LABORATORIUM MECHANIKI PŁYNÓW Ćwiczenie N RÓWNOWAGA WZGLĘDNA W NACZYNIU WIRUJĄCYM WOKÓŁ OSI PIONOWEJ
. Cel ćwiczenia Pomiar współrzędnych powierzchni swobodnej w naczyniu cylindrycznym wirującym wokół osi pionowej oraz porównanie z wynikami teoretycznymi.. Podstawy teoretyczne Ciecz jest w równowadze względnej wówczas, gdy pozostaje ona w stanie spoczynku względem ścian poruszającego się naczynia. Występuje to wtedy, gdy naczynie porusza się ruchem jednostajnym, jednostajnie przyspieszonym prostoliniowym lub ruchem jednostajnie obrotowym wokół osi pionowej. Efektem wizualnym równowagi względnej jest ukształtowanie swobodnej powierzchni cieczy. W naczyniu cylindrycznym, poruszającym się ruchem jednostajnie obrotowym wokół osi pionowej, powierzchnia swobodna ma kształt paraboloidy obrotowej, o osi pokrywającej się z osią obrotu naczynia. Kształt tej powierzchni moŝna opisać teoretycznie, wychodząc z równania równowagi płynu: Xd + Ydy + Zdz = 0, () gdzie: X, Y, Z współrzędne wektora jednostkowej siły masowej. Na element płynu, znajdujący się w punkcie M(,y,z) (rys. poniŝej) działają jednostkowe siły masowe o składowych: X = ω Y = ω y Z = g z ω z 0 M ω g q R y r ω y ω r ω Po podstawieniu tych wartości do równania () otrzymujemy równanie: ω dz + ω ydz gdz = 0. () Po scałkowaniu i wprowadzeniu współrzędnych walcowych wyraŝenie przybierze postać: ω r gz = C. (3)
Stałą C moŝna wyznaczyć z warunków brzegowych (r = 0; z = z 0 ), skąd wynika, Ŝe: C = g. (4) z 0 Swobodną powierzchnię cieczy opisuje równanie: r z = ω + z0, (5) g gdzie: ω - prędkość kątowa naczynia. Stałą z 0 moŝna obliczyć mając daną średnicę naczynia oraz wysokość jego napełnienia cieczą w stanie spoczynku. Z porównania objętości cieczy w spoczynku i w ruchu wynika, Ŝe: h = h, stąd: z0 = H h. (6) Korzystając z równania paraboloidy otrzymamy: z 0 R ω = H. (7) g Po podstawieniu z 0 do wzoru (5) otrzymamy równanie opisujące kształt powierzchni swobodnej cieczy w naczyniu o promieniu R, wypełnionym cieczą do wysokości H i wirującym z prędkością kątową ω: 3. Stanowisko pomiarowe ω z = H + r g R [WW] Schemat stanowiska pomiarowego przedstawiono na rys.. Składa się ono z następujących elementów: naczynie cylindryczne, obudowa naczynia, przyrząd do pomiaru współrzędnych paraboloidy, silnik napędzający naczynie, przekładnia, zespół sterowania i pomiaru prędkości obrotowej naczynia.
z H z M Układ sterujący Rys.. Schemat stanowiska pomiarowego. Rys.. Urządzenie pomiarowe
4. Program i przebieg ćwiczenia Pomiary współrzędnych paraboloidy obrotowej naleŝy wykonać dla trzech róŝnych prędkości kątowych naczynia.. Suwmiarką poziomą znaleźć oś naczynia i ustawić 0.00 na wyświetlaczu suwmiarki (średnica wewnętrzna naczynia Ø90).. Suwmiarką pionową przesunąć igłę pomiarową do powierzchni cieczy w naczyniu i ustawić 0.00 na wyświetlaczu suwmiarki. 3. W obecności opiekuna grupy uruchomić układ sterujący obrotami naczynia. Nastawić pierwszą prędkość obrotową. 4. Wykonać pierwszy pomiar dla osi naczynia poprzez opuszczenie suwmiarki pionowej do zetknięcia igły z powierzchnią cieczy zapisać współrzędne. Wycofać pionową suwmiarkę do góry, zabezpieczyć przed opadnięciem śrubką. 5. Suwmiarkę poziomą przestawić o mm w lewą stronę. Wykonać pomiar jak w p. 4. 6. Wykonać kolejne pomiary przesuwając igłę pomiarową od osi w kierunku ścianki naczynia co mm. Nie wykonywać ostatniego pomiaru (dla promienia 45mm). 7. Odczytać prędkość obrotową naczynia. 8. Nastawić drugą prędkość obrotową i wykonać pomiary wg p. 4-7. W przypadku gdy w pobliŝu osi naczynia nie moŝna wykonać pomiaru naleŝy zacząć pomiary od najniŝszego promienia na którym jest moŝliwy pomiar. 9. Nastawić trzecią prędkość obrotową i wykonać pomiary wg p. 4-7. Wyniki pomiarów i obliczeń naleŝy zestawić w tabeli i przedstawić na wykresie. Podstawą wykresu są krzywe teoretyczne (z = f(r) - linia ciągła na wykresie) uzyskane z równania równowagi powierzchni swobodnej, wyznaczone dla prędkości obrotowych z doświadczenia (wszystkie krzywe umieszczone są na wspólnym wykresie). Współrzędne powierzchni uzyskane z doświadczenia na wykresie zaznacza się znakami. 5. Przykładowe obliczenia: Dla ω = 7, s H = 84,4 mm z= 84,4 + 9 = 93,4 mm z z z teor Lp. mm mm mm mm 33,43 9,04 93,44 88,30 3 4 5 z 7, 45 = 84,4 + 33,4 = 88, mm teor g 3
Wykres: z, mm 40 30 0 0 00 90 80 70 60 50 40 30 0 0 0 0 0 30 40 r, mm