Liczby rzeczywiste. Dlaczego nie wystarczają liczby wymierne Analiza zajmuje się problemami, w których pojawia się przejście graniczne. Przykładami takich problemów w matematyce bądź fizyce mogą być:. Pojęcie prędkości chwilowej w mechanice. Jeżeli mamy do czynienia z ruchem jednostajnym, to określenie prędkości nie sprawia kłopotu: Prędkość jest to iloraz przebytej drogi i czasu: v = s t Jeśli jednak w przeciągu czasu t prędkość się zmienia, to powyższa definicja daje prędkość średnią na odcinku czasu t. Dopóki mamy do czynienia ze skończonymi odcinkami czasu t, dopóty używając powyższej definicji możemy mówić jedynie o prędkościach średnich. Z drugiej strony, intuicyjnie czujemy, że istnieje coś takiego jak prędkość chwilowa prędkość w danej konkretnej chwili czasu np. gdy jadąc samochodem rzucamy okiem na prędkościomierz), a nie jedynie prędkość średnia na jakimś odcinku czasu. Pojawia się więc potrzeba należytej definicji prędkości chwilowej.. Długość krzywej. Nie nastręcza problemów zmierzenie długości odcinka linii prostej. Ale jak zmierzyć długość krzywej, nie będącej prostą? Receptą na rozwiązanie przybliżone jest zastąpienie krzywej przez łamaną złożoną z odcinków i zsumowanie ich długości. Postępując w ten sposób, mierzymy długość krzywej z pewnym błędem, który można uczynić dowolnie małym, ale który jest skończony, jeśli długości odcinków łamanej są niezerowe. Znów czujemy, że takie pojęcie, jak długość krzywej, jest dobrze określone np. długość węża ogrodowego albo nitki ma określoną wartość). Chcielibyśmy nadać dokładniejsze znaczenie powiedzeniu: "dążymy z długością odcinka łamanej do zera, a jednocześnie z ilością tych odcinków do nieskończonosći, i to co otrzymamy W GRANICY, to długość krzywej." Ale jak to porządnie zdefiniować? Zanim zaczniemy powyższe problemy analizować, zastanówmy się, jakich liczb będziemy używać. Liczby: naturalne N i całkowite Z są w oczywisty sposób zbyt ubogie, aby przy ich użyciu analizować pojęcie granicy np. nie jest w wielu przypadkach wykonalne dzielenie). Następnym nasuwającym się kandydatem są liczby wymierne Q. Takie wielkości, jak długość, położenie itd. można z dowolną dokładnością określić używając liczb wymiernych. Okazuje się jednakże, że w zbiorze liczb wymiernych są luki. Pozostając przy mierzeniu odległości: istnieją dobrze określone obiekty, np. długość przekątnej kwadratu o boku, które nie są liczbami wymiernymi. Powoduje to, że granica ciągu liczb wymiernych może nie być liczbą wymierną i do uprawiania analizy trzeba mieć większy zbiór liczbowy zbiór liczb rzeczywistych R. Zacznijmy od pokazania, że długość przekątnej kwadratu o boku długości, tzn., nie jest liczbą wymierną. Przyjmijmy, że jest przeciwnie; wtedy możemy zapisać ją w postaci ułamka nieskracalnego: = p q, czyli p = q gdzie p, q są względnie pierwsze. Mamy w takiej sytuacji trzy możliwości:
i) obie liczby p, q są nieparzyste; ii) p jest parzysta, q jest nieparzysta; iii) p jest nieparzysta, q jest parzysta. Patrząc na sytuację i) mamy: p = q, czyli p jest parzysta, a więc p też jest parzysta wbrew założeniu. W sytuacji ii): Skoro p jest parzysta, to zapiszmy: p = p i równość p = q jest równoważna 4p = q, czyli p = q, co znaczy, że q jest parzysta wbrew założeniu. Wreszcie w iii) mamy: p = q znaczy, że p jest parzysta znów w sprzeczności z założeniem. Stwierdziliśmy więc, że nie istnieje ułamek p p taki, że =, co znaczy, że nie jest q q liczbą wymierną tzn. jest liczbą niewymierną. Uzupełniając liczby wymierne o liczby niewymierne, otrzymamy zbiór liczb rzeczywistych R. Działania na nich są takie same, jak na liczbach wymiernych, a różnica pomiędzy zbiorami Q a R leży w tym, że dla R spełniona jest zasada ciągłości Dedekinda.. Zasada ciągłości Dedekinda) Zasada ciągłości zbioru R zasada Dedekinda) mówi, że: Jeśli podzielimy R na dwa podzbiory A oraz B: A B = R w taki sposób, że a A b B : a < b, ) stąd od razu wynika, że A B =, to albo w zbiorze A istnieje największa liczba, albo w zbiorze B istnieje najmniejsza liczba. Zakładamy tu, że żaden ze zbiorów A, B nie jest pusty). Sytuację tę można zilustrować geometrycznie: Jeśli podzielimy prostą na dwie części A i B tak, by każdy punkt części A leżał na lewo od każdego punktu części B, to alborys. istnieje ostatni punkt w części A, albo pierwszy w części B. Nie może wystąpić "luka" w "przekroju", który właśnie zdefiniowaliśmy. Na tym polega różnica między zbiorami Q a R: w zbiorze R nie mogą istnieć luki, a w Q mogą. Przykład takiej luki: Podzielmy zbiór Q na dwie części A i B: Do A zaliczymy liczby mniejsze od, a do B liczby większe od. Spełniony jest tu warunek ), ale w części A nie istnieje liczba największa, a w części B nie istnieje liczba najmniejsza. Wynika to z możliwości przybliżania z góry i z dołu z dowolną dokładnością przez liczby wymierne; przykład ciągu takich przybliżeń z góry i z dołu: l n rozwinięcie dziesiętne do n tego miejsca; u n = l n + 0 n..3 Wartość bezwzględna Przypomnimy tu własności wartości bezwzględnej liczby rzeczywistej a R, które będą wykorzystywane w różnych miejscach. Def. Wartością bezwzględną moduł) liczby a R nazywamy liczbę nieujemną a R {0} określaną przez warunki: Jeśli a 0, to a = a; Można ją uważać za jeden z aksjomatów liczb rzeczywistych. Wszystkie aksjomaty razem są dla podsumowania zebrane w Subsec..5
Jeśli a < 0, to a = a. Od razu z definicji wynika, że Mają miejsce następujące wzory:. Dla dowolnej liczby a R zachodzi a R : a 0, oraz a = a. ) a = a ; 3) Dow. Dla a 0 mamy a = a) = a = a. Dla a < 0 mamy: a = a, a = a.. Dla dowolnej liczby a R zachodzi nierówność a a a ; 4) Dow. Dla a 0: Po lewej stronie pierwszej nierówności mamy liczbę 0, po prawej zaś liczbę 0. W drugiej nierównosći mamy równość. Dla a < 0: Zgodnie z definicją wartości bezwzględnej zachodzi a = a, więc w pierwszej nierówności mamy równość. W drugiej nierówności: Po lewej stronie mamy liczbę mniejszą od zera, po prawej liczbę większą od zera. 3. Dla dowolnych liczb a, b R zachodzi nierówność a + b a + b ; 5) Dow. Jeśli któraś z liczb a, b jest równa zeru, to mamy równość. Jeśli obie liczby są większe od zera, to mamy równość. Jeśli obie liczby są mniejsze od zera, to mamy równość. Jeśli a > 0, b < 0 i a + b > 0, to a + b = a + b < a < a + b = a + b. Jeśli a > 0, b < 0 i a + b < 0, to a + b = a b < b = b < a + b. 4. Dla dowolnych liczb a, b R zachodzą nierówności a b a b a + b ; 6) Dow. Drugą z powyższych nierówności otrzymuje się przez wzięcie b zamiast b w 6). Pierwsza zaś jest równoważna a a b + b i znów otrzymuje się ją z 5), jeśli zamienić a + b a tzn. a a b. 5. Dla dowolnych liczb a, b R zachodzi równość ab = a b 7) Dow. Dla a, b 0, mamy a = a, b = b i ab = ab = a b. Dla a > 0, b < 0 jest: a = a, b = b i ab = a b ) = a b < 0, skąd ab = ) ) a b = a b. Dla a < 0, b < 0: a = a, b = b i ab = ab = a ) b ) = a b. 3
6. Dla dowolnych liczb a, b R: z nierówności a c i b d wynika, że a + b c + d 8) Ten wzór można nazwać wzorem na "dodawanie pod znakiem wartości bezwzględnej". Dow. Wynika on z 5), ponieważ: a + b a + b c + d. 7. Mamy też równoważność trzech nierówności: a < b b < a < b a < b i a < b. 9).4 Zbiory ograniczone. Kres górny i dolny zbioru Niech Z R. Przypomnijmy definicję zbioru ograniczonego z góry: Def. Mówimy, że Z R jest ograniczony z góry, jeśli M R : z Z : M z. 0) Każde M, spełniające 0), nazywamy ograniczeniem górnym. Jeśli M ograniczenie górne, to M + m, gdzie m > 0, również jest ograniczeniem górnym. Mamy więc cały zbiór ograniczeń górnych; oznaczmy go M. Zachodzi Tw. Niech Z R zbiór ograniczony z góry. Wtedy w zbiorze M ograniczeń górnych zbioru Z istnieje liczba najmniejsza. Nazywamy ją kresem górnym zbioru Z i oznaczamy sup Z a czytamy: supremum Z). Dow. W dowodzie posłużymy się zasadą ciągłości Dedekinda. Podzielmy wszystkie liczby rzeczywiste na dwie klasy podzbiory R): Do drugiej klasy II zaliczamy liczby M, spełniające: z Z : M z. Tak więc II to zbiór ograniczeń górnych zbioru Z. Ponieważ zbiór Z jest ograniczony z góry, to II jest niepusty i różny od R. Do pierwszej klasy zaliczmy wszystkie pozostałe liczby, tzn. I = R \ II. Zbiór I również jest niepusty.) Zapiszmy równoważną definicję I: Do I należą elementy M takie, że z Z : M z), tzn. z Z : M < z. Z zasady ciągłości wynika, że: i) albo w klasie I istnieje element największy, ii) albo w klasie II istnieje element najmniejszy. Pokażemy, że możliwość i) nie zachodzi. Przyjmijmy, że jest przeciwnie, tzn. że w klasie I istnieje element największy; nazwijmy go a. Ale wtedy, z definicji klasy I: x Z : x > a. Oznaczmy teraz przez a jakąkolwiek liczbę leżącą pomiędzy a oraz x; weźmy np. a = x + a). Wtedy a < x. Czy a II? Gdyby tak było, to z definicji II musiałby zachodzić warunek: z Z : z a, a tymczasem dla z = x Z mamy x > a. Znaczy Analogicznie definiujemy zbiór ograniczony z dołu 4
to, że a II, więc a I. Ale mamy też: a > a, co znaczy, że a NIE JEST elementem największym w klasie I wbrew założeniu. Otrzymaliśmy sprzeczność, co dowodzi, że zachodzi możliwość ii), tzn. w klasie II istnieje element najmniejszy. Mamy bliźniacze twierdzenie: Tw. Jeśli zbiór Z R jest ograniczony z dołu, to wśród ograniczeń dolnych zbioru Z istnieje liczba największa, zwana kresem dolnym zbioru Z i oznaczamy inf Z a czytamy: infimum Z). Dow. jest również bliźniaczy. Uwaga. Kresy zbioru nie muszą do niego należeć. Np. kresami przedziału otwartego ]a, b[: a < x < b są liczby a kres dolny) i b kres górny), nie należące do ]a, b[..5 Aksjomatyka liczb rzeczywistych Podsumujmy znane własności liczb rzeczywistych. Można je też uznać za aksjomaty, które definiują liczby rzeczywiste; wszystkie znane nam własności liczb rzeczywistych można z nich wyprowadzić.. W R mamy działanie dodawania +. Jest ono przemienne: x + y = y + x oraz łączne: x + y) + z = x + y + z) x, y, z R.. Istnieje element neutralny 0 dla dodawania, tzn. x R: x + 0 = x. 3. Dla każdego elementu x istnieje element przeciwny x: x + x) = 0. 4. W R mamy działanie mnożenia. Jest ono przemienne: x y = y x oraz łączne: x y) z = x y z) x, y, z R. 5. Istnieje element neutralny dla mnożenia, tzn. x R: x = x. 6. Dla każdego elementu x 0 istnieje element przeciwny x : x x =. Uwaga. Zbiór z tak określonymi działaniami nazywa się ciałem. Zatem R jest ciałem. 7. Istnieje w R relacja mniejszości <, tzn. każde dwie różne liczby x, y R spełniają: albo x < y, albo y < x. Relacja ta jest przechodnia, tzn. jeżeli x < y i y < z, to x < z. Zachodzi też: jeśli x < y, to x + z < y + z i, jeśli też z > 0, to xz < yz. Uwaga. Wszystkie powyższe aksjomaty są też spełnione przez liczby wymierne. Zakładamy więc, prócz wszystkich powyższych, jeszcze 8. aksjomat ciągłości Dedekinda. 5
Ciągi. Podstawowe definicje Def. Ciągiem nazywamy funkcję na zbiorze liczb naturalnych, tzn. przyporządkowanie każdej liczbie naturalnej jakiejś liczby rzeczywistej. Mówimy wtedy o ciągu o wyrazach rzeczywistych; analogicznie możemy mówić o ciągu o wyrazach naturalnych, całkowitych, wymiernych,...) Zazwyczaj ciąg zapisujemy w postaci: a, a,..., a n,... lub {a n }. Przykładami ciągów, które Czytelnik dobrze zna a jełi nie, to niniejszym poznaje), jest ciąg arytmetyczny: a n = A + Bn, ) tu A, B są pewnymi liczbami rzeczywistymi) oraz ciąg geometryczny: a n = aq n ) tu q 0, a liczby rzeczywiste). Najczęściej definiujemy ciąg przez jawnie, wzorem a n = fn) dla pewnej funkcji f w ten sposób jest zdefiniowane są ciągi powyżej, np. ciąg ): tu fn) = A + Bn). Drugim często spotykanym sposobem jest definicja rekurencyjna, w której zadaje się pierwszy wyraz ciągu oraz formułę: a n = F a n ), gdzie F jest pewną funkcją. Np. ciąg ) można równoważnie zadać jako: a = a, a n = qa n. Tutaj łatwo jest przejść od postaci rekurencyjnej do postaci jawnej; na ogół jest to jednak znacznie trudniejsze p. zadanie o ciągu Fibonacciego). Dla wielu ciągów nie potrafimy podać jawnego wzoru na n ty wyraz; np. jest tak z ciągiem liczb pierwszych wiemy, że jest ich nieskończenie wiele; stanowią podzbiór N, więc można je ustawić w ciąg. Ale jawnej postaci takiego ciągu nie potrafimy podać). Def. Ciąg {a n } nazywamy rosnącym odpowiednio: niemalejącym), jeśli n N : a n < a n+ odpowiednio, jeśli n N : a n a n+ ). Analogicznie Def. Ciąg {a n } nazywamy malejącym odpowiednio: nierosnącym), jeśli n N : a n > a n+ odpowiednio, jeśli n N : a n a n+ ). Ciągi rosnące i malejące obejmujemy wspólną nazwą ciągów monotonicznych. Przykł. Ciąg liczb nieparzystych jest rosnący; ciąg {,,,, 3, 3,...} nie jest rosnący, ale jest niemalejący; ciąg {,,,,... } nie jest ani niemalejący ani nierosnący.. Granica ciągu Def. Liczbę g nazywamy granicą ciągu nieskończonego {a n }, jeśli ɛ>0 M N : n>m : a n g < ɛ. 3) Uwaga. Ostatni warunek można też tak wypowiedzieć, że począwszy od liczby M, wszystkie następnie wyrazy ciągu mieszczą się między g ɛ a g + ɛ. Jeżeli g jest granicą ciągu {a n }, to oznaczamy to: g = lim a n. Przykł. Pokażemy, że granicą ciągu a n = jest g = 0. n Niech będzie dana jakaś liczba ɛ > 0. Musimy tak dobrać M, aby dla n > M zachodziła nierówność a n g = n < ɛ 6
Za M weźmy liczbę naturalną większą niż. Mamy więc: ɛ M dowolnego n > M zachodzi nierówność < ɛ, a to znaczy, że dla n < M < ɛ, czyli n < ɛ, co należało pokazać. Przykł. Granicą ciągu stałego: n N a n = a jest liczba a: lim a n = a, 4) bo dla każdego n mamy a n a = 0 i nierówność 3) zachodzi dla każdego wskaźnika n oraz dla każdego ɛ > 0. Przykł. Ciąg posiadający granicę nazywany jest zbieżnym. Ciąg rozbieżny to taki, który granicy nie posiada. Przykł. Ciąg a n = n nie posiada granicy, tzn. jest rozbieżny. Załóżmy bowiem, że posiada granicę g. Weżmy ɛ =. W definicji zbieżności ciągu jest warunek, że a n g < ɛ dla każdego ɛ; jeśli pokażemy, że warunek ten nie jest spełniony dla jakiegokolwiek ɛ, to tym samym pokażemy, że ciąg jest rozbieżny). Dla dostatecznie dużych n musi więc być spełniony warunek: a n g = n g <, co jest niemożliwe, bo warunek ten może być spełniony co najwyżej dla trzech wartości n dla liczby naturalnej n g, najbliższej g, oraz n g ±. Doszliśmy do sprzeczności tzn. pokazaliśmy, że ciąg a n = n nie posiada granicy, jest więc rozbieżny. Przykł. ciąg oscylujący: a n = ) n jest rozbieżny. Wystarczy wziąć ɛ = i warunek 4 3) nie będzie spełniony dla żadnego g. Można zadać pytanie, czy jeśli ciąg jest zbieżny, to czy posiada tylko jedną granicę, czy może posiadać ich wiele? Okazuje się, że zachodzi ta pierwsza możliwość: Tw. Ciąg zbieżny posiada tylko jedną granicę. Dow. Przypuśćmy, że jest przeciwnie i że ciąg a n posiada dwie granice g i g, przy czym g g, czyli g g > 0. Weźmy ɛ = g 4 g. Z definicji granicy istnieją takie dwie liczby M, M, że dla n > M zachodzi nierówność a dla n > M zachodzi nierówność a n g < ɛ, 5) a n g < ɛ. 6) Oznaczmy przez M większą z liczb M, M zapisujemy to jako: M = maxm, M )). Wtedy dla każdego n > M będą spełnione jednocześnie obie nierówności 5) i 6). Dodajmy je stronami, wykorzystując "dodawanie pod znakiem wartości bezwzględnej" 8), zmieniając uprzednio znak w nierówności 5). Otrzymujemy: g g < ɛ; ale uprzednio wzięliśmy g g = 4ɛ, czyli 4ɛ < ɛ doszliśmy więc do sprzeczności. Uwaga. W definicji granicy można zastąpić > przez, a < przez ; ani istnienie granicy, ani jej wartość jeśli istnieje) się nie zmienią przy takiej zamianie..3 Ciągi ograniczone Def. 7
. Ciąg a, a,... nazywamy ograniczonym z góry, jeśli istnieje taka liczba M, że n N : a n < M.. Ciąg a, a,... nazywamy ograniczonym z dołu, jeśli istnieje taka liczba M, że n N : a n > M. 3. Ciąg a, a,... nazywamy ograniczonym, jeśli jest jednocześnie ograniczony z góry i z dołu. Równoważnie można powiedzieć, że dla ciągu ograniczonego zachodzi: M>0 : n N : a n < M. Sytuacje te można zilustrować graficznie: W pierwszym przypadku, wszystkie wyrazy ciągu leżą poniżej prostej y = M; w drugim powyżej prostej y = M ; i w trzecim wszystkie wyrazy ciągu leżą pomiędzy prostymi y = M a y = M. Przykłady. Ciąg a n = ) n jest ograniczony. Ciąg liczb naturalnych jest ograniczony z dołu. Ciąg a n = ) n n nie jest ograniczony z góry ani z dołu. Tw. Każdy ciąg zbieżny jest ograniczony. Dow. Ciąg {a n } z założenia jest zbieżny jego granicę nazwijmy g), więc warunek 3) definiujący zbieżność ciągu zachodzi dla każdego ɛ, w szczególności dla ɛ =. Istnieje więc taka liczba M, że dla n > M mamy: a n g <. Korzystając z pierwszej z nierówności 6) mamy: a n g a n g <, z czego wynika a n < + g. Oznaczmy przez C największą spośród M + liczb: a, a,..., a M, g +. Pamiętając, że g + jest większe od a M+, a M+,..., mamy: n N : C > a n. Ciąg {a n } jest więc ograniczony..4 Działania algebraiczne na ciągach i ich granicach Tw. Zakładamy, że ciągi {a n },{b n } są zbieżne. Zachodzą wtedy następujące wzory: lim a n + b n ) = lim a n + lim b n ; 7) lim a n b n ) = lim a n lim b n ; 8) lim a nb n ) = lim a n lim b n ; 9) lim an b n ) = lim a n lim b n ta ostatnia równość ma miejsce przy założeniu, że lim b n 0). Dow. 7). Oznaczmy: g = lim a n oraz h = lim b n. Weźmy jakieś ɛ > 0. Istnieje więc taka liczba M, że 0) n>m a n h < ɛ oraz b n h < ɛ Dodając do siebie te dwie nierówności pod znakiem wartości bezwzględnej, otrzymamy n>m a n + b n ) g + h) < ɛ. 8
A to znaczy, że ciąg a n + b n jest zbieżny do granicy g + h. Wniosek. W szczególności, jeśli b n jest ciągiem stałym: b n = c dla każdego n, to mamy, z wzorów 4) i 7) lim a n + c) = c + lim a n. ) Dow. 9). Oszacujmy najsampierw różnicę a n b n gh. Mamy: a n b n gh = a n b n a n h + a n h gh = a n b n h) + ha n g). Ponieważ ciąg {a n } jest ograniczony jako ciąg zbieżny, to istnieje taka liczba A, że a n < A dla każdego n. Stosując wzory na wartość bezwzględną sumy i iloczynu, mamy a n b n gh a n b n h) + ha n g) A b n h + h a n g Teraz: weźmy drugą liczbę pełniącą analogiczną rolę jak ɛ) η > 0. Dla niej dobieramy takie M, że dla n > M mamy: a n g < η oraz b n h < η. Mamy więc a n b n gh < Aη + h η = A + h )η. Na razie nic nie zakładaliśmy o liczbie η. Uczynimy to teraz, biorąc: η = sposób mamy: n>m : a n b n gh < ɛ Tak więc!!! Udowodniliśmy wzór 9). W szczególności, biorąc b n = c, otrzymujemy ɛ. W ten A+ h lim ca n) = c lim a n, ) oraz, biorąc c =, Stąd wynika wzór 8): lim a n) = lim a n. 3) lim a n b n ) = lim a n + b n )) = lim a n + lim b n ) = lim a n lim b n. Dow. 0). Najsampierw udowodnimy następujący szczególny przypadek wzoru 0): lim = b n lim b n jeśli lim b n 0) 4) Dow. 4). Najpierw zauważmy, że dla dostatecznie dużych n zachodzi nierówność b n 0, a nawet mocniejsza: Dla dostatecznie dużych n mamy: b n > h h. Weżmy bowiem za ɛ w definicji granicy ciągu. Wtedy istnieje takie M, że n>m mamy b n h < h. Stąd h b n h b n < h, co daje b n > h. Aby udowodnić 4), oszacujmy teraz różnicę b n h = h b n hb n = h b n h b n. 9
Zauważmy, że dla dostatecznie dużych n mamy Stąd h b n < η oraz b n > h, tzn. b n < h. b n h < η h. Biorąc teraz η = ɛh, otrzymamy, że dla dostatecznie dużych n skąd wynika już wzór 0). Wzór 0) wynika z 9)4): Uwagi. lim a n b n = lim b n h < ɛ, a n ) = lim a n lim b n = lim a n b n lim b n. W założeniach przy wyprowadzaniu powyższych wzorów zakładaliśmy, że ciągi {a n } i {b n } są zbieżne. Założenie to jest istotne; może się zdarzyć, że ciąg {a n } + {b n } jest zbieżny, mimo że ciągi oddzielnie {a n } i {b n } są rozbieżne weźmy np. ciągi: a n = n, b n = n).. W definicji ciągu zakładaliśmy, że numeracja elementów zaczyna się od. Definicję tę można bezkarnie zmienić, zakładając, że ciąg zaczyna się od dowolnej liczby naturalnej n 0. 3. Stąd wynika prosta do zobaczenia właściwość ciągów: Odrzucenie skończonej ilości początkowych wyrazów ciągu nie ma wpływu na zbieżność ciągu ani na wartość jego granicy. Analogicznie, można do ciągu dołączyć dowolną skończoną ilość wyrazów. Przykł.. Ciąg a n = 3n+ 8n 5. Ciąg b n = n +n+ 9n 5n 3 3. Ciąg c n = n.5 Kolejne własności rachunkowe granicy Stw. Niech ciąg {a n } będzie zbieżny. Wówczas zbieżny jest ciąg { a n } i zachodzi lim a n = lim a n. 5) Dow. Niech lim a n = g. Mamy wtedy a n g < ɛ dla dostatecznie dużych n. Zatem a n g a n g < ɛ oraz g a n a n g < ɛ, 0
gdzie korzystaliśmy z 6). Stąd wynika, z użyciem wzoru 9): a n g < ɛ. Czyli zachodzi 5). Stw. Załóżmy, że ciągi {a n } i {b n } są zbieżne oraz n a n b n. 3 Zachodzi wtedy: W szczególności, jeśli ciąg {c n } jest zbieżny, to lim a n lim b n. 6) warunek c n 0 pociąga za sobą lim c n 0. 7) Dow. Pokażemy najsampierw ostatni wzór. Niech lim c n = h. Przypuśćmy, że h < 0, tzn. h > 0. Wtedy, dla dostatecznie dużych n mamy: c n h < h, a stąd c n h < h, a stąd c n < 0 wbrew założeniu. Teraz pokażemy, że z 7) wynika 6). Weźmy mianowicie b n a n = c n. Ponieważ a n b n, to c n 0, a więc, po przejściu do granicy: lim c n 0. A na mocy 8): zatem lim c n = lim b n lim a n, lim b n lim a n czyli lim a n lim b n. Uwaga. W nierówności 6) nie można zastąpić nierówności przez >, i analogicznie w 7) nie można zastąpić przez <. Np. ciąg {c n } = spełnia nierówność: c n n > 0, a mamy lim c n = 0. Można tę sytuację obrazowo wyrazić mówiąc, że nierówności i "zachowują się przy przejściu do granicy", natomiast nierówności > i < nie mają tej własności. Tw. o trzech ciągach). Jeśli a n c n b n i lim a n = lim b n, to ciąg {c n } jest zbieżny i zachodzi: lim c n = lim a n = lim b n. Dow. Niech lim a n = g = lim b n i niech ɛ > 0. Dla dostatecznie dużych n mamy więc Na mocy założenia a n g < ɛ oraz b n g < ɛ. a n g c n g b n g, a że ɛ < a n g i b n g < ɛ, to skąd lim c n = g. Przykłady ɛ < c n g < ɛ czyli c n g < ɛ,. lim n a = dla a > i stąd też dla 0 < a.. Przykład na wykorzystanie jw.: lim n 5 7 n + 9 3 n + 0. 3 Zgodnie z uwagą poczynioną niedawno, teza jest prawdziwa, jeśli warunek "dla każdego n" zastąpić przez "dla każdego n > n 0 ", n 0 >.
3. lim n n =. Wniosek. Jeśli lim a n = 0, to ciąg {a n } jest zbieżny i lim a n = 0. Dow. Mamy: a n a n a n i lim a n ) = 0 = lim a n..6 Podciągi Def. Niech będzie dany ciąg a, a,..., a n,... oraz ciąg rosnący liczb naturalnych m, m,..., m k,.... Ciąg a m, a m,..., a mk,... nazywamy podciągiem ciągu {a n }. Przykł. Ciąg a, a 4,..., a n,... jest podciągiem ciągu a, a,..., a n,.... Natomiast ciąg a, a, a 4, a 3,... nie jest podciągiem {a n }, ponieważ wskaźniki nie tworzą tu ciągu rosnącego. W myśl powyższej definicji, każdy ciąg jest swoim własnym podciągiem. Ponadto podciąg {a mkl } podciągu {a mk } jest podciągiem ciągu {a n }. Obrazowo można powiedzieć, że podciąg a m, a m,..., a mk,... ciągu {a n } otrzymuje się przez skreślenie w ciągu {a n } pewnej ilości wyrazów, skończonej lub nieskończonej), których wskaźniki są różne od m, m,..., m k,.... Stw. Zachodzi ogólny wzór dotyczący wskaźników dowolnego podciągu m k k. 8) Dow. Jest tak dla n =, tzn. m bo m jest liczbą naturalną). Stosując indukcję załóżmy, że dla jakiegoś n zachodzi wzór 8). Mamy wtedy: m n+ > m n > n, a zatem m n+ n, więc teza zachodzi też dla n +. W ten sposób mamy prawdziwość tezy dla dowolnego n. Tw. Podciąg ciągu zbieżnego {a n } jest zbieżny do tej samej granicy co {a n }. Tzn. jeśli lim a n = g, to również lim a mn = g. Dow. Weźmy ɛ > 0. Istnieje wtedy takie M, że dla n > M spełniona jest nierówność a n g < ɛ. Ponieważ, na mocy 8) jest m n n > M, to również a mn g < ɛ, a to znaczy, że lim a mn = g. Tw. Bolzano Weierstrassa). Z każdego ciągu ograniczonego {x n } można wybrać podciąg zbieżny. Dow. Niech ciąg {a n } będzie ograniczony. Istnieje więc taka liczba M, ż n N : M < a n < M. Oznaczmy teraz przez Z zbiór liczb x takich, że nierówność: x < a n jest spełniona dla nieskończenie wielu n. Zbiór Z jest niepusty, ponieważ liczba M Z jako że nierówność M < a n jest spełniona dla każdego n). Zbiór Z jest też ogranicznony z góry: Nie należy
bowiem do Z żadna liczba większa od M nierówność M < a n nie jest spełniona dla żadnego n i tym bardziej dla dowolnego x > M). Zbiór Z jest niepusty i ograniczony z góry, więc istnieje kres górny tego zbioru. Oznaczmy go przez g. Z definicji kresu górnego wynika, że dla każdego ɛ > 0 istnieje nieskończenie wiele n takich, że g ɛ a n g + ɛ, ponieważ: liczba g ɛ Z, g + ɛ Z. Wykażemy obecnie, że g jest granicą pewnego podciągu ciągu {a n }. Musimy więc znaleźć ciąg liczb naturalnych {m n } : m < m < m 3... w taki sposób, aby lim a mn = g. W tym celu, weźmy najpierw ɛ =. Istnieje wtedy nieskończenie wiele n N takich, że g < a n < g +. Oznaczmy przez m którąkolwiek z tych liczb niech to będzie np. pierwsza z tych liczb). Mamy w ten sposób g < a m < g +. Weźmy teraz ɛ =. Tu znów istnieje nieskończenie wiele liczb n takich, że g < a n < g +. Skoro jest ich nieskończenie wiele, to są wśród nich liczby większe od m. Weźmy którąkolwiek spośród nich i oznaczmy przez m. Mamy więc g < a m < g +, m < m. Trzeci krok jest analogiczny: Znajdujemy m 3 takie, że g 3 < a m 3 < g + 3, m < m 3 i dalej postępujemy rekurencyjnie: Mając m k, znajdujemy w opisany wyżej sposób m k+ takie, że g k + < a m k < g + k +, m k < m k+ 9) Z twierdzenia o trzech ciągach wynika teraz, że lim g ) = g = lim n g + ). n Ciąg m, m, m 3,... z konstrukcji jest rosnący, więc ciąg a m, a m, a m3,... jest podciągiem ciągu {a n }. Ze wzoru 9) widać, że lim a mn = g. Poniższe twierdzenie jest wnioskiem z tw. BW. Tw. Każdy ciąg ograniczony: nierosnący lub niemalejący, jest zbieżny. Przy tym: Dla ciągu niemalejącego: a a... mamy: k N : a k lim a n ; Dla ciągu nierosnącego: a a... mamy: k N : a k lim a n. 3
Dow. Dla ustalenia uwagi rozpatrzmy {a n } ciąg niemalejący. Oznaczmy przez Z zbiór wartosći tego ciągu, a przez g kres górny tego zbioru: g = sup Z. Mamy więc n N : g a n ; jednocześnie ɛ>0 k N : g ɛ < a k ponieważ nierówność, będąca zaprzeczeniem: k N : g ɛ a k, nie może być spełniona na podstawie definicji kresu górnego). Ponieważ ciąg {a n } jest niemalejący, to nierówność: n > M pociąga za sobą: a M a n, a stąd g ɛ < a n. A więc ɛ>0 M : n>m zachodzi g ɛ < a n g, skąd a n g < ɛ; ta ostatnia nierówność oznacza, że g = lim a n. To był dowód dla ciągów niemalejących. Dla nierosnących jest analogiczny. Przykł. zastosowań powyższego twierdzenia). Weźmy c > 0 i określmy ciąg {x n } następującym wzorem rekurencyjnym: x = c, x n+ = c + x n, tzn. x = c, x = c + c, x 3 = c + c + c,... Nie jest łatwo podać wzór ogólny na n-ty wyraz ciągu, ale proste jest policzenie jego granicy. Aby to zrobić, żauważmy najsampierw, że ciąg {x n } jest rosnący. Jest on również ograniczony z góry. Pokażemy indukcyjnie, że takim ograniczeniem górnym jest liczba c +. Istotnie, i) dla n =, mamy x = c < c +. ii) Załóżmy, że nierówność x n < c + jest spełniona dla jakiegoś n i sprawdźmy, czy jest spełniona dla n +. Mamy: x n+ = c + x n < c + + c < c + + c = + c zatem iii) nierówność x n < c + jest spełniona dla dowolnego n. Pokazaliśmy, że ciąg {x n } jest monotoniczny rosnący) i ograniczony, zatem zgodnie z Tw. powyżej jest zbieżny do skończonej) granicy g. Aby ją określić, napiszmy równość: x n+ = c + xn w postaci i przejdźmy w niej do granicy lim. Mamy: x n+ = c + x n g = c + g = g = ± + 4c g nie może być ujemne jako granica ciągu o wyrazach dodatnich), więc g = + +4c.. Niech Czytelnik Czytelniczka) spróbuje pokazać, że w ogólniejszej sytacji: y = a > 0, y n+ = c + y n, ciąg {y n } jest również zbieżny i jego granica jest równa jak poprzednio: lim y n = + +4c niezależnie od tego, jak wybierzemy "punkt startowy" a. 3. Przykład ciągu, który łatwo zdefiniować, ale niełatwo policzyć granicę. Weźmy dwie liczby dodatnie a, b, przy czym a > b. Utwórzmy średnią arytmetyczną a i geometryczną b tych liczb: a = a + b, b = a b. 4
Zachodzi nierówność: a > b 4 czyli mamy nierówności: Dla liczb a, b znowu tworzymy obie średnie: Mamy a > a > b > b a = a + b, b = a b. a > a > a > b > b > b itd. Tak więc tworzymy dwa ciągi {a n }, {b n } określone rekurencyjnie: Analogicznie jak poprzednio, mamy a n+ = a n + b n, b n+ = a n b n. a n > a n+ > b n+ > b n czyli ciąg {a n } jest malejący, zaś ciąg {b n } rosnący. Jednocześnie oba są ograniczone: Ciąg {a n } jest ograniczony z dołu przez b, a ciąg {b n } z góry przez a. Oba ciągi są więc zbieżne i oba mają granice skończone) Przejdźmy teraz w równości do granicy lim ; otrzymamy α = lim a n, a n+ = a n + b n β = lim b n. α = α + β = α = β. Ile wynosi ta wspólna) granica? granicę tę nazywa się też średnią arytmetyczno-geometryczną liczb a i b). Okazuje się, że granica ta wyraża się przez tzw. całkę eliptyczną..7 Warunek i twierdzenie Cauchy ego Tw. Ciąg {a n } jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy ɛ>0 M N : n>m : a n a M < ɛ. 30) Uwaga. Warunek 30) nazywa się warunkiem Cauchy ego; niedługo poznamy równoważną jego postać. Dow. o = Ciąg {a n } jest zbieżny; oznaczmy: lim a n = g. Niech dane będzie ɛ > 0. Istnieje więc takie M, że dla n M zachodzi a n g < ɛ. Nierówność ta zachodzi w szczególności dla n = M, tzn. a M g = g a M < ɛ. Dodając obie te nierówności pod znakiem wartości bezwzględnej, otrzymujemy 30). o = Załóżmy teraz, że warunek Cauchy ego 30) jest spełniony. Należy stąd dowieść, że ciąg jest zbieżny. Najsampierw udowodnimy, że jest ograniczony. Będziemy to robić 4 Mamy bowiem, dla a > b: a + b) ab = a ) ab + b = a ) b 0 5
analogicznie jak kilka stron temu przy dowodzie, że ciąg zbieżny jest ograniczony). Weźmy mianowicie ɛ =. Istnieje więc takie M, że dla n > M mamy a n a M <. Stąd a n a M a n a M <, a więc a n < a M +. Oznaczmy przez s liczbę większą od każdej spośród M następujących liczb: a, a,..., a M, a M +. Mamy więc n N : s > a n. To dowodzi, że ciąg {a n } jest ograniczony. Skoro tak, to na mocy tw. Bolzano-Weierstrassa wynika, że ciąg ten zawiera podciąg zbieżny. Oznaczmy ten podciąg {a mn } i niech jego granica wynosi: lim a mn = γ. Udowodnimy, że γ = lim a n. Niech będzie dane ɛ > 0. Ponieważ jest spełniony warunek Cauchy ego, to istnieje takie M, że dla n > M spełniona jest nierówność a n a M < ɛ. 3) 3 Ponieważ lim a mn = γ, to istnieje takie M, że dla n > M mamy a mn γ < ɛ. 3) 3 Można tu dobrać M tak, by M > M. W ten sposób, dla n > M obie nierówności 3) i 3) będą spełnione jednocześnie. Ponadto, ponieważ m n > n > M, to można w 3) zastąpić n przez m n. W ten sposób mamy a mn a M < ɛ. 33) 3 Dodając do siebie nierównośći 3),3) i 33), i zmieniwszy uprzednio znak pod modułem w lewej części 33), otrzymujemy nierówność a n γ < ɛ, która jest spełniona dla każdego n > M. A to oznacza, że lim a n = γ. Uwagi.. W tw. Cauchy ego można zastąpić znak ">" w nierówności n > M, oraz "<" w warunku Cauchy ego 30), przez i odpowiednio.. Warunek Cauchy ego 30) można sformułować równoważnie: ɛ>0 M N : n,m>m : a n a m < ɛ. 34) Dow. Z warunku Cauchy ego 30) wynika bowiem, że istnieje takie M, że dla n > M i dla m > M zachodzą nierówności a n a M < ɛ i a m a M < ɛ. Dodając je pod znakiem wartości bezwzględnej otrzymamy 34)..8 Ciągi rozbieżne do Def. Mówimy, że ciąg {a n } jest rozbieżny do, jeśli r>0 M N n>m : a n > r. 6
Zapisujemy to symbolicznie jako równość: lim a n =. Mówimy też, że ciąg a n posiada granicę niewłaściwą równą nieskończoności). Można obrazowo powiedzieć, że ciąg rozbieżny do to taki, którego dostatecznie dalekie wyrazy są dowolnie duże. Analogicznie określamy rozbieżność do : Mówimy, że ciąg b n jest rozbieżny do, jeśli ciąg b n jest rozbieżny do. Przykł. lim n = ; lim n =. Tw. Ciąg niemalejący {a n } nieograniczony z góry jest rozbieżny do. Dow. Ponieważ ciąg {a n } jest nieograniczony z góry, więc r R M : a M > r. Ponieważ ciąg {a n } jest niemalejący, to dla n > M mamy a n a M, zatem a n > r. Tak więc lim a n =. Analogicznie dla ciągów nierosnących: jeśli ciąg {b n } jest nieograniczony z dołu, to ma granicę niewłaściwą. Przyjmując powyższą terminologię, możemy przeformułować twierdzenie o tym, że każdy ciąg monotoniczny i ograniczony jest zbieżny: Rozszerzamy to do postaci: Każdy ciąg monotoniczny posiada granicę właściwą lub niewłaściwą w zależności od tego, czy jest ograniczony, czy nieograniczony). Tw. X Jeśli lim a n = ±, to lim a n = 0. Dow. Niech lim a n = i niech ɛ > 0. Biorąc r = ɛ, widzimy, że istnieje takie M, że dla n > M zachodzi a n > r =, tzn. ) ɛ a n < ɛ, a to oznacza, że lim a n = 0. Uwaga. Twierdzenie odwrotnie nie jest prawdziwe: Jeśli ciąg {a n } dąży do 0, to ciąg { } nie musi być rozbieżny do + lub. Jest tak np. z ciągiem a a n n = )n, zbieżnym n do zera: Ciąg a n =,, 3, 4,... ) nie jest rozbieżny do ani do. Naturalne jest oczekiwać, że suma i iloczyn ciągów rozbieżnych do też są rozbieżne do. Tak też jest w istocie. Pokażemy tu nieco wzmocnione wersje tych stwierdzeń. Tw. XX Jeśli lim a n =, a ciąg {b n } jest ograniczony z dołu, to lim a n + b n ) =. Dow. Niech M będzie stałą ograniczającą ciąg {b n } od dołu: n N M < b n. Ponieważ lim a n =, to dla danego dowolnego) r istnieje taka liczba k, że dla n > k zachodzi a n > r M. Stąd a n + b n > r, a to znaczy, że lim a n + b n ) =. Tw. XXX Jeśli lim a n = oraz ciąg {b n } jest ograniczony z dołu przez dodatnią stałą c: n N b n c > 0, to lim a n b n ) =. Dow. Weźmy jakąś dowolną) liczbę r. Z założenia o rozbieżności {a n } do ) istnieje takie k N, że dla n > k mamy a n > r. Mnożąc obie strony tej nierówności przez strony c nierówności b n c, otrzymujemy a n b n > r, co znaczy, że lim a n + b n ) =. Mamy też analogon nierówności 6): Tw. XXXX Jeśli lim a n = oraz n N : a n b n, to lim b n =. Dow. Jeśli a n > r, to tym bardziej b n > r..9 Przykłady, w tym granice ważnych ciągów Przykł.. Jeśli c > 0, to lim cn =. Wynika to natychmiast z tw. XXX. Przykł. Jeśli a >, to lim a n =. 7
Weźmy c = a ; mamy: c > 0. Na mocy nierówności Bernoulliego mamy: a n = + c) n + cn, i z Przykł. oraz tw. XXXX mamy lim a n =. Przykł. 3 Jeśli q <, to lim q n = 0. Rozpatrzmy najsampierw przypadek 0 < q <. Wówczas q. Stąd na mocy Tw. X mamy lim q n = 0. Gdy zaś mamy q <, to wtedy lim lim qn = 0. Przykł. 4 Jeśli q <, to ) n <, a więc lim q = q n = 0, ale wtedy z Tw.... wynika, że również lim + q + q + + q n ) = q Wynika to z równości: + q + q + + q n = qn+ q lim qn = 0. oraz dopiero co pokazanego faktu, że.0 Liczba e Wprowadzimy teraz ważną w analizie i nie tylko) liczbę, zwaną e, wykorzystując przy tym poznane uprzednio twierdzenia dotyczące granic ciągów. Rozważmy ciąg e n = + n) n 35) Stw. Ciąg {e n } jest rosnący. Dow. Rozwińmy wyrażenie na e n korzystając ze wzoru dwumiennego Newtona: e n = + ) n = + n n n + nn ) nn )n ) + n 3 n +... 3 nn )... n k + nn )... n n + ) + + + k) nk n n n = + + ) + ) ) +...! n 3! n n + )... k ) + + )... n ). 36) k! n n n! n n Jeśli teraz przejdziemy od e n do e n+, to w wyrażeniu powyżej przybędzie jeszcze jeden dodatni wyraz, a każdy z już istniejących się zwiększy, bo dowolny czynnik w nawiasach postaci: ) ) s n zmieni się na s n+. Stąd wynika, że e n+ > e n, czyli ciąg {e n } jest ciągiem rosnącym. Pokażemy dalej, że zachodzi też Stw. Ciąg {e n } jest ograniczony z góry. 8
Dow. Każdy z czynników w nawiasach w 36) jest mniejszy od, zatem zamieniając wszystkie czynniki w nawiasach na zwiększamy to wyrażenie. Mamy więc: e n < +! + 3! + + n! E n 37) a ciąg {E n } jest ograniczony z góry, bo jego dowolny wyraz jest mniejszy od 3, jak to wynika z następującego oszacowania: E n = + + + + + = + n n < + = 3. Ciąg {e n } jest zatem monotoniczny rosnący) i ograniczony, a więc zbieżny. Granicę ciągu {e n } oznaczamy jako e:.0. Inna postać liczby e e = lim e n = lim + n) n.78888459045... 38) Powróćmy do równości 36). Weźmy jakąś liczbę naturalną k < n i pomińmy w równości 36) wszystkie wyrazy poza k pierwszymi. Pominięte wyrazy są dodatnie, mamy więc e n >= +! ) + ) ) + + ). n 3! n n k! n Przejdźmy teraz do granicy n 5 Każdy z nawiasów wtedy dąży do ; mamy więc e +! + 3! + + k! = E k. Nierówność ta jest prawdziwa przy dowolnym k N. W połączeniu z nierównością ) mamy więc e n < E n e, skąd wynika na podstawie twierdzenia o trzech ciągach że równieź e = lim E n = + lim Jest to inna, równoważna 38) a łatwiejsza do wyliczeń, postać liczby e. Pokażemy jeszcze, że lim = n = n) e. 40) Mamy bowiem: a więc lim n = n) lim n = n n + n = ) n = n n k= k! +, n ) n = ) n lim + n lim + n 5 Pamiętajmy, że k jest dowolne, ale ustalone, gdy przechodzimy do granicy n. ) = e, 39) 9
bo lim + ) =. n To tyle na razie o ciągach i ich granicach. Do tematu będziemy w miarę potrzeby powracać; kilka ciekawych granic pojawi się, gdy będzie trochę więcej o funkcjach log i exp 0