (Zob. Tw. 2.1.2 (d).)

10 2. PRZESTRZENIE MIERZLNE I ODWZOROWNI MIERZLNE σ-algebrą (lub: σ-ciałem) podzbiorów zbioru lub, krócej, σ-algebrą w zbiorze, jeżeli jest σ-pierścieniem zbiorów zawierającym zbiór. Uwaga. Jest to równoważne zamkniętości na przeliczalne sumy [przekroje] i dopełnienia do. (Zob. Tw. 2.1.2 (e).) Najważniejsze dla nas będą σ-algebry i algebry zbiorów. Terminologia. Jeżeli, dla przykładu, jest pierścieniem, a B algebrą podzbiorów zbioru i B, to mówimy, że jest podpierścieniem algebry B. Podobnie w innych przypadkach. 2.2.2. Uwaga. Z powyższych określeń i uwag powinno być jasne, że rodzina zbiorów każdego z powyższych typów zawiera zbiór pusty (zamiast niepustości możnaby więc wprost zakładać, że ) oraz że zachodzą następujące inkluzje (strzałki symbolizują zawieranie ): algebry pierścienie σ-algebry σ-pierścienie półpierścienie W przypadku rodzin podzbiorów dowolnego nieskończonego zbioru wszystkie te inkluzje są właściwe! (Zob. poniżej Prz. 2.2.4.) Zauważmy też, że jeżeli skończona rodzina zbiorów jest pierścieniem [algebrą] zbiorów, to jest automatycznie σ-pierścieniem [σ-algebrą] zbiorów. 2.2.3. Uwaga. W występujących powyżej warunkach dotyczących sum i przekrojów nie jest konieczne indeksowanie zbiorów z pomocą liczb naturalnych! Ważne jest tylko, by w zależności od postaci warunku tych zbiorów było skończenie wiele lub przeliczalnie wiele. Biorąc to pod uwagę można np. własności σ-algebry związane z operacjami i wypowiedzieć następująco: Dla każdej przeliczalnej rodziny indeksowanej ( i ) i I : i i i. Co więcej, istotna jest tu nie tyle przeliczalność zbioru indeksów I, co przeliczalność rodziny { i : i I} różnych zbiorów występujących w rodzinie indeksowanej ( i ) i I. Można to wyrazić też w ogóle bez użycia indeksów: Dla każdej przeliczalnej rodziny : i, lub słownie: Każda σ-algebra jest zamknięta na przeliczalne sumy i przekroje. Uzasadnienie: Jeśli zbiory tworzące rodzinę ( i ) i I lub rodzinę ustawimy w jakikolwiek sposób w ciąg (C n ) (co jest możliwe dzięki założeniu przeliczalności), to suma i przekrój wyjściowej rodziny zbiorów będą takie same jak suma i przekrój ciągu (C n ), a te należą do. Podkreślmy ponadto, że w żadnym z pojawiających się powyżej warunków nie ma wymagania, by występujące w nich zbiory były niepuste czy różne! B. Przykłady. 2.2.4. Przykłady. Niech będzie dowolnym nieskończonym zbiorem (np. = N lub = R). (a) Dla każdej liczby naturalnej n, rodzina wszystkich podzbiorów zbioru mających co najwyżej n elementów jest półpierścieniem, ale nie jest pierścieniem zbiorów. (b) Rodzina wszystkich skończonych podzbiorów zbioru jest pierścieniem, ale nie jest algebrą ani σ-pierścieniem zbiorów w. (c) Rodzina wszystkich skończonych podzbiorów zbioru oraz ich dopełnień do jest algebrą, ale nie jest σ-algebrą w. (d) Rodzina wszystkich przeliczalnych podzbiorów zbioru jest σ-pierścieniem; jest ona σ- algebrą w wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór jest przeliczalny, a wówczas jest ona równa P(). i I i I

2.2. PODSTWOWE TYPY RODZIN ZBIORÓW 11 (e) Rodzina wszystkich przeliczalnych podzbiorów zbioru oraz ich dopełnień do jest σ- algebrą w ; jest ona różna od P() wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór jest nieprzeliczalny. (f) Dla każdego właściwego podzbioru E zbioru, rodzina wszystkich podzbiorów zbioru E jest σ-pierścieniem, ale nie jest algebrą (ani tym bardziej σ-algebrą) w. 2.2.5. Przykłady. (a) Rodzina wszystkich przedziałów półotwartych [a, b) R, gdzie a, b R ([a, b) = gdy b a), jest półpierścieniem, ale nie jest pierścieniem zbiorów w R. Zamkniętość tej rodziny na przekroje jest oczywista: [a 1, b 1 ) [a 2, b 2 ) = [a, b), gdzie a = max{a 1, a 2 }, b = min{b 1, b 2 }. Drugi z wymaganych warunków też jest spełniony, bo jeśli [a 1, b 1 ) [a 2, b 2 ), to [a 2, b 2 ) [a 1, b 1 ) = [a 2, a 1 ) [b 1, b 2 ). (Po prawej stronie mogą wystąpić przedziały puste.) (b) Rodzina wszystkich skończonych sum przedziałów typu [a, b), gdzie a, b R, jest pierścieniem, ale nie jest algebrą ani σ-pierścieniem zbiorów w R. To, że ta rodzina jest pierścieniem, wynika z (a) i udowodnionego poniżej Tw. 2.2.9. Można też podać bezpośrednie uzasadnienie (nieco różniące się od dowodu wspomnianego twierdzenia). Oznaczmy rozważaną rodzinę przez R i niech, B R, gdzie m n = [a i, b i ), B = [c j, d j ). Wówczas oczywiście B R, a także B R, bo m n B = [a i, b i ) [c j, d j ), i=1 i=1 j=1 przy czym każdy z przekrojów [a i, b i ) [c j, d j ) jest przedziałem półotwartym. Zatem rodzina R jest zamknięta na (skończone) sumy i przekroje. Jest ona także zamknięta na różnice: Istotnie, dla dowolnych zbiorów, B R powyższej postaci mamy m ( n ) m n ( B = [a i, b i ) [c j, d j ) = [ai, b i ) [c j, d j ) ), i=1 j=1 j=1 i=1 j=1 przy czym każda z różnic [a i, b i ) [c j, d j ) należy do R (jako suma co najwyżej dwóch przedziałów półotwartych). Stąd i z zamkniętości R na sumy i przekroje wynika, że B R. To dowodzi, że R jest pierścieniem zbiorów. Pozostałe stwierdzenia w (b) są oczywiste. (c) Rodzina wszystkich skończonych sum przedziałów typu [a, b) zawartych w ustalonym przedziale [a 0, b 0 ), gdzie a 0 < b 0, jest algebrą, ale nie jest σ-pierścieniem (ani tym bardziej σ-algebrą) zbiorów w [a 0, b 0 ). C. Generowane (σ-) pierścienie i (σ-) algebry. Bezpośrednimi konsekwencjami Wn. 2.1.6 i jego dowodu są następujące dwa twierdzenia. 2.2.6. Tw. Dla każdej rodziny zbiorów istnieje najmniejszy pierścień [σ-pierścień] zbiorów zawierający rodzinę jest on przekrojem klasy wszystkich pierścieni [σ-pierścieni] podzbiorów zbioru := zawierających. 2.2.7. Tw. Dla każdej rodziny podzbiorów zbioru istnieje najmniejsza algebra [σ-algebra] podzbiorów zbioru zawierająca rodzinę jest ona przekrojem klasy wszystkich algebr [σ-algebr] podzbiorów zbioru zawierających. Uwaga. Dla półpierścieni analogon powyższych twierdzeń nie jest prawdziwy zob. Zad. 2.2.7. Pierścień, σ-pierścień, algebrę i σ-algebrę, o których mowa w powyższych twierdzeniach, nazywamy generowanymi przez rodzinę. (Więcej o generowanych σ-algebrach będzie w 2.7.)

12 2. PRZESTRZENIE MIERZLNE I ODWZOROWNI MIERZLNE Nietrudno wyjaśnić, jakie zbiory tworzą generowany pierścień czy generowaną algebrę (zob. Zad. 2.2.21 i 2.2.22). Niestety, dla generowanego σ-pierścienia i generowanej σ-algebry takiego bezpośredniego opisu tworzących je zbiorów nie da podać. Kilkakrotnie w dalszym ciągu wykładu będzie nam potrzebny opis zbiorów tworzących pierścień generowany przez półpierścień. Podamy ten opis poniżej w Tw. 2.2.9, ale najpierw udowodnimy następujący lemat, wzmacniający jedną z definicyjnych własności półpierścieni. 2.2.8. Lemat. Jeżeli jest półpierścieniem zbiorów, to dla dowolnych zbiorów, B 1,..., B n z (n N) zbiór (B 1... B n ) jest sumą skończonej liczby rozłącznych zbiorów z. Dowód. W myśl definicji półpierścienia, tak jest dla n = 1. Załóżmy więc, że teza lematu jest prawdziwa dla pewnego n N i pokażmy, że jest też prawdziwa dla n + 1. Niech więc, B 1,..., B n, B n+1 i niech E := (B 1 B n B n+1 ). Wtedy E = ( (B 1 B n ) ) B n+1 i w myśl założenia indukcyjnego zbiór (B 1 B n ) można zapisać jako sumę pewnych rozłącznych zbiorów C 1,..., C k. Wobec tego E = (C 1 C k ) B n+1 = (C 1 B n+1 ) (C k B n+1 ). Zbiory C 1 B n+1,..., C k B n+1 są oczywiście rozłączne. Ponadto, ponieważ jest półpierścieniem, każdy z tych zbiorów C i B n+1 jest sumą pewnej skończonej liczby rozłącznych zbiorów D ij (j = 1,..., m i ). Otrzymaliśmy w ten sposób skończoną rodzinę (D ij : i = 1,..., k; j = 1,..., m i ) rozłącznych zbiorów z, których sumą jest zbiór E. 2.2.9. Twierdzenie. Jeżeli jest półpierścieniem zbiorów, to rodzina B wszystkich skończonych sum zbiorów z jest pierścieniem zbiorów generowanym przez, tzn. jest to najmniejszy pierścień zbiorów zawierający. Ponadto, każdy zbiór z pierścienia B można zapisać jako sumę skończonej liczby rozłącznych zbiorów z. Dowód. Oczywiście, rodzina B jest zamknięta na sumy. Należy jeszcze wykazać jej zamkniętość na różnice zbiorów. Niech więc, B B; zatem Wtedy m = i, n B = B j, gdzie i, B j. i=1 j=1 m B = C i, gdzie n C i := i B j. i=1 j=1 Z Lematu 2.2.8 wynika, że każdy z powyższych zbiorów C i należy do B, a ponieważ wiemy już, że rodzina B jest zamknięta na skończone sumy, więc także B B. Tym samym pokazaliśmy, że B jest pierścieniem zbiorów. To, że jest to najmniejszy pierścień zbiorów zawierający, jest oczywiste. Udowodnimy teraz drugą część twierdzenia. Niech więc B; zatem jest sumą pewnych zbiorów 1,..., m. Przyjmijmy B 1 := 1 oraz B i := i ( 1 i 1 ) dla i = 2,..., m. Jest jasne, że zbiory B 1,..., B m są rozłączne; łatwo też sprawdzić, że ich sumą jest zbiór. Na mocy Lematu 2.2.8 każdy ze zbiorów B i jest sumą pewnej skończonej liczby rozłącznych zbiorów z. Wszystkie one wzięte łącznie tworzą skończoną rodzinę rozłącznych zbiorów z o sumie. Dowód poniższego twierdzenia jest pozostawiony do samodzielnego przeprowadzenia.

2.2-Z ZDNI 13 2.2.10. Tw. Jeżeli jest pierścieniem [σ-pierścieniem] podzbiorów zbioru, to rodzina B utworzona ze wszystkich zbiorów należących do oraz ich dopełnień do, czyli B := c = {B : B B }, jest algebrą [σ-algebrą] w zbiorze i jest to najmniejsza algebra [σ-algebra] w zawierająca. D. Produkty półpierścieni. 2.2.11. Twierdzenie. Dla i = 1,..., k (k N) niech i będzie półpierścieniem zbiorów. Wówczas rodzina 1 k, składająca się ze wszystkich produktów 1 k, gdzie 1 1,..., k k, jest półpierścieniem zbiorów. Uwaga. Półpierścień 1 k nazywamy produktem półpierścieni 1,..., k, k. Dowód. Dowód przeprowadzimy przez indukcję względem liczby k danych półpierścieni. Dla k = 1 nie ma czego dowodzić. Załóżmy, że twierdzenie jest prawdziwe dla pewnego k 1. Pokażemy, że jest ono prawdziwe także dla k + 1. Niech więc 1,..., k, k+1 będą półpierścieniami zbiorów. Należy wykazać, że rodzina := 1 k k+1 jest półpierścieniem. Na mocy założenia indukcyjnego rodzina B := 1 k jest półpierścieniem i oczywiście = B C, gdzie dla uproszczenia dalszych zapisów oznaczyliśmy przez C półpierścień k+1. Sprawdzimy tylko drugi z warunków w definicji półpierścienia (pierwszy jest łatwy). Niech zatem 1 = B 1 C 1 i 2 = B 2 C 2 będą dwoma zbiorami z rodziny, przy czym B 1, B 2 B, a C 1, C 2 C. Możemy założyć, że zbiory 1 i 2 są niepuste oraz że 1 2. Wtedy także zbiory B 1, C 1, B 2, C 2 są niepuste i wobec tego B 1 B 2 oraz C 1 C 2. Ponieważ rodziny B i C są półpierścieniami, to istnieją zbiory rozłączne D 1,..., D m w B oraz zbiory rozłączne E 1,..., E n w C takie, że B 2 = D 0 D 1 D m i C 2 = E 0 E 1 E n, gdzie dla wygody przyjęliśmy, że D 0 := B 1 i E 0 := C 1. Wówczas m n B 2 C 2 = (D i E j ) = D 0 E 0 i=0 j=0 (i,j) (0,0) (D i E j ), gdzie po prawej stronie zbiory D i E j są parami rozłączne (uzasadnij!). Stąd 2 1 = (D i E j ), (i,j) (0,0) gdzie po prawej stronie mamy sumę skończonej liczby rozłącznych zbiorów z rodziny. 2.2-Z Zadania 2.2.1. Zadanie. Niech C będzie dowolnym zbiorem w R. Sprawdź, że rodzina wszystkich przedziałów półotwartych [a, b) o końcach a, b C jest półpierścieniem. 2.2.2. Zadanie. Czy stwierdzenia w Prz. 2.2.5 pozostaną prawdziwe, jeśli w nich przedziały [a, b) zastąpi się przedziałami typu (a, b], lub (a, b), lub [a, b], lub dopuści przedziały dowolnego typu (w tym jednopunktowe [a, a] = {a})? Czy nic się nie popsuje, jeśli się będzie używać tylko przedziałów [a, b) o końcach wymiernych? 2.2.3. Zadanie. Co można powiedzieć o rodzinie składającej się ze wszystkich przeliczalnych sum przedziałów typu [a, b) R, gdzie a, b R? (Na jakie działania jest ona zamknięta? Czy jest półpierścieniem, pierścieniem, etc.?) [Wsk. zawiera wszystkie przedziały otwarte w R; ale gdy a, b R i a < b, to [a, b) (a, b) = {a} /.] 2.2.4. Zadanie. Co można powiedzieć o rodzinie składającej się ze wszystkich przeliczalnych sum przedziałów P R dowolnego typu (w tym jednopunktowych [a, a] = {a})? [Wsk. Dla pewnego : [0, 1] jest zbiorem Cantora, który nie należy do.]

14 2. PRZESTRZENIE MIERZLNE I ODWZOROWNI MIERZLNE 2.2.5. Zadanie. Dla a = (α 1,..., α k ), b = (β 1,..., β k ) R k określmy przedział półotwarty [a, b) R k następująco: [a, b) := {x = (ξ 1,..., ξ k ) R k : α 1 ξ 1 < β 1,..., α k ξ k < β k } = [α 1, β 1 ) [α k, β k ). (Oczywiście, [a, b) wtedy i tylko wtedy, gdy α i < β i dla każdego i.) Pokaż, że rodzina wszystkich takich przedziałów w R k jest półpierścieniem. 2.2.6. Zadanie. Niech (a n ) będzie dowolnym ciągiem liczb rzeczywistych dodatnich. Oznaczmy przez Z rodzinę wszystkich tych zbiorów N N, dla których n N a n <. ( n a n =: 0.) Co można powiedzieć o Z? Kiedy Z jest σ-pierścieniem lub σ-algebrą w N? 2.2.7. Zadanie. Podaj przykład takich półpierścieni 1 i 2 (np. w N), dla których 0 := 1 2 nie jest półpierścieniem. Wywnioskuj stąd, że nie istnieje najmniejszy półpierścień zawierający 0. 2.2.8. Zadanie. Niech (a n ) będzie dowolnym ciągiem w R. Oznaczmy przez Z rodzinę wszystkich tych zbiorów N = {n 1 < n 2 <... } N, dla których szereg n a n k a n k jest zbieżny. ( n a n =: 0.) Oczywiście, Z zawiera rodzinę F(N) wszystkich skończonych zbiorów N N. Kiedy Z F(N)? Czy lub kiedy Z jest półpierścieniem, pierścieniem, itp.? 2.2.9. Zadanie. Wykaż, że jeżeli półpierścień jest zamknięty na sumy, to jest pierścieniem. 2.2.10. Zadanie. Pokaż, że niepusta rodzina zbiorów jest pierścieniem wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych, B, C także ( B) C. Podaj podobny jeden warunek definiujący σ-pierścień zbiorów. 2.2.11. Zadanie. Podaj przykład rodziny zbiorów, która jest zamknięta na różnice (więc także na przekroje), ale nie jest pierścieniem. 2.2.12. Zadanie. Pokaż, że algebra zbiorów jest σ-algebrą wtedy i tylko wtedy, gdy jest zamknięta na przeliczalne przekroje. 2.2.13. Zadanie. Jeżeli jest skończonym pierścieniem zbiorów, to: (a) w istnieje zbiór największy, tj. zawierający każdy zbiór z. (b) ma 2 n elementów dla pewnego n N 0 ; Czy dla każdego n N 0 istnieje pierścień mający 2 n elementów? Czy (a) zachodzi dla dowolnych pierścieni? 2.2.14. Zadanie. Jeżeli jest pierścieniem zbiorów, to dla każdego ciągu zbiorów ( n ) w istnieje ciąg rozłącznych zbiorów (B n ) w taki, że B n n oraz 1 n = B 1 B n dla każdego n. [Wsk. Dowód Tw. 2.2.9.] 2.2.15. Zadanie. Niech będzie półpierścieniem zbiorów. Wówczas: (a) Dla każdego rosnącego ciągu zbiorów ( n ) w istnieje ciąg rozłącznych zbiorów (B n ) w taki, że każdy ze zbiorów n jest sumą zbiorów B 1,..., B kn dla pewnego k n. (b) Dla każdego ciągu zbiorów ( n ) w istnieje ciąg rozłącznych zbiorów (B n ) w taki, że każdy ze zbiorów 1 n jest sumą zbiorów B 1,..., B kn dla pewnego k n. [Wsk. Dowód Tw. 2.2.9.] 2.2.16. Zadanie. Jeżeli jest pierścieniem zbiorów, to dla każdego skończonego ciągu zbiorów 1,..., n w istnieje rodzina D rozłącznych zbiorów w mająca 2 n elementów i taka, że każdy ze zbiorów 1,..., n jest sumą pewnej podrodziny rodziny D. [Wsk. Dla = I {1,..., n} niech D I = i I i i / I i.] 2.2.17. Zadanie. Suma rosnącego ciągu ( n ) algebr w zbiorze jest algebrą w. Podobnie dla półpierścieni i pierścieni, ale nie dla σ-pierścieni i σ-algebr (podaj kontrprzykłady). 2.2.18. Zadanie. Dla każdego n N niech n oznacza algebrę (sprawdź!) wszystkich podzbiorów odcinka [0, 1) będących skończonymi sumami przedziałów postaci [(k 1)2 n, k2 n ), gdzie k = 1,..., 2 n. Wykaż, że := n jest algebrą w [0, 1). Czy jest to σ-algebra w [0, 1)? 2.2.19. Zadanie. Niech będzie rodziną algebr w zbiorze taką, że dla dowolnych algebr 1, 2 istnieje algebra 3, która zawiera 1 i 2. Udowodnij, że 0 := jest algebrą w. Podobny fakt zachodzi dla półpierścieni, etc. (Jest to uogólnienie Zadania 2.2.17.)

2.3. σ-lgebry ZBIORÓW I PRZESTRZENIE MIERZLNE 15 2.2.20. Zadanie. Niech będzie zbiorem, a rodzina zbiorów ( i : i I) niech będzie jego podziałem (rozbiciem), tzn. zbiory i są niepuste, parami rozłączne i ich sumą jest. Pokaż, że jeżeli rodzina J jest σ-algebrą podzbiorów zbioru I, to rodzina := { i J i : J J } jest σ-algebrą podzbiorów zbioru. Podobnie dla innych typów rodzin zbiorów wprowadzonych w Def. 2.2.1. 2.2.21. Zadanie. Niech P(). Przyjmijmy 1 = i n+1 = { B, B :, B n } dla n 1. Wykaż, że ciąg rodzin ( n ) jest rosnący (tj. n n+1 dla każdego n) oraz że R := n jest pierścieniem w generowanym przez. 2.2.22. Zadanie. Niech P(). Udowodnij, że skończone sumy skończonych przekrojów zbiorów należących do c tworzą algebrę w generowaną przez. Tzn. algebrą tą jest rodzina ( c ) ds. Czy w jakiś podobny sposób można opisać pierścień generowany przez? 2.2.23. Zadanie. Wykaż, że jeśli rodzina P() jest przeliczalna, to także pierścień i algebra w generowane przez są przeliczalne. 2.3. σ-algebry zbiorów i przestrzenie mierzalne Najważniejszym typem rodziny zbiorów występującym w teorii miary i całki są σ-algebry. Poniższe określenie σ-algebry jest równoważne podanemu poprzednio. 2.3.1. Definicja. σ-algebrą podzbiorów zbioru lub, krócej, σ-algebrą w (zbiorze), nazywamy rodzinę P() spełniającą następujące warunki: (i) ; (ii) dla każdego : ; (iii) dla każdego ciągu ( n ) w : n. Warto odnotować, że z uwagi na warunki (ii) i (iii) warunek (i), można zastąpić przez warunek: (bo = i = ), jak też przez warunek: (bo jeśli, to także, a stąd = ( ) i = ). Zbiór z wyróżnioną w nim σ-algebrą, a więc parę (, ), nazywamy przestrzenią mierzalną, a zbiory należące do nazywamy -mierzalnymi. Jeżeli wiadomo o jaką σ-algebrę chodzi, to zamiast (, ) piszemy po prostu, a zbiory -mierzalne nazywamy mierzalnymi. Podzbiory przestrzeni, które nie są mierzalne (tj. nie należą do ), nazywamy niemierzalnymi. Jeżeli jest σ-algebrą w zbiorze, to {, } P(), przy czym {, } jest najmniejszą, a P() największą σ-algebrą w. Poniższe elementarne własności σ-algebr są nam już w istocie znane z uwag i komentarzy podanych w poprzednim punkcie (2.2). Dla wygody zbieramy je tu w jednym miejscu i jeszcze raz uzasadniamy. 2.3.2. Tw (Elementarne własności σ-algebr). Każda σ-algebra w zbiorze ma następujące własności: (a) ; (b) dla dowolnego skończonego ciągu zbiorów 1,..., k także 1 k ; (c) dla dowolnych zbiorów, B : B ; (d) dla dowolnego skończonego ciągu zbiorów 1,..., k także 1 k ; (e) dla każdego ciągu ( n ) w : n.

16 2. PRZESTRZENIE MIERZLNE I ODWZOROWNI MIERZLNE Dowód. (a): = na mocy (i) i (ii). (b): Niech n := k dla n k. Wtedy ( n ), a stąd k n = n na mocy (iii). (c): Ponieważ B = ( B), to ( B) = ( ) B na mocy (ii) i (b), a stąd B = ( ( ) B ) na mocy (ii). (d): Dla dwóch zbiorów 1, 2 : 1 2 = 1 ( 1 2 ) na mocy (c); stąd przez indukcję dostajemy ogólny przypadek. (e): Niech := n. Wtedy = ( n ) na mocy (ii) i (iii). Stąd = ( ) na mocy (ii). Zauważmy jeszcze, że (d) można też łatwo otrzymać z (e). Istotnie, dla ciągu ( n ) określonego jak w (b) mamy: k n = n na mocy (e). 2.3.3. Przykłady. (a) Niech będzie dowolnym zbiorem. Podzbiór zbioru nazwiemy koprzeliczalnym (względem ), gdy jego dopełnienie do jest zbiorem przeliczalnym. Łatwo sprawdzić, że rodzina utworzona ze wszystkich przeliczalnych i wszystkich koprzeliczalnych podzbiorów zbioru, czyli rodzina = { : ℵ 0 lub ℵ 0 }, jest σ-algebrą w. Będziemy ją nazywać σ-algebrą zbiorów przeliczalnych-koprzeliczalnych w. Oczywiście, P() wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór jest nieprzeliczalny. (b) Niech będzie przestrzenią topologiczną (w szczególności, przestrzenią metryczną). Zbiór C nazywa się zbiorem pierwszej kategorii Baire a w, jeżeli można go pokryć ciągiem zbiorów domkniętych o pustych wnętrzach. Jest oczywiste, że rodzina C 1 () wszystkich zbiorów pierwszej kategorii Baire a w jest zamknięta na przeliczalne sumy oraz podzbiory, tzn. B C C 1 () pociąga B C 1 (). (Te własności oznaczają, że C 1 () jest σ-ideałem w P(), zob. Zad. 2.3.5.) Stąd natychmiast wynika, że C 1 () jest σ-pierścieniem w. Pokażemy, że rodzina B 1 () utworzona ze wszystkich zbiorów pierwszej kategorii Baire a w oraz z ich dopełnień do, czyli B 1 () = {B : B C 1 () B C 1 ()}, jest σ-algebrą w. (Wynika to od razu z Tw. 2.2.10, ale warto podać bezpośrednie uzasadnienie.) Jest jasne, że B 1 () spełnia warunki (i) oraz (ii) z Def. 2.3.1. Pokażemy, że także warunek (iii) jest spełniony. Weźmy dowolny ciąg (B n ) w B 1 () i niech B oznacza jego sumę. Mamy pokazać, że B B 1 (). Jeżeli wszystkie zbiory B n są z C 1 (), to także B C 1 () B 1 (). Jeżeli któryś z tych zbiorów nie należy do C 1 (), np. B k / C 1 () dla pewnego k, to B B k C 1 (), a stąd także B C 1 () i wobec tego B B 1 (). To, jak duża jest ta σ-algebra B 1 (), zależy oczywiście od tego, jaka jest przestrzeń. Poniżej rozważamy kilka szczególnych przypadków. Jeżeli przestrzeń jest dyskretna, tzn. każdy jej podzbiór jest otwarty (np. = N), to C 1 () = { } i B 1 () = {, }. Jeżeli w przestrzeni każdy podzbiór jednopunktowy jest domknięty, ale nie jest otwarty, to C 1 () zawiera wszystkie przeliczalne podzbiory przestrzeni, a w konsekwencji B 1 () zawiera σ- algebrę podzbiorów przeliczalnych-koprzeliczalnych przestrzeni. Gdy ponadto sama przestrzeń jest przeliczalna (np. = Q), to C 1 () = B 1 () = P() =. le dla = R mamy B 1 (), bo zbiór Cantora (zob. Prz. 4.2.8 (a)), który jest domknięty i ma puste wnętrze, należy do C 1 () B 1 (), ale nie należy do (bo on sam jak i jego dopełnienie są nieprzeliczalne). W tym przypadku, jak pokażemy poniżej, mamy też B 1 () P(). Jeżeli jest przestrzenią metryczną zupełną mającą więcej niż jeden punkt, to B 1 () P(). by to wykazać wykorzystamy tw. Baire a: każdy niepusty podzbiór otwarty przestrzeni metrycznej zupełnej jest w niej zbiorem drugiej kategorii Baire a, tzn. nie jest zbiorem pierwszej kategorii Baire a. Jeżeli więc zbiór i jego dopełnienie mają niepuste wnętrza, to żaden z tych zbiorów nie należy do B 1 (). Takie zbiory (nawet kule otwarte) można znaleźć w przestrzeni