DYNAMICZNE MODELE EKONOMETRYCZNE X Oólnopolske Semnarum Naukowe, 4 6 wrześna 27 w Torunu Kaedra Ekonomer Saysyk, Unwersye Mkołaja Kopernka w Torunu Kaarzyna Osecka Polechnka Warszawska Józef Sawck Unwersye Mkołaja Kopernka w Torunu Markov Se - Chans jako narzędze analzy zman srukury wydaków ospodarsw domowych w Polsce w laach 1993-25 Model łańcucha Markowa jes opsem procesu sochasyczneo w dyskrenej przesrzen sanów oraz w dyskrenym czase. Podsawowa zależność określająca rozkład bezwarunkowy w chwl + 1 ma posać: x = x P +1, dze x jes wekorem rozkładu bezwarunkoweo, a P - macerzą prawdopodobeńsw warunkowych w chwl. Jeśl dla każdeo macerz P = P o proces nos nazwę jednorodneo łańcucha Markowa. Macerz prawdopodobeńsw warunkowych może zależeć od pewnych czynnków w chwl wówczas podsawową zależność można przedsawć w posac: x = x P( z ) + 1, dze z jes wekorem obserwowanych czynnków. W nnejszym referace łańcuch Markowa sanow narzędze opsu zmany srukury wydaków ospodarsw domowych rozumanej jako wekor: ( x, x, 2 x ) x =,, w kórym 1 L x r określa udzał wydaków w roku na określoną ą rupę dóbr w całośc wydaków ospodarswa domoweo spełnająceo warunk:
19 Kaarzyna Osecka, Józef Sawck x oraz x = 1. r = 1 W ym przypadku zjawsko ne ma charakeru procesu sochasyczneo jednowymaroweo, realzowaneo w dyskrenej przesrzen sanów. Można by rakować wekor x jako rozkład prawdopodobeńswa wydakowana przez określone ospodarswo domowe losowo wybranej jednosk penężnej na produky z jednej z rup owarowych. Obserwacja dla pojedynczeo ospodarswa domoweo mołoby sanowć realzację wspomnaneo procesu. W przypadku obserwowanych srukur wydaków dla oółu ospodarsw domowych bądź wybranych rup ze wzlędu na pewne kryerum (np. lczebnośc ospodarswa domoweo, źródła dochodów) prowadz do posłuwana sę średnm ospodarswem bądź lepej ypowym ospodarswem domowym. Brak jasnej nerpreacj procesu ne przeszkadza jednak w wykorzysanu narzędza, jakm są łańcuchy Markowa do badana zman srukury. Prose mary podobeńswa czy zróżncowana ne pozwalają na wyznaczene pronoz. Łańcuchy Markowa pozwalają uzyskać pronozę srukury. Przedzałowe łańcuchy Markowa są propozycją sprowadzena poszukwana nejednorodnośc macerzy przejść do wykorzysana przedzału macerzoweo, z kóreo pochodzą sochasyczne macerze. Modele opare o koncepcję Markov-Se Chans wprowadzł D. J. Harfel 1. Podsawą wspomnanej wyżej eor jes przyjęce założena, że macerz przejśca w każdym kroku pochodz ze zboru macerzy określoneo poprzez przedzały w jakch moą zmenać sę poszczeólne jej elemeny. Srukura wyjścowa jes określona jako przedzał wekorowy; srukury w kolejnych okresach są zboram wypukłym moą być przyblżone przedzałam wekorowym. n Przez sochasyczny przedzał wekorowy [ p, q] w przesrzen R, dze q p rozume sę zbór wekorów: n [ p, q] = { x ; p x q} R, przy czym x = 1. Sochasyczny przedzał wekorowy jes weloścanem wypukłym. W szczeólnym przypadku, dy q = p przedzał wekorowy sprowadza sę do 2 punku. W przypadku wekorów z przesrzen R jes o odcnek. Przedzał 1 Teora a zosała przedsawona w pracy Harfela (1999). W Polsce zaadnenam ym zajmowal sę A. Decewcz A. Gyczew (21). Auorzy c ne wprowadzl polskojęzyczneo odpowednka Markov-Se Chans. Termn przedzałowe łańcuchy Markowa Sawck (22). Wcześnej ermnem łańcuch przedzałam Markowa posłuwał sę w swoch pracach A. Tabeau. Słowo przedzał odnosło sę jednak do os czasu.
Markov Se-Chans jako narzędze analzy zman srukury... 191 3 wekorowy w przesrzen R jes welokąem wypukłym o maksymalne sześcu kąach. Może on być zredukowany do odcnka lub w szczeólnym przypadku do punku. Każdy sochasyczny przedzał wekorowy może być przed- p, q napęeo. Przedzał napęy sawony w posac ak zwaneo przedzału [ ] o ak przedzał wekorowy, w kórym wszyske współrzędne wekora p oraz wekora q są napęe. Dla współrzędnych ych wekorów spełnone są nasępujące warunk: p = mn x, x x [ p, q ] q j = max x. [ p, q ] j Dowolnemu przedzałow sochasycznemu odpowada równoważny mu przedzał sochasyczny napęy. W podobny sposób określa sę sochasyczne przedzały macerzowe [ P, Q], dze P = [ p j ], Q = [ q j ] są macerzam kwadraowym sopna n oraz Q P. Sochasycznym przedzałem macerzowym nazywa sę zbór macerzy: [ P Q] = { A; P A Q},, dze = [ ] A jes macerzą sochasyczną. a j Dla sochasycznych przedzałów macerzowych określa sę w podobny sposób jak dla przedzałów wekorowych napęce przedzału. Przez przedzałowy łańcuch Markowa rozume sę cą zborów macerzowych: M, M, M,..., M 2 3 k,... k dze M jes zborem macerzy sochasycznych, naomas M jes zborem określonym nasępująco: k M = { A A = A A... A }, dze A. ; 1 2 k M Symbolczne możemy o zapsać nasępującą formułę: S dze = S M 1, S 1 oznacza zbór wekorów sochasycznych orzymanych z dowolneo wekora sochasyczneo ze zboru począkoweo pomnożoneo przez dowolną macerz sochasyczną ze zboru M. Przedzałowy łańcuch Markowa jes zaem nejednorodnym łańcuchem, w kórym macerze prawdopodobeńsw przejść w kolejnych krokach są dowolnym macerzam ze zboru M. W szczeólnośc zborem M może być sochasycz- S
192 Kaarzyna Osecka, Józef Sawck 1, 2 S 3 ny przedzał macerzowy. Twerdzena doyczące ak rozumanych przedzałowych łańcuchów Markowa pozwalają określć zbory S S,,... w kolejnych okresach, jeśl znany jes począkowy sochasyczny przedzał wekorowy S zbór macerzy M w posac przedzału macerzoweo. Proponowane są S 1 S rzy meody wyznaczana zboru : meoda wyznaczana werzchołków, meoda H-Lo oraz symulacyjna meoda Mone Carlo 2. Meoda H-Lo pozwala w każdym kroku określć przedzał wekorowy. Prakyczna srona zaadnena sprowadza sę do określena zboru macerzy M w posac przedzału macerzoweo [ P, Q], oraz przedzału wekoroweo. Jako przedzał S można przyjąć wekor srukury charakeryzujący określone ospodarswo domowe. Pozwol o na pronozę srukury w kolejnych laach w posac przedzału wekoroweo. W omawanym zaadnenu analzy srukury wydaków ospodarsw domowych wyodrębnono czery rupy wydaków: 1. wydak na żywność, 2. wydak na arykuły neżywnoścowe (w ym: odzeż obuwe, meszkane, hena osobsa), 3. wydak na usłu (w ym: ranspor łączność, rekreacja kulura, edukacja, zdrowe), 4. pozosałe wydak. Srukura wydaków konsumpcyjnych ospodarsw domowych zależy od welu czynnków o różnym charakerze. Na podsawe danych z budżeów ospodarsw domowych bada sę srukurę wydaków ospodarsw mędzy nnym wedłu rup społeczno-ekonomcznych, do kórych e ospodarswa należą, ale równeż wedłu rup dochodowych czy lczby osób w rodzne. W laach 9-ych mały mejsce sone zmany w srukurze wydaków ospodarsw domowych. Tabela 1 zawera dane doyczące oólnej srukury wydaków ospodarsw domowych z podzałem na 4 rupy wydaków. Najwększy udzał w oóle wydaków mały wydak na zaspokojene porzeb podsawowych akch jak żywność. Chocaż udzał wydaków na żywność był najwyższy, o jednak w badanym okrese, czyl w laach 1993-25, sysemayczne sę zmnejszał. Przyczyną eo była podwyżka cen podsawowych owarów, a akże komercjalzacja usłu w sferze urzymana meszkana, ochrony zdrowa, kszałcena oraz zwolnene empa wzrosu cen żywnośc w osanch laach. Na skuek wzrosu obcążena budżeów ospodarsw domowych sałym opłaam za użykowane meszkana w ym podwyżka czynszu oraz cen nośnków ener, nasępował sysemayczny, powolny wzros udzału wydaków na meszkane, a co za ym dze wzros udzału wydaków na arykuły neżywnoścowe w 2 Charakerysykę meody werzchołków oraz meody H-Lo przedsawć Harfel (op.c), Meodę symulacyjną jak równeż wcześnej wspomnane przedsawła Samuels (21).
Markov Se-Chans jako narzędze analzy zman srukury... 193 oóle wydaków ospodarsw. Równeż udzał wydaków na usłu (ake jak: zdrowe oraz ranspor łączność) uleał cąłemu wzrosow. Tabela 1. Srukura wydaków ospodarsw domowych w wydakach oółem w Polsce w laach 1993 25 (w %) Rok Arykuły żywnoścowe Arykuły neżywnoścowe Usłu Pozosałe 1993 41,5 29,9 19,24 9,36 1994 39,86 3,5 19,85 9,8 1995 39,71 3,75 19,6 9,95 1996 37,8 31,39 2,68 1,13 1997 36,4 32,13 21,9 1,75 1998 31,53 32,11 22,6 14,3 1999 29,2 33,2 24,46 13,31 2 28,75 31,77 26,1 13,46 21 28,89 31,57 25,6 13,94 22 27,49 32,73 25,63 14,15 23 26,24 33,36 26,32 14,9 24 26,11 32,67 27,8 14,14 25 27,8 33, 27,2 12, Źródło: Opracowane własne na podsawe danych GUS. 45 4 35 3 25 2 15 1 5 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2 21 22 23 24 25 Arykuły żywnoścowe Usłu Arykuły neżywnoścowe Pozosałe Rys.1. Srukura wydaków ospodarsw domowych w Polsce w laach 1993 25 (udzał wydaków w %) Źródło: Opracowane własne na podsawe Tabel 1.
194 Kaarzyna Osecka, Józef Sawck W dalszej częśc posłużono sę obserwacjam doyczącym ospodarsw domowych z podzałem na ospodarswa pracowncze, ospodarswa pracowncze użykujących ospodarswa rolne, ospodarswa rolnków, ospodarswa emeryów rencsów, ospodarswa pracujących na własny rachunek. Obserwowane srukury doyczą wskazanych rup oółem oraz z podzałem na welkość ospodarsw domowych. Podzał en uwzlędna ospodarswa jednoosobowe aż do ospodarsw sześcoosobowych wększych. = x Dane saysyczne dosępne są w posac macerzy [ ] 13 4 przedsawającej srukury wydaków dla poszczeólnych rup społecznoekonomcznych. Wykorzysując meodę esymacj macerzy przejśca dla danych zareowanych z kryerum sumy bezwzlędnych odchyleń 3 orzymano P =. macerze przejśca dla poszczeólnych rup w posac [ ] 4 4 P Q [ Q] Macerze oraz określające przedzał p q j j { p j } { p } = mn, = max. j p j X P, defnuje sę nasępująco: W podobny sposób określony zosał przedzał wekorowy dla osaneo okresu obserwacj. Zarówno przedzał wekorowy S jak przedzał macerzowy [ P, Q] poddane zosały procedurze napnana. Pronozy wyznaczono na dwa kolejne laa wykorzysując meodę H-Lo. Ponżej przedsawone są zarówno przedzał wekorowy, przedzał macerzowy oraz przedzały macerzowe będące pronozą srukury. Pronozy e należy odneść do dowolneo ospodarswa domoweo, kóre może zmenć swoją lczebność oraz źródło dochodów. Macerz dolna dla badanych zman srukury ma posać nasępującą:,7924, P =,,211,36,7166,,59 Macerz órna ma posać:,13,37,6363,38,,,,587 S 3 Parz: Lee, Jude, Zelner (197).
Markov Se-Chans jako narzędze analzy zman srukury... 195,9562,32 Q =,1127,279,1163,9837,2578,2233,913,234,9753,1676,,139,158,9579 Przedzał wekorowy wyznaczony dla osaneo roku obserwacj w posac mnmalnych maksymalnych udzałów wydaków w badanych rupach owarowych oblczanych po wszyskch rupach społeczno-ekonomcznych ma posać nasępującą: S T [ p, ] = [( 18,91 27,38 22,38 6,26) ( 4,68 38,6 35,87 11,29) ] = q Przedzał en można przedsawć na rysunku w posac nasępującej: 5, 4, 3, 2, 1,, 1 2 3 4 mn max średn Rys.2. Przedzał wekorowy srukury wydaków ospodarsw domowych w Polsce w roku 25 Źródło: opracowane własne. Jako podsawę pronozy przyjęo wekor średn, będący srukurą dla ospodarsw oółem. Pronozę na rok 26 orzymano meodą symulacj. Najperw enerowano macerz sochasyczną z przedzału macerzoweo P, Q, a nasępne wyznaczano pronozę ze wzoru: x p 26 = x 25 P s P [ ] s Z ak orzymanych pronoz, wyznaczając elemeny mnmalne maksymalne orzymano przedzał wekorowy. ST p [ p, q] [( 25,5 32,89 26,39 11,56) ( 28,65 33,58 28,71 12,96) ] + 1 = =
196 Kaarzyna Osecka, Józef Sawck 4 3 2 1 1 2 3 4 mn max Rys.3. Przedzał pronozy dla srukury wydaków ospodarsw domowych w 26 r. Źródło: opracowane własne. Należy zauważyć, że duża rozpęość udzału wydaków jes dla wydaków na żywność wynosząca 3,6, naomas udzał wydaków na arykuły neżywnoścowe jes bardzo sablny. Dużą nesablnoścą charakeryzuje sę eż udzał wydaków na usłu (2,32). Orzymane pronozy powerdzają równeż oólną endencję zman w srukurze wydaków, a manowce: spadek udzału wydaków na żywność wzros udzału wydaków na arykuły neżywnoścowe usłu w oólnej srukurze wydaków. Leraura Decewcz, A., Gyczew, A. (21), Wprowadzene do eor zasosowań Markov-Se Chans, praca nepublkowana, napsana w ramach badań sauowych SGH pod kerunkem prof. dr hab.. M. Podórskej, Warszawa. Harfel, D.J. (1999), Markov Se-Chans, Sprner, New York. Lee T.C., Jude, G.G., Zelner, A. (197), Esman he Parameers of Markov Probably Model from Areae Tme Seres Dae, Nor-Holland Publ. Co.,Amserdam. Samuels, C. L. (21), Markov Se-Chans as Models of Plan Successon, Unversy of Tennessee, Knoxvlle. Sawck, J. (22), Łańcuchy Markowa w analze rynku kapałoweo, Toruń.