Podstawy Fizyki IV Optyka z elementami fizyki współczesnej wykład 7, 04.06.01 wykład: pokazy: ćwiczenia: Czesław Radzewicz Radosław Chrapkiewicz, Filip Ozimek Ernest Grodner
Wykład 6 - przypomnienie doświadczenie Rutherforda doświadczenie Francka-Hertza kwantowy moment pędu obserwable atom wodoru według Bohra kwantowo-mechaniczny model atomu wodoru - liczby kwantowe - stany stacjonarne: funkcje falowe i energie własne - rozkłady przestrzenne ładunku inne stany skupienia
laser V V sprzężenie zwrotne V t generator sygnałów elektrycznych LASER Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation generator spójnego promieniowania z zakresu UV-VIS-IR Nagroda Nobla z fizyki 1964: C. H. Townes, N. G. Basov, A. M. Prokhorov
przejścia radiacyjne w atomach, 1 Proste reguły: 1. Atomy mogą pochłaniać bądź wyświecać fotony. Obowiązuje zasada zachowania energii: ħω = E n E m H 3. Istnieją reguły wyboru dla przejść radiacyjnych, na przykład, w atomie wodoru Δl = ±1 4. Możliwe procesy wymuszone (absorpcja, emisja) oraz proces spontaniczny (emisja)
przejścia radiacyjne w atomach, Emisja spontaniczna E E E 1 E 1 W próżni szybkość emisji spontanicznej A 1 zależy wyłącznie od atomu. Oznaczmy przez N i N 1 gęstości atomów w stanie dolnym i górnym. Emisja spontaniczna przenosi atomy z poziomu górnego do dolnego. Dla dużej liczby atomów w próbce mamy: dn dt = dn 1 dt = A 1N Po wzbudzeniu impulsowym obserwujemy zanik wykładniczy N t = N 0 e A1t = N 0 e t τ sp τ sp - czas spontanicznego zaniku populacji w stanie górnym wyznaczamy doświadczalnie
Emisja wymuszona przejścia radiacyjne w atomach, 3 E E klonowanie fotonów - ograniczenia kwantowe E 1 E 1 Szybkość emisji wymuszonej zależy od atomu i gęstości promieniowania dn 1 dt = dn dt = B 1u ω N Absorpcja E 1 E E 1 E 1 Szybkość absorpcji zależy od atomu i gęstości promieniowania dn dt = dn 1 dt = B 1u ω N 1
prozejścia radiacyjne w atomach, 4 Bilans szybkości przejść R 1 = A 1 + B 1 u ω N R 1 = B 1 u ω N 1 A 1, B 1, B 1 - współczynniki Einsteina przejść promienistych W równowadze: R 1 = R 1 N 1 = A 1+B 1 u ω N B 1 u ω W równowadze termodynamicznej: N 1 = e ħω kt N Jednocześnie, wiadomo, że dla ciała doskonale czarnego: u ω, T = hω3 1 π c 3 e ħω kt 1 u ω = Szukamy: B 1 A 1, B 1 B 1 A 1 B 1 e ħω kt B 1 = A 1 B 1 B 1 e ħω kt 1 B 1 B 1 = B 1 A 1 B 1 = hω3 π c 3 Dla dużych częstości emisja spontaniczna dominuje.
wzmacniacz światła Φ in = I ħω Φ out = I out ħω Interesuje nas osłabienie/wzmocnienie fali EM dodatkowe fotony w wiązce są spójne z fotonami w wiązce wejściowej: E out z, t = ae in (z, t) fala monochromatyczna Φ ω, 1 m s Inny sposób zapisania szybkości przejść wymuszonych korzysta z przekroju czynnego σ: Szybkość absorpcji (emisji wymuszonej) dla pojedynczego atomu σφ R 1 = σφn 1 - liczba fotonów absorbowanych w jednostce czasu i jednostkowej objętości R 1 = σφn - liczba fotonów emitowanych w jednostce czasu i jednostkowej objętości wskutek emisji wymuszonej
kształt linii spektralnej, 1 Przypomnienie: wykład 4 n R (ω) 1 + n I (ω) Ne 4mε 0 ω j ω j ω f j ω j ω +γ j Ne f j γ j 4mε 0 ω j ω j ω +γ j Nie ma linii spektralnych o zerowej szerokości zawsze mamy jakiś profil różny od delty Diraca Wprowadzamy różniczkowy przekrój czynny (gęstość spektralna prz. czynn.): σ ν, m Hz 0 σg ν dν σ ν = σg ν = σ g ν dν = 1 0 R 1 = σ ν ΦN 1 dν - liczba fotonów o częściach z przedziału ν, ν + dν absorbowanych w jednostce czasu i jednostkowej objętości
kształt linii spektralnej, g v duża szerokość linii mały przekrój w maksimum Poszerzenie linii: 1. Naturalne ΔE Δt ħ 1 Δν. Zderzeniowe 3. Dopplerowskie g v g v Gauss Lorentz profil lorentzowski g ν, ν 0, γ = 1 π γ ν ν 0 +γ v 0 v profil dopplerowski g ν, ν 0, m, T = (Gauss) mc exp mc ν ν 0 πktν 0 ktν 0
bilans strat i wzmocnienia Chwilowo, pomijamy emisję spontaniczną dz A 0 z dn = R 1 R 1 dv - zmiana liczby fotonów w plasterku dz ale R 1 = σ(ν)φn 1 dν R 1 = σ(ν)φn dν dφ = dφ Φ R 1 R 1 dz = σφ N N 1 dz = σ N N 1 dz γ 0 = σδn ΔN = N N 1 współczynnik wzmocnienia nienasyconego inwersja obsadzeń
Wzmocnienie światła dφ Φ = γ 0dz Φ z = Φ(0)e γ 0z γ 0 > 0 ΔN > 0 0 0 0 0 z w równowadze termodynamicznej obowiązuje rozkład Boltzmana górny poziom ma mniejsze obsadzenie niż dolny: N = e E E 1 kt N 1 konieczne specjalne przygotowanie ośrodka - pompowanie ΔN > 0 ujemna temperatura
równania bilansu obsadzeń 3 układ 4-poziomowy k 3 szybkości przejść spontanicznych (radiacyjnych i nieradiacyjnych): k 3 = 1, k τ 10 = 1, A 3 τ 1 = 1, 10 τ 1 P A1 1 szybkości przejść wymuszonych σφ szybkość pompowania P 0 k 10 Należy rozwiązać i znaleźć ΔN = N N 1 dn 3 dt = PN 0 k 3 N 3 dn dt = k 3N 3 A 1 N σφ N N 1 dn 1 dt = A 1N k 10 N 1 + σφ N N 1 N 0 + N 1 + N + N 3 = N uwaga: układ -poziomowy nie jest dobry do pracy ciągłej!
układ 4-poziomowy, 1 3 P k 3 A1 1 dn 3 dt = PN 0 k 3 N 3 dn dt = k 3N 3 A 1 N σφ N N 1 dn 1 dt = A 1N k 10 N 1 + σφ N N 1 N 0 + N 1 + N + N 3 = N 0 N 0 3 3 0 k 10 1. Zazwyczaj przejście 3 jest bardzo szybkie: τ 3 0 co daje N 3 = 0 ΔN 0 = k 10 A 1 P k 10 A 1 + k 10 P + A 1 P,. Rachunki zrobimy dla bardzo małych natężeń światła oraz sytuacji stacjonarnej dn i Φ = 0, = 0, i = 0,1, dt nienasycona Φ = 0 stacjonarna inwersja obsadzeń w układzie 4-poziomowym ΔN 0 > 0 τ 1 > τ 10, inwersja możliwa dla dowolnie małego pompowania
3 0 P k 3 A1 k 10 PN ΔN = P + A 1 + σφ PN 1 A 1 1 + σφ = A 1 zakładamy słabe pompowanie P A 1 układ 4-poziomowy, 1 Przybliżenia (idealny 4-poziomowy): τ 3 = τ 10 = 0 N 3 = N 1 = 0 PN 1 A 1 1 + Φ Φ s Φ s = A 1 σ = 1 - nasycający strumień fotonów τ 1 σ I s = ħω - natężenie nasycenia (zależy od materiału) τ 1 σ dn dt = PN 0 A 1 N σφn N 0 + N = N stan stacjonarny: 0 = PN 0 A 1 N σφn N 0 + N = N rozwiązanie: PN ΔN = N = P + A 1 + σφ ΔN 0 = P N A 1
układ 3-poziomowy rzadko stosowany 3 k 3 dn 3 dt = PN 1 k 3 N 3 dn dt = k 3N 3 A 1 N σφ N N 1 N 1 + N + N 3 = N P A1 1. Zazwyczaj przejście 3 jest bardzo szybkie: τ 3 0 co daje N 3 = 0 ΔN 0 = P A 1 P + A 1 N 1. Rachunki zrobimy dla bardzo małych natężeń światła oraz sytuacji stacjonarnej dn i Φ = 0, = 0, i = 0,1, dt Daje to 0 = dn dt = PN 1 A 1 N N 1 + N = N nienasycona (Φ = 0) stacjonarna inwersja obsadzeń w układzie 3-poziomowym ΔN 0 > 0 P > A 1 konieczna duża szybkość pompowania
pompowanie ośrodka wzmacn. 3 0 P pompowanie optyczne 1 Metody pompowania: 1. optyczne: lampa błyskowa, lasery diodowe, inne lasery, światło słoneczne,. elektryczne: wyładowanie w gazie, prąd elektryczny w półprzewodniku, 3. chemiczne: egzotermiczna reakcja chemiczna pompowanie elektryczne P 1 P 1 0
nasycenie wzmacniacza laserowego, 1 in 0 Φ(L) Φ(0) 1 Φ + 1 Φ s 1 dz Φ + 1 Φ s ln Φ(L) Φ(0) + Φ L dφ = γ 0 dz dφ L = γ 0 dz 0 L Φ(0) = γ 0 L Φ s out z dφ dz = γ(z)φ dφ dz = γ 0 1 + Φ Φ s 1 Φ + 1 dφ = γ Φ 0 dz s Wzmocnienie: G = Φ(L) Φ(0) lng + Φ(0) Φ s G 1 = γ 0 L
ln( out / s ) nasycenie wzmacniacza laserowego, in dz out lng + Φ(0) Φ s G 1 = γ 0 L 10 0 L z Dwa przypadki graniczne: 5 1. Wzmacniacz nienasycony Φ L Φ s G = e γ 0L. Wzmacniacz całkowicie nasycony Φ 0 Φ s G = 1 0 0 L=6-5 -10-10 -5 0 5 10 ln( in s )
lng nasycenie wzmacniacza laserowego, 3 in dz out lng + Φ(0) Φ s G 1 = γ 0 L 0 L z 6 5 4 0 L=6 3 1 0-10 -5 0 5 10 ln( in / s )
szum wzmacniacza laserowego P sp = A 1 - prawdopodobieństwo emisji spontanicznej z jednego atomu P sp dν = A 1 g ν dν - prawdopodobieństwo emisji spontanicznej z jednego atomu w przedziale częstości ν, ν + ν ξ sp (ν) = 1 N A 1 g ν dν dω 4π kąt bryłowy obsadzenie górnego poziomu przejścia pasmo filtru spektralnego
rezonatory optyczne, 1 f 1 = R 1 f = R f 1 f R 1 L R = L L L Optyka geometryczna: rezonator stabilny kiedy promień nie ucieka z luster (jego odległość od osi jest mniejsza niż promień mniejszego lustra. Macierz ABCD komórki elementarnej: komórka elementarna M = 1 0 1 f 1 1 1 L 0 1 1 0 1 f 1 1 L 0 1 = 1 L f L + L 1 L f 1 f 1 1 f 1 L f 1 1 L f 1 1 L f L f 1 Po n obiegach: r n+1 Θ = M r n n+1 Θ n Stosując rekurencję dostajemy r n+ A + D r n+1 + r n = 0
rezonatory optyczne, f 1 = R 1 f = R f 1 f R 1 L R = L L L r n+ A + D r n+1 + r n = 0 komórka elementarna szukamy rozwiązań oscylujących: r n = r 0 e inλ r 0 e inλ e iλ A+D eiλ + 1 = 0 Δ = 4 A+D 1 e iλ jest rzeczywiste tylko wtedy gdy jest zerowe. Szukamy rozwiązań zespolonych co daje warunek A+D 1 < 0 A + D oraz rozwiązania: e iλ = A+D ± i 1 A+D r-nie kwadratowe na x = e iλ warunek stabilności rezonatora (w podejściu opt. geometr.)
rezonatory optyczne, przykład 1 Najprostszy rezonator dwu-zwierciadlany M = 1 L f L + L 1 L f 1 f 1 1 f 1 L f 1 1 L f 1 1 L f L f 1 1 L/ R A + D 0 1 L R 1 1 L R 1 1 L/ R 1
rezonatory optyczne, 3 f 1 = R 1 f = R f 1 f R 1 L R L L L Jak wygląda rozkład pola wewnątrz rezonatora? mody rezonatora szukamy rozwiązań wśród znanym nam wiązek. Weźmy wiązkę gaussowską opisaną zespolonym parametrem q (wykł. 14). Żądamy, by po pełnym obiegu wiązka była taka sama: q = Aq+B A gdzie B jest macierzą komórki elementarnej Cq+D C D Rachunki: x = Dx + C Bx + A, x = 1 q (A + D) ± i 4 A + D x ± = (1) B Pod warunkiem, że A + D W przeciwnym razie q jest rzeczywiste - nie do przyjęcia. procedura: Znajdujemy q na początku komórki elementarnej (r-nie (1)) Propagujemy q i znajdujemy parametry wiązki w dowolnej płaszczyźnie
rezonatory optyczne, przykład rezonator typu Z promień wiązki obszary stabilności d 3 =900mm [mm] 1,5 1,0 0,5 a) b) 0,15 0,10 0,05 0,0 0,00 645 650 655 1,5 c) d) 1,0 [mm] 0,5 0,0 0 500 1000 1500 z [mm] 0 500 1000 1500 z [mm]
rezonatory optyczne, 4 R1 L R mody TEM mn - wiązki Gaussa-Hermita (wykład 14) z frontami falowymi dopasowanymi do luster E x, y, z = E 0 H m x w(z) H n x w(z) w 0 x +y w(z) e w (z) e i kz 1+m+n tan 1 z z 0 e i kr R(z) różne mody poprzeczne
rezonatory optyczne, 5 R1 L Dodatkowy, poza odtwarzaniem rozkładu poprzecznego natężenia, warunek na mod: po pełnym obiegu faza pola zmienia się o wielokrotność π kl 1 + m + n tan 1 L z 0 = lπ, l = 1,, ω mnl L 1 + m + n tan 1 L z c 0 = lπ ω mnl = l πc + 1 + m + n L tan 1 L z c 0 L Indeks l numeruje mody podłużne R mody TEM mn x E x, y, z = E 0 H m w(z) e i kz 1+m+n tan 1 z z 0 kr i e R(z) H n x w(z) w 0 w(z) e x +y w (z) Dla najniższego modu przestrzennego (TEM 00 ): ω l = l πc L + tan 1 L z 0 c L c L 0
laser, 1 R 1 l R ośrodek wzmacniający: γ 0, I s Zakładamy: praca ciągła stan stacjonarny jedyne straty w rezonatorze pochodzą od transmisji luster stałe natężenie wzdłuż osi rezonatora stałe natężenie w kierunku prostopadłym do osi L R 1, R - transmisja luster Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation wzmocnienie Bilans natężenia na jeden obieg rezonatora: I = R 1 e γ 0l R e γ 0l I 1 Warunek progowy: R 1 e γ 0l R e γ 0l = 1 natężenie końcowe odbicie od lustra natężenie początkowe wzmocnienie progowe: γ 0 t = 1 l ln R 1R dla b. dobrych luster: γ 0 t = 1 l ln R 1R 1 l 1 R 1 R
laser, R 1 = 1 l R ośrodek wzmacniający: γ 0, I s L Zakładamy: praca ciągła stan stacjonarny jedyne straty w rezonatorze pochodzą od transmisji luster stałe natężenie wzdłuż osi rezonatora stałe natężenie w kierunku prostopadłym do osi praca jednomodowa jedna częstość γ = γ 0 1+I I s I = I + + I = I + γ = γ 0 = γ t 1+I + I 0 = 1 ln R s l 1R 1 l γ 0 l I + = 1 I s 1 R I out = 1 R I + = 1 1 R γ I 0 l s 1 R 1 R
moc wyjściowa laser, 3 R 1 = 1 l R ośrodek wzmacniający: γ 0, I s L I out = 1 1 R γ 0 l I s 1 R ale γ 0 = σδn 0 P I out = 1 1 R P I s P t 1 progowa szybkość pompowania slope efficiency t P P
laser, 4 modulacja dobroci rezonatora (ang.q-switch) szybka migawka γ 0, I s P t ms N t Iout t ns t otwarcie migawki