WYKŁAD 4 PROSTOPADŁA FALA UDERZENIOWA
PROSTOPADŁA FALA UDERZENIOWA. ADIABATA HUGONIOTA. S 0 normal shock wave S Gazodynamika doszcza istnienie silnych nieciągłości w rzeływach gaz. Najrostszym rzyadkiem takiej nieciągłości w rzeływie jest rostoadła fala derzeniowa (PFU). S Rozważmy obszar kontrolny Ω ograniczony owierzchnią brzegową S0 S S Równania zachowania dla rzeływ stalonego rzez PFU: () masa ds 0 n () ęd ( nυ n) ds 0 (3) energia D D ( ) ( )
Plan działania:. Oisać roces termodynamiczny zachodzący odczas rzeływ rzez PFU.. Znaleźć związki omiędzy arametrami gazodynamicznymi rzed i za PFU. Zaczynamy Podzielmy () rzez () (4) Przeiszmy równanie (3) w ostaci ( )( ) (5) Stosjąc (4) równanie (5) może być zaisane nastęjąco ( ) (6)
Lewa strona równania (6) może być rzekształcona nastęjąco (korzystamy w równania zachowania masy () ) LHS ( 6 ) Równanie (6) rzyjmje ostać (7) Mnożymy równanie (7) rzez i otrzymjemy związek omiędzy wielkościami. i Otrzymaliśmy formłę oisjącą roces termodynamiczny, którem odlega gaz rzeływający rzez PFU! Formła ta nosi nazwę adiabaty Hgoniota. (8)
Otrzymana formła różni się od formły roces izentroowego (zwanego adiabatą Poissona). Przyjrzyjmy się tem bliżej Zaważmy, że dla fnkcja (8) ma asymtotę ionową. Wynika z tego, że odczas rzechodzenia rzez PFU gęstość gaz nie może wzrosnąć bardziej niż razy. Dla 4. (gaz dwatomowy) maksymalna wartość stosnk to 6. Oznaczmy y Formła (8) rzyjmje ostać Obliczmy ierwszą ochodną, x, x yx ( ) x ( )( ) y( x) yhgoniot ( ) ( x) Dla rzeływ izentroowego mamy y( x) x, zatem y( x) x y () Poisson
Ponadto ( )( ) y Hgoniot ( x) y Hgoniot ( ) ( ) 3 ( x) y ( x) ( ) x y ( ) ( ) isentroic isentroic Widzimy, że linie oisjące adiabaty Hgoniota (dla PFU) i Poissona (roces izentroowy) są w nkcie x ściśle styczne. Z fizycznego nkt widzenia oznacza to, że słabe fale derzeniowe są rawie izentroowe. Istotnie, z własności ścisłej styczności adiabat wynika, że 3 C [( ) ] Hgoniot isentroic gdzie C jest ewną stałą. W szczególności, dla Poissona są niemal nierozróżnialne (vide obrazek). 3 adiabaty Hgoniota i
30 5 Rankin-Hgoniot and Poisson adiabats ( =.4) Normal shock wave (Rankin-Hgoniot) 0. / 5 0 5 Isentroic flow (Poisson) 0.5.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6
ENTROPIA I ZWIĄZKI GAZODYNAMICZNE DLA PFU Z -szej Zasady Termodynamiki mamy dq d dt d dt d ds ( di ) c c R T T T T T Z równania stan (Claeyrona) RT wynika, że d d dt dt d d ln ln lnt const T T i różniczka entroii właściwej może być zaisana w ostaci Po scałkowani otrzymjemy d d d d d ds c R cv c s c ln c ln const c ln( ) const v v cv
Z otrzymanej formły wynika wzór oisjący zmianę entroii omiędzy dwoma stanami termodynamicznymi gaz, a mianowicie s s s ln ln ln ln c c v v Zaważmy, że dla adiabaty Hgoniota ma miejsce nierówność Hgoniot s 0 Wynika stąd, że fala derzeniowa, która rowadziłaby do sadk gęstości i ciśnienia (fala rozrzedzeniowa) rzeczy -giej Zasadzie Termodynamiki. Wnioskjemy, że w rzyrodzie istnieją wyłącznie zgęszczeniowe (i srężające gaz) fale derzeniowe. Hgoniot s 0
Zobaczmy co z tego dalej wynika Zaważmy, że skoro PFU Z równania energii wynika dalej, że to z równania zachowania masy mamy T T ( ) / c 0 T T czyli gaz o rzekroczeni fali derzeniowej ogrzewa się. Pokażemy, że rzeływ rzed falą derzeniową jest (w kładzie odniesienia związanym z falą) zawsze naddźwiękowy, a za PFU oddźwiękowy. W tym cel zaiszmy równanie energii w nastęjącej ostaci a ( ) ( ) ( ) M
Pisząc to równanie w nktach odowiednio rzed i za PFU otrzymjemy równości a ( ) ( ) a ( ) ( ) Nastęnie odejmjemy je stronami. a a ( Równ. 4 ) Po rostych rzekształceniach otrzymjemy związek Prandtla dla PFU który imlikje, że a and a, a a
Co z liczbami Macha? Równanie energii a a ( ) dzielimy rzez kwadrat rędkości gaz i otrzymjemy równość Po rostych rzekształceniach mamy W owyższej równości wynika, że a M a M a M, a M
Zatem, rzeływ rzed PFU jest naddźwiękowy, a za PFU oddźwiękowy. Wielkość a zwana jest wsółczynnikiem rędkości. W rzeciwieństwie do liczby Macha, wsółczynnik rędkości rzyjmje wartości z rzedział ograniczonego, a mianowicie M lim, lim M Liczba Macha M (za PFU) może być wyrażona jako fnkcja liczby Macha M (rzed PFU). Wykorzystjąc związek Prandtla, możemy naisać a a M M skąd wynika, że ( ) M M M
Podobnie, można wyrazić jako fnkcje liczby Macha rzez PFU inne stosnki wielkości gazodynamicznych. N. stosnek gęstości wynika z równania zachowania masy M a M a a ( M ) ( M ) ( M ) ( M ) [ M ( M )] M ( M) a M ( M) a0 a iz. 0 iz. W cel obliczenia stosnk ciśnień (jako fnkcji M ) rzekształcimy równanie ęd w nastęjący sosób ( M ) const a Stosjąc otrzymaną równość w nktach rzed i za PFU otrzymjemy związek M ( M) M ( M )
Przeływ rzez falę derzeniową jest (z założenia) adiabatyczny, zatem temeratra całkowita T 0 nie lega zmianie (formalnie T0 T0 T0 ). Mamy zatem gdzie stosnek 0 3) T T T0 ( M ) ( M ) T T T [ M ( M )] 0 T / T wyraża wzór wyrowadzony z równania energii (vide Wykład nr T ( M ) M T Otrzymane zależności rzedstawiają oniższe wykresy 0
0.9 0.8 0.7 M 0.6 0.5 0.4 0.3 NORMAL SHOCK WAVE ( 3 4 5 6 7 8 M / 5 4 3 0 Na koniec rozważmy zmiany ciśnienia całkowitego (siętrzenia) wywołane obecnością PFU. Rozważmy roces oisany schematem 0 izentroowe PFU rozędzanie 9 8 7 6 5 4 3 NORMAL SHOCK WAVE (.5.5 3 3.5 M izentroowe sowolnienie 0 0.5.5 3 3.5 M Pokażemy, że o rzejści gaz rzez falę derzeniową ciśnienie całkowite maleje. 4.5 4 3.5 3.5.5 NORMAL SHOCK WAVE ( / T /T
Uzasadnienie tego stwierdzenia rzebiega nastęjąco. Wiemy, że entroia gaz na fali derzeniowej wzrasta. Wyrowadzona wcześniej formła dla zmian entroii może być zaisana dla arametrów siętrzenia, a mianowicie s s 0 ln c v ln 0 0 0 0 Ponieważ temeratra siętrzenia (całkowita) nie lega zmianie, to Zatem T T T 0 0 0 0 0 równanie Claeyrona 0 0 s 0 ( )ln 0 0 0 0. c v 0 / 0 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0. NORMAL SHOCK WAVE (.5.5 3 3.5 M