W. Baran, Br. Jedraszak, J. Żmuda Opole University of Technoloy Faculty of Civil Enineerin oland, 45-6 Opole, 48 Katowicka St. E-mail: wbar@wp.pl STATYKA STAU BEZMOMETOWEGO OWŁOKI HIERBOLOIDALEJ Baran W., Jędraszak Br., Żmuda J., 7 Interdependences between descriptions of state of stress, based on various parametrizations introduced for middle surface of shell are discussed in the paper. Complete analitic solutions for symmetric and antisymmetric load, obtained usin various parametrizations are presented. ractical simplifications for obtained results of system of balance equations that result from utilization of particular parametrizations are discussed. Темой статьи является оболочка типа гиперболоид вращения подвергнутый нагрузке от собственного веса. В работе учтены взаимосвязи между разными видами параметризации введенными на серединной поверхности. Этот подход дает возможность получить аналитическое решение в замкнутом виде на этапе частного интеграла для симметрического и асимметрического вида нагрузки. Показаны упращения разрешающих уравнений равновесия, полученные после использования зависимостей между рассмотренными видами параметризаций. Показаны практические примеры использования полученного решения. Wprowadzenie Dźwiary powierzchniowe są to cienkościenne ustroje nośne ukształtowane wedłu określonej powierzchni. Jeżeli powierzchnia środkowa dźwiara powierzchnioweo jest zakrzywiona pojedynczo lub podwójnie, to nazywana jest powłoką []. odstawy teorii oraz analizę pracy statycznej w ujęciu analitycznym i numerycznym cienkościennych konstrukcji powłokowych zostały przedstawione w oromnej liczbie publikacji, których obszerne zestawienie, w liczbie ponad sześciuset pozycji, podano w pracy [4]. odjęto tam również próbę całościoweo przedstawienia teorii i analizy numerycznej zadań statyki, stateczności i dynamiki wielopłatowych konstrukcji powłokowych. Z rupy powłok obrotowych do analizy statycznej w niniejszym referacie przyjęto hiperboloidę jednopowłokową. Założono w analizie statyki tej powłoki obciążenie jej dwoma podstawowymi zbiorami obciążeń: symetrycznym i antysymetrycznym po obwodzie. Zastosowany sposób obliczania sił wewnętrznych takiej powłoki polea na sformułowaniu i rozwiązaniu równania różniczkoweo w ramach różnych przybliżonych teorii powłok [, 5]. Zasadniczą trudnością na jaką natrafia się w klasycznym rozwiązaniu, jest skomplikowana postać równania rozwiązująceo układ równań równowai. Dla większości powierzchni środkowych i sposobów obciążenia, jest to równanie różniczkowe cząstkowe druieo rzędu o współczynnikach funkcyjnych. Rozwiązanie teo typu równania jest poszukiwane także metodami numerycznymi []. W pracy pokazano korzyści wynikające z uwzlędnienia różnych parametryzacji przy rozwiązywaniu równań powłok. odano funkcje przejścia i wzajemne relacje pomiędzy parametrami krzywoliniowymi występującymi w różnych parametryzacjach wprowadzonych na powierzchni środkowej hiperboloidy jednopowłokowej. Dla przyjętych opisów powierzchni środkowej oraz dla obciążenia symetryczneo i antysymetryczneo przedstawiono rozwiązanie w postaci analitycznej, opisujące siły przekrojowe. rzybliżony charakter rozwiązania wynika z uproszczeń stosowanych w teorii powłok [], opartych na założeniach Kirhchoffa Love a, a także ze wzlędu na wykorzystanie pojęcia uśrednienia. Opis parametryzacji powierzchni środkowej W celu rozwiązania układu równań równowai dla parametryzacji krzywiznowej, w naszym postępowaniu wprowadzono na powierzchni środkowej jeszcze dwie parametryzacje: prostokreślną
i symetryczną. Równania wektorowe opisujące powierzchnię środkową dla poszczeólnych parametryzacji (rys. ) mają postać: r a cos(u ) i sin(u ) j b sinh(u k r a cosh(u ) o ), (a) cos(u ) i sin(u ) j u cos(u ) i sin(u ) jcos u sin k, (b) a cos a sin r i j boct k. (c) sin sin a) arametryzacja krzywiznowa (a) b) arametryzacja prostokreślna (b) Opis oznaczeń występujących w równaniach wektorowych (a) do (c) i na rys.: u, u - współrzędne krzywoliniowe, u R; u, ; a promień w przewężeniu, a - promień podstawy, b o parametr,, - parametry kątowe,, - współczynniki dla parametryzacji symetrycznej wyrażone zależnościami: c) arametryzacja symetryczna (c) ( s) u u ( s) u u,. () Rys.. Opis powierzchni środkowej w różnych parametryzacjach Dla tak przyjętych parametryzacji określono wzajemne związki pomiędzy parametrami i współrzędnymi krzywoliniowymi [] i wyrażono je poprzez parametr przejścia: cos( ) sin( ), () (k) cosh(u ) cos( ) dzie: indeksy órne określają wielkości w odpowiednich parametryzacjach. W dalszych rozważaniach przyjęto oznaczenia: - u, u - współrzędne krzywoliniowe występujące w parametryzacji krzywiznowej; - - kąt występujący w parametryzacji symetrycznej,
-,, 9 - kąty występujące w parametryzacji prostokreślnej. Funkcje tryonometryczne kąta w następujący sposób: p cos, określono po wykorzystaniu powiązań kątowych iloczynu skalarneo: p r r cos, p sin, ct p, dzie: to składowe tensora pierwszej formy różniczkowej [, ]. Wtedy zależność tryonometryczną wiążącą wielkości kątowe w parametryzacji symetrycznej i prostokreślnej, po przekształceniu zależności () zapisano w postaci: sin sin cos. (4) Rozwiązanie oólne układu równań równowai W ramach teorii uproszczonej uoólnione siły przekrojowe błonoweo i wyznacza się je z układu równań [, ]: i b j są rozwiązaniem umowneo stanu, (5), dzie: b to składowe tensora druiej formy różniczkowej, a, to składowe wektora obciążenia (8). Dla parametryzacji krzywiznowej, po podstawieniu symboli Christoffela, oraz stosownych przekształceniach dokonanych przy przejściu wzorami transformacyjnymi do wielkości fizycznych [], układ równań (5) zapisano w postaci: dzie:,, to krzywizny łówne.,,, j,, (5a) Otrzymano układ równań różniczkowych cząstkowych. astępnie wprowadzono do trzecieo równania układu równań (5a) związek między krzywiznami łównymi: i uzyskano opis sił przekrojowych w postaci: t (6) t. ( 7) Dalej podstawiono (7) do pierwszeo równania układu (5a), co dało po przekształceniach zapis kanoniczny najprostszy z możliwych: dzie:, F,,, (8) F. (9)
astępnie wyruowano z dwóch ostatnich równań układu (5a) wielkości (7) otrzymano równanie: dzie funkcję F określono w następujący sposób: o przemnożeniu przez i równania () po z wyrażenia, w następującej postaci: F,, F,, a po wykorzystaniu wzoru. (). () u równania (8) wykonano obustronne zróżniczkowanie równania (8) po u. astępnie z przekształconych równań (8) i () wyruowano druą pochodną i uzyskano poszukiwane równanie rozwiązujące układ równań równowai F,,,, F. () Otrzymano równanie różniczkowe cząstkowym druieo rzędu. Wykorzystując wzajemne powiązania z różnych parametryzacji, pokażemy teraz możliwość dalszeo uproszczenia teo równania. rzyjmując więc zależności () i (4) oraz podstawowe wzory eometrii różniczkowej [, ], określono dla parametryzacji krzywiznowej wielkości pomocnicze opisujące pierwiastki ze współczynników pierwszej formy różniczkowej: act a a cosh u. (), sin Tak przyotowane związki oraz ich zależności zapisane w różnych konfiuracjach, umożliwiły w dalszym rozwiązywaniu zmianę zmiennej z u na. o wykonaniu stosownych podstawień i przekształceń, otrzymano równanie: dzie funkcję f określono w następujący sposób: f, (4) ct F,, f, t F a, f. (5) t Założono rozwiązanie o rozdzielonych zmiennych i otrzymano równanie różniczkowe zwyczajne druieo rzędu, o stałych współczynnikach: f. (6) ct F,, f t F a, Uzyskane równanie umożliwi w dalszej części przedstawić rozwiązanie analityczne zamknięte dla dowolnych obciążeń. orównanie o z równaniem (), daje wyobrażenie o korzyściach uzyskanych po wprowadzeniu powiązań pomiędzy różnymi parametryzacjami. rzypadek dowolneo obciążenia Jeżeli wektor w układzie odniesienia ma składowe X, Y, Z i są to odpowiednie funkcje obciążenia, to z równości: wyznacza się składowe otrzymano: Xi Y j Zk r r m, (7),, w bazach lokalnych. o rozwiązaniu odpowiednich układów równań, u cosu Yasinhu sin u Zb coshu Xasinh,
u Ycosu Xsin, (8) b Y sinu Ztanhu b X cos u. a a Rozwiązanie dla obciążenia symetryczneo Symetryczny sposób obciążenia płaszcza powłoki przy uwzlędnieniu np. oddziaływaniem ciężarem własnym, będzie występował przy ustawieniu powłoki równolele do kierunku rawitacji. Wtedy dla X, Y, Z składowe wektora obciążenia: cosh u Zb,,,, określone są wyrażeniami: tanhu ct Z. (9) cos o podstawieniu opisów (9) do (9) i do (), dla symetryczneo sposobu obciążenia otrzymano równanie rozwiązujące (4) w postaci: Z ct. (), Rozwiązanie równania () jest rozwiązaniem na etapie całki szczeólnej dla przypadku obciążenia symetryczneo. Wykonując proste całkowania i przekształcenia wyprowadzonych równań, uzyskano opis sił przekrojowe w następującej formie:,, tan, () dzie: - jest funkcją określoną w następujący sposób: u coshu u sin tanhu C ct 4 Za cos sinh sin cosh u 4 natomiast C jest stałą wyznaczoną z warunku na brzeu swobodnym z zależności: k (k) u u (). () Rozwiązanie dla obciążenia antysymetryczneo Rozwiązanie dla antysymetryczneo sposobu obciążenia płaszcza powłoki przy uwzlędnieniu np. wpływu ciężaru własneo otrzymuje się obliczając powłokę jako wspornik. Wtedy dla X, Y, Z składowe wektora obciążenia:,, określone są wyrażeniami: Ya sinhu sin, Ya coshu cos u u, Równanie rozwiązujące (6) zapisano teraz w następującej postaci: sin sin u sin Y. (4) cos f, f Y ct u. (5) Funkcja f, jako rozwiązanie równania (5) określona została wzorem: f * sin * f sinu a f Y, (6) cos cos hd cos sin hd Ccos Csin dzie: * - oznacza rozwiązanie będące funkcją jednej zmiennej; C, C to stałe całkowania spełniające warunki na brzeu, natomiast funkcję h określa wzór: h sin cos. (7) 4 sin oniżej podano zależności opisujące siły przekrojowe dla antysymetryczneo sposobu obciążenia:
f f, du ct, sin, t a. (8) Momenty przekrojowe i siły tnące Momenty zinające i skręcające towarzyszące stanowi błonowemu [, ] wyznacza się z zależności: M, (9) którą w wersji uproszczonej można zapisać w postaci: M, (9a), n 4 dzie:,,n,,, H H K. h W stanie podstawowym występują także siły tnące i wyznacza się je z równania: j M i Q. () o podstawieniu zależności (9) i wykorzystaniu pierwszeo równania układu równań (5) przekształconeo do postaci: i, otrzymano równanie () opisujące siły poprzeczne: j j Q. i () rzykład zastosowania Dla otrzymaneo rozwiązania, wykonano przykładowe obliczenia. rzyjęto żelbetową powłokę hiperboloidalną o wysokości: z = m, kształtowaną z przeznaczeniem na płaszcz chłodni kominowej (rys. ). Cechy eometryczne: Cechy materiałowe: - L =. [m], - E = 7. [Ga], - L = 9. [m], - = 6.4 [k/m ], - a = 47.5 [m], - =.667 [ - ]. - a = 6. [m], - h =. [m]. j ołudnik powłoki opisany jest równaniem: f u Rys.. Geometria powłoki i dane przyjęte do obliczeń u a, dzie: b b 6. 8 [m]. rzyjęto: beton klasy B5, rubość ścianki h =, m. Obliczenia wykonano przy użyciu własnych proramów napisanych w języku Fortran oraz wykorzystując system obliczeniowy Mathematica. W obliczeniach dokonano podziału po wysokości co 5 [m], natomiast po obwodzie co 7,5 [ ]. Taki podział dał 5 punkty obliczeniowe dla pojedynczej wielkości. Graficzną interpretację rozwiązania podano na podstawie otrzymanych wyników w zadanych punktach. a załączonych wykresach przedstawiono wartości fizyczne sił przekrojowych. Ze wzlędu na charakter rozwiązania, dla stanu symetryczneo S przedstawiono wykresy dla pojedynczych południków (rys. ), natomiast dla stanu antysymetryczneo przedstawiono wykresy przestrzenne (rys. 4a, 4b, 4c).
ozostałe siły uoólnione M i Q i, jako funkcje, i i (9), (9a) i (). Są to wielkości małe [] i przyjmują maksymalne wartości: można wyznaczyć z podanych zależności, - dla obciążenia symetryczneo: maxm M,[km/ m], maxqj Q,[k/ m] - dla obciążenia antysymetryczneo: maxm M,66[km/ m], maxqj Q,[k/ m]. [k/m] 98 5 6-5 7-98 5 8 5 75 9 u [ ] Rys.. Siły przekrojowe dla symetryczneo stanu obciążenia Max ( [m], 9[ ]) = 97.7 [k/m] Min ( [m], 7[ ]) = -97,7 [k/m] Rys. 4a [k/m] [k/m] 5 5-5 -5 5 5 75 Max ( [m], 8[ ]) = 5.9 [k/m] Min ( [m], [ ]) = - 5.9 [k/m] 9 8 u [ ] Rys. 4c Rys. 4b Rys.4. Siły przekrojowe dla antysymetryczneo stanu obciążenia: 4a. Siły, 4b. Siły 7 6 97 5-5 -97 5 5 75 Max ( [m], 9[ ]) = 96. [k/m] Min ( [m], 7[ ]) = - 96. [k/m] 9 8, 4c. Siły 7 u [ ] 6 W celu porównania wyników otrzymanych w rozwiązaniu analitycznym w zaproponowaneo rozwiązania z wynikami jakie można uzyskać z rozwiązania numeryczneo, zamodelowano powłokę w systemie Robot, który wykorzystuje MES. odział na elementy skończone pokazano na rys. 5. odczas enerowania siatki wybrano czworokątne, 4-węzłowe, powierzchniowe elementy skończone. Dokonano podziału na 4 elementów po wysokości i elementów po obwodzie. Dało to 48 elementów skończonych. Wykorzystując otrzymane wyniki obliczeń zapisane w plikach znakowych, wyenerowano po odpowiedniej konwersji raficzny obraz w systemie Mathematica. odane na przykładowych wykresach wartości sił przekrojowych (rys. 6, 7) odnoszą się do poszczeólnych elementów skończonych. orównując otrzymane wyniki (rys. 6, 7) z wynikami z rozwiązania analityczneo (rys., 4) można stwierdzić, że istnieje bardzo dobra zodność zarówno co do jakościoweo jak i ilościoweo przebieu wykresów sił przekrojowych. Dlateo dla antysymetryczneo sposobu obciążenia w niniejszej pracy podano jedynie wykres sił. Różnice wyników otrzymane z rozwiązania analityczneo zaproponowaneo w pracy i rozwiązania numeryczneo uzyskaneo w systemie Robot są mniejsze niż %, co może świadczyć o poprawności otrzymaneo rozwiązania.
5 [k/m] 45 4 5 5 5 5-5 4 5 6 7 8 9 9 Rys.6. Siły przekrojowe dla symetryczneo stanu obciążenia z rozwiązania numeryczneo 5 5 75 Rys.5. Model powłoki w systemie Robot 5-5 - 9 8 7 Max ( [m], 9 [ o ]) = 9. k/m Min ( [m], 7 [ o ]) = -9. k/m 6 u [ o ] Rys.7. Siły przekrojowe dla antysymetryczneo stanu obciążenia z rozwiązania numeryczneo odsumowanie Wybór na powierzchni środkowej odpowiedniej parametryzacji umożliwia uproszczenia rachunkowe na różnym etapie rozwiązywania powłoki. Wynikają one z opisu eometrii powierzchni środkowej. Znajomość funkcji przejścia () i wzajemnych relacji pomiędzy poszczeólnymi współrzędnymi w wykorzystywanych parametryzacjach umożliwiła uproszczenie rozwiązania układu równań równowai. Dla hiperboloidy jednopowłokowej uzyskano równanie rozwiązujące () jako równanie różniczkowe cząstkowe druieo rzędu. Dokonując rozdzielenia zmiennych otrzymano równanie różniczkowe zwyczajne druieo rzędu o stałych współczynnikach - równanie (6). Rozwiązanie zapisane w oólnej postaci zostało przedstawione dla dowolneo sposobu obciążenia. Dla obciążenia symetryczneo i antysymetryczneo po obwodzie podano rozwiązanie w postaci zamkniętej opisujące siły przekrojowe - wzory () i (8). rosta forma opisu sił przekrojowych przedstawiona w sposób analityczny i zawarta w zbiorze funkcji elementarnych ułatwia obliczenia inżynierskie. Otrzymane rozwiązania analityczne moą służyć jako narzędzie do testowania rozwiązań numerycznych i budowania niezależnych proramów na elektronicznych maszynach cyfrowych.. Baran W., Analiza statyczna powłoki hiperboloidalnej ujęcie nieliniowości eometrycznej, olitechnika Opolska, Rozprawa doktorska, Opole 998 (In olish).. Bielak S., ieliniowa teoria powłok, cz. II, Wyższa Szkoła Inżynierska w Opolu, Studia i Monorafie, zeszyt 8, Opole 995 (In olish).. Konderla., Mechanika ciała odkształcalneo o narastającej masie, olitechnika Wrocławska, seria: Monorafie, zeszyt, Wrocław 986 (In olish). 4. Chróścielewski J., Makowski J., ietraszkiewicz W., Statyka i dynamika powłok wielopłatowych. ieliniowa teoria i metoda elementów skończonych, IT A, Warszawa 4 (In olish). 5. Woźniak Cz., ieliniowa teoria powłok, aństwowe Wydawnictwo aukowe, Warszawa 966 (In olish).