GEOMETRIA ANALITYCZNA W PRZESTRZENI
Współęde postoąte De są t osie OX OY OZ wjemie postopdłe peijąe się w puie O. Oiem pewie odie jo jedostow i om pe współęde putów odpowiedih osih. DEFINICJA Postoątm ułdem współędh w pestei wm wjemie jedoe ppoądowie żdemu putowi P tej pestei tóji li ewisth tie że - jest współędą putu peięi osią OX płs pehodąej pe put P i ówoległej do płs OYZ - jest współędą putu peięi osią OY płs pehodąej pe put P i ówoległej do płs OXZ - jest współędą putu peięi osią OZ płs pehodąej pe put P i ówoległej do płs OXY. Będiem pisć P() lu P(). Put O() wm poątiem ułdu (współędh).
DEFINICJA Weto OP [ ] wm wetoem wodąm putu P. WNIOSEK Zgodie twiedeiem Pitgos długość weto jest ów OP DEFINICJA 3 Osie OX OY OZ wm osimi ułdu (współędh). Płs OXY OXZ OYZ wm płsmi ułdu (współędh). DEFINICJA 4 Odległość putów A ( ) B ( ) jest ów AB gdie ( ) ( ) ( ) AB OB OA AB OB OA OP ( ) ( ) ( )] [ [ ]
Uwg Weto w pestei moż utożsmić miemi wmiu 3. Dodwie i możeie wetoów pe lię defiiujem j dodwie i możeie mie pe lię. Pjmijm oei: i [ ] j [] WNIOSEK Jeżeli A ( ) B ( ) to AB [ [] ( ) ( ) ( ) ( ) i ( ) j ( ) ]
DEFINICJA 5 Iloem slm dwóh wetoów wm lię ówą iloowi długośi th wetoów pe osius ąt międ imi t. os ( ) WNIOSEK 3 Jeżeli to WNIOSEK 4 Wiose 5 os ( ) Długość utu weto oś weto m mię ówą os ( )
WNIOSEK 6 (włsośi ilou slego).. ( ) ( ) λ λ 3. ( ) 4. WNIOSEK 7 Jeżeli ] [ ] [ to Dowód: ( ) T ] [ ] [
DEFINICJA 6 Iloem wetoowm weto pe weto wm weto.. w w si w w w spełiją wui: ( ) 3. Zwot weto jest ti weto w twoł ułd oietow godie ułdem współędh WNIOSEK 8 Jeżeli to
WNIOSEK Jeżeli ] [ ] [ to j i WNIOSEK 9 (włsośi ilou wetoowego).. ( ) ( ) ( ) λ λ λ 3. ( ) 4. ( ) ( ) o Dowód : ( )
WNIOSEK (itepetj geomet ilou wetoowego) Pole S powiehi ówoległoou udowego wetoh i jest ówe długośi ilou wetoowego th wetoów s t. DEFINICJA 7 Iloem miesm wetoów wm ilo ( ) WNIOSEK Jeżeli to ] [ ] [ ] [ ( )
WNIOSEK 3 (Włsośi ilou miesego).. 3. ( ) ( ) WNIOSEK 4 T weto są współpłsowe (omple) wted i tlo wted gd ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) WNIOSEK 5 (itepetj geomet ilou miesego) Ojętość ówoległośiu woego pe weto jest ów ( ) V
Płd Olić ojętość ostosłup o wiehołh A() B(3) C(3) D(5) Rowiąie: V 6 AB( AC X AD) 6 4 6 6 8 3
RÓWNANIA PŁASZCZYZNY W PRZESTRZENI I. Rówie ogóle π Płs wieją put i postopdł do weto π : A P [ ] ( ) B( ) C( ) gdie P() jest dowolm putem płs π ( ) Pjmują D A B otmujem π : [ A B C] C A B C D
Wiosi. Rówi płs postopdłh do osi OX OY lu OZ ułdu odpowiedio: A D B D C D. Rówi płs ówoległh do osi OX OY lu OZ ułdu odpowiedio: B C D A C D A B D 3. Rówie płs pehodąej pe put (): A B C
RÓWNANIA PŁASZCZYZNY W PRZESTRZENI II. Rówie odiowe płs A B C D Jeżeli to pestłją ówie ogóle oją A B C D D A D B D C D D D A B C otmujem ówie odiowe π : Put () () () są putmi peięi płs osimi ułdu. π
RÓWNANIA LINII PROSTEJ W PRZESTRZENI I. Post l pehodą pe put ] [ P i ówoległ do ieeowego weto ] [ ) Postć ieuow (popoji) l : Wiose Rówie postej l pehodąej pe put ] [ P i : ] [ P : l ) Postć pmet t t t l : Otmujem ją pjmują t
RÓWNANIA LINII PROSTEJ W PRZESTRZENI II. Postć wędiow D C B A D C B A p m ] [ ] [ C B A C B A Płd Pedstwić w posti ieuowej i pmetej postą 3 3 3 : l
ODLEGŁOŚĆ PUNKTU P ( ) OD PŁASZCZYZNY π : A B C D Metod I Wiem put P ) ( leżą do płs π Weto oml płs epim w puie P Odległość putu P ) od płs π jest ów długośi utu weto ( d P P P P weto li
Metod II Kostuujem postą l pehodąą pe put P i postopdłą do płs π : l : At Bt Ct Sum putu W wspólego postej l i płs π Odległość putu P ) ( jest ów długośi weto od płs π W P
ODLEGŁOŚĆ PUNKTU P ( ) OD PROSTEJ t l : t Metod I t Rsujem postą m iej put P i ( ) epim w im weto [ ] Sius ąt pomięd postą i wetoem P możem wlić P stępująego wou: Stąd: siα d d P P P P P P P P
ODLEGŁOŚĆ PUNKTU P ( ) OD PROSTEJ Metod II l : Kostuujem płsę postopdłą do postej l pehodąą pe put P ( ) π ( ) ( ) ( ) : Sum putu W wspólego postej l i płs π Odległość putu P ) od postej l jest ów długośi weto W P ( t t t
WZAJEMNE POŁOŻENIE DWÓCH PŁASZCZYZN : D C B A π : D C B A π C C B B A A π π i.. π π 3. Kąt międ płsmi jest ów ątowi międ wetomi lu jego dopełieiu do jeżeli te ąt jest owt i o 8 α os α
WZAJEMNE POŁOŻENIE DWÓCH PROSTYCH i. Poste mją put wspóle (d) (*) Kąt międ peijąmi się postmi jest ów ątowi międ wetomi ieuowmi th posth lu jego dopełieiu do jeżeli te ąt jest owt i o 8 α os α t t t l : p p p l : l l i
. Poste l i ie mją putów wspólh l l l l l l l ) - odległość jest ów odległośi od postej dowolego putu leżąego do postej ) - poste wm sośmi Metod I Odległość międ postmi sośmi Kostuujem płsę ówoległą do postej l wiejąą postą. Su odległość międ postmi jest ów odległośi dowolego putu postej od płs. π l Metod II (p włs studet) Kąt międ postą i płsą to ąt międ postą i jej utem płsę. π l