ALGEBRA Z GEOMETRIĄ Tadeusz Konik

Transkrypt

1 Pul opow pods el poetu Pl Rowou Polteh Cęstohowse współfsowego pe Uę Euopesą w mh Euopesego Fudusu Społeego LGEBR Z GEOMETRIĄ Tdeus Ko

2 Sps teś Rodł I Welom O welomh ówh lgeh Fue wmee 4 Rodł II L espoloe 6 Oeślee postć o l espoloe 6 Moduł spężee l espoloe 8 Postć tgoomet l espoloe 9 4 Pewstowe l espoloh 5 Postć włd l espoloe 4 Rodł III Mee w ułd ówń lowh 5 Mee 5 W 8 Me odwot ąd me 4 Ułd ówń lowh 6 Rodł IV Geomet lt O peste Euldes Elemet huu wetoowego 4 Ilo sl w peste R 7 4 Ilo wetoow w peste R 9 5 Ilo mes w peste R 4 6 Płs w peste R 4 7 Post w peste R 47 8 Post płs w peste R 49 9 Odległoś putu od płs poste odległość posth sośh 5 Powehe w peste R 5

3 I WIELOMINY O welomh ówh lgeh Neh N ęde oem l tulh post: N { } Def Fuę ewstą oeśloą woem ( ) W gde N () wm welomem -tego stop mee L ewste wm współm welomu Współ wm wem wolm tego welomu Dedą welomu est ó R l ewsth Jeśl ( ) W to lę ewstą wm pewstem welomu ( ) Twedee (Béout) L est pewstem welomu wted tlo wted gd welom te est podel pe dwum Jeśl welom W ( ) est podel pe ( ) e est podel pe ( ) to lę wm -otm pewstem tego welomu Lę wm otośą pewst Jeśl są óżm pewstm welomu W ( ) to welom te moż psć w post W ( ) ( )( ) ( ) () Pwą stoę ówoś () wm postą loową welomu Jeśl W ( ) dl dowolego R to mówm że welom te est tożsmośowo ów o psuem: W ( ) Twedee (o ołde welomu ) Kżd welom ( ) tożsmośowo ów est loem ów o wże dugego stop Neh ( ) W ęde welomem stop stop mee Def Rówe post ( ) W W tó e est W () wm ówem lgem stop lu óe ówem -tego stop Twedee Kżde ówe lgee -tego stop m o wże óżh pewstów Twedee 4 Jeśl l łowt est pewstem ów () o łowth współh to est podelem wu wolego Z twede tego w: Wose L łowt może ć pewstem ów () o łowth współh eśl est podelem wu wolego p Twedee 5 Jeśl l wme (esl) est pewstem ów () o q współh łowth gde to p est podelem wu wolego tomst q podelem współ Z powżsego twede w stępuą wose:

4 p Wose L wme (esl) może ć pewstem ów () o q współh łowth gde eśl p est podelem wu wolego tomst q podelem współ Fue wmee Neh V m ( ) ( ) Def Fuę post gde welom ( ) Jeśl m < to fuę ( ) W ędą welomm odpowedo stop m f ( ) ( ) ( ) Vm () W W e est tożsmośowo ów wm fuą wmeą f wm fuą wmeą włśwą w ppdu pewm fuą wmeą ewłśwą Kżdą fuę wmeą ewłśwą f ( ) moż psć w post: R ( ) ( ) P ( ) f m () W ( ) gde < o P m ( ) R ( ) są welomm odpowedo stop m Stąd o pode wże def w że fu R ( ) ( ) h () W w ówu () est fuą wmeą włśwą Def Ułmm postm wm fue wmee włśwe post: ( ) gde p 4q < o B C p q R ( ) B C ( p q) (4) Dl fu wmeh włśwh moż wć stępuąe twedee: Twedee Kżd fu wme włśw d sę pedstwć w post sum ułmów posth Rołdą podstwe Twede welom W ( ) otmm ( ) α s W ( ) ( ) ( ) ( p q ) ( p q ) ( p q ) α Stąd Twede dl ułm poste: α β β m < otmm stępuą ołd fu wmee włśwe V W m ( ) ( ) α α ( ) ( ) α α ( ) ( ) α α B C p q ( ) ( ) B C β ( p q ) ( p q ) B β C β s β s 4

5 gde są pewm stłm B C B C B β C β β p q ( p ) ( ) q p q B s Cs Bs C B sβ C s s sβs (5) β ps qs p q p q ( ) ( ) s B B sβ C s s C (6) α Możą ówość (5) pe welom W ( ) stępe gupuą pwą stoę wględem potęg ( m) poówuą współ p th smh potęgh po lewe pwe stoe te ówoś wm stłe (6) Płd Rołożć ułm poste fuę wmeą s β s s s Kostą e wou (5) mm 6 4 (7) 4 Możą tą ówość pe ( ) otmm 4 B ( ) ( ) ( ) B ( C D) 4 6 B B C D ( C) ( B D) B C D (8) Poówuą współ p th smh potęgh po lewe pwe stoe te ówoś otmm stępuą ułd ówń lowh: C 6 B D 4 B Rowąuą te ułd otmm że: 4 B C D Stąd (8) otmm stępuą ołd fu wmee (7) ułm poste

6 II LICZBY ZESPOLONE Oeślee postć o l espoloe Neh Z ęde oem upoądowh p l ewsth gde ( ) ( ) ( ) () Def Upoądowe p l ewsth () wm lm espolom ó Z oem l espoloh L espoloe () oć ędem młm ltem: p ( ) ( ) ( ) Lę espoloą ( ) oć ędem pe to ( ) () : W oe Z oeślm dw dł: dodw może l espoloh w stępuą sposó: ( ) ( ): ( ) () o : (4) ( )( ) ( ) Zó Z t oeślom dłm dodw może stow tw ło lowe we łem l espoloh Cło l espoloh speł stępuąe wu: ło Z we ło R l ewsth ówe m w ele Z o me edo owąe Def Dwe l espoloe ( ) ( ) Ztem Def Różą że espoloą ( ) wm ówm o psuem: ( ) ( ) ( ) l espoloh ( ) ( ) (5) wm tą lę (6) Z ówoś (6) o def dodw ówoś l espoloh otmm Stąd sąd Ztem ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (7) Def Iloem l espoloh ( ) ( ) tą lę espoloą ( ) że gde wm 6

7 (8) Stąd o def może l espoloh otmm ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Stąd def ówoś l espoloh otmm stępuą ułd ówń lowh: (9) Rowąuą te ułd otmm że () Ztem ( ) ( ) () N płd ( ) ( 4) ( )( 4) ( ) ( ) ( ) Poewż ó R l ewsth we sę w oe Z l espoloh wę żd l ewst est lą espoloą Lę ewstą o lę espoloą: ( ) l ( ) () Neh def : () ( ) Lę espoloą ( ) moż pedstwć w post ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) l (4) Postć (4) w sę postą oą l espoloe Zuwżm że l Podto ówe ( ) ( ) ( ) ( ) (5) (6) m w oe Z l espoloh dw ową (7) gdż (5) (6) otmm ( ) ( ) sąd wą ową (7) ów (6) 7

8 Rowżm lę espoloą L ewste wm odpowedo ęśą ewstą ęśą uooą l espoloe om smolm: e o m l e m (8) L ewste e o m leżą odpowedo tw os ewste os uooe ułdu współędh O L wm ęsto lm uoom Dl l espoloh mm e ( ) e e (9) m ( ) m m () Neh ędą lm espolom post: Wóws ttuą te l welom uwględą ówość (5) otmm o ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () () () ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (4) Płd Olć lo lo l espoloh Kostą e woów (5) () (4) mm ( ) ( ) 5 ( )( ) 5 ( ) ( ) 5 Moduł spężee l espoloe Neh d ęde l espolo Def Modułem l espoloe wm lę ewstą post N płd eśl 4 to () ( 4) Moduł l espoloe o geomete odległość te l od poątu O ułdu współędh O Twedee Dl dowolh l espoloh () gd () (4) 8

9 (5) Neówość (4) moż uogólć l espoloh (6) Def Lę espoloą post (7) wm lą spężoą lą espoloą N płd eśl 5 to 5 L espoloe spężoe są położoe smete wględem os ewste Wpost def l spężoe w że (8) Twedee Dl dowolh l espoloh (9) () () gd () Postć tgoomet l espoloe Neh d ęde l espolo Neh ϕ ęde ątem (dołde: mą ąt) wtm męd dodtą półosą ewstą odem łąąm lę espoloą poątem ułdu współędh O ϕ Stąd w że os ϕ s ϕ () sąd osϕ sϕ () Z ówoś () post oe l espoloe otmm ( osϕ sϕ ) () Postć () l espoloe wm postą tgoometą te l Otmlśm tem Twedee Kżd l espolo óż od de sę pedstwć sę w post tgoomete () Z oesowoś fu tgoometh s ϕ os ϕ w że stee esońee wele ątów ϕ spełąh ów () Kżde dw h óżą sę męd soą o łowtą otość l π 9

10 Kąt te wm gumetm l espoloe om smolem: g Tą wtość gumetu tó speł eówość g < π (4) wm gumetem główm l espoloe om pe g Stąd w że g g π (5) gde est dowolą lą łowtą N płd g g ( ) π π ( ) π g ( ) π g ( ) π π 4 4 Neh ędą lm espolom óżm od o pedstweu tgoometm: ( osϕ sϕ) ( osϕ sϕ ) (6) Twedee Dl dowolh l espoloh ( os( ϕ ϕ ) s( ϕ ϕ )) (7) ( os( ϕ ϕ ) s( ϕ ϕ )) (8) Z twede tego w stępuą: Wose Dl dowolh l espoloh g ( ) g g (9) g g g () eśl Płd Kostą e wou (8) olć Poewż os π s π o os π s π 4 4 wę stąd (8) mm os π π s π π 4 4 os π s π 4 4 Twedee Dl dowole l espoloe ( osϕ sϕ ) ( os ϕ s ϕ ) w sególoś () ( osϕ s ϕ ) Wó () w sę woem Move dl l espoloh Z twede () w Wose Dl dowole l espoloe ( osϕ sϕ ) Płd Olć os ϕ s ϕ () ( ) g g ()

11 Poewż 5 5 os π s π wę stąd e wou () otmm os s π π os π s π os 55π s 55π os 7 π π s 7 π π os π s π 4 Pewstowe l espoloh ( ) ( ) Neh ęde dowolą lą ewstą Om gd > sg : gd (4) gd < Twedee 4 Kżd l espolo m dw óże pewst dugego stop L espolo m tlo ede pewste Pewste wdtow l espoloe est pewą lą espoloą t (4) Podosą tą ówość stom do wdtu otmm ( ) Stąd sąd w stępuą ułd ówń o ewdomh : (4) Rowąuą te ułd uwględą ówość (4) otmm że ± gd ± gd < (44) ± sg gd Płd 4 Olć pewste wdtow 4 Kostą powżsh owżń mm 4 (45) Po podeseu te ówoś stom do wdtu po poówu ęś ewsth uooh th l otmm ułd ówń 4 (46)

12 Z dugego ów tego ułdu w że dl (47) Podstwą to do pewsego ówń ułdu (46) mm sąd otmm ówe dwuwdtowe post 4 4 Rowąuą to ówe otmm 4 Pewse th ówń est ówem spem tomst duge m pewst: (48) Stąd ów (47) otmm że (49) Z (48) (49) o ówoś (45) w że 4 lu Twedee 4 Jeśl ( osϕ sϕ ) (4) to stee dołde óżh pewstów -tego stop l espoloe (4) oeśloh woem ϕ π ϕ π os s (4) gde Z def modułu l espoloe o e wou (4) otmm ϕ π ϕ π os s dl (4) Podto ϕ ( ) π ϕ π π g g (4) Stąd ówoś o (4) w że wsste pewst -tego stop l espoloe oeśloe woem (4) leżą oęgu o śodu w poątu O ułdu współędh pomeu delą te oąg (ąt peł) ówh ęś Płd 4 Olć Poewż 4 6 (44) ( os π s π ) 6 6 wę stąd e wou (4) otmm pewst wtego stop l 6 post:

13 4 6 π π os s π π os s 4 4 5π 5π os s 4 4 7π 7π os s 4 4 Powżse pewst leżą oęgu o śodu w poątu ułdu współędh pomeu delą te oąg teówe ęś - 4 Z ftem że w oe Z l espoloh stee pewste dowolego stop żde l espoloe wąże sę stępuąe twedee we podstwowm twedeem lge: Twedee 4 Kżde ówe lgee -tego stop m w oe Z l espoloh pewstów Płd 4 Rowąć ówe (45) Gupuą odpowedo w tego ów mm ( ) ( ) ( )( ) Stąd w że (46) Rowąuą pewse ówń (46) otmm sąd (47) Poewż ( os π s π ) wę stąd e wou (4) w że pewstm ów są ówe: π π os s π π os s Stąd dugego ówń (46) otmm pewst ów (45) post:

14 Z powżsego płdu w że l spężoe są pewstm ów o współh ewsth Ogóle łtwo moż wć ostą włsoś spęże l espoloe stępuąe twedee: Twedee 4 Jeśl ówe lgee o współh ewsth m pewste espolo to l espolo spężo est tże pewstem tego ów 5 Postć włd l espoloe W oe Z l espoloh hod tw wó Eule post: ϕ e osϕ sϕ (5) N płd π e os π s π gde est dowolą lą łowtą Ze wou (5) włsoś fu tgoometh w że ϕ e osϕ sϕ (5) Z (5) (5) otmm stępuąe wo ϕ ϕ ϕ ϕ e e e e os ϕ o sϕ (5) Ze wou Eule (5) post tgoomete l espoloe w że żdą lę espoloą moż psć w post: ϕ e (54) we postą włdą te l Płd 5 Zpsć w post włde lę espoloą Poewż (55) ( ) ( ) 4 (56) wę stąd (55) e woów () otmm os ϕ sϕ sąd w że ϕ π 6 Stąd (56) otmm postć oą l espoloe (55) 7 π 4 e 6 (57) 4

15 Mee III MCIERZE WYZNCZNIKI I UKŁDY RÓWNŃ LINIOWYCH Neh m ędą dowolm lm tulm Def Fuę ( ) () tó żde pe l tulh ( ) gde m ppoądowue pewą lę wm meą wmu m Lę wm elemetem me tomst l tule wsźm tego elemetu Me wmu m om wle smolm: lu [ ] () m m m m () Mee om óweż dużm ltem: B C p [ ] (4) m O me wmu m mówm że m m wes olum tomst o elemee że est elemetem -tego wes -te olum te me Jeśl m to me wm meą postoątą tomst w ppdu pewm meą wdtową -tego stop N płd mee 5 B 7 9 mą odpowedo wm o Pews h est meą postoątą tomst dug meą wdtową dugego stop Me tó powste de me pe seślee pewe l wes olum wm podmeą te me wm żdą me B stop tó powste me pe seślee wes olum N płd me B 4 est podmeą stop me Podmeą stop me wdtowe stop ( < )

16 Powstł o me pe seślee w te me pewse olum dugego wes Def Meą tspoową (pestwoą) me [ ] m wm tą me B [ ] m że (5) T Me tspoową me om ęśe smolem: Płd Jeśl 4 7 to T 4 7 Def Mee [ ] m B [ ] m wm ówm o psuem: B wted tlo wted gd (6) Def 4 Sumą me [ ] m B [ ] m (th smh wmów) wm me B [ ] m tóe elemet są ówe (7) Płd Jeśl 5 8 B 4 6 to 7 7 B 6 Def 5 Iloem me [ ] m l λ wm me wmu m post: λ [ ] m tóe elemet są ówe λ (8) Płd Jeśl to Def 6 Iloem me [ ] m p B [ ] p wm me post: B [ ] m tóe elemet p są oeśloe woem: pp (9) Z powżse def w że moż możć pe see tlo te mee tóh pews m tle olum o dug wes Z wmoże me pe see otmuem me tó m tle wes o pews tle olum o dug me Elemet gde m owe me est ów sume loów elemetów -tego wes pewse me pe odpowede elemet -te olum duge me 6

17 Płd 4 Jeśl B 4 to B 4 Kostą def lou me moż wć stępuąe pw dl me: B B ( B C) ( B) C ( B C) ( B) C 4 ( B C) B C 5 ( B) C C B C 6 7 T ( B) B T ( B) B T T ( ) ( ) 4 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) T T Uwg Możee me ogół e est pemee t: 8 B B Płd 5 Jeśl to tomst Stąd w że B B B B 5 B 4 ( 5) 4 9 ( ) 5 4 ( 5) ( 5) Def 7 Me tóe wsste elemet są em wm meą eową om smolem O Ztem O : () Neh d ęde me wdtow -tego stop post () Def 8 Me tóe elemet są oeśloe woem dl () dl wm meą edostową om pe I Ztem 7

18 I : () Elemet twoą tw główą peątą me wdtowe post () Stąd w że me wdtow est meą edostową eśl elemet główe peąte są edm tomst po tą peątą em Dl dowole me o me eowe O edostowe I mm: 9 O O O O I I Def 9 Me wdtową tó po główą peątą m e l me post (4) wm meą dgolą Stąd w że żd me edostow est meą dgolą le e odwót Def Różą me [ ] m me B [ ] m wm me X [ ] m spełąą wue: B X (5) Różę me B om pe B Me t wse stee e elemet są ówe Ztem B (6) [ ] (7) m Def Meą odwotą do me wdtowe wm tą me wdtową B że B B I (8) Me odwotą do me om ęśe pe Uwg Ne żd me wdtow posd me odwotą N płd me eow e m me odwote gdż O B B O O I (9) W dlse ęś włdu podm pewe wue oe wstą to me wdtow mł me odwotą W Neh d ęde ó { } Def Pemutą ou wm dowol -elemetow ąg α α α () utwoo elemetów tego ou Ze ou -elemetowego moż utwoć P! pemut Def Mówm że p l α α ągu () two wesę eśl N płd w ągu post: α > α gd () < 8

19 4 5 są t wese Twoą e stępuąe p l: ; 4 ; 5 Neh d ęde me wdtow stop post: () Neh f o dowolą pemutę () ou tomst I f lość wes te pemut Pe π om ó wssth pemut ou Def Wem me wdtowe wm lę oeśloą woem: I f ( ) α α α (4) f π W me om smolm: Ztem det det [ ] (5) I f det : ( ) α α α (6) Stopeń me wdtowe wm stopem w te me Płd Kostą def w olć w: f π Wsź elemetów tego w leżą do ou { } dwe pemute o stępuąe le wes: wes wes Stąd def (6) mm (7) ( ) ( ) Z tego ou moż utwoć (8) Płd Kostą def w olć w stop teego: Wsź elemetów w (9) leżą do ou { } utwoć seść pemut o stępuąe le wes: wes wes wes wese wese wese Stąd def (6) w otmm (9) Z tego ou moż 9

20 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () Istee post memoteh sposó pmętw udow wów teego stop w shemtem Sus Z pwe sto (u dołu) w dopsuem dwe pewse olum (dw pewse wese) twom lo e m według stępuąego shemtu: () Płd Olć w Kostą e shemtu Sus mm ( ) ( ) 4 ( ) ( ) 4 6 Dl wów stop wtego wżsh pte sposo ol e są te poste Metod ol th wów podm w dlsm ągu esego włdu Rowęe Lple Neh M ęde meą wdtową powstłą me postoąte pe seślee w te me pewe l wes olum Def 4 W det M wm moem me Neh M o mo stop tó powste me wdtowe stop pe seślee w te me -tego wes -te olum gde N płd dl me teego stop M Peluem te udowę w me wdtowe stop tó w mśl def (6) est ów:

21 I f det ( ) α α α () f π Weźm pod uwgę ede ustlo elemet me Def 5 Lę post ( ) M () wm dopełeem lgem elemetu me Twedee W owęu () w det sum th słdów w tóh o wstępue elemet est ów Rowżm p -t wes w det Słd sę o elemetów: gde (4) Słd w det w tóh o wstępuą elemet (4) są podstwe Twede odpowedo ówe: gde (5) Sum wssth słdów (5) est ów wow det Ztem det (6) gde Wó (6) pedstw tw owęe Lple w det wględem -tego wes Podoe ówość post det (7) gde pedstw owęe Lple w det wględem -te olum Ze woów (6) (7) w że oste est owć w det wględem tego wes lu olum tóe mą węsą lę elemetów eowh Płd 4 Stosuą owęe Lple olć w Rową te w p wględem pewsego wes otmm ( ) ( ) ( )( ) ( ) 6 Włsoś wów Podm te pewe twede tóe w ą sposó ułtwą ole wów dowolego stop Twedee W w tóm ede wes lu olum słd sę smh e est ów eu Twedee to w thmst e woów (6) lu (7) owęe w det Twedee W me wdtowe est ów wow e me T tspoowe t T det det (8) 4

22 Twedee to w wpost def me tspoowe o dowoloś ol w wględem wes lu olum Twedee 4 Jeśl me B stop powste me pe mę e soą dwóh wes lu olum to det B det (9) Twedee 5 Jeśl w me dw wese lu dwe olum są ówe lu popoole to e w est ów eu Twedee 6 Jeśl me B powste me pe pomożee wssth elemetów edego wes lu olum pe stłą to det B det () Twedee 7 Jeśl elemet -tego ( ) wes (olum) są summ dwóh słdów ' '' gde to w te est sumą dwóh wów tóe opó -tego wes (olum) mą te sme ' wese (olum) Wes (olum) -t w pewsm wu słd sę elemetów ś w dugm elemetów '' O ede wżesh włsoś wów mąe duże stosowe p h olu mów stępuąe twedee: Twedee 8 W e uleg me eśl do elemetów edego wes (olum) dodm odpowedo elemet ego wes (olum) pomożoe pe dowol stłą Twedee 9 Sum elemetów egoś wes (olum) w pomożoh pe dopełe lgee elemetów ego wes (olum) est ów eu t () () dl o Ze woów () () o owę Lple w det wą stępuąe ówoś: det dl () dl o det dl (4) dl Twedee Jeśl elemet w det d (pod) główą peątą są ówe eu t dl < ( > ) to w te est ów loow wów główe peąte l det (5) Płd 5 Kostą owę Lple włsoś wów olć w Dodą olumę pewsą do olum tee możą stępe olumę pewsą pe dodą do olum wte oową w wględem pewsego wes otmm 4 5

23 ( ) Dodą te w ońowm wu wes te do wes pewsego wes dugego ową te w wględem duge olum dostem Ztem ( ) ( ) Me odwot ąd me Neh B ędą dowolm mem wdtowm -tego stop post: B () Twedee (Cuh ego) W lou dwóh me est ów loow wów th me l det ( B) det det B () Def Me wdtową wm meą eosolwą eśl det W ppdu pewm me wdtową wm meą osolwą Twedee Wuem oem wstąm to me wdtow mł me odwotą est ł meą eosolwą Złóżm że me wdtow est meą eosolwą t że det Stąd Twede w że me m me odwotą Oą moż wć że elemet α α α α α α α me odwote α α () α są ówe: α dl (4) det gde o dopełee lgee elemetu me oeśloe woem () Wó (4) moż psć w post ogóle: T D det T D ( ) (5) gde ( ) o me dopełeń lgeh elemetów me tspoowe T Płd Olć me odwotą do me

24 4 (6) 5 Możą dugą olumę pe dodą do olum tee oową w wględem dugego wes otmm det ( ) sąd w że me est meą eosolwą posd me odwotą Stąd e wou (5) o tego że T otmm me odwotą do me (6) post: Def Iloem lewostom me pe me B wm me C spełąą ówe B C (7) Def Iloem pwostom me pe me B wm tą me D że D B (8) Twedee Jeśl me B est meą eosolwą to odw lo steą hodą wo B C o D B (9) Neh te ęde dowolą meą wmu m t m Def 4 Rędem me wm wżs e stop moów te me tóe są óże od e Rąd me oć ędem pe N płd me m ąd gdż p mo stop dugego post m m 6 4 4

25 tomst wsste mo stop teego są ówe eu o w włsoś wów Ole ędów me (po defą) ope sę dwóh stępuąh twedeh: Twedee 4 Jeśl me B powste me pe pomożee wssth elemetów pewego wes lu olum pe lę to ęd th me są ówe Twedee 5 Jeśl me B powste me pe dode do wssth elemetów pewego wes lu olum odpowedh elemetów ego wes lu olum pomożoh pe pewą lę to B () W podm że płde ol ędu me stosuem stępuąe oe: w m pomożee m-tego wes pe stłą pomożee -te olum pe stłą Płd Zleźć ąd me () 6 4 w w Stąd w że ąd me () est ów Ztem pte ąd me l sę dodą wese (olum) pomożoe pe pewe stłe odpowedo do wh wes (olum) t otmć w me węsą lę elemetów eowh W pewm momee dohodm do msmle l e w de me Dee sę t wóws gd żd elemet óż od e due sę w m wesu w e olume otme me Wóws lość wssth elemetów eeowh est ów ędow de me Rąd me () moż leźć ostą def ędu me Rąd te me ęde ów eśl ś mo stop teego te me (w tm płde ede teeh) ęde óż od e Weźm pod uwgę p mo stop me () post: () Kostą owę Lple włsoś wów pęth oeń mm w w - 4 ( ) Poewż mo () stop teego me () oł sę óż od e wę ąd te me def est ów W tm ppdu lee ędu me def oło sę efetwese od poego weśe sposou Ne wse t w Któ e sposoów ol ędu me wem leż od ostu de me od pewe wpw huowe 5

26 4 Ułd ówń lowh Wo Cme Rowżm ułd ówń lowh o ewdomh post: (4) L gde wm współm p ewdomh ułdu (4) tomst l wm wolm tego ułdu Złóżm że me współów p ewdomh est meą eosolwą l W det (4) Jeśl speło est wue (4) to ułd (4) wm ułdem Cme W W wm wem główm ułdu (4) ówń lowh Om W det (4) gde Neh gde ędą dopełem lgem elemetów me współów p ewdomh ułdu (4) W elu we ową: ułdu (4) pomóżm pewse ówe tego ułdu pe duge pe td w ońu -te ówe pe dodm e stom Wóws otmm Gupuą w tm ówu współ p ewdomh otmm ( ) ( ) ( ) ( ) Stąd o e woów (4) (4) w że det det sąd otmm wo pewst ułdu (4) post: 6

27 W det dl (44) W det Wo (44) wą sę wom Cme dl ułdu (4) W ppdu gd (45) to ułd (4) w sę ułdem edoodm ów tego ułdu ówm edoodm W tm ppdu podstwe (4) W det dl woe ego (46) Rowąe (46) ułdu (4) wm owąem eowm Ztem ułd edood o wu główm W det m tlo owąe eowe Stąd pe otpoę w że eśl ułd edood m owąe eeowe to W det Płd 4 Rowąć ułd ówń 5 (47) 5 Poewż 7 W 7 ( ) o W ( ) 5 ( ) W ( ) 5 ( 4 4) W ( ) 5 ( 6 4) wę stąd e woów Cme otmm owąe ułdu (47) W 5 W W 5 W 5 W 5 W 5 Płd 4 Rowąć ułd edood ówń 4 (48) 4 Poewż W ( ) ( 4) wę stąd weśesh owżń w że ułd (48) m owąe eowe t 7

28 Ułd ówń lowh (4) moż owąć stosuą tw metodę meową Pmuą X B (49) ułd ówń (4) moż psć w post meowe X B (4) Jeśl me est meą eosolwą to stąd (4) otmm ( X ) B Stąd pw łąoś lou me otmm ( ) X B Ztem I X B sąd w że X B (4) Płd 4 Metodą meową owąć ułd ówń 6 Olm pew me odwotą do me współów p ewdomh ułdu (4) Poewż o (4) det ( ) ( ) (4) wę stąd e wou (5) mm Poewż T 7 (44) 5 tem (44) e wou (4) otmm X o B 6 8

29 Stąd w że pewst ułdu (4) są ówe Ułd m ówń lowh o ewdomh ( m < ) Rowżm ułd m ówń lowh post: (45) m m m o ewdomh gde m < Złóżm że me współów tego ułdu [ ] (46) est ędu m Moż wę pąć p że m m (47) m m mm Gd e te w le m-tego stop ł óż od wóws pe odpowedą mę ume ewdomh moż ułd (45) spowdć do powżsego ppdu Jeśl w ułde (45) om m t m t tm (48) gde ( m) są dowolm pmetm to stosuą do ułdu (45) o ewdomh t m wo Cme otmm edoe owąe tego ułdu leże od pmetów t ( m) współów gde m o Ztem ułd (45) m esońee wele owąń w tóh m m są dowolm stłm ś m ewdomm wom e woów Cme Płd 44 Rowąć ułd ówń (49) Me est dugego ędu gdż p mo M Stąd powżsh owżń w że p ewdomą moż pąć dowol pmet t ś poostłe ewdome wć pomoą woów Cme Pmuą tem t ułd ówń (49) moż psć w post: 9

30 t t Poewż dl tego ułdu t t W W t W 6 5t t t wę stąd e woów Cme otmm owąe ułdu (49) W W t 6 5t t (4) W W gde t est dowolm pmetem Jeśl ułd (45) est edood t: m to opó ową eowego ułd te m esońee wele owąń eeowh Ppde ogól ułdu ówń lowh Weźm te pod uwgę ułd m ówń lowh (4) m m o ewdomh gde m są dowolm lm tulm Z ułdem tm są wąe dwe mee o B (4) m m m m m m m Poewż est podmeą me B wę stąd w że B (4) Twedee 4 (Koee-Cpellego) Wuem oem wstąm owąloś ułdu ówqń (4) est ówość ędów me B Jeśl p tm wspól ąd th me est ów l ewdomh to ułd te m esońee wele owąń Z twede tego w Wose 4 Jeśl B B B < to ułd ówń (4) est odpowedo: ułdem spem e m ową m dołde edo owąe oeśloe wom Cme m esońee wele owąń leżh od pmetów Ułd edood m wse owąe gdż me B m t sm ąd me poewż óż od e tlo olumą łożoą smh e Jeśl ułd (4) est edood m o det to ułd te opó ową eowego m esońee wele owąń eeowh Uwg Jeśl B to powąwu ułdu (4) eem pod uwgę tlo ówń tego ułdu t doh w głów tego ułdu ł óż od e Rowąuą t ułd p pomo woów Cme duem pewst tóe spełą e tlo ułd łożo ówń le tże ułd wśow (4) Płd 45 Rowąć ułd ówń m

31 5 4t t (44) 9 6 t 4 Z ułdem tm wąe są dwe mee B post: o B (45) Olm pew ąd me B B w w w w w w w w Stąd eówoś (4) o ftu że p mo dugego stop me 5 4 M w że Ztem B Stąd o Twede 4 dołde ppdu Wosu 4 w że ułd (44) m esońee wele owąń leżh od dwóh pmetów Pmuą tem α β (46) gde α β są dowolm pmetm ułd ówń (44) po odueu p teego ów pme postć 5 4 t α β 4 t 6α 4β Poewż dl tego ułdu α β W 6α 4β W α 6β 4α 6β 6 5α β 5 α β W 5 α β 8 α 8β 7 8α β 4 6α 4β wę stąd e woów Cme w że W W 6 5α β t 7 8α β W W

32 Stąd o (46) otmm owąe ułdu (44) leże od dwóh pmetów α β post: α β 6 5α β t 7 8α β

33 O peste Euldes IV GEOMETRI NLITYCZN Neh R ęde oem l ewsth Def -wmową pesteą Euldes wm ó -elemetowh ągów l ewsth om smolem R Ztem R : { : ( ) gde R } () Cąg ( ) () wm putm peste euldesowe R L ewste wm współędm putu dołde: lę ewstą ( ) wm -tą współędą putu Jedowmową pesteą Euldes R utożsmm e oem R l ewsth Jeśl lu to R R wm odpowedo dwuwmową lu tówmową pesteą Euldes Dwuwmową pesteń Euldes w sę ęsto płsą Neh X ęde dowolm epustm oem weąm o me t elemet Podto eh ρ ęde euemą fuą ewstą oeśloą w oe X t spełąą wu: ρ ( ) dl ρ ( ) ρ( ) dl ρ ( ) ρ( ) ρ( ) X X dl X [ ) ρ : X () Fuę ewstą ρ spełą wu: wm metą lu odległośą ou X Wue wm wuem smet ś wue wuem lu eówośą tóąt Zó X w tóm est oeślo met wm pesteą metą Dołde pesteą metą wm pę ( X ρ ) oem tomst ρ metą tego ou Płd Neh X ęde -wmową pesteą euldesową fuą ewstą oeśloą w peste R woem: gde X est dowolm epustm R Neh podto ρ ęde ρ ( ) ( ) dl ( ) ( ) R (4) Moż wć że fu ρ oeślo woem (4) est metą t że speł wu Pesteń euldesow R t oeśloą metą w sę -wmową pesteą teńsą Pesteń teńs est sególm ppdem peste euldesowe W pte ed do ęsto odwe pestee utożsm sę Jeśl w Płde pmem to (4) w że l ( ) ( ) ρ gde ( ) ρ dl R (5)

34 Wó (5) oeśl tw tulą metę (odległość) w oe R l ewsth są putm w peste podstwe wou (4) est ów Jeśl P ( ) P ( ) ( P ) ( ) ( ) P R to odległość (met) th putów ρ (6) W ppdu peste tówmowe R wó (6) pee postć: ( P P ) ( ) ( ) ( ) gde P ( ) P ( ) ρ (7) R Elemet huu wetoowego Oem w peste teńse R put O popowdźm pe te put t weme postopdłe ose Ose te wć ędem osm współędh Fguę łożoą putu O os wm teńsm lu postoątm ułdem os współędh lu óe ułdem współędh om pe O Płs peste R pehodąe pe ose: ; ; wm płsm ułdu współędh om odpowedo pe: O O O Kteńse ułd współędh delm : pwosęte lewosęte pwosęt lewosęt O O Podoe delm upoądowe tó wetoów: e leżąh w ede płsźe mąh wspól poąte Jeśl tó wetoów est gode sęt tóą os ułdu współędh to mówm że est gode oetow pętm ułdem współędh O W ppdu pewm mówm że tó wetoów pęt ułd współędh są pewe oetowe Kżd eeow weto w peste teńse est edoe oeślo pe pode ego: długoś euu wotu Weto tóego długość est ów eu wm wetoem eowm om pe Def Weto leżą os tóego długość est ów edoś ego wot est god e wotem te os wm wesoem lu wetoem edostowm os Dowol weto leżą os moż edoe pedstwć w post: () Lę wm współędą weto os Rowżm te w peste teńse R postoąt ułd współędh O 4

35 Neh ęde dowolm wetoem eeowm o poątu w pue O Neh podto ędą odpowedo wesom os Weso te twoą tw ę otoomlą w peste R O Jeśl oą odpowedo współęde weto osh to ut postopdłe weto ose współędh gode () dą sę pedstwć w post: () Weto () wm słdowm weto odpowedo osh współędh P th oeh weto de sę pedstwć w post (o powżs sue): () Wó () pedstw tw ołd weto wględem os ułdu współędh Weto pswć ędem óweż pomoą ego współędh w post [ ] (4) Pedstwe () (4) weto uwżć ędem ówowże t [ ] (5) Weto edostowe stowąe ę otoomlą wetoów w peste R moż pomoą współędh psć w post: [ ] [ ] [ ] (6) Rowżm te pesteń teńsą -wmową R Złóżm że weto e e e stową ę otoomlą wetoów te peste t e [ ] e [ ] e [ ] (7) Wóws dowol weto eeow peste moż psć w post: [ ] e e e e (8) Weto e e e są słdowm weto tomst l współędm tego weto w peste R Jeśl w peste R de są dw put ( ) B( ) to weto B o poątu w pue ońu w pue B est ów B [ ] (9) Neh w peste R de ędą dw weto () [ ] [ ] 5

36 Def Weto wm ówm o psuem wted tlo wted gd h odpowede współęde są ówe l ( ) () Geomete weto są ówe wted tlo wted gd mą tą smą długość: te sm eue (są ówoległe) wot: Def Sumą wetoów wm weto post [ ] () Geomete sumą wetoów wm weto tóego poąte due sę w poątu weto oe w ońu weto p m oe weto pow sę poątem weto (o sue) Def 4 Iloem weto pe lę λ wm weto λ post: λ [ λ λ λ ] () Geomete loem weto pe lę λ wm weto λ współlow wetoem o długoś ówe λ woe godm e wotem weto gd λ > pewm gd λ < Neh te w peste R de ędą eeowe weto: [ ] [ ] [ ] (4) Def 5 Komą lową wetoów wm weto post λ λ λ λ (5) gde λ R dl Def 6 Weto wm lowo leżm eśl steą l λ λ λ e ąe (e euąe sę) edoeśe te że h om low est wetoem eowm t λ λ λ λ (6) Weto tóe e są lowo leże wm wetom lowo eleżm Stąd ówoś (6) w że weto są lowo eleże wted tlo wted gd λ ( λ λ λ ) (7) Dw weto oeśloe ówośm (4) są lowo leże wted tlo wted gd są współlowe t leżą ede poste lu są do e ówoległe Weto te wm wetom olem lu ówoległm Łtwo poć że weto te są lowo leże wted tlo wted gd (8) Złóżm te że w peste R de są t eeowe weto: 6

37 [ ] [ ] [ ] (9) T weto są lowo leże wted tlo wted gd są wetom ówoległm do ede płs (leżą w ede płsźe) Weto te wm wetom omplm lu współpłsowm W tówmowe peste R steą wse t weto lowo eleże le żd wó wetoów est w te peste lowo leż Złóżm że weto oeśloe pe (9) są lowo leże Isteą tem l α β γ e ąe edoeśe te że α β γ Stąd def może weto pe lę dodw wetoów oówoś wetoów otmm ułd edood ówń: α β γ α β γ () α β γ o ewdomh α β γ Stąd włsoś wów w że to ułd () mł ( łoże) owąe eeowe α β γ pote wst W () Ztem wue () est wuem oem wstąm to weto oeśloe ówośm (9) ł lowo leże w peste R Jeśl w () est óż od e l W to weto są lowo eleże Podto moż wć że eśl W > to tó wetoów est gode oetow pętm ułdem współędh Jeśl W < to tó wetoów est pewe oetow do pętego ułdu współędh Podoe w ppdu peste tówmowe moż wć że weto oeśloe pe (4) są lowo leże w peste R wted tlo wted gd W () Jeśl w () est óż od e t W to weto są lowo eleże w peste R Ilo sl wetoów w peste R Neh w peste teńse R de ędą dw eeowe weto [ ] o [ ] () Neh ϕ o ąt (dołde: mę ąt) męd wetom Def Iloem slm wetoów wm lę oeśloą woem: osϕ () Jeśl ede wetoów est wetoem eowm to : () Wpost def () w że lo sl est peme t 7

38 8 (4) Ilo sl wetoów est odel wględem dodw wetoów: ( ) ( ) o (5) Podto ( ) ( ) (6) gdż lew sto wou (6) est wetoem ówoległm do weto ś pw do weto Z def lou slego wetoów w podto że wuem oem wstąm to dw eeowe weto ł postopdłe est h lo sl ł eem l gd (7) Jeśl to stąd e wou () otmm sąd w wó długość weto : ( ) (8) Ze woów (7) (8) dl wesoów wą stępuąe ówoś: (9) o () Z () o ówoś (9) () otmm ( ) ( ) sąd w stępuą wó lo sl wetoów () () Stąd e (7) w że gd () Ze woów (8) () otmm stępuą wó długość weto [ ] () Stąd e wou () o def () lou slego wetoów otmm wó ąt ϕ męd wetom post: os ϕ (4) Neh γ β α oą ąt e two eeow weto [ ] odpowedo osm współędh Wże post: os os os : : : γ β α (5) wm osusm euowm weto Dl osusów euowh weto mm

39 os α os β os γ l os α os β os γ (6) Płd Olć ąt męd peątm ówoległoou udowego wetoh 5 (7) [ ] [ ] ϕ d d Peąte d d ówoległoou są odpowedo ówe (o sue): d d Stąd (7) w że d [ 5 ] [ ] [ 8 4] (8) o d [ 5 ] [ ] [ 4 ] (9) Ze wou (4) o (8) (9) otmm d d ( ) osϕ d d ( ) ( ) sąd w że ϕ π o o postopdłość peąth tego ówoległoou 4 Ilo wetoow wetoów w peste R Neh [ ] [ ] (4) ędą dowolm eeowm wetom w peste teńse R tomst ϕ ątem męd tm wetom l ϕ ( ) Def 4 Iloem wetoowm wetoów wm weto t że: s ϕ tó wetoów est gode oetow pętm ułdem współędh O Jeśl ede wetoów est wetoem eowm to : (4) O 9

40 4 Ilo wetoow wted tlo wted gd weto są lowo leże l ówoległe t dl (4) W ppdu gd π < < ) ( o to w że est ów polu P ówoległoou opętego (udowego) wetoh Ztem P (44) Stąd w że pole P tóąt udowego eeowh wetoh wż sę woem P (45) Z def lou wetoowego wetoów wą stępuąe ego włsoś: (46) (47) ( ) ( ) ( ) dl R m m m m (48) ( ) ( ) ( ) dl R m m m (49) ( ) (4) Podto moż wć że ( ) ( ) ( ) (4) Ze wou (47) w epemeość lou wetoowego tomst (4) odelość tego lou wględem dodw wetoów Z włsoś def lou wetoowego dl wesoów os współędh wą stępuąe ówoś: (4) Stąd włsoś lou wetoowego dl wetoów oeśloh pe (4) otmm ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) l ( ) ( ) ( ) (4)

41 4 Wó (4) moż psć e: (44) Stąd (4) w że est wetoem post: (45) Zuwżm ese że (4) (44) o włsoś wów w że gd (46) Płd 4 Olć pole tóąt o wehołh ( ) ( ) ( ) C B Ze wou (9) otmm [ ] [ ] 5 4 C B Stąd o e woów (45) (44) w że pole P tóąt udowego wetoh C B est ówe P ( ) ( ) Tożsmość Lgge Neh w peste R de ędą dw eeowe weto oeśloe ówośm (4) Neh ϕ o mę ąt męd tm wetom Stąd o def lou slego wetoowego wetoów otmm ( ) ( ) ϕ ϕ os s ( ) ( ) os ϕ sąd w tw tożsmość Lgge post: ( ) ( ) (47) 5 Ilo mes wetoów w peste R Neh w peste R de ędą t eeowe weto [ ] [ ] [ ] (5) Def 5 Lę post: ( ) : (5) wm loem mesm wetoów Stąd o e wou (45) otmm ( ) [ ]

42 4 l (5) Stąd o włsoś wów w że ( ) ( ) ( ) (54) Z powżsego wou pemeoś lou slego wetoów otmm ( ) ( ) (55) Podto dl wetoów d łtwo wć stępuąą ówość: ( ) ( ) d d d (56) Oętość ówoległośu woośu W tówmowe peste teńse R owżm ówoległoś udow teh eeowh eomplh wetoh B C h ϕ O Neh ( ) ϕ Jeśl tó wetoów est pwosęt to π ϕ < Z BC w że wsoość h ówoległośu est ów osϕ h (57) Stąd e wou (44) pole P podstw ówoległośu w że oętość V tego ówoległośu est ów ( ) os h ϕ P V l ( ) V (58) W ppdu lewosętego ułdu współędh otmm ( ) V Stąd e wou (58) w że oętość V ówoległośu opętego wetoh est ów

43 ( ) V (59) Kostą e wou (45) pole tóąt podoe dowod sę że oętość V woośu udowego teh eeowh eomplh wetoh est ów: V ( ) (5) 6 6 Płd 5 Olć oętość woośu udowego wetoh ( 4 ) B ( 9 5 ) C ( 7 ) D ( 5) Weto B C D podstwe wou (9) są ówe: [ 6 4] C [ ] [ ] B D Stąd e wou (5) otmm V ( ) 4 B C D gde 6 Płs w peste R Rowżm w ułde O płsę π Neh put P ( ) π o eh [ B C] ęde eeowm wetoem postopdłm do te płs l [ B C] π Weto postopdł do płs wm e wetoem omlm te płs P π P O Wóws płs π est oem putów P ( ) P P [ ] th że P P Poewż (6) wę stąd lou slego wetoów postopdłoś wetoów P B C otmm P [ ] ( ) B( ) C( ) Ztem ówe (6) pedstw płsę pehodąą pe put ( ) do weto [ B C] Rówe (6) moż psć w post (6) ( B ) P postopdłą B C C (6) 4

44 Oą D B C (64) ówe (6) pee postć B C D (65) Rówe (65) w sę ówem ogólm płs Jeśl wsste współ B C D w ówu (65) są óże od e wóws ówe to moż psć w post: D D D B C Pmuą w tm ówu D D B otmm tw ówe odowe płs post Płs t pe ose współędh C odpowedo w puth ( ) B ( ) ( ) N płd ówe płs pehodąe pe put: ( ) B ( 4 ) C ( ) m postć 4 l 4 6 Jeśl w ówu ogólm (65) płs π : D to płs π pehod pe poąte O ( ) ułdu współędh B C to weto oml (postopdł) [ B C] leż w płsźe postopdłe odpowedo do os lu lu ; wę płs π est odpowedo ówoległ do os lu lu ( B C ) D D C (66) to płs π pehod odpowedo pe ose lu lu 4 B lu C lu B C to płs π est odpowedo postopdł do os lu lu Z powżsh owżń w że płs ułdu współędh mą odpowedo ów: O Weźm te pod uwgę tóże put P ( ) P ( ) ( ) P e leżąe ede poste Złóżm że put te leżą płsźe π o ówu ogólm: 44

45 Poewż P ( ) P ( ) P ( ) B C D (67) π wę B C D B C D (68) B C D Rów (67) (68) twoą ułd ówń edoodh o ewdomh: B C D Poewż ułd te m owąe eeowe wę w głów tego ułdu mus ć ów eu l (69) Rówość (69) pedstw ówe płs π pehodąe pe t e współlowe P put P ( ) P ( ) ( ) Rówe (69) moż psć w post: Weto P P [ ] P P [ ] (6) leżą w płsźe π wę są wetom ówoległm do te płs Ztem ostą (6) ówe płs π pehodąe pe put P ( ) ówoległe do wetoów [ ] [ ] m postć: (6) Neh te d ęde płs π dw eeowe weto [ ] [ ] te płsźe o poątu w pue P ( ) π mąe óże eu (o sue) P P π O Weźm pod uwgę dowol put P ( ) te płs Wóws weto P P est peątą ówoległoou tóego oh leżą weto Ztem steą l (pmet) s t te że P P s t (6) OP OP otmm ówość Oą [ ] [ ] 45

46 P P Stąd (6) otmm tw ówe wetoowe płs π : s t (6) Ropsuą to ówe otmm ów pmete płs π post: s t s t (64) s t Kąt męd płsm Neh w peste π π : B C D : B C D R de ędą dwe płs: π π ϕ Płs te twoą dwe p ątów wehołowh o mh wth w pedle [ π ] Oą pe ϕ mę edego th ątów otmm os ϕ ± os ( ) gde B C B C [ ] [ ] π są wetom omlm odpowedo do płs π (65) Stąd e wou ąt wt męd wetom otmm wó ąt ϕ męd płsm π π : os B B C C ϕ ± (66) B C B C Z powżsego wou w thmst wue oe wstą postopdłoś płs π π : BB CC (67) Podto płs π π są do see ówoległe wted tlo wted gd weto omle do th płs są do see ówoległe t B C (68) B C Płd 6 Zleźć ówe płs π pehodąe pe put P ( ) P ( ) postopdłe do płs 4 Weto P [ ] P est wetoem leżąm w płsźe π tem wetoem ówoległm do te płs Dugm wetoem ówoległm do płs π est weto [ ] postopdł do płs 4 Ilo wetoow wetoów P P [ ] [ ] ęde wetoem omlm do płs π l P P [ ] π 46

47 Stąd ów (6) otmm oą pod uwgę p put P ( ) ówe płs π post: ( ) ( ) ( ) l Zuwżm ese że powżse ówe płs moż otmć ostą e wou (6) 7 Post w peste R Złóżm że w peste R de są dwe płs: π : π : B C D B C D π (7) l π π Jeśl te płs e są ówoległe to peą sę wdłuż pewe poste l Ztem ułd ówń (7) oeśl w peste R pewą postą l Jest to tw postć wędow te poste Rowżm te w ułde O dowolą postą ęde wetoem ówoległm do te poste eh put P ( ) l l Neh [ ] P P O Jeśl P ( ) est dowolm putem poste l to weto P P est ów P P t (7) gde t est dowolm pmetem Oą: OP [ ] OP [ ] mm P P Stąd (7) otmm tw ówe wetoowe poste l : t (7) Z ów (7) pęth wże oeń wą ów pmete poste l : t t (74) t ówoległ do poste l wm wetoem euowm te poste Weto [ ] l 47

48 48 Poewż post l w post wędowe oeślo ułdem (7) est ówoległ do weto C B C B wę współęde weto euowego [ ] te poste są ówe: B B C C C B C B (75) Z ówń pmeth (74) otmm tw euowe poste l post: (76) Jeśl put ( ) ( ) l P P to weto [ ] P P est ówoległ do te poste Stąd ów (76) otmm ówe poste l pehodąe pe put ( ) P ( ) P : (77) Kąt męd postm Neh w peste R de ędą dwe poste : o : l l (78) l ϕ l Neh ϕ o mę ąt męd postm l l Poewż weto [ ] [ ] są odpowedo ówoległe do posth l l wę ( ) os os ± ϕ Stąd e wou ąt męd wetom otmm os ± ϕ (79) Z powżsego wou w thmst wue postopdłoś posth l l : (7) Poste l l są ówoległe wted tlo wted gd weto ówoległe do th posth są do see ówoległe t gd (7) Podto wuem oem wstąm to poste l l peł sę (leżł w ede płsźe) est omplość wetoów: [ ] P P [ ] [ ] l (7)

49 Płd 7 Zleźć ówe poste pehodąe pe put ( ) P ówoległe do płs Weto euow sue poste est ów loow wetoowemu wetoów [ ] [ 4] postopdłh do podh płs l 5 7 [ 5 7] 4 Stąd e wou (76) otmm ówe euowe poste: 5 7 Rówe to moż pedstwć ówm pmetm post: 5 t 8 Post płs w peste Rowżm w peste płsę R postą l 7 t t R : (8) π : B C D (8) l ϕ π Neh ϕ ęde ątem wtm męd postą l płsą π Poewż weto [ ] est ówoległ do poste l weto [ B C] postopdł do płs π to os ( o ) os ( 9 ϕ) s ϕ Stąd e wou ąt męd wetom otmm wó sus ąt wtego męd postą l płsą π : B C s ϕ (8) B C Z powżsego wou otmm wue postopdłoś poste l płs π : ( gdż wted ) (84) B C o wue ówoległoś poste l płs π : B C ( gdż wted ) (85) Post l o ówu (8) leż w płsźe π oeśloe ówem (8) wted tlo wted gd speło est stępuą ułd ówń: B C D B C (86) 49

50 Płd 8 Npsć ówe poste postopdłe do płs 9 pehodąe pe put pe te płs postą Rówe poste w post pmete m postć: t t (87) t Podstwą te ów do ów płs otmm t ( t) ( t) 9 t t 6 t 9 t sąd w że t Podstwą wtość tego pmetu do ówń (87) otmm współęde putu pe: Ztem put P ( 6 4 5) est putem pe de płs postą o ówh pmeth (87) Poewż su post est postopdł do płs 9 wę weto [ ] est wetoem euowm te poste Stąd ów (76) otmm ówe euowe sue poste post: Odległoś putu od płs poste odległość posth sośh Odległość putu od płs Rowżm płsę π o ówu dowol put P ( ) π B C D (9) l P d [ B C] P π Popowdźm pe put ( ) P postą l postopdłą do płs π Poewż weto oml do płs π est wetoem euowm poste l wę e ów pmete mą postć: t C t Wstwą te ów do ów (9) płs π otmm Stąd sąd w że B t (9) ( t) B( B t) C( C t) D ( B C ) t B C D Putem peę płs π postą l est put P ( ) oeśloe wom (9) dl t oeśloego ówośą (9) B C D t (9) B C tóego współęde są 5

51 5 Stąd w że odległość d putu ( ) P od płs π est ów odległoś putów ( ) P ( ) P Ztem stąd ówoś (9) otmm ( ) ( ) ( ) ( ) t C B t C B t t t P P d Stąd e wou (9) w że C B D C B C B D C B C B C B D C B C B d Ztem odległość d putu ( ) P od płs : π D C B est ów C B D C B d (94) Odległość putu od poste Zdem te wó odległość d putu ( ) P od poste l oeśloe ówem (95) Neh ϕ o ąt męd wetoem [ ] l wetoem [ ] P P P d ϕ P l Poewż s ϕ P P d wę s ϕ P P d (96) Z def lou wetoowego wetoów mm s ϕ P P P P sąd s ϕ P P P P Stąd ówoś (96) otmm wó odległość d putu ( ) P od poste l oeśloe ówem (95): P P d (97)

52 Odległość posth sośh Def 9 Dwe poste w peste R e leżąe w ede płsźe wm postm sośm lu whowtm Neh w peste R de ędą dwe poste sośe oeśloe ówm: l : (98) l : (99) l l P ϕ d P l Weźm pod uwgę weto edostow poste l postopdłe do posth l l o weto P P [ ] Weto postopdł do wetoów [ ] [ ] m eue weto Poewż łoże weto te est wetoem edostowm wę (9) Oą pe ϕ ąt męd wetom P P otmm P P P P osϕ P P osϕ (9) Odległość d posth l l est ów długoś utu weto P P postą l t d P P osϕ Stąd e wou (9) w że d P P Uwględą w tm woe ówość (9) otmm d P P Stąd w wó odległość d posth sośh l l oeśloh ówm (98) (99) post: P P ( ) d (9) 5

53 Płd 9 Olć odległość posth sośh: : l l : 4 P l l P l 4 l Podstwą te de do wou (9) otmm W powżsm płde mm: ( ) [ ] ( ) [ ] d ( ) 4 ( ) ( ) Powehe w peste lu Rów post: R ( ) F () ( ) f () oeślą w peste R pewą powehę S Kw (l) C w peste może ć optw o peęe dwóh poweh tem może ć oeślo ułdem ówń lu Kwą C w peste ( ) F ( ) F () ( ) g( ) f (4) R moż oeślć óweż ówm pmetm: () t () t ( t) dl t [ ] (5) Weźm pod uwgę ułd ówń post ( λ) F ( λ) F (6) gde λ est pmetem pmuąm dowole wtoś P ustlom λ ułd ówń (6) mą owąe oeśl w peste pewą wą C Ruguą pmet λ ułdu (6) otmm ówe () oeśląe pewą powehę S Jeśl dl dowole wtoś pmetu λ ułd ówń (6) m owąe to oeśl o w peste R pewą odę (ó) R wh Def Kwe (le) od R oeśloe ówm (6) wm twoąm poweh S Rowżm stępe ułd ówń post: ( λ µ ) F ( λ µ ) F (7) gde λ µ są dowolm pmetm Jeśl p ustloh wtośh pmetów λ µ ułd ówń (7) m owąe to oeśl o w peste pewą wą C Gd ułd ówń (7) m owąe dl dowole p pmetów λ µ to oeśl w peste R pewą odę R wh 5

54 Złóżm że żd w od R m put wspól pewą wą C oeśloą ułdem ówń ( ) g( ) f (8) Elmuą mee ówń (7) (8) otmm pewe wąe męd pmetm λ µ post: ϕ ( λ µ ) (9) Ruguą stępe pmet λ µ ówń (7) (9) otmm ówe () pewe poweh S w peste R Poweh t ostł utwoo pe odę R wh oeśloh ówm (7) tóh żd m put wspól wą C oeśloą ułdem ówń (8) Def Kwą C peąą żdą lę od R twoąh powehę S wm eową te poweh Powehe ootowe Def Powehą ootową w peste R wm powehę S utwooą pe oót we C doooł pewe poste l leżąe w płsźe te we Kw C est wóws eową poweh S tomst post l tw osą ootu we C Złóżm że w C w ułde współędh O est oeślo ówm (8) tomst post l pow sę osą tego ułdu Wóws poweh ootow S est utwoo pe odę wssth oęgów położoh w płsh postopdłh do os tóh śod leżą os tóe pehodą pe put we C Rod oęgów o th włsośh est oeślo ówm λ µ () gde λ µ są pmetm ( λ > ) Elmuą mee ówń (8) () otmm ówe post (9) Ruguą stępe pmet λ µ ówń (9) () otmm ówe poweh ootowe w peste R post: ( ) ϕ () W sególoś gd w C est płs leż p w płsźe O wóws e ów mą postć () f () Podstwą te ów do () otmm sąd w ówe f () λ µ ( µ ) λ f () 54

55 Stąd () otmm ówe poweh ootowe post: f ( ) (4) Płd Zleźć ówe poweh ootowe powstłe ootu we C oeśloe ówm (5) doooł os Poweh t oste utwoo pe odę oęgów leżąh w płsh postopdłh do os o śodh położoh te os pehodąh pe put we C oeśloe ułdem ówń (5) Rodę th oęgów moż opsć ówm λ µ (6) Elmuą ówń (5) (6) dostem ówe 4 λ µ (7) Ruguą stępe pmet λ µ ówń (6) (7) otmm ówe poweh ootowe post 4 (8) Powehe postolowe Def 4 Powehę utwooą pe odę R l posth wm powehą postolową lu postoeślą Powehe postolowe delm : powehe stożowe powehe wlowe Def 5 Powehą stożową wm powehę utwooą pe odę l posth pehodąh pe stł put P w wehołem te poweh put de we C ędąe e eową W elu lee ów poweh stożowe o wehołu ( ) t płs o ówh: P weźm pod uwgę (9) Pehodą oe pe put P wę płs λ( ) µ ( ) oeślą ó wssth posth pehodąh pe put ( ) () P gd pmet λ µ meą sę dowole Neh eow te poweh ęde oeślo ówm (8) Elmuą ówń (8) () otmm ówe post (9) Ruguą stępe pmet λ µ ówń (9) () otmm ówe poweh stożowe post ϕ () W sególoś gd wehołe P leż w poątu ułdu współędh O to ówe poweh stożowe pee postć ϕ () 55

56 Def 6 Powehą wlową wm powehę utwooą pe odę l posth ówoległh do pewe stłe poste l pehodąh pe put de we C ędąe eową te poweh Złóżm że eow C poweh wlowe est oeślo ówm (8) tomst post l ówem wędowm oeślom pe płs: ( ) Q( ) P W elu we ów poweh wlowe weźm pod uwgę ów ( ) λ Q( ) µ P () gde λ µ są dowolm pmetm Płs te są ówoległe do poste l wę ułd ówń () gd pmet λ µ meą sę dowole oeśl odę wssth posth ówoległh do l Elmuą mee ówń (8) () otmm ówe (9) Ruguą stępe pmet λ µ ówń (9) () otmm ówe poweh wlowe post ( P( ) Q( ) ) ϕ (4) Płd Zleźć ówe poweh wlowe o eow oeśloe ówm 4 (5) twoąh ówoległh do weto [ ] Rówe poste l pehodąe p pe poąte ułdu współędh ówoległe do weto m postć lu w post wędowe: Stąd w że ów λ µ (6) gde λ µ są dowolm pmetm oeślą odę posth ówoległh do weto twoąh powehę wlową pehodąh pe put eow oeśloe pe ułd ówń (5) Elmuą ówń (5) (6) otmm że sąd w ówe ( λ ) 4 µ 4 µ λ µ l ( µ λ ) µ (7) Ruguą stępe pmet λ µ ówń (6) (7) otmm ówe poweh wlowe l ( ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) (8) Komet [TK]: 56

57 Powehe stop dugego Def 7 Powehą stop dugego w peste R wm ó putów P ( ) spełąh ówe (9) gde R dl pme ed e stłh est óż od e Roptm te sególe ppd poweh stop dugego Elpsod Elpsodą wm powehę oeśloą ówem gde > () L wm półosm elpsod Put peę elpsod osm współędh wm wehołm te elpsod Jeśl R to ówe elpsod () pee postć R () Rówe to oeśl tw sfeę dwuwmową (óe: sfeę) o śodu w pue ( ) pomeu R w peste R Z powżse def w że sfe est sególm ppdem elpsod Ogóle sfeą o śodu w pue ( ) stop dugego oeśloą ówem O S pomeu R wm powehę ( ) ( ) ( ) R () Hpeolod edopowłoow Powehę o ówu () gde > wm hpeolodą edopowłoową L wm półosm ewstm ś lę półosą uooą te hpeolod Jeśl to hpeolod t est powehą ootową w sę hpeolodą edopowłoową ootową Hpeolod edopowłoow est powehą postolową Hpeolod dwupowłoow Hpeolodą dwupowłoową wm powehę o ówu 57

58 gde > (4) Lę wm półosą ewstą tomst l półosm uoom te hpeolod Jeśl to hpeolod t est powehą ootową w sę hpeolodą dwupowłoową ootową Polod elpt Polod elpt est powehą stop dugego oeśloą ówem Hpeolod dwupowłoow m dw wehoł w puth: ( ) ( ) gde > (5) Jeśl to polod t est powehą ootową w sę polodą ootową Polod hpeol Polodą hpeolą wm powehę o ówu: gde > (6) Polod hpeol est powehą postolową Stoże Powehę stop dugego oeśloą woem (7) 58

59 gde > wm stożem Poąte ułdu współędh est wehołem stoż Jeśl to stoże est powehą ootową w sę stożem ootowm Wle elpt Wlem elptm wm powehę oeśloą ówem gde > (8) Jeśl to wle te est powehą ootową w sę wlem ootowm Wle hpeol Powehę dugego stop oeśloą ówem gde > wm wlem hpeolm (9) Wle pol Wle pol to poweh stop dugego oeślo ówem: gde p est dowolm pmetem óżm od e p (4) 59

60 Ltetu Bł-Bul lge low geometą PWN Wsw 976 Bł-Bul lge PWN Wsw 97 Bosu K Geomet lt welowmow PWN Wsw Jows W Mtemt t I II PWN Wsw 97 5 Jefmow NW Roedo ER lge low w geometą welowmową PWN Wsw Lete R Zs mtemt wżse I II WNT Wsw 98 7 Le F Geomet lt PWN Wsw Mos WP Zó dń mtemt wżse WNT Wsw 97 9 Mostows St M lge low PWN Wsw 97 Mostows St M Elemet lge wżse PWN Wsw 975 Stew W Zd mtemt dl wżsh uel tehh Cęść PWN Wsw St M Geomet lt PWN Wsw 975 St M Geomet lt wstępem do geomet welowmowe PWN Wsw 97 4 Tdos T Mtemt III WNT 99 5 Wo W Mtemt I II PWN Wsw 97 6