1 Elementy statyki, II zasada dynamiki Newtona

1 Elementy statyki, II zasada dynamiki Newtona Zad. 1.1 W jakim stosunku do siebie pozostaj siªy F 1 i F 2, je»eli k t zawarty mi dzy nimi wynosi α = 135, a warto± liczbowa siªy wypadkowej równa si warto±ci liczbowej mniejszej siªy F 2 (rys. 1a). Odp. F 1 F 2 = 2. Rys. 1: Siª R rozªo»y na dwie skªadowe P i Q tak, aby byªy one do siebie prostopadªe i aby zachodziªa proporcja P : Q = m : n. Znale¹ warto±ci liczbowe siª skªadowych. Odp. P = mr, Q = nr m 2 +n 2 m 2 +n 2. Zad. 1.2 Na dwóch równych nitkach zaczepionych w punktach A i B odlegªych od siebie o 2a wisi ci»arek o ci»arze Q (rys. 2a). Jaka powinna by dªugo± l nitek, je»eli wiadomo,»e siªa napr»aj ca nitki nie mo»e by wi ksza ni» T 0. Odp. l 2T 0a. 4T 2 0 Q 2 Rys. 2: Zad. 1.3 Odwa»nik Q zawieszono na trzech rozªo»onych symetrycznie linkach. Jaki jest ci»ar odwa»nika, je»eli dªugo± ka»dej linki l =1 m, a punkty zaczepienia linek tworz trójk t równoboczny ABC o boku a = 1 m, za± pojedyncze linki s napi te siª F = 25 N (rys. 2b). Odp. Q = 6F = 61,24 N. Zad. 1.4 Na ciaªo o masie 2 kg dziaªaj siªy F 1 = 3 N i F 2 = 4 N pod k tami α 1 = 60 i α 2 = 120 wzgl dem pr dko±ci pocz tkowej υ 0 = 20 m/s. Znale¹ przyspieszenie ciaªa, jego pr dko± i przesuni cie po 10 s ruchu (rys. 1b). Odp. a = 0,25 i + 3 j m/s 2, v = 17,5 i + 30 j m/s, r = 187,5 i + 150 j m. Zad. 1.5 Spoczywaj cy pocz tkowo klocek o masie m = 2 kg zmienia pod wpªywem dziaªania trzech staªych siª poªo»enie o wektor r = 8j 2k m. Znale¹ wektor trzeciej siªy, je»eli dwa pierwsze wektory maj posta F 1 = i + 3j N i F 2 = j + k N, a czas w którym nast piªo przemieszczenie, wynosiª t =2 s. Znale¹ wektor pr dko±ci w chwili t = 2 s. 1

Zad. 1.6 Spoczywaj ca pocz tkowo cz stka o masie m = 5 kg zmieniªa w ci gu 2 s pod wpªywem dziaªania siª poªo»enie o wektor r = 10j 2k m. Znale¹ wektor trzeciej siªy, je±li dwa pierwsze wektory maj posta : F 1 = 2i + 3j N oraz F 2 = j + k N. Zad. 1.7 Cz stka o masie m =2 kg przemieszcza si z punktu o wspóªrz dnych r 1 = i + 7k m do punktu r 2 = 3i 9k m w czasie 4 s. Zakªadaj c,»e jej pr dko± pocz tkowa byªa równa zeru, a przyspieszenie jest staªe, obliczy wypadkow siª dziaªaj c na cz stk. Zad. 1.8 Siªy F 1 = i N, F 2 = 2i + j N, F 3 = 5i + 4j N oraz F 4 dziaªaj jednocze±nie na cz stk o masie m =5 kg nadaj c jej przyspieszenie a = i + 3j m/s 2. Obliczy siª F 4. Zad. 1.9 Na cz stk o masie m =2 kg dziaªa siªa F 1 = 20i N. Obliczy przyspieszenie a cz stki. Jak drog przebywa cz stka w czasie pierwszych 5 sekund ruchu, je»eli pocz tkowo byªa nieruchoma? Obliczy przyspieszenie cz stki je»eli dodatkowo dziaªaj na ni siªy F 2 = 16i N oraz F 3 = 8j N.Ciaªo jest wprawiane w ruch siª F = 0,02 N i w ci gu pierwszych czterech sekund przebywa drog s = 3,2 m. Jaka jest jego masa i jak pr dko± osi gnie ciaªo pod koniec pi tej sekundy swego ruchu: Odp. m = 0,05 kg, υ = 2 m/s. Zad. 1.10 Pocisk artyleryjski o masie m = 5 kg opuszcza luf dziaªa z pr dko±ci υ = 1200 m/s. Jaka siªa dziaªa na pocisk, przy zaªo»eniu,»e ruch w lue byª jednostajnie przyspieszony i trwaª 0,01 s? Odp. f = 6 10 5 N. Zad. 1.11 Pocisk armatni o masie m = 24 kg opuszcza luf dziaªa z pr dko±ci υ 0 = 500 m/s. Wyznaczy ±redni warto± siªy dziaªaj cej na pocisk w lue, je»eli wiemy,»e jej dªugo± wynosi 2 m? Odp. f 1,47 10 6 N. Zad. 1.12 Ciaªo o masie m =15 kg zrzucone z wysoko±ci h =10 m zagª biªo si w ziemi na gª boko± d = 0,5 m. Obliczy ±redni siª hamuj c dziaªaj c na ciaªo w Ziemi. Odp. F = mhg d = 2943 N. Zad. 1.13 Wagon kolejowy jedzie po poziomym torze prostoliniowym i jest hamowany siª równ 0,1 ci»aru wagonu. Wyznaczy czas oraz drog hamowania, je»eli pr dko± wagonu przed rozpocz ciem hamowania wynosiªa υ 0 = 72 km/h. Odp. t = υ 0 0,1g = 20,4 s, s = 1 υ 2 2 0,1g = 204 m. 2

2 Ruch po zadanej powierzchni, bezwªadno± Zad. 2.1 Kulka o masie m zawieszona na niewa»kiej nici w zale»no±ci od tego, w jaki sposób zostanie wprawiona w ruch wykonuje drgania wahadªowe lub porusza si ruchem jednostajnym po okr gu w p ªaszczy¹nie poziomej. Zakªadaj c,»e znany jest k t α mi dzy pionem i kierunkiem nici obliczy siª napr»enia nici T, kiedy dochodzi do skrajnego poªo»enia w ruchu drgaj cym oraz w ruchu po okr gu. Odp. W skrajnym poªo»eniu w ruchu wahadªowym T = mg cos α, w ruchu po okr gu T = mg cos α. Zad. 2.2 Kulka o masie m = 1 kg jest zawieszona na nici o dªugo±ci l = 30 cm, której drugi koniec jest przytwierdzony na staªe. Kulka porusza si po okr gu w pªaszczy¹nie poziomej ze staª pr dko±ci υ, przy czym nitka tworzy z pionem k t α = 60. Oblicz pr dko± υ oraz siª napr»enia nici. Odp. υ = gl cos α (1 cos2 α) = 2,1 m/s, T = mg cos α = 19,62 N. Zad. 2.3 Kulka, zawieszona na nici, porusza si ruchem jednostajnym po okr gu w pªaszczy¹nie poziomej. Obliczy warto± ilorazu siª napr»enia nici oraz warto± ilorazu pr dko±ci k towych dla dwóch ró»nych warto±ci k ta: α 1 = 30 i α 2 = 45. Odp. T 1 T 2 = cos α 2 cos α 1 = 2 3, ω 1 ω 2 = cos α 2 cos α 1 = ( ) 2 1/4. 3 Zad. 2.4 Cz stka o masie m = 2 kg porusza si po okr gu o promieniu R =5 m. W pewnej chwili jej pr dko± jest równa υ = 2 m/s, a przyspieszenie liniowe dυ dt = 2 m/s2. Jaka siªa dziaªa ( ) 2 na cz stk w tym momencie? Odp. f = m dυ dt = 2,15. υ 4 R 2 + Zad. 2.5 Ciaªo o masie m, zawieszone na nici o dªugo±ci l, wychylono o 90 z poªo»enia pionowego i puszczono. Znajd¹ zale»no± siªy napr»enia nici i przyspieszenia ciaªa od k ta mi dzy kierunkiem nici i pionem. Odp. T = 3mg w najni»szym punkcie, T = 3mg cos α, a r = 2g cos α, a t = g sin α, a = g 3 cos 2 α + 1. Zad. 2.6 Obliczy stosunek siª, jakimi czoªg naciska na ±rodkowe cz ±ci mostów wypukªego i wkl sªego. Promie«krzywizy mostów w obu wypadkach jest równy r = 40 m, a pr dko± czoªgu υ = 45 km/h. Odp. F wypuk ly F wklęs ly = gr υ2 = 0,43. gr+υ 2 Zad. 2.7 Kamie«o masie m = 3 kg, uwi zany na nitce o dªugo±ci l = 1 m, porusza si po okr gu w pªaszczy¹nie pionowej. Z jak najwi ksz pr dko±ci k tow mo»e porusza si kamie«po okr gu, aby nitka nie ulegªa zerwaniu, je»eli do±wiadczalnie stwierdzili±my,»e do jej zerwania potrzebna jest siªa f =41,43 N. Odp. ω = f mg ml = 2 rad/s. Zad. 2.8 Samochód o masie m = 1000 kg jedzie po wypukªym mo±cie z pr dko±ci υ =36 km/h. Promie«krzywizny mostu wynosi r = 50 m. Jaki nacisk ) wywiera samochod na most w chwili przeje»d»ania przez jego ±rodek? Odp. f = m (g υ2 r 7810 N. Zad. 2.9 Jaki jest pozorny ci»ar osoby o masie m = 75 kg w windzie poruszaj cej si : a) do góry z opó¹nieniem 0,2 m/s 2 i na dóª z przyspieszeniem 0,2 m/s 2 ; b) do góry z przyspieszeniem 0,15 m/s 2 i na dóª z opó¹nieniem 0,15 m/s 2? Odp. a) f 1 = 721 N w obu przypadkach; b) f 2 = 746 N w obu przypadkach. 3

Zad. 2.10 W windzie zainstalowano wag spr»ynow, na której zawieszono ci»arek o masie m = 1 kg. Jaki ci»ar b dzie wskazywa waga, je»eli: a) winda porusza si do góry z przyspieszeniem 4,9 m/s 2 skierowanym na dóª; porusza si na dóª z przyspieszeniem 4,9 m/s 2 skierowanym do góry; c) porusza si w dóª z przyspieszeniem 1 m/s 2 równie» skierowanym w dóª. Odp. a) f = 4,9 N; b) f = 14,6 N; f = 8,8 kg. Zad. 2.11 Obliczy minimalne przyspieszenie z jakim nale»y opuszcza na lince o wytrzymaªo±ci f =400 N ci»ar o masie m =50 kg, aby linka si nie zerwaªa. Odp. a = 1,8 m/s 2. 4

3 Siªy tarcia i oporu Zad. 3.1 Na stole le»y klocek o masie m, który staramy si przesun w prawo, przykªadaj c do niego siª F (rys. 3a). Jaka jest siªa tarcia statycznego? Jaka jest mo»liwa maksymalna warto± siªy tarcia statycznego? Odp. F T, stat = F, F T, stat, max = µ stat mg. Rys. 3: Zad. 3.2 Jaka jest najmniejesza warto± statycznego wspóªczynnika tarcia µ stat, przy której klocek znajduj cy si na równi pochyªej o k cie nachylenia α = 30 nie zsuwa si? Z jakim przyspieszeniem b dzie si zsuwaª klacek, je»eli wspóªczynnik tarcia kinetycznego wynosi µ kin = µ stat, min 2? Odp. µ stat, min = tan α = 1 3, a = g 4. Zad. 3.3 Jaki powinien by minimalny wspóªczynnik tarcia statycznego pomi dzy koªami nap dowymi samochodu i drog, aby pojazd o masie m = 2 t i ªadunku m 1 = 4 t mógª porusza si z przyspieszeniem a = 0,2 m/s 2? Rozpatrzy przypadki, kiedy samochód ma nap d na cztery koªa oraz, gdy tylko tylne koªa s nap dowe. Zaªo»y,»e ±rodek masy samochodu znajduje si w ±rodku pomi dzy osiami kóª, a ±rodek masy ªadunku nad tyln osi. Odp. Je±li pojazd posiada nap d na cztery koªa, to µ stat a g 0,02 nie zale»y od caªkowitego ci»aru pojazdu, poniewa» siªa tarcia jest proporcjonalna do nacisku na koªa. Je±li samochód ma nap d na tylne koªa, to µ stat a ng, gdzie n jest ci»arem przypadaj cym na tylne koªa pojazdu. W rozpatrywanym przypadku n = 5 6 i µ stat, min 0,024. Zad. 3.4 Kto± ci gnie sanki o masie m dziaªaj c siª F, przyªo»on do sznurka, który tworzy z poziomem k t α; wspóªczynnik tarcia po±lizgowego wynosi µ kin (rys. 4a). Znale¹ warto± siªy tarcia kinetycznego. Odp. F T = µ(mg F sin α). Rys. 4: Zad. 3.5 Sanki o masie m ci gni te s po poziomej powierzchni siª F przyªo»on pod k tem α do poziomu (rys. 4a). W ci gu czasu t sanki zmieniªy swoj pr dko± z υ 0 na υ, poruszaj c si w jednym kierunku ruchem przyspieszonym. Znale¹ wspóªczynnik tarcia po±lizgowego µ kin. Odp. µ kin = F t cos α m(υ υ 0) mgt F t sin α). 5

Zad. 3.6 Klocek o masie m le»y na wózku o masie M; maksymalna warto± siªy tarcia statyczego mi dzy wózkiem a klockiem charakteryzuje si wspóªczynnikiem µ stat ; mi dzy wózkiem i powierzchni Ziemi nie ma tarcia (rys. 4b). Znale¹ minimaln siª F dziaªaj c na wózek, przy którek klocek zacznie przemieszcza si na platformie wózka. Odp. F = (M + m)µ stat g. Zad. 3.7 Wzdªu» równi pochyªej pchni to w gór kr»ek. Po pewnym czasie kr»ek zatrzymaª si i zacz ª ze±lizgiwa si w dóª. Wyznaczy wspóªczynnik tarcia µ kr»ka o równi, je»eli czas ze±lizgiwania jest n razy wi kszy od czasu wznoszenia. Odp. µ = n2 1 tan α. n 2 +1 Rys. 5: Zad. 3.8 Na rys. 5 pokazano cztery ró»ne przykªady ±lizgania si klocka pod wpªywem dziaªania siªy F. Wyznaczy siª tarcia w ka»dym przykªadzie przyjmuj c,»e ruch klocka odbywa si bez przyspieszenia oraz dane s : masa m, siªa F, wspóªczynnik tarcia kinetycznego µ kin oraz k t α. Odp. a) F T = µ kin mg; b) F T = µ kin (mg F sin α); c) F T = µ kin mg cos α d) F T = µ kin (mg cos α F sin α). Zad. 3.9 Samochód, który u podnó»a góry o k cie nachylenia α miaª pr dko± υ 0, porusza si w gór z wyª czonym silnikiem. Znale¹ wysoko± (liczon od podnó»a góry), na jak wjechaª samochód[ w ci gu czasu t. Wspóªczynnik tarcia hamuj cego wynosi µ kin. Odp. h = υ 0 t g(sin α+µ kin cos α) 2 t 2] sin α. Zad. 3.10 Samochód o masie m jad c pod gór po drodze nachylonej do poziomu pod k tem α zwi ksza swoj pr dko± od υ 0 do υ na odcinku drogi s. Przyjmuj c, (»e wspóªczynnik tarcia ) hamuj cego wynosi µ kin, znale¹ siª poci gow tarcia. 1 υ Odp. f = 2 υ0 2 2 s g + µ kin cos α + sin α mg. Zad. 3.11 Klocek o masie m znajduje si na równi pochyªej, której k t nachylenia do poziomu mo»na zmienia od 0 do 90. Sporz dzi wykres zale»no±ci siªy tarcia klocka o równi od k ta α. Wspóªczynnik tarcia statycznego jest równy µ stat, po±lizgowego µ kin, µ stat > µ kin. Odp. Rys. 6. 1 Siªa ci gu pojazdów mechanicznych jest reakcj na dziaªanie kóª nap dowych na Ziemi i zwykle okre±la si j jako poci gow siª tarcia f. Jej kierunek jest zgodny z kierunkiem ruchu i najcz ±ciej (równie» w tym zadaniu) jest ona siª tarcia statycznego. 6

Rys. 6: Zad. 3.12 Na kraw dzi równi pochyªej o kacie nachylenia α le»y klocek. Równia obraca si jednostajnie wokóª pionowej osi z pr dko±ci k tow ω. Odlegªo± od ciaªa do osi obrotu równi jest równa r (rys. 7). Znale¹ najmniejszy wspóªczynnik tarcia statycznego µ stat, przy którym klocek utrzymuje si na obracaj cej si równi pochyªej. Rozpatrzy przypadki szczególne, gdy α = 0 oraz ω = 0. Odp. µ stat min = ω2 r cos α+g sin α. Gdy klocek znajduje si na wiruj cej tarczy g cos α ω 2 rsinα (α = 0), wówczas µ stat min = ω2 r g. W drugim przypadku, gdy ω = 0, klocek znajduje si na nieruchomej równi pochyªej. Wówczas µ stat, min = tan α (por. zad. 3.2). Rys. 7: Zad. 3.13 Jednorodna linka o dªugo±ci l zaczyna zsuwa si ze stoªu, gdy 1 4 jej dªugo±ci zwisa (rys. 8a). Obliczy wspóªczynnik tarcia statycznego. Jaki b dzie charakter ruchu linki? Odp. µ stat = 1 3, linka b dzie zsuwa si ruchem niejednostajnie przyspieszonym. Rys. 8: Zad. 3.14 Jak najwi ksz liczb N wagonów mo»e ci gn do góry lokomotywa (rys. 8b), je»eli nachylenie góry wzgl dem poziomu wynosi 0,025 (sin α = 0,025) oraz wiadomo,»e cie-»ar lokomotywy jest trzy razy wi kszy od ci»aru wagonu, wspóªczynnik tarcia statycznego wynosi µ stat = 0, 1 oraz wspóªczynnik tarcia przy toczeniu jest równy µ kin = 0,001? Odp. N = 3 (µstat µ kin) cos α sin α sin α+µ kin cos α = 9. 7

Zad. 3.15 Na pªyn cy statek dziaªa siªa oporu wody równa F = bυ, b > 0. Gdy dziaªa jego silnik, statek pªynie z szybko±ci υ 0. Po wyª czeniu silnika statek zwalnia i zatrzymuje si. Obliczy poªo»enie i pr dko± statku jako funkcje czasu. Je»eli w ci gu 10 sekund statek zwolniª od pr dko±ci 4 m/s do pr dko±ci 1 m/s, to jak daleko popªynie on, zanim si zatrzyma? Odp. ) υ(t) = υ 0 exp ( b m t, x(t) = υ 0m b [ 1 exp )] ( b m t, 29 m. Zad. 3.16 Niewielka kulka o masie m spada w rurze wypeªnionej lepk ciecz, która stawia kulce opór proporcjonalny do pr dko±ci kulki (tzn. siªa oporu o±rodka wynosi F = bυ, b > 0). Obliczy pr dko± i zanurzenie kulki jako funkcje czasu, je»eli υ(0) = 0 oraz zanurzenie y(0) = 0. Odp. υ(t) = mg b [ 1 exp ( b m t )], y(t) = m2 g b [ exp ( b m t ) + bt m 1 ]. Zad. 3.17 Kamie«o masie m rzucono pionowo w dóª z pr dko±ci υ 0 do studni, w której poziom wody jest na gª boko±ci h. Kamie«w powietrzu spada swobodnie (pomijamy opór powietrza), a w wodzie dziaªa na niego siªa oporu proporcjonalna do pr dko±ci: F = kv. Jak poªo»enie, pr dko± i przyspieszenie kamienia zale» od czasu? Odp. υ = υ + (υ 1 υ ) e kt/m, ( ) ( a = g k m υ 1 e kt/m, x = υ t + m k (υ 1 υ ) 1 e kt/m) + h, gdzie υ 1 = υ0 2 + 2gh, υ = mg k oraz przyjmujemy,»e t = 0 w momencie, gdy kamie«osi ga powierzchni wody. Zale»no± pr dko±ci i przyspieszenia od czasu w przypadkach υ 1 > υ, υ 1 = υ oraz υ 1 < υ przedstawiono na rys. 9. Zad. 3.18 W ±lad za kamieniem z zad. 3.17 wrzucono do studni, po czasie T, drugi kamie«o takiej samej masie i z tak sam pr dko±ci. Jaka b dzie zale»no± od czasu odlegªo±ci D pomi dzy kamieniami? Odp. x = υ [T + ( m k υ 1 g ) e kt/m ( 1 e kt/m)]. Zad. 3.19 Piªk o masie m rzucono pionowo w gór z pr dko±ci pocz tkow υ 0. Siªa oporu powietrza dziaªaj ca na piªk jest dana wzorem F = kv. Znale¹ równanie ( ruchu piªki, czas lotu do najwy»szego punktu toru i poªo»enie punktu. Odp. x = m k (υ + υ 0 ) 1 e kt/m) υ t, ( [ ( )] gdzie υ = mg k, czas lotu t 1 = m k ln 1 + υ 0 υ ), x max = m k υ 0 υ ln 1 + υ 0 υ Zad. 3.20 Znale¹ zale»no± od pr dko±ci siªy oporu dziaªaj cej na ciaªo o masie m, które poruszaj c si wzdªu» osi x przebywa odcinek (0, x) w czasie t = ax 2 + bx + c, gdzie a, b i c s staªymi. Odp. F = 2amυ 3. Zad. 3.21 Ciaªo o masie m i pr dko±ci υ 0 wlatuje do o±rodka, w którym dziaªa na nie siªa oporu F = kυ n 1 v, gdzie n 0. Udowodni,»e ruch tego ciaªa b dzie ruchem prostoliniowym oraz przedyskutowa zale»no± zasi gu i czasu trwania ruchu od warto±ci n. Odp. Dla 0 n < 1 m k(2 n) υ2 n ciaªo zatrzyma si po przebyciu drogi s = 0 w czasie T = mυ1 n 0 k(1 n) ; dla 1 n < 2 ciaªo si nigdy nie zatrzyma, ale po niesko«czenie dªugim czasie przeb dzie drog s = m k(2 n) υ2 n 0 ; dla n 2 ciaªo si nigdy nie zatrzyma, a jego zasi g jest nieograniczony. Uwaga: Przypadki dla n = 1 oraz n = 2 nale»y rozpatrywa osobno. Zad. 3.22 Samochód o masie m hamowany jest siª oporu F = kυ 2. Jak drog przbedzie samochód, zanim jego pr dko± zmaleje do poªowy. Odp. x = m k ln 2. 8

Rys. 9: Zad. 3.23 Czªowiek o masie 80 kg osi ga przy spadaniu swobodnym w powietrzu υ 50 m/s. Spadochroniarz o tej samej masie osi ga υ 5 m/s. Zaªó»my,»e siªa oporu powietrza jest proporcjonalna do pr dko±ci F = kv. Jakie s warto±ci wspóªczynnika k w obu tych przypadkach? Ile wyniesie droga przebyta w czasie t = 10 s, je»eli pr dko± pocz tkowa jest równa 0? Odp. k 1 = 16 kg/s, k 2 = 160 kg/s, s 1 = 283 m, s 2 = 50 m. Zad. 3.24 Na ciaªo o masie m dziaªa siªa F tworz ca z kierunkiem ruchu k t α. Siªa oporu o±rodka zale»y od pr dko±ci ciaªa w nast puj cy sposób: F t = F 0 kυ. Znale¹ pr dko± i przyspieszenie ciaªa( w funkcji czasu, je»eli w chwili t = 0 ciaªo spoczywa. Odp. υ = F cos α F 0 k 1 e kt/m), a = F cos α F 0 m e kt/m. Zad. 3.25 W spadku swobodnym w pewnym zakresie pr dko±ci opór o±rodka R(υ) = ksυ 2, gdzie S jest polem najwi kszego przekroju kulki. Obliczy czas, po jakim kulka spadaj ca swobodnie w powietrzu osi gnie okre±lony uªamek x = swojej pr dko±ci granicznej. Pr dko± kulki w chwili pocz tkowej wynosi 0. Odp. t = υ gr 2g υ υ gr ln 1+x 1 x. 9

4 Siªy kontaktowe, wi zy Zad. 4.1 Dwa klocki o ksztaªtach prostopadªo±cianów stykaj ce si ±cianami bocznymi mog porusza si bez tarcia po poziomym stole. Na klocki dziaªamy poziomo skierowan siª o warto±ci F raz z lewej, a drugi raz z prawej strony. Obliczy stosunek warto±ci siª wzajemnego oddziaªywania klocków na siebie w obu przypadkach. Masy klocków wynosz M oraz m. Zad. 4.2 Kamie«o masie m = 6 kg zostaª zrzucony z wysoko±ci h = 9,8 m. Jak siª spadaj cy kamie«dziaªa na Ziemi? Ile wynosi przyspieszenie Ziemi wywoªane dziaªaniem tej siªy? O ile przesunie si Ziemia w kierunku kamienia do momentu spotkania si z nim? Masa Ziemi wynosi M 6 10 24 kg Zad. 4.3 Z pewnym przybli»eniem mo»na stwierdzi,»e Ziemia i Ksi»yc wskutek wzajmnego oddziaªywania grawitacyjnego poruszaj si ruchem jednostajnym po okr gu wokóª wspólnego ±rodka masy. Obliczy stosunek przyspiesze«do±rodkowych obu ciaª niebieskich, je»eli masa Ziemi wynosi M Z = 6 10 24 kg, za± masa Ksi»yca M K = 7,3 10 22 kg. Odp. a K az = M Z M K 82. Rys. 10: Zad. 4.4 Na pªaskim stole le»y 6 jednakowych klocków o masie 1 kg (rys. 10a). Na pierwszy klocek dziaªa siªa 10 N w kierunku wskazanym strzaªk. Znale¹ wypadkow siª f dziaªaj c na ka»dy z sze±cianów. Zaznaczy na rysunku siªy dziaªaj ce na przylegaj cych ±ciankach ka»dych dwóch klocków. Z jak siª f 1 czwarty klocek dziaªa na pi ty? Odp. f = 10 6 N, f 1 = 10 3 N. Zad. 4.5 Na dwa klocki o masach m 1 i m 2 zwi zane nierozci gliw nici dziaªaj siªy F 1 i F 2 pod k tami α 1 i α 2 w stosunku do poziomu (rys 11a). Znale¹ przyspieszenie ukªadu, je»eli wspóªczynnik tarcia pomi dzy klockamii pªaszczyzn wynosi µ. Odp. a = F 1 cos α 1 F 2 cos α 2 µ[(m 1 +m 2 )g F 1 sin α 1 F 2 sin α 2 ] m 1 +m 2. Rys. 11: Zad. 4.6 Jednorodny blok o staªym przekroju i dªugo±ci l posuwa si z tarciem po poziomej powierzchni pod dziaªaniem poziomej siªy o warto±ci F. Znale¹ napr»enie T w bloku w funkcji odlegªo±ci od jego tylnego ko«ca (rys. 11b). Odp. T = F l x. 10

Zad. 4.7 Na pªaskim stole le»y jednorodny pr t AC o masie m i dªugo±ci l (rys. 10b). Do pr ta przyªo»ona jest siªa F. Jak siª F 1 dziaªa wydzielony my±lowo odcinek AB = 4 5l na odcinek BC pr ta? Odp. F 1 = 4 5 F. Rys. 12: Zad. 4.8 Obliczy przyspieszenia z jakim poruszaj si masy oraz napr»enia nici w sytuacjach przedstawionych na rys. 12. Zaniedba mas nici oraz mas bloczka. Rozpatrzy ukªady przy zaªo»eniu braku tarcia i z tarciem. Odp. Przy braku tarcia: a) a = m m+m g, T = Mm M+mg; b) M M a = M+m 1 +m 2, T 1 = (m 1 + m 2 ) a, T 2 = m 2 a; c) a = M+m 1 +m 2 +m 3, T 1 = (m 1 + m 2 + m 3 ) a, T 2 = (m 2 + m 3 ) a, T 3 = m 3 a. Rys. 13: Zad. 4.9 Dwa identyczne ciaªa i le» na pªaskim stole i poª czone s nici w taki sposób,»e tworzy ona lini prost (rys. 13). Ni wytrzymuje napr»enie nie wi ksze ni» T = 20 N. Jak siª F nale»y przyªo»y poziomo do jednego z ciaª, by zerwa ni? Odp. F 40 N. Zad. 4.10 Lokomotywa ci gnie dwie naªadowane platformy rozwijaj c przy tym siª ci gu 800 N. Masa pierwszej platformy wynosi 12 t, drugiej 8 t. Obliczy napr»enie zaczepu pomi dzy platformami. Odp. T = m 2 m 1 +m 2 F = 320 N. Zad. 4.11 Do ci»aru A o masie m A = 7 kg zawieszono na sznurze cie»ar B o masie m B = 5 kg. Masa sznura wynosi m = 4 kg. Do ci»aru A przyªo»ono siª F = 240 N skierowan do góry. Wyznaczy napr»enie w górnym ko«cu sznura i jego ±rodku. Odp. T 1 = (m B + m) (a + g), T 2 = ( m B + m ) 2 (a + g). Zad. 4.12 Ko«ci gnie sanie. Przeanalizowa wzajemne oddziaªywanie ukªadu trzech ciaª: konia, sani i powierzchni Ziemi. Zaznaczy wektory siª dziaªaj cych na ka»de z tych ciaª i ustali zale»no±ci pomi dzy nimi. Zad. 4.13 Jak zmieniaj si wspóªzale»no±ci pomi dzy siªami z zad. 4.12, je»eli ko«wraz z saniami porusza si z przyspieszeniem a? Okre±li warto± wszystkich siª, je»eli a = 0,2 m/s 2. Masa sani wynosi M = 0,5 t, masa konia m = 0,35 t a wspóªczynnik tarcia sani o ±nieg µ = 0,3. 11

Rys. 14: Zad. 4.14 Jak maksymaln siª F mo»na przyªo»y do dolnego klocka (rys. 14a), by górny klocek nie zsun ª si w ruchu z przyspieszeniem. Wspóªczynnik tarcia dla górnego klocka wynosi µ 1 = 0,1, a dla dolnego µ = 0,2. Ci»ar górnego klocka jest równy Q 1 = 10 N, dolnego Q 2 = 20 N. Odp. F = (Q 1 + Q 2 ) (µ 1 + µ 2 ) = 9 N. Zad. 4.15 Trzy klocki o jendakowych masach m = 1 kg s uªo»one jeden na drugim (rys. 14b). Wspóªczynnik tarcia pomi dzy pierwszym i drugim klockiem wynosi µ 1 = 0,1, pomi dzy drugim i trzecim µ 2 = 0,2, pomi dzy trzecim i podªo»em µ 3 = 0,1. Klocek drugi ci gni ty jest w kierunku poziomym pewn siª F. Przy jakiej warto±ci siªy mo»liwy jest ruch trzech klocków, w którym pierwszy i trzeci klocek pozostaj w spoczynku wzgl dem siebie? Obliczy przyspieszenia a 1, a 2 i a 3 wszystkich trzech klocków w tym ruchu. Odp. 1) Wszystkie klocki znajduj si w spoczynku: a 1 = a 2 = a 3 = 0, F 3µ 3 mg = 2,94 N; 2) Caªy ukª d porusza si jako jedna caªo± : a 1 = a 2 = a 3 = a, 0 < a µ 1 g = 0,98 m/s 2, 3µ 3 mg < F 2mg (µ 1 + µ 2 ) = 5,88 N; 3) a 1 = a 2 a 3, a 1 = a 3 = µ 1 g = 0,98 m/s 2, a 2 = F 2 g (µ 1 + 2µ 2 ) > 0,98 m/s 2, F > 2mg (µ 1 + µ 2 ) = 5,88 N. Rys. 15: Zad. 4.16 Obliczy przyspieszenia mas, siªy dziaªaj ce na osie bloczków oraz napr»enia nici w sytuacjach przedstawionych na rys. 15. 2 Masy bloczków i nici oraz tarcie zaniedba. Odp. a) a = m 1 m 2 m 1 +m 2 g, T = 2 m 1m 2 m 1 +m 2 g, f = 2T ; b) a 1 = m 1(m 2 +m 3 ) 4m 2 m 3 8m m 1 (m 2 +m 3 )+4m 2 m 3 g, T 1 = 1 m 2 m 3 4m 2 m 3 +m 1 (m 2 +m 3 ) g, T 2 = T 1 2 ; c) a 1 = 4m 1 2m 2 4m 1 +m 2 g, a 2 = a 1 2, T = 3m 1m 2 4m 1 +m 2 g. 2 W celu znalezienia rozwi zania cz ±ci b) nale»y oznaczy przez x 1, x 2 oraz x 3 odlegªo±ci mas m 1, m 2 oraz m 3 od pªaszczyzny, do której przytwierdzony jest nieruchomy bloczek. Zachodzi wówczas równo± : x 2 + x 3 + 2x 1 = l 2 + 2l 1 + const, gdzie l 1 i l 2 s dªugo±ciami nici. Po dwukrotnym zró»niczkowaniu uzyskamy niezb dn dla rozwi zania zagadnienia zale»no± pomi dzy przyspieszeniami wszystkich trzech mas: a 2 + a 3 + 2a 1 = 0. 12

Zad. 4.17 W ukªadzie opisanym w zad. 4.16a masy m 1 oraz m 2 poruszaj si. W przedziale czasu t od rozpocz cia ruchu, masa m 1 opadªa o n-t cz ± odlegªo±ci, o jak opadªaby, gdyby opadaªa swobodnie. Jaki jest stosunek mas m 1 i m 2? Odp. m 1 m 2 = n+1 n 1. Wynik ten mo»na ªatwo uzyska na podstawie odpowiedzi do zad. 4.16a, podstawiaj c za a = g n. Rys. 16: Zad. 4.18 Na linie przerzuconej przez blok i przyczepionej do masy M znajduje si maªpka o masie m (rys. 16a). Znale¹ przyspieszenie a masy M w przypadku, gdy: a) maªpka nie porusza si wzgl dem liny; b) maªpka wspina si po linie ze staª pr dko±ci υ 0 wzgl dem liny; c) maªpka wspina si po linie ze staªym przyspieszeniem a 0 wzgl dem liny. Zagadnienie rozwi za przy zaªo»eniu,»e masa M porusza si bez tarcia oraz gdy na mas M dziaªa siªa tarcia (wspóªczynnik m M+m tarcia równy µ). Odp. Bez tarcia: a) a = masy M b dzie malaªa; c) caªkowite przyspieszenie maªpki: a = mg Ma 0 M+m oraz a = m Z tarciem: a = mg µmg M+m g; b) jak poprzednio, z tym,»e odlegªo± maªpki od M+m (g + a 0). ; b) jak poprzednio; c) a = mg Ma 0 µmg M+m, a = a + a 0 = mg µmg+ma 0 M+m. Zad. 4.19 Znale¹ rozwi zanie zad. 4.18 w przypadku, gdy masa M wisi po drugiej stronie bloczku (rys. 16b). Odp. a) a = m M M+m g; b) jak poprzednio; c) a = mg Mg Ma 0 M+m, a = a + a 0 = mg+ma 0 Mg M+m. Zad. 4.20 Maªpka o masie m jest równowa»ona przeciwwag na bloczku B. Blok B jest z kolei równowa»ony cie»arem o masie 2m na nieruchomym bloku C (rys. 16c). Ukªad na pocz tku jest nieruchomy. Z jak pr dko±ci b dzie podnosi si ci»ar o masie 2m, je±li maªpka w pewnym momencie zacznie ci gn link z dowoln pr dko±ci υ? Masy obu bloczków zaniedba. Odp. Ci»ar b dzie podnosiª si z pr dko±ci υ 4, niezale»nie od tego, czy pr dko± z jak maªpka przeci ga link jest staªa, czy nie. Zad. 4.21 Przez blok przerzucono link o dªugo±ci l. Na ko«cach linki, w jednakowej odlegªo±ci l/2 od bloku, znajduj si dwie maªpki. W pewnym momencie maªpki zaczynaj jednocze±nie podci ga si do góry, przy czym jedna podci ga si z pr dko±ci υ, druga z pr dko±ci 2υ. Po jakim czasie ka»da z nich dotrze do bloku. Zaniedba mas bloku i linki; przyj,»e masy maªpek s jednakowe. Odp. Obie maªpki dotr do bloku jednocze±nie w czasie τ = l 3υ. W rzeczy samej napr»enie linki po obu stronach bloku jest jednakowe. Oznacza to,»e zarówno przyspieszenia, jak i pr dko±ci maªpek wzgl dem bloku b d jednakowe. Skoro zbli»aj si one do siebie z pr dko±ci 3υ, to caªy odcinek l przeb d one w czasie l/3υ. 13

Zad. 4.22 Masa pierwszej maªpki z zad. 4.21 jest dwukrotnie wi ksza od masy drugiej. Która z nich wcze±niej dotrze do bloku. Odp. Do bloku szybciej dotrze l»ejsza maªpka, poniewa» jej przyspieszenie wzgl dem bloku b dzie skierowane do góry, podczas gdy ci»szej w dóª. Rys. 17: Zad. 4.23 Obliczy przyspieszenia oraz napr»enia nici ukªadzie przedstawionym na rys. 17a. Rozwa»ania przeprowadzi zaniedbuj c tarcie oraz z uwzgl dnieniem tarcia pomi dzy mas m i powierzchni równi. Odp. Bez tarcia: a = m 1 sin α m 2 m 1 +m 2 g, T = m 1m 2 m 1 +m 2 (1 + sin α)g. Zad. 4.24 Znale¹ przyspieszenie masy M w ukªadzie przedstawionym na rys. 17b. Zaniedba masy bloczków i tarcie. Kliny traktowa jako przytwierdzone na staªe do podªo»a. Odp. a = M(m 1 +m 2 ) 4m 1 m 2 sin α M(m 1 +m 2 )+4m 1 m 2 g. Rys. 18: Zad. 4.25 Po równi pochyªej nachylonej pod k tem α zsuwa si deska o masie M (rys. 18a). Wspóªczynnik tarcia deski o równi wynosi µ. Na desce umieszczono klocek o masie m, który porusza si bez tarcia. Przy jakiej najmniejszej masie klocka m min ruch deski po równi odbywa si b dzie ze staª pr dko±ci? Odp. m min = M tan α µ µ. Zad. 4.26 Z jakim przyspieszeniem powinien zje»d»a w dóª samochód o masie m po desce o masie M poªo»onej na nieruchomym klinie o k cie nachylenia α, aby deska ±lizgaªa si do góry po klinie ruchem jednostajnym ( (rys.) 18b). Wspóªczynnik tarcia kóª samochodu o desk wynosi µ 1, deski o klin µ 2. Odp. a = 1 + M m (sin α + µ 2 cos α) g. St d wida,»e a nie zale»y od µ 1. Zatem µ 1 mo»e by dowolne, ale ró»ne od zera, w przeciwnym razie deska nie mogªaby si porusza w gór. 14

Zad. 4.27 Dwa jednakowe klocki s poª czone niewa»k nici przerzucon przez niewa»ki blok. Pªaszczyzny obu równi, na których znajduj si klocki, tworz z poziomem k ty α i β (rys. 18c). Znale¹ przyspieszenie a obci zników i siª napr»enia T nici. Wspóªczynnik tarcia klockow o obierównie jest jednakowy i wynosi µ. Odp. a = g 2 (sin α sin β µ cos α + µ cos β), T = (sin α + sin β µ cos β µ cos β). mg 2 15