SPIS TREŚCI Całkowanie numeryczne 89

GRZEGORZ KRZESIŃSKI. MES_. CZĘŚĆ. MATERIAŁY DO WYKŁADU. SPIS TREŚCI. Mtody przybżon w mchanc onstruc. Mtoda Różnc Sończonych 9. Mtoda Emntów Brzgowych 7. MEB da równana Possona 7. Zagadnna tor sprężystośc (poza programm). Koncpca MES na przyładz równana Possona 5 5. MES w anaz onstruc prętowych 8 5..B 8 5.. Pręty rozcągan sręcan. Sprężyny 5 5.. Kratownc ramy płas 59 5.. Przstrznn ratownc ramy 6 6. Dwuwymarow trówymarow zadana tor sprężystośc 66 6.. Emnt sończony tróątny CST (constant stran trang) 77 6.. Izoparamtryczny 8-węzłowy mnt sończony 8 6.. Całowan numryczn 89 7. MES w pratyc nżynrs 9 7..Uwag o doładnośc obczń MES... 9 7.. Wyorzystan profsonanych systmów obcznowych... 96 Ltratura

GRZEGORZ KRZESIŃSKI. MES_. CZĘŚĆ. MATERIAŁY DO WYKŁADU.. METODY PRZYBLIŻONE W MECHANICE KONSTRUKCJI Konstruc odształcan mogą być badan dośwadczan ub mtodam tortycznym; anatycznym numrycznym. Poważną wadą anaz sprymntanych st ch oszt czasochłonność. Dotyczy to zarówno węszośc badań modowych a badań obtów rzczywstych. Pracochłonność mtod dośwadczanych st szczgón odczuwana w trac prac protowych, gdz anaz poddawan są różn waranty onstruc. Datgo rozwó mtod tortycznych, przd wszystm mtod numrycznych, wpływał zawsz na aość protowanych onstruc nżynrsch. Przyładm moż być postęp w onstrucach statów, dźwgów, wysoch budynów, samochodów, samootów. Badana tortyczn pogaą na sformułowanu odpowdngo opsu matmatyczngo następn rozwązanu postawongo probmu. Nstty, da bardzo wu pratycznych probmów mchan onstruc można zbudować warygodny mod matmatyczny, a n są znan odpowdn ścsł rozwązana anatyczn. Prostym przyładm tach zagadnń st wyznaczan współczynnów oncntrac naprężń. Tyo w bardzo szczgónych przypadach znan są rozwązana doładn. Rzczywst zawso Rzczywsty wyn Prawa fzy Własnośc matrałow, gomtra, Warun brzgow M E T O D A P R Z Y B L I Ż O N A Mod matmatyczny cągły Dysrtyzaca Aprosymaca Mod dysrtny Razaca obczń Wyn numryczny Rozwązan ścsł modu matmatyczngo Rozwązan doładn modu dysrtngo Rys.. Rozwązywan zagadnń anazy ośrodów cągłych mtodam przybżonym. Schmat postępowana

GRZEGORZ KRZESIŃSKI. MES_. CZĘŚĆ. MATERIAŁY DO WYKŁADU. Datgo równog do rozwou anatycznych mtod znadowana rozwązań ścsłych były opracowywan dosonaon mtody przybżon. Węszość zadań anazy wytrzymałoścow onstruc rozwązu sę współczśn za pomocą mtod przybżonych, przy wyorzystanu obczń omputrowych. Ogóny schmat postępowana przy zastosowanu mtod przybżonych przdstawony st na rysunu. Prwszym rom na drodz poszuwana rozwązana st budowa modu matmatyczngo. Potrzbna st do tgo znaomość odpowdnch praw fzy, sformazowany ops własnośc matrałowych, ształtu onstruc, warunów podparca obcążna. Da ażdgo rzczywstgo probmu możmy zbudować w różnych mod matmatycznych. Bardzo prostą ustracą moż być tu zadan orśna ugęca pod wpływm sł cężośc swobodn podpart drwnan ds (rys. ). a) mod b N m b) mod płyty N p m c) mod trówymarowy bryły N m Rys.. Różn mod w anaz wytrzymałoścow zgnan ds Da tago zagadnna można przdstawć typowy dnowymarowy mod matmatyczny b, dwuwymarowy mod zgnan płyty ub płny mod trówymarowgo zadana mchan cał odształcanych. Własnośc matrału równana

GRZEGORZ KRZESIŃSKI. MES_. CZĘŚĆ. MATERIAŁY DO WYKŁADU. opsuąc onstrucę mogą w naprostszym przypadu załadać zotropową nową sprężystość. Mogą równż uwzgędnać anzotropę, posprężystość czy duż ugęca w onswnc nnowość zaws. Równż warun brzgow można przyąć w postac uproszczon ub uwzgędnć na przyład zawsa ontatow. Przyład tn poazu, ż zwy n ma dngo, napszgo modu obcznowgo da anazy wytrzymałośc mntów onstrucynych. Właścwy mod obcznowy zaży od cu anazy, wymagań stawanych onstruc, żądan doładnośc wynów, dostępnośc danych matrałowych, a taż - w dużym stopnu - od dostępnych narzędz obcznowych. Ponadto ops matmatyczny wybrango modu można przdstawć w różnych sformułowanach, na przyład równań różnczowych, odpowadaących m równań całowych ub w uęcu waracynym, w postac probmu mnmazac odpowdngo funconału [5]. Budowa modu matmatyczngo stanow naważnszy mnt anazy obcznow, w tórym bardzo trudno zastąpć bzpośrdną dcyzę człowa przz sformazowan agorytmy postępowana. W mtodach przybżonych probm poszuwana nznanych func (opsuących po przmszczń, odształcń naprężń) zastępumy przz probm poszuwana sończon czby paramtrów, za pomocą tórych można opsać w pwnym przybżnuposzuwan func. f(x) f f f f f h h h h x =a x x b x x =a+h Rys.. Dysrtyzaca aprosymaca na przyładz func dn zmnn Doonumy tgo poprzz dysrtyzacę, czy wybór sończon czby paramtrów opsuących w przybżnu anazowany probm oraz aprosymacę poszuwanych func

GRZEGORZ KRZESIŃSKI. MES_. CZĘŚĆ. MATERIAŁY DO WYKŁADU. za pomocą nnych z góry założonych prostych func, tór uzażnon są od wybranych paramtrów. Naprostszym przyładm dysrtyzac aprosymac st numryczna rprzntaca dowon func f(x) w przdza <a,b>. Zrazować możmy to przz podzał przdzału <a,b> na n równych podprzdzałów o długośc h=(b-a)/n. Funcę cągłą f(x) rprzntować będz wtdy zbór (n+) wartośc f(a+h), =,,, n. Przybżon wartośc func da dowon wartośc x z przdzału <a,b> wyznaczać możmy za pomocą aprosymac funcą w podprzdzałach stałą (schodową), nową (łamaną) ub na przyład womanowym funcam sanym (rys. ). Mtody przybżon anazy ośrodów cągłych stanową ntnsywn rozwaną część współczsn matmaty. Wążą sę z probmam anazy funconan, mtod numrycznych rachunu waracyngo. Przntu sę czasm ao szczgón waranty ta zwanych tchn rsduów ważonych da przybżongo rozwązywana zagadnń opsywanych przz równana różnczow cząstow [5,7]. W nauach tchncznych mtody przybżon opsywan są zazwycza od strony zastosowań, ao wyspcazowan procdury obcznow da orśonych zagadnń, na przyład pó dformac sprężyst, pó tmpratury, pół trycznych magntycznych. Istn w mtod przybżonych, stosowanych od dawna w mchanc cała odształcango mchanc onstruc, np. mtoda Rtza, Garna, Trfftza, ooac, Kantorowcza [,6]. Mtody t różną sę postacą modu matmatyczngo, sposobm dysrtyzac aprosymac, a taż stosowanym agorytmm obczń. Jdna współczśn domnuą t mtody przybżon, tór charatryzu łatwość płn automatyzac tór rozwnęły sę wraz z rozwom tchn omputrowych. Nabardz znan z nch to mtoda różnc sończonych (MRS), mtoda mntów sończonych (MES) mtoda mntów brzgowych (MEB). Nazywamy mtodam numrycznym ub omputrowym. Każda z tych mtod ma bardzo bogatą traturę przntowana moż być w wu odmnnych sformułowanach. Mtoda różnc sończonych bzpośrdno wyorzystu mod matmatyczny w postac równań różnczowych opsuących rozwązywan zagadnn [,5]. Dysrtyzaca poga na ustanu w anazowanym obszarz sat węzłów, np. w przypadu dwuwymarowym prostoątn ub tróątn. Przymumy, ż w ażdym węź pochodn można przybżyć przz ta zwan orazy różncow, czy wyrażna agbraczn uzażnon od wartośc func w węzłach przygłych. Równan różnczow w ażdym węź zastępowan st przz odpowdn równan agbraczn wążąc wartośc func w nabższych węzłach. W rzutac otrzymumy uład równań, tórych czba odpowada 5

GRZEGORZ KRZESIŃSKI. MES_. CZĘŚĆ. MATERIAŁY DO WYKŁADU. czb węzłów. Nwadomym są wartośc poszuwan func w tych węzłach. Warun brzgow przdstawan są ao dodatow zwąz łącząc wartośc func w węzłach przygaących do onturu anazowango obszaru. W mtodz mntów sończonych [6,7] zamast rozwązywać równana różnczow poszuumy przybżongo rozwązana sformułowana atrnatywngo w postac probmu mnmazac odpowdngo funconału. Zagadnnam mnmazac funconałów ch zwązam z odpowdnm równanam różnczowym zamu sę dzał matmaty nazywany rachunm waracynym. W MES anazowany obszar dzony st na podobszary, nazywan mntam sończonym. W przypadu dwuwymarowym mogą to być np. tróąty ub czworoąty. Emnty sończon łączą sę z sobą w węzłach. Położn węzłów mntu wyznacza go ształt. Przbg poszuwan func u wwnątrz ażdgo mntu wyznacza sę za pomocą z góry ustaonych func aprosymuących nazywanych funcam ształtu: gdz = u( x) N ( x) u u stanową wartośc func w węzłach, x st wtorm współrzędnych, a funcam ształtu. N są Mnmazowany funconał przdstawć wtdy można ao funcę wu zmnnych Nwadomym są zwy wartośc poszuwan func w węzłach całgo obszaru. Warun mnmum prowadz do uładu równań nowych, tórgo rozwązan orśa nznan wartośc func w węzłach. Mtoda mntów brzgowych [5] wymaga znaomośc ta zwanych brzgowych równań całowych, tór w nn form wyrażaą zwąz znan w postac równań różnczowych ub w postac probmu mnmazac odpowdngo funconału. Da wu zagadnń ta zwan brzgow sformułowan, tór wyraża całow zażnośc mędzy wartoścam func pochodnych da puntów brzgowych st znan z anazy matmatyczn. Dysrtyzaca poga na podza brzgu na mał sgmnty zwan mntam brzgowym. W przypadu dwuwymarowym mogą to być odcn prostych ub tż rzywych, tórych ształt opsany st przz womany. Zapsan dysrtngo odpowdna równana całowgo da ażdgo węzła prowadz do uładu równań agbracznych, z tórgo można wyznaczyć wartośc poszuwan func na brzgu. Mtoda mntów sończonych moż być przntowana ao oparta na nnych sformułowanach] 6

GRZEGORZ KRZESIŃSKI. MES_. CZĘŚĆ. MATERIAŁY DO WYKŁADU. Równana różnczow cząstow Całow równana brzgow Probm mnmazac funconału Budowa sat węzłów przyęc wybranych schmatów różncowych Podzał brzgu na sgmnty (mnty brzgow) założn odpowdnch func aprosymuących na mntach func ształtu Podzał obszaru na mał podobszary (mnty sończon) przyęc odpowdnch func aprosymuących na mntach func ształtu Zastąpn równań różnczowych przz równana różncow da onych węzłów obszaru. Formowan uładu równańnowych Budowa dysrtn rprzntac równana całowgo da onych węzłów brzgu. Formowan uładu równań nowych Budowa macrzy sztywnośc onych mntów. Formowan uładu równań nowych Modyfaca uładu równań wprowadzn warunów brzgowych Modyfaca uładu równań wprowadzn warunów brzgowych Modyfaca uładu równań wprowadzn warunów brzgowych Rozwązan uładu równań nowych (macrz rzada, pasmowa, zwy symtryczna) Rozwązan uładu równań nowych (macrz płna, nsymtryczna) Rozwązan uładu równań nowych (macrz rzada, pasmowa, zwy symtryczna) Obczna uzupłnaąc, np. pochodnych poszuwanych func w węzłach Obczna uzupłnaąc, np. poszuwanych func ch pochodnych w wybranych puntach obszaru Obczna uzupłnaąc, np. func pochodnych func wwnątrz mntów sończonych Rys.. Ogóny schmat postępowana przy obcznach mtodą różnc sończonych, mtodą mntów brzgowych mtodą mntów sończonych 7

GRZEGORZ KRZESIŃSKI. MES_. CZĘŚĆ. MATERIAŁY DO WYKŁADU. Rysun przdstawa ogóny szc agorytmów MRS MEB MES da typowgo probmu nowgo, na przyład da zagadnna Lapac a, zagadnna Possona ub nowgo zadana tor sprężystośc. Porównan powyższych trzch mtod st w ogónym przypadu bardzo trudn. Istną pwn szczgón zagadnna, da tórych za nabardz ftywną można uznać mtodę różnc sończonych ub mtodę mntów brzgowych. Jdna nwątpw nabardz unwrsaną st mtoda mntów sończonych. Fat tn potwrdza powszchność zastosowań nżynrsch programów omputrowych MES. Mtoda mntów sończonych powstała w atach pęćdzsątych XX wu ao tchna obcznowa stosowana pratyczn, bz formanych podstaw tortycznych. Podwany dało opracowan mtody anazy wytrzymałoścow poprzz podzał złożonych onstruc nośnych na sończoną czbę uproszczonych mntów sładowych. Zwąz, tór musał spłnać ta zbudowany mod zapsywano w postac macrzow. Otrzymywano ułady równań z woma nwadomym, tórych czba zwązana była z doładnoścą przyętgo modu. Czynnm wpływaącym na gwałtowny rozwó MES był postęp w tchnc omputrow potrzby ntnsywn rozwango wówczas przmysłu zbronowgo otnczgo. Anaza podstaw tortycznych mtody, systmatyzowan zwęszan ftywnośc doprowadzło do orzystana z MES ao ogón mtody obczń probmów cągłych w matmatyc, a taż do szroch zastosowań w pratyc nżynrs przy anaz pó naprężń odształcń przmszczń, pó trycznych, magntycznych, trmcznych, zagadnń przpływowych a taż pó sprzężonych (np. zagadnń naprężń tmpraturowych czy probmów tryczno-cpnych). 8

GRZEGORZ KRZESIŃSKI. MES_. CZĘŚĆ. MATERIAŁY DO WYKŁADU.. METODA RÓŻNIC SKOŃCZONYCH Mtoda różnc sończonych (MRS) st dną z nastarszych mtod numrycznych rozwązywana zagadnń opsywanych równanam różnczowym cząstowym. Przymumy w n, ż poszuwana funca orśona st przz zbór wartośc w wybranych puntach (tzw. węzłach), dostatczn gęsto rozłożonych w anazowanym obszarz. Punty t dobran są zazwycza ta. ż tworzą rguarn sat, z tórych naprostszym są sata prostoątna w przypadu dwuwymarowym ub prostopadłoścnna w przypadu trówymarowym (rys. 5). a) b) y y c) y x d) y x θ r x x ) h 6 g 5 Rys. 5. Przyłady rguarnych sat MRS: a) prostoątna, b) tróątna, c) szścoątna, d) w uładz bgunowym, ) prostopadłoścnna W mtodz różnc sończonych opratory różnczowana func zastępowan są odpowdnm opratoram różncowym. Oznacza to, ż wartośc pochodnych w punc 9

GRZEGORZ KRZESIŃSKI. MES_. CZĘŚĆ. MATERIAŁY DO WYKŁADU. zastępowan są przz odpowdn przyrosty (różnc) func w sąsaduących węzłach. Zamnamy w tn sposób równana różnczow na równana agbraczn, ta zwan równana różncow. W fc, zamast równana różnczowgo, otrzymumy uład równań z nwadomym będącym wartoścam func w węzłach. Każd równan odpowada odpowdnmu węzłow sat. Otrzymany uład równań st modyfowany w wynu uwzgędnna warunów brzgowych. Rozwązanm uładu są wartośc poszuwan func w wszystch węzłach sat. y h h y u -, u u u,+,,- u +, g g y x x x Rys. 6. Dwuwymarowa sata prostoątna mtody różnc sończonych Załóżmy, ż mamy do czynna z zagadnnm dwuwymarowym w współrzędnych artzańsch xy stosumy typową satę prostoątną (rys. 6) opsaną przz formuły: x = x + h, o y = y + g, gdz x, y są współrzędnym wybrango puntu odnsna. o o Przymmy oznaczn gdz u( x, y ) st poszuwaną funcą. o () u, = u( x, y ), () Możmy wówczas dfnować różn schmaty różncow, na przyład prwszą pochodną u y można zastąpć przz trzy różn opratory różncow:

GRZEGORZ KRZESIŃSKI. MES_. CZĘŚĆ. MATERIAŁY DO WYKŁADU. u u u u = y y g, +, a), u u u u = y y g,, b), u u u u = y y g, +, c). Prwszy z opratorów () nazywany orazm różncowym przdnm, drug orazm różncowym tynym, a trzc orazm różncowym cntranym. Iorazy różncow odpowadaąc drugm pochodnym możmy otrzymać stosuąc anaogczn schmaty powtórn, tym razm w stosunu do prwszych pochodnych. Typow formuły to na przyład: u u u u + u x x h u u u u + u y y g +,,, =, +,, = Podobn uzysamy równż wyrażna na orazy różncow odpowadaąc nnym pochodnym np. u u u u + 6u u + u x x h +, +,,,, = Szczgóły daszgo postępowana czytn znadz w przyładach.,. () () (5) PRZYKŁAD Ba o długośc st utwrdzona sztywno na obu ońcach. Znan st początow (da chw t = ) ugęc w( x, t) b wo ( x ) oraz rozład prędośc początow v ( x) = v( x, t = ) = t zmna sę na ugęca b da t >. Rozwązan. Funca w( x, t ) opsuąca ugęc b spłna równan różnczow. gdz a EJ ρ A = oraz warun brzgow warun początow w w + = x a t w(, t) = w(, t) = da t, w w = da t, x x x= x= t =. Naży obczyć a, (6) (7)

GRZEGORZ KRZESIŃSKI. MES_. CZĘŚĆ. MATERIAŁY DO WYKŁADU. w( x,) = w ( x) da x (, ), w = v( x) da x (, ). t t= Anazumy obszar (, ) (, T ), gdz T oznacza czas ońcowy procsu ( T > ) satę węzłów da mtody różncow x = h, t = g. Pochodnym w równanu (6) odpowadaą orazy różncow: w x w t w w + 6w w + w +, +,,,, = h w w + w,,, = g., (8). Przymmy prostoątną W tn sposób otrzymumy uład równań nowych stanowący przybżoną, różncową postać równana różnczowgo (6): a g ( w w + 6w w + w ) + h ( w w + w ) =,,,, +, +,,,, Z warunów brzgowych mamy z warunów początowych =,,,..., n, =,,,... m. (9) () wo, = wn, = da =,..., m () w = w ( x ) =,,..., n,, o o w = w ( x ) + v ( x ) g =,,..., n., o o Uład równań () wraz z warunam () () moż być rozwązywany da onych roów czasowych =,,...[]. Rozwązanm st wtor gdz I st macrzą dnostową, st macrzą nosobwą a wtor w opsuący w przybżnu nę ugęca b w chw t a g w A I w w n = + ( ) (), () 6... 6... 6... A = 6..., ()... 6... 6 w ma postać w w, w, = wn,. (5)

GRZEGORZ KRZESIŃSKI. MES_. CZĘŚĆ. MATERIAŁY DO WYKŁADU. Wtory w obcza sę orzystaąc z znaomośc wtorów n ugęca da poprzdzaących puntów czasowych w w, przy czym w w wynaą z warunów początowych Wymar wtorów w =, w, =. n, n w w ( x) w ( x) + v( x) g w ( x ) w ( x ) v ( x ) g + = w = w ( x ) w ( x ) + v ( x ) g n n n z w st zmnszony, ponważ warun brzgow daą nam w, =, w, =, (6) PRZYKŁAD Przdstawć równana różncow da sat prostoątn opsan przz zwąz () da a) równana Possona b) równana Hmhotza u u + + f ( x, y) = x y u x u y + + u =, (7), (8) c) równana przwodnctwa cpła u u + = x a t. (9) Rozwązan: a) Zastępuąc pochodn w równanach różnczowych przz odpowdn orazy różncow otrzymamy: Jś przymmy h ( u +, u, + u, ) + ( u, + u, + u, ) + f ( x, y ) =. () h g = g (sata wadratowa) f (równan Lapac a) to uzysamy wyn: u+, + u, + u, + + u, u, =. () Wartość func w węź st wtdy równa śrdn arytmtyczn z wartośc func w nabższych węzłach, oddaonych o h. b) Sprowadzn do postac różncow da ( ) c) Przymuąc x = h, t = g otrzymamy u g h = u + u + u + u. (), +,,,, + ( ) a gu h + a g u + a gu = h u. () +,,,, PRZYKŁAD Jdnowymarowy mod zgnana b st opsany równanm różnczowym (patrz cz. I, wzór (.75)) d w dx p EJ =, ()

GRZEGORZ KRZESIŃSKI. MES_. CZĘŚĆ. MATERIAŁY DO WYKŁADU. gdz w( x ) st funcą ugęca b, p obcążnm cągłym (N/m), E modułm Younga a J odpowdnm momntm bzwładnośc przrou. Po zastosowanu dysrtyzac: orśnu położna węzłów da mtody różnc sończonych wg formuły x = a + h, możmy zastosować cntrany oraz różncowy da czwart pochodn równan różnczow () zastąpmy przz równan gdz p p( x ) =. w w + 6w w + + w + p h EJ Możw są różn typy warunów brzgowych, tór zapsumy, uwzgędnaąc, ż : a) wość ugęca w punc odpowada wartośc func w( x ), b) ąt ugęca, w zars małych dformac odpowada wartośc pochodn dw dx, c) momnt gnący w przrou x st zwązany z funcą ugęca wzorm d w M ( x) EJ dx d) sła tnąca w przrou x st zwązana z ną ugęca w( x ) wzorm T ( x) =, (5) =, (6) d w =. (7) EJ dx Uwzgędnaąc powyższ stwrdzna możmy rozpatrzyć typow warun brzgow (rys. 7) załadaąc w ażdym przypadu, ż węzł odpowada przroow b z narzuconym warunm brzgowym Przró utwrdzony Odpowdn warun brzgow maą postać: co po dysrtyzac prowadz do zażnośc dw w( x ) =, ( x ) =, dx w + w w =, =. (8) h Jż punt st początm (ońcm) rozpatrywango przdzału x możmy przyąć odpowdno w + = ( w = ). Przró przgubowo podparty, nobcążony Odpowdn warun brzgow maą postać Po dysrtyzac otrzymamy w w( x ) = oraz M ( x ) =. Przró swobodny obcążony momntm M g Warun brzgow odpowadaąc tmu przypadow to Odpowdn równana różncow maą postać: w w + w w h + + w + w + w = = (9) h T ( x ) = M ( x ) = = M. g w w + w EJ h + = M. () g

GRZEGORZ KRZESIŃSKI. MES_. CZĘŚĆ. MATERIAŁY DO WYKŁADU. - + + - - + + Mg - - + + Rys. 7. Waranty warunów brzgowych w modu MRS b zgnan (przyład ) W mtodz różnc sończonych sata węzłów obmu często zarówno węzły żąc wwnątrz anazowango obszaru, a dodatow węzły zwnętrzn, tór ułatwaą wprowadzan warunów brzgowych. W przypadach dwu- trówymarowych często zdarza sę, ż brzg obszaru przbga mędzy węzłam rguarn sat (rys. 8). W tam przypadu węzłom żącym nabż onturu przypsumy wartośc wynaąc z ntrpoac ub strapoac. a) b) δ h h δ Rys. 8. Intrpoaca strapoaca warunu brzgowgo w MRS Jś ostatn węzł sat () ży wwnątrz onturu (rys. 8a), to zamast narzucongo warunu na wartość func u = u wprowadzamy zwąz hu + δ u u =. () h + δ W przcwnym przypadu (rys. 8b) mamy 5

GRZEGORZ KRZESIŃSKI. MES_. CZĘŚĆ. MATERIAŁY DO WYKŁADU. hu δ u u =. () h δ Mtoda różnc sończonych ma w zat, dzę tórym w przszłośc uważana była za nabardz ftywną mtodę obczń zautomatyzowanych. Do naważnszych z nch nażą prostota agorytmów bzpośrdn wyorzystan równań różnczowych probmu. W pwnych obszarach st do dzś pratyczn stosowana, np. w anaz tarcz płyt, czy w zagadnnach przpływowych. MRS napotya na szrg trudnośc w przypadu obszarów o złożonych ształtach sompowanych warunów brzgowych. Da poprawna ftywnośc opracowano pwn modyfac udogodnna maąc na cu ułatwn budowy modu dysrtngo, np. agorytmy MRS da nrguarnych sat węzłów. 6

GRZEGORZ KRZESIŃSKI. MES_. CZĘŚĆ. MATERIAŁY DO WYKŁADU.. METODA ELEMENTÓW BRZEGOWYCH Mtoda mntów brzgowych (MEB) st stosunowo nową omputrową mtodą rozwązywana zagadnń opsywanych równanam różnczowym cząstowym. J podstawą st sprowadzn zadana brzgowgo ub brzgowo-początowgo opsango za pomocą uładu równań różnczowych cząstowych z odpowdnm warunam grancznym do ta zwanych brzgowych równań całowych. Równana t są rozwązywan w sposób przybżony przz podzał brzgu na sgmnty zwan mntam brzgowym przyęc odpowdn aprosymac anazowanych func na mntach brzgowych za pomocą z góry założonych func moduących. Warto podrść, ż w MEB zwy nzbędna st dysrtyzaca tyo brzgu obszaru a n całgo anazowango obszaru, co prowadz do znaczngo zmnszna czby nwadomych w porównanu do mtody różnc sończonych mtody mntów sończonych. Mówmy, ż MRS MES nażą do tzw. mtod obszarowych przybżongo rozwązywana zagadnń brzgowo-początowych a MEB rprzntu mtody brzgow. Mtodę mntów brzgowych omówmy naprw na przyładz równana różnczowgo Possona w przypadu dwuwymarowym. W poprzdnm rozdza przdstawony był sposób rozwązana tgo równana mtodą różnc sończonych. Rozwązan zagadnna Possona mtodą mntów sończonych omówon będz w rozdza następnym... METODA ELEMENTÓW BRZEGOWYCH DLA RÓWNANIA POISSONA Rozpatrzmy równan Possona: gdz x = ( x, x) Ω z warunam brzgowym u u + + f ( x, x) =, () x x 7

GRZEGORZ KRZESIŃSKI. MES_. CZĘŚĆ. MATERIAŁY DO WYKŁADU. u( x) = u, x Γ u( x) ( x) = =, x Γ n Równan Possona Lapac a (gdy f ( x, x ) = ) opsu w zaws o dużym znacznu w tchnc: staconarny przpływ cpła, staconarny bzwrowy przpływ nścśw np cczy, prost poa magntyczn tryczn []. W tor sprężystośc równan Possona opsu rozłady naprężń w przrou pręta sręcango. Da tago zagadnna przdstawć można brzgow równan całow, tór stanow sformułowan równoważn probmow opsanmu przz zwąz () (). u( x) c( ξ ) u( ξ ) = u( x) ( ξ, x) dγ( x) u ( ξ, x) dγ ( x) + f ( x) u ( ξ, x) dr( x) n Γ Γ Ω u () (5) W równanu (5) c( ξ ) st współczynnm czbowym, tórgo wartość st równa ś ξ ży na gładm onturz, a da ξ żącgo wwnątrz obszaru. W przypadu naroża współczynn tn naży spcan obczać. Func u zażą od położna dwóch puntów: puntu ξ zwango puntm źródłowym puntu x zwango puntm obsrwacynym (rys. 9). x Ω r r x n n n r Γ Γ u ξ Γ Γ =Γ u Rys. 9. Oznaczna pomocncz do brzgowgo sformułowana zagadnna Possona x Funca u znana w tor równań całowych, ao ta zwan rozwązan fundamntan ma postać: u = ( ξ, x) = n π r, (6) wyprowadzn równana (5) znaźć można w monografach tor spręzystośc 8

GRZEGORZ KRZESIŃSKI. MES_. CZĘŚĆ. MATERIAŁY DO WYKŁADU. gdz r = ( x ξ ) + ( x ξ ). Funca orśona st przz pochodną runową u : Doonuąc różnczowana otrzymamy u ( ξ, x) ( ξ, x) =. (7) n u u = n + n, x x ( r n + r n ) =, π r gdz r = x ξ, =,, a n = n, n st dnostowym wtorm zwnętrzn normanym do brzgu Γ. Wzór (8) można łatwo otrzymać, zauważaąc, ż (8) r x ξ r = =. (9) x r r Brzgow równan całow (5) wąż z sobą nznan func u( x ) pochodną normaną u( x) ( x) = na onturz obszaru. W trzc całc, obszarow, func n podcałow są znan. Równan (5) można rozwązać numryczn w sposób przybżony, razuąc następuący schmat:. Brzg Γ dzmy na LE mntów brzgowych, będących odcnam ub rzywonowym sgmntam z węzłam wyznaczaącym ch ształt.. Na ażdym mnc brzgowym func u( x ) u( x) ( x) = aprosymumy za n pomocą wartośc w węzłach odpowdnch, z góry założonych func ntrpoacynych.. Wyorzystuąc przyętą dysrtyzacę przształcamy równana całow formułowan da ażdgo węzła (puntu ξ ) w agbraczn równan now.. Otrzymumy uład równań nowych wążący z sobą wartośc u func u( x ) ( x ) da wszystch węzłów onturu. Uład tn rozwązumy po wprowadznu warunów brzgowych (w ażdym węź znamy abo u abo ). Rozwązanm st wtor nznanych wartośc func u( x ) pochodnych w węzłach brzgu. 5. Jś chcmy wyznaczyć wartośc func u da puntów wwnętrznych wyorzystumy ponown wzór (5) prznosząc punt ξ do wwnątrz obszaru. Wtdy c( ξ ) = 9

GRZEGORZ KRZESIŃSKI. MES_. CZĘŚĆ. MATERIAŁY DO WYKŁADU. ponważ znan są uż wartośc func pochodnych na onturz zadan sprowadza sę do zwyłgo numryczngo całowana. Rozpatrzmy na przyład przbg obczń da naprostszych mntów brzgowych, tzw. mntów stałych (rys. ). Emnt brzgowy st w tym przypadu odcnm a węzł tgo mntu usytuowany st w środu. x P r P x Rys.. Podzał brzgu na mnty stał (o stałych wartoścach func aprosymowanych) Załadamy, ż na ażdym mnc func u( x ) ( x ) przybżamy funcam stałym. Otrzymamy wtdy da ażdgo węzła zwąz u ( P ) u ( P, x ) ( P ) d ( P, x ) u ( P ) d LE LE = Γ Γ = Γ = Γ + f ( x) u ( P, x) dr =,,.. LE Ω Da obczna wartośc trzc cał, z znanym funcam podcałowym, nzbędna st pomocncza dysrtyzaca obszaru. Przymmy oznaczn () f = f ( x) u ( P, x) dω( x). () Ω Po numrycznym całowanu da ażdgo puntu węzłowgo otrzymumy zwąz u ( P ) = U ( P ) Q u ( P ) + f, =,... LE LE LE = =. (a) { } { } { } { } u U Q = n + f. (b) Otrzymamy węc LE równań nowych, w tórych nwadom (b) stanową nznan wartośc u( P ) (ś węzł P ży na częśc Γ onturu) ( P ) (ś węzł P ży na

GRZEGORZ KRZESIŃSKI. MES_. CZĘŚĆ. MATERIAŁY DO WYKŁADU. częśc postac: Γ u onturu). Oznaczaąc t nwadom ao { y } uład () możmy doprowadzć do gdz macrz [ A ] wtor prawych { b} stron są znan. [ A]{ y} = { b} () W rzutac otrzymumy omptną nformacę o func u( x ) pochodnych na brzgu. W odróżnnu do MRS MES, gdz anaogczna macrz st zazwycza pasmowa symtryczna, w mtodz mntów brzgowych otrzymumy macrz A płną nsymtryczną... DWUWYMIAROWE ZAGADNIENIE TEORII SPRĘŻYSTOŚCI. BRZEGOWE RÓWNANIE CAŁKOWE Ops matmatyczny MEB da zagadnń tor sprężystośc moż być formułowany na w sposobów [5] st bardz złożony nż w mtodz różnc sończonych, czy mtodz mntów sończonych. W tym rozdza przntowany st srótowy obraz ta zwango podśca bzpośrdngo, w tórym nwadomym w równanach całowych są przmszczna naprężna. Rozpatrumy zotropow, dnorodn cało nowo sprężyst zamuąc w przstrzn R obszar Ω znaduąc sę w stan równowag pod dzałanm sł zwnętrznych: powrzchnowych p( x, x) = ( p, p ) obętoścowych X ( x, x) = ( X, X ). Obcążna t powoduą powstan odpowdngo poa przmszczń u ( x, x ) = ( u, u) poa naprężń σ ( x, x ),, =, (rys. ). x Ω Γ u x X p Γ Γ Γ =Γ u σ σ σ σ σ Rys.. Anazowan cało sprężyst

GRZEGORZ KRZESIŃSKI. MES_. CZĘŚĆ. MATERIAŁY DO WYKŁADU. Pou przmszczń u odpowada tnsor odształcna: ε = ( u, + u, ). () Różnczow równan równowag w uładz artzańsm x x ma postać:, X gdz σ st symtrycznym tnsorm naprężna. σ + =, (5) Cało st podpart na częśc Γ brzgu (znan przmszczna u( uˆ ˆ, u) ) obcążon na u Częśc Γ (znan obcążna p ( pˆ ˆ, p) ). Mamy węc warun brzgow: p = p = σ n = pˆ, ( x Γ ), (6) p gdz n = ( n, n) st wrsorm normanym zwnętrzn do onturu oraz u = uˆ, ( x Γ ). (7) u Zwąz mędzy tnsoram odształcna naprężna orśaą ponższ zażnośc, wyrażaąc uogónon prawo Hoo a. Da płasgo stanu naprężna (PSN): σ E Ev = v ε + + v δ ε, (8) a da płasgo stanu odształcna (PSO): σ E ve = v ε + + ( + v)( v) δ ε, (9) gdz E st modułm Younga a v stałą Possona. Zauważyć można, ż zwąz onstytutywn (8) (9) różną sę wyłączn współczynnam orśonym przz stał matrałow. Przz podstawn do (8) zmodyfowanych wartośc stałych: E v E = = v v, v, (5) otrzymamy zwąz (9), a przz podstawn do (9) E ( + ) E = v v, v = ( + v) + v, (5) otrzymamy zwąz (8). W przypadu wyorzystana w praw Hoo a modułu sprężystośc postacow E G = stał Possona, podstawna (5) (5) przdą odpowdno w (5) (5): ( + v)

GRZEGORZ KRZESIŃSKI. MES_. CZĘŚĆ. MATERIAŁY DO WYKŁADU. v v =, G = G, (5) v v v =, G = G. (5) + v Powyższ zwąz pozwaaą na prost dostosowan agorytmów numrycznych do razac obczń zarówno da PSN a PSO w zażnośc od orśaącgo stan paramtru struącgo. Dasz zażnośc przdstawan będą da płasgo stanu odształcna. Podstawaąc () do (9) a następn do (5) otrzymumy przmszcznow równana różnczow Navra: G Gu u X v, +, + =. (5) Puntm wyśca da bzpośrdn mtody mntów brzgowych są wzory Somgany. Wzory Somgany wyprowadzć można z znango twrdzna Bttgo o wzamnośc prac: Twrdzn to można wyrazć następuąco: X u dv + p u da = X u dv + p u da. (55) Ω Γ Ω Γ Jś na cało dzałaą ono dwa ułady obcążń to praca prwszgo uładu obcążń ( X, p ) na przmszcznach wywołanych przz drug uład ( u ) st równa pracy druggo uładu obcążń ( X, p ) na przmszcznach wywołanych przz uład prwszy ( u ). x ξ X = δ (x- ξ) δ (=) x r x () P (x, ξ) Rys.. Pomocnczy stan równowag: sła w przstrzn nogranczon Aby otrzymać wzory Somgany przymmy, ż dany st uład obcążń cała p, X. Drug stan równowag onstruumy wyodrębnaąc w nogranczon przstrzn

GRZEGORZ KRZESIŃSKI. MES_. CZĘŚĆ. MATERIAŁY DO WYKŁADU. sprężyst Ω obszar Ω odpowadaący obszarow zamowanmu przz anazowan cało (rys. ). W punc ξ Ω przyładamy dnostową, obętoścową słę suponą X o runu : X = δ ( x ξ ) δ. (56) W powyższym wzorz δ ( x ξ ) st funcą (dystrybucą) Draca o własnoścach: Ω σ ( x) =, x, δ ( x), x =, f ( x) δ ( x ξ ) dω ( x) = f ( ξ ). (57) Wyna stąd, ż X orśon wzorm (56) st wszędz równ zru poza puntm x = ξ, gdz ma dną sładową () o wartośc nsończon. Słę orśoną przz funcę możmy tratować ao słę dnostową, gdyż: X dv ( x) = δ. (58) Ω Rozwązan uładu równań przmszcznowych (5) da ta sły, z warunm u( x) da x, da w rzutac w przypadu płasgo stanu odształcń po tnsorow przmszczń []: gdz: C =, C = v, 8 πg( v) ( ) ( ) U ( x, ξ ) = C r, r, C n r δ, (59) X (( ξ )( ξ )) / r = x x, r, r r = = x r, r = x ξ. Func U nazywan są rozwązanam (funcam) fundamntanym Kvna równań ( ) astostaty ub funcam przmszcznowym Grna da przstrzn nogranczon [, 6]. Znaomość tnsora przmszcznowgo Grna (59) pozwaa na orśn poa ( ) naprężń ( x, ) σ ξ następn obcążń zwązu () mamy: P odpowadaących brzgow Γ. Korzystaąc z ( )

GRZEGORZ KRZESIŃSKI. MES_. CZĘŚĆ. MATERIAŁY DO WYKŁADU. ( ) ( ) ( ) ε = ( U, + U, ), ( ) C rr r ε = δ ( r C ) ( δ r δ r ). r + r Wyznaczony z prawa Hoo a wzór orśaący sładow tnsora naprężń ma postać: rr r ( ) C ( ) = C r r r σ δ δ δ r gdz: C =, C = v. π ( v) r (6), (6) Maąc dany tnsor naprężń odpowadaący przyłożnu w punc ξ = ( ξ, ξ) sły dnostow X można wyznaczyć obcążna n onturu Γ : P ( x, ξ ) = σ ( x, ξ ) n ( x), x A, ( ) ( ) ( ) C rr P = C ( nr nr ) Cδ r. n r + r Wstawaąc wyrażna (59) (6) do (55) otrzymumy wzory Somgany: (6) ( ) ( ) ( ) ( ) (6) u ( ξ ) = p ( x) U ( x, ξ ) P ( x, ξ ) u ( x) dγ + X ( x) U ( x, ξ ) dω Γ Ω Z wzorów Somgany wyna, ż znaąc rozład sł masowych X ( x ) oraz przmszczna u ( x ) obcążna p ( x ) brzgu cała Γ możmy obczyć przmszczna u w dowonym punc wwnętrznym tgo cała. Pratyczn zastosowan wzorów Somgany stało sę możw przz prznsn puntu ξ (żącgo wwnątrz obszaru cała w tórym orśan st przmszczn) na brzg cała Γ. Można wyazać, ż da puntu ξ Γ otrzymumy ( ) ( ) ( ) c ( ξ ) u ( ξ ) = p ( x) U ( x, ξ ) u ( x) P ( x, ξ ) dγ ( x) + Γ + X x U x dω x Ω ( ) ( ) (, ξ ) ( ), (6) gdz c zaży od ształtu onturu w punc ξ od współczynna Possona. Gdy brzg w punc ξ st gład, wa strona równana (6) ma postać u ( ξ ). Konczność znaomośc zarówno przmszczń u ( x ) a obcążń p ( x ) brzgu da zastosowana zasady Somgany powodowała, ż przd rozwom mtody mntów brzgowych uważano, ż wzory Somgany maą dyn tortyczn znaczn, bowm na brzgu cała mogą być znan abo przmszczna abo obcążna, a ażdy z tych typów warunów brzgowych oddzn (Nowac W., Tora sprężystośc) 5

GRZEGORZ KRZESIŃSKI. MES_. CZĘŚĆ. MATERIAŁY DO WYKŁADU. W daszych rozważanach przymmy X. Sły masow mogą być uwzgędnon w MEB. Jdna w tam przypadu wymagana st pomocncza dysrtyzaca obszaru by obczyć wartość trzc cał w równanu (6). Przyęc odpowdn dysrtyzac brzgu aprosymac warunów brzgowych sprowadza zadan rozwązana równana (6) do uładu równań nowych z nwadomym orśaącym nznaną część warunów brzgowych. Po wyonanu tgo zadana można obczać przmszczna, odształcna naprężna w wybranych puntach wwnętrznych obszaru. Przmszczna obczan są bzpośrdno z zdysrtyzowanych wzorów Somgany (6). Wyrażna na sładow tnsorów odształcna naprężna otrzymamy po zróżnczowanu równana wzgędm ξ wyorzystanu wzorów () (9). Otrzymumy ([,]): gdz:, (65) ε ( ξ ) = A ( x, ξ ) p ( x) dγ( x) B ( x, ξ ) u ( x) dγ( x) Γ Γ oraz ( ) ( ) U U A ( x, ξ ) = +, ξ ξ C A = ( δ r r, r, r, + ( C )( δ r, + δr, )), r ( ) ( ) P P B ( x, ξ ) = +, ξ ξ C r B = δ r, v( δ r, δ r, ) r, r, r, r n + + + + C ( δn + δ n δ n + r, r, n, ) + v ( r, r, n + r, r, n )}, (66) (67) gdz, (68) σ ( ξ ) = D ( x, ξ ) p ( x) da( x) S ( x, ξ ) u ( x) da( x) A A C D = C ( δr, + δ r, δ r, ) + r, r, r, r, (69) CG r Sh = ( v) δr, v( δr, + δ r, ) r, r, r, + r n ( )(,, ) ( ) v( r, r, n r, r, n ). + v r r n + δ n + δ n + v δ n + + + (7) 6

GRZEGORZ KRZESIŃSKI. MES_. CZĘŚĆ. MATERIAŁY DO WYKŁADU. W wzorach (.) (.5) r, r r x ξ r = = = = x ξ r r... ALGORYTMY NUMERYCZNE MEB W DWUWYMIAROWYM ZADANIU TEORII SPRĘŻYSTOŚCI Naważnsz mnty postępowana, a możmy wyróżnć w anaz mtodą mntów brzgowych to: a) Dysrtyzaca brzgu na mnty brzgow. Przymmy oznaczna: LE czba mntów brzgowych, LW czba węzłów onturu, LWE czba węzłów mntu brzgowgo. b) Przyęc func moduących przbg przmszczń ( u ) obcążń ( p ) na mnc w zażnośc od ch wartośc w puntach węzłowych, c) Przdstawn zwązów (6) da wszystch puntów węzłowych ao uładu LW równań nowych typu [ P]{ u} = [ U ]{ p} z nznanym LW sładowym przmszczń obcążń węzłowych pozostałym po uwzgędnnu znanych warunów brzgowych, d) Rozwązan przształcongo uładu równań [ A]{ x} = { b} a węc orśn nznanych obcążń przmszczń w węzłach brzgowych, ) Obczn sładowych tnsora naprężń na brzgu, odpowadaących znanym uż obcążnom przmszcznom, f) Obczn przmszczń naprężń w wybranych puntach wwnętrznych z zdysrtyzowanych wzorów (65) (68). Aprosymaca ształtu mntu, przmszczń obcążń orśon mogą być wzoram LWE G η = ψ η = x ( ) ( ) x ( ), LWE u η = ψ η = u ( ) ( ) u ( ), LWE p η = ψ η = p ( ) ( ) p ( ), (7) 7

GRZEGORZ KRZESIŃSKI. MES_. CZĘŚĆ. MATERIAŁY DO WYKŁADU. gdz LWE st czbą węzłów mntu, η oaną współrzędną orśaącą położn na n mntu ( η <, > ), x ( ), u ( ), p ( ) oznaczaą współrzędn, przmszczna obcążna węzła a ψ są założonym z góry funcam moduącym. Zazwycza przymu sę tn sam sposób aprosymac wszystch przybżanych func: G u P ψ = ψ = ψ = ψ, =,. Ψ = n Ψ = Ψ = ( η) ( +η) η, η = η Ψ = η = Rys.. Lnowy mnt brzgowy Rysun ustru przypad, gdy func ψ są now. W tam przypadu równan (6) da wybrango węzła M onturu przybra postać LE ( ) ( ) c ( M ) u ( M ) = ( p ( x) U ( x, M ) up ( x, M ) dl ( x) = L, (7) gdz LE st czbą mntów onturu a L oznacza -ty mnt onturu (rys. ). Po uwzgędnnu zwązów (7) odpowdnch przształcnach mamy: LE cu ( M ) = ( ψ( η) p ( M ) + ψ ( η) p ( M + ) ) U ( x( η), M ) J ( η) dη + = ( ψ ( η) u ( M ) ψ ( η) u ( M )) P ( x( η), M ) J ( η) dη} + + (7) gdz J ( η ) st aobanm przśca z uładu x x na zmnną η. Da przypadu mntu nowgo st J ( η ) =, gdz oznacza długość mntu. Po daszych przształcnach równan (7) można doprowadzć do postac: LW LW ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (7) c u ( M ) = U M, M p M P M, M u M n n n n n= n= 8

GRZEGORZ KRZESIŃSKI. MES_. CZĘŚĆ. MATERIAŁY DO WYKŁADU. ( ) ( ) gdz LW st czbą węzłów onturu a współczynn U ( M n, M ) P ( M n, M ) są wynm odpowdnch całowań w zwązu (7). Całowana t przprowadzan są numryczn. Da n ( ) ( ) = cał sładaąc sę na U ( M n, M ) = U ( M, M ) zawraąc osobwośc func podcałowych obczan są z wzorów anatycznych a ( ) ( ) cał sładaąc sę na P ( M n, M ) P ( M, M ) = obczan są łączn z współczynnam c w daszym tap z warunu ruchu cała ao bryły sztywn. Zapsuąc zwąz (7) w postac macrzow otrzymamy () () () P ( M, M ) P ( M, M ) P ( M, M ) + c ( M ) () () () P ( M, M ) P ( M, M ) P ( M, M ) + c( M ) u( M) u( M) () () () P ( M, M ) + c ( M ) P ( M LW, M ) P ( M LW, M ) u( M ) () () () = P ( M, M ) c( M ) P ( M LW, M ) P ( M LW, M ) u( M ) + u( M LW ) u( M LW ) () () () () U ( M, M ) U ( M, M ) U ( M, M ) U ( M, M ) () () () () U ( M, M ) U ( M, M ) U ( M, M ) U ( M, M ) p( M) p( M) () () U ( M LW, M ) U ( M LW, M ) p( M ) () () U ( M LW, M ) U ( M LW, M ) p( M ) p ( M LW ) p( M LW ) Zwąz tn stanow uład dwóch równań z LW nwadomym sformułowany da węzła M (rys. ). Nwadomym st część mntów wtora { u } część mntów wtora{ p }. Jś warun brzgowy dotyczy przmszczna znan st u a nwadomą (75) stanow p a ś znan st obcążn p do wyznaczna zosta u. 9

GRZEGORZ KRZESIŃSKI. MES_. CZĘŚĆ. MATERIAŁY DO WYKŁADU. M + x η L n x M x r ( x, ξ) M - M ( ξ) Rys.. Sposób przprowadzana całowana po onturz Formułuąc anaogczn zwąz da pozostałych węzłów otrzymumy uład LW równań z LW nwadomym: [ P]{ u} = [ U ]{ p}. (76) Uwzgędnaąc, ż warun brzgow zadana orśaą nam LW wartośc sładowych wtorów { u } { p } równan (76) można przształcć do postac: [ A]{ y} = { b}, (77) gdz { y } zawra nznan wartośc węzłow przmszczń obcążń. Da modowana ncągłośc obcążń na brzgu wprowadza sę tzw. węzły podwón (rys. 5). Węzł podwóny stanową dwa węzły o dntycznych współrzędnych, w tórych nzażn orśan są obcążna p a przmszczna z założna są dntyczn. P + + +, - Rys. 5. Węzł podwóny (+,) na onturz anazowango obszaru

GRZEGORZ KRZESIŃSKI. MES_. CZĘŚĆ. MATERIAŁY DO WYKŁADU. Orśn, po rozwązanu uładu równań (77), wszystch sładowych obcążń przmszczń węzłowych pozwaa na łatw wyznaczn stanu naprężń w węzłach brzgowych. Naprężna obczan są w uładz oanym x, x zwązanym z mntm brzgowym (rys. 6). Ta na przyład da węzła n mamy σ = p ( n)cos α + p ( n)sn α, σ = p ( n)sn α + p ( n)cos α. Naprężn norman w runu stycznym do brzgu obczamy wyorzystuąc dfnc odształcń prawo Hoo a () (9): v x v (78) E u v σ = + σ. (79) Uwzgędnaąc, ż przmszczn st zmnn nowo wzdłuż mntu możmy zapsać E u ( n + ) u ( n) v σ ( n) = + σ ( n). (8) v + v Otrzyman sładow stanu naprężna transformowan są następn do uładu gobango x, x. n+ x ' x n+ α x ' σ ' σ ' σ ' σ' σ ' n- x Rys. 6. Wyznaczan naprężń w węzłach onturu Da ażdgo węzła naprężna czon są dwurotn przy wyorzystanu wynów z obu mntów zawraących dany węzł. Końcow naprężna w węź stanową śrdną arytmtyczną z rzutatów otrzymanych da obu mntów. Orśn naprężń brzgowych ończy zwy procs obczń. W dowonym, wybranym punc wwnętrznym można dna orść przmszczn naprężna bzpośrdno za pomocą wzorów (6) (68). Wzory t są dysrtyzowan zgodn z opsanym powyż zasadam. Odpowdn agorytm automatyzuący orśn sat puntów wwnętrznych moż umożwać otrzymywan rozwązana da całgo

GRZEGORZ KRZESIŃSKI. MES_. CZĘŚĆ. MATERIAŁY DO WYKŁADU. anazowango obszaru. Schmat dzałana typowgo programu mtody mntów brzgowych da dwuwymarowych zadań tor sprężystośc przdstawa rys. 7.. Wprowadzn nformac o gomtr onturu, warunach brzgowych stałych matrałowych.. Intracyna przntaca grafczna danych.. Budowa uładu równań.. Rozwązan uładu równań. 5. Obczan naprężń brzgowych. 6. Intracyna przntaca grafczna wynów. 7. Obczna da wybranych puntów wwnętrznych ub da automatyczn wygnrowan sat puntów wwnętrznych. 8. Przntaca zon wybranych wośc. Rys. 7. Schmat podstawowych dzałań w program MEB da dwuwymarowych zagadnń tor sprężystośc PRZYKŁAD Rura gruboścnna Anaz poddano zagadnn płasgo stanu odształcń przdstawon na rys. 8. x A b B a p o E C F D x a = m b =.5 m E = MPa ν =. 5 - - p = MPa o Rys. 8. Rura gruboścnna poddana cśnnu wwnętrznmu (przró) Obczna przprowadzono da fragmntu ABCD obszaru przymuąc symtryczn warun brzgow na odcnach AB ( ) u = CD ( u = ). Przyęto trzy stopn dysrtyzac w modu numrycznym MEB: 8 mntów brzgowych (A), 6 mntów brzgowych (B) 7 mnty brzgow (C). Wyn obczń omputrowych (naprężna zrduowan

GRZEGORZ KRZESIŃSKI. MES_. CZĘŚĆ. MATERIAŁY DO WYKŁADU. Hubra-Mssa tórym mamy: σ rd przmszczna promnow u r w puntach E F) porównano z wynam rozwązana ścsłgo, w ab p r b ( ) ( ) ur = ( r) = v v + + v b a E b r, σ rd Otrzyman rzutaty przntu tabca. a b ( r) = p + v( v) b a r σ ( E) rd [MPa] Przyład wyn obczń σ ( F) rd [MPa] ur ( E ) [ m]. ur ( F ) [ m] A,6,7,85,5 B 9,,6,8, C 7,,8,86,5 Wartośc doładn 6,,9,8, Rysun 9 przntu przyęty podzał brzgu obraz rozładu naprężń zrduowanych na onturz da przyładu C. Tabca. Rys. 9. Rura gruboścnna pod cśnnm wwnętrznym dysrtyzaca rozład naprężna zrduowango Hubra-Mssa na onturz anazowango obszaru Mtoda mntów brzgowych rozwała sę nabardz ntnsywn w atach sdmdzsątych osmdzsątych ubgłgo wu. Duż nadz wązano z ną główn z powodu możwośc ogranczna dysrtyzac dyn do brzgu (onturu) cała. Dzę tmu w porównanu do MRS MES dysrtny mod obcznowy MEB opsany moż być przz znaczn mnszą czbę nwadomych. Ta na przyład podzał szścanu orśony przz satę n x n x n=n węzłów w mtodach obszarowych (MRS MES) odpowada czb 6n n 8 + węzłów w mtodz mntów brzgowych. Jś przymmy n = mamy odpowdno 6 węzłów w porównanu do 98. Korzyśc z dysrtyzac dyn brzgu są dna znaczn mnsz da obszarów wospónych ub obszarów o złożonym ształc.

GRZEGORZ KRZESIŃSKI. MES_. CZĘŚĆ. MATERIAŁY DO WYKŁADU. Dodatowo naży pamętać, ż macrz uładu równań MEB st nsymtryczna płna, węc rozwązan wymaga znaczn węsz czby oprac arytmtycznych nż w MRS ub MES, gdz mamy do czynna z macrzam pasmowym zwy równż symtrycznym. Agorytmy numryczn MEB są znaczn bardz złożon nż dwóch pozostałych mtod n wyazuą unwrsazmu, ułatwaącgo różnorodność zastosowań. W rzutac mtoda mntów brzgowych n znaazła ta popuarnośc w pratyc obcznow a MES czy nawt MRS. Stosowana zwy st w anaz tach zagadnń, gdz ogranczn dysrtyzac do brzgu ma szczgón znaczn, na przyład w anaz probmów ontatowych, obczanu współczynnów oncntrac naprężń anaz obszarów o zmnnym ształc. Szrsz nformac na tmat zastosowań mtody mntów brzgowych w mchanc onstruc znaźć można na przyład w pracy [5]. Domnuąca obcn w zastosowanach nżynrsch st dna mtoda mntów sończonych, tóra dzę swym zatom, a główn prostoc unwrsazmow agorytmów, stała sę powszchn używanym narzędzm w anaz protowanu onstruc nżynrs.

GRZEGORZ KRZESIŃSKI. MES_. CZĘŚĆ. MATERIAŁY DO WYKŁADU.. KONCEPCJA METODY ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH NA PRZYKŁADZIE RÓWNANIA POISSONA MES opra sę na podza anazowango obszaru na typow, mał podobszary nazywan mntam sończonym. Wwnątrz ażdgo mntu sończongo poszuwan func przybżan są za pomocą z góry założonych func aprosymuących nazywanych funcam ształtu. Koncpcę mtody przanazumy na przyładz równana Possona (). Wyazać można, ż rozwązan równana () z warunam brzgowym () st równoważn rozwązanu zadana mnmazac funconału gdz funca u spłna warun Drchta u u I ( u) = + f ( x, x ) udω udγ, x x Ω Γ (8) u( x), = u u x Γ (8) W mtodz mntów sończonych dysrtyzaca prowadz do zamany zadana mnmazac funconału (8) na zadan mnmazac func wu zmnnych. x węzły mnty u(x,x ) u 5 x obszar u 6 5 u 6 u ontur u 7 7 u 8 8 u u LWE=8 x x Rys.. Podzał obszaru anazy Ω na mnty sończon aprosymaca anazowan func wwnątrz mntu za pomocą wartośc węzłowych. W tym cu dzmy obszar Ω na mnty Ω = Ω (rys. ) LE Ω Ω Ω = = gdz LE oznacza czbę mntów sończonych w obszarz Ω., (8) Załadamy, ż wartość func poszuwan u( x ) w dowonym punc wwnętrznym ażdgo mntu możmy orść za pomocą wartośc w węzłach tgo mntu zgodn z formułą 5

GRZEGORZ KRZESIŃSKI. MES_. CZĘŚĆ. MATERIAŁY DO WYKŁADU. gdz LWE oznacza czbę węzłów mntu, = (8) LWE u( x, x ) N ( x, x ) u = u, =,...,LWE są wartoścam poszuwan func w węzłach, N (x,x ) są założonym z góry funcam aprosymuącym, ta zwanym funcam ształtu. Emnty sończon łączą sę z sobą w węzłach, dzę czmu zachowana moż być cągłość anazowan func na grancach mędzy mntam. Func ształtu N z rguły dfnowan są w oanych uładach współrzędnych, zwązanych z węzłam mntu, dzę czmu ch postać st unzażnona od wośc mntu usytuowana go węzłów. Wartość funconału po dysrtyzac obszaru można przdstawć ao: LE LK u u I ( u) + f ( x, x) udω udγ = x x Ω = Γ (85) gdz LK oznacza czbę rawędz mntów żących na częśc ażdym podobszarz Ω przz zwąz typu (8). Wwnątrz ażdgo mntu, zgodn z (8) mamy: u = x LWE = u = x LWE N u, x N u. x = Γ onturu, a funca u orśona st w Po podstawnu (86) do (85) po przprowadznu całowana I ( u ) sta sę funcą wartośc węzłowych u,,,..., LW =, gdz LW oznacza czbę węzłów podzongo obszaru. Jś funcę tę przdstawmy w postac macrzow otrzymamy: LW u b u b I ( u) u, u, u,..., u u, u, u, u u b LW u, LW b Zwąz tn można zapsać w srócon form: (86) LW LW LW LW LW [ K ]{ } { } I u u u b. (87) LW LW LW LW LW LW Indsy na do poszczgónych symbo oznaczaą wymary wtorów macrzy. Warunm oncznym mnmum t func st zrowan sę wszystch pochodnych cząstowych: Otrzymamy stąd I =, =,, LW. (88) u 6

GRZEGORZ KRZESIŃSKI. MES_. CZĘŚĆ. MATERIAŁY DO WYKŁADU. [ K ]{ u} = { b}, (89) czy uład nowych z nznanym wtorm wartośc węzłowych func u. Przd rozwązanm tgo uładu naży uwzgędnć szcz znan z brzgowgo warunu Drchta ntór wartośc Po rozwązanu uładu otrzymumy wszyst wartośc węzłow u. u. Możmy wtdy wyznaczyć przybżon wartośc func u pochodnych wwnątrz ażdgo mntu orzystaąc ponown z zwązów (8) (86). Macrz [ K ] st macrzą symtryczną, dodatno orśoną, pasmową (rys. ). m LW mnty zrow LW - czba stopn swobody m - szroość półpasma macrzy Rys.. Symtryczna macrz uładu równań MES Szroość półpasma m macrzy [ K ] zaży od przyęt w wtorz { u } numrac węzłów obszaru. Zwy możmy ta zmnć numracę aby uzysać m << LW. 7

GRZEGORZ KRZESIŃSKI. MES_. CZĘŚĆ. MATERIAŁY DO WYKŁADU. 5. MES W ANALIZIE KONSTRUKCJI PRĘTOWYCH Mtoda mntów sończonych w statyc onstruc przdstawana zwy st ao mtoda przybżona wyorzystuąca twrdzn o mnmum całowt nrg potncan uładu odształcango. Całowta nrga potncana (V) st różncą nrg potncan odształcna sprężystgo (U) nrg potncan obcążń zwnętrznych (-W z ), gdz W z nazywan st pracą obcążń zwnętrznych V = U W z = mn!, (9) Całowta nrga potncana st funconałm, tórgo argumntm st funca opsuąca przmszczna cała odształcango. Pod wpływm obcążna w c powsta ta po przmszczń, da tórgo V przymu wartość mnmaną. Wówczas uład odształcany pozosta w stan równowag. Func opsuąc po przmszczń muszą dodatowo spłnać przmszcznow warun brzgow. Wówczas warun mnmum całowt nrg potncan st warunm oncznym dostatcznym równowag sprężystgo ustrou odształcango poddango obcążnu zwnętrznmu. Przntacę mtody mntów sończonych zacznmy od onstruc bowych, nażących do naprostszych prętowych mntów onstrucynych. 5.. BELKI W przypadu b obcążonych obcążnm cągłym gdz w(x) st funcą ugęca b o długośc. N p m V = EI( w ) dx pwdx W przypadu występowana dodatowych obcążń suponych w postac sł przym postać gdz w całowtą nrgę potncaną orśa wzór:, (9) V = EI( w ) dx pwdx Pw M θ P momntów sł M wzór (9) (9) θ oznaczaą odpowdno przmszczn w punc przyłożna sły przyłożna momntu sły M. P ąt ugęca w punc Mtoda mntów sończonych st przybżoną mtodą znadowana mnmum funconału V ma w wspóngo z znaną od dawna mtodą Rtza. Przypomnmy naprw schmat postępowana w mtodz Rtza:. Lnę ugęca opsumy za pomocą rozwązana przybżongo 8

GRZEGORZ KRZESIŃSKI. MES_. CZĘŚĆ. MATERIAŁY DO WYKŁADU. gdz a są nznanym paramtram, a Func = n w( x) a ϕ ( x) ɶ, (9) = ϕ są z góry założonym funcam. ϕ muszą być nowo nzażn, to znaczy żadna z nch n moż być ombnacą nową ~ x pozostałych a w ( ) spłnać pownna przmszcznow warun brzgow (dotyczą on poszuwan func przmszczń pochodnych do rzędu o mnszgo nż nawęszy rząd pochodn func poszuwan w mnmazowanym funcona) ~ x. Podstawamy w ( ) do funconału całowt nrg potncan (9). Otrzymumy nrgę potncaną ao funcę nznanych paramtrów a, a, a n.. Warun mnmum funconału zastępumy przz warun mnmum func wu zmnnych V =,,..., n a =. (9) Ponważ V st funcą wadratową, dodatno orśoną, to warun (9) st wystarczaący da wyznaczna mnmum. Warun mnmum (9) stanow uład n równań nowych z nwadomym a, a, a n.. W wynu rozwązana uładu (9) otrzymumy wartośc paramtrów a, tór dnoczśn orśaą otrzyman rozwązan przybżon (9). Stąd łatwo wyznaczyć przbg momntu gnącgo sły tnąc Mɶ ( x) = EIwɶ ( x), Tɶ ( x) = EIwɶ ( x). (95) 9

GRZEGORZ KRZESIŃSKI. MES_. CZĘŚĆ. MATERIAŁY DO WYKŁADU. PRZYKŁAD 5. Porównać rozwązan ścsł da b wspornow (rys. ) o długośc obcążon stałym rozładm sł rozwązanm mtodą Rtza załadaąc, ż w ~ ( x) + x = a + ax + ax a. w(x) N p m z x p Rys.. Ba wspornowa obcążona obcążnm cągłym p [N/m] (przyład 5) Rozwązan Rozwązan ścsł, otrzyman na przyład z całowana równana różnczowgo p w x = x + x x EI p M ( x) = ( x), T ( x) = p ( x). Funca przybżona wɶ pownna spłnać warun brzgow: ( ) (6 ), wɶ ( x = ) =, w ( x = ) = M g ( x) w ( x) = ma postać: EI (96) ɶ. (97) Stąd otrzymamy w ~ ( x) = a x x + a. (98) Całowta nrga potncana V, zgodn z wzorm (9) st równa: EI V = (a + aa + a ) p( a + a ). (99) Warun mnmum przym postać: Stąd Rozwązanm przybżonym st węc V EI p = ( 8a + a ) =, a V EI p = ( a + a ) = a a., a () = 5 p p EI = EI () 5 p p wɶ ( x) = x x, EI EI 5 p Mɶ ( x) = p x, p Tɶ ( x) =. Porównan rozwązana ścsłgo przybżongo przdstawon st na rys. (). ()

GRZEGORZ KRZESIŃSKI. MES_. CZĘŚĆ. MATERIAŁY DO WYKŁADU. W(x) ~ W(x) * - p EJ.5 8.5.7 W(x) ~ W(x) 8..5.8.67.7 x M (x) ~ g g M (x).7 T(x) ~ T(x) * p.5 * p.8.9 M g(x).5 ~ M (x) g.67.. -.8 x x.5 T(x) ~ T(x) Rys.. Rozwązan ścsł przybżon da zadana b wspornow (przyład 5) Wyrsy na rys. wsazuą, ż rozwązan przybżon wɶ st bardzo bs rozwązanu ścsłmu w( x ). Doładność rozwązana przybżongo st gorsza, gdy porównamy M g ( x ) Mɶ ( x) nzadowaaąca w przypadu porównana rozładu sł tnących T ( x ) Tɶ ( x), a zupłn. Taa ccha rozwązana przybżongo st charatrystyczna da wu mtod przybżonych, taż da MES. Kon pochodn func aprosymuąc są w mtodach przybżonych coraz bardz odgł od odpowdnch pochodnych w rozwązanu ścsłym. Rozwązan mtodą mntów sończonych przbga w sposób podobny do przyętgo w mtodz Rtza. Zasadncza różnca poga na nn oncpc doboru func aprosymuących. W mtodz Rtza mamy

GRZEGORZ KRZESIŃSKI. MES_. CZĘŚĆ. MATERIAŁY DO WYKŁADU. do czynna z aprosymacą gobaną, paramtryczną. Func aprosymuąc są orśon w całym obszarz a ch przbg uzażnony st od wartośc paramtrów występuących w wzorach dfnuących. W rzutac zmana dowongo paramtru prowadz do zmany przbgu poszuwan func w całym obszarz. W mtodz mntów sończonych stosu sę aprosymacę oaną, węzłową. Oznacza to, ż func aprosymuąc dfnowan są oan w mntach sończonych, a ch przbg orśany st przz wartość func w węzłach sat podzału. W fc zmana dngo paramtru (wartośc func w dnym węź) zmna rozwązan tyo w bzpośrdnm otocznu tgo węzła. Postępowan st zbżon do przymowango w grafc omputrow programach CAD przy aprosymac ształtu za pomocą func sanych. w = w = w( ) = = Rys.. Emnt sończony b Typowy mnt sończony b (rys. ) stanow sgmnt o długośc, w tórym założona postać func ugęca wyraża sę wzorm w ( ξ ) = α + α ξ + αξ + α ξ () Ta woman st orśony przz cztry paramtryα. W MES dążymy dna do tgo, aby funca ugęca była dfnowana przz przmszczna węzłow. Przymmy, ż cztry nzażn przmszczna węzłow: w w czy przmszczna węzłów oraz θ θ czy ąty obrotu w węzłach tworzą wtor (macrzoumnę): { } = w θ = w θ. () Wtor { } nazywamy wtorm przmszczń węzłowych mntu sończongo ub tż wtorm stopn swobody mntu. Ugęca w (ξ ) przdstawmy ao uzażnon od przmszczń węzłowych wg formuły = ξ. (5) = w( ξ ) N ( ) α, α func (ξ ) α, α, Potrzbn st węc wyznaczn zwązów mędzy stopnam swobody nowym stopnam swobody,,, (5). Zauważmy, ż: w () a

GRZEGORZ KRZESIŃSKI. MES_. CZĘŚĆ. MATERIAŁY DO WYKŁADU. = w() = α, dw = () = α, dξ = w( ) = α + α + α + α, dw = = α + α + α dξ ( ). Równana (6) możmy zapsać w postac macrzow Stąd wyznaczyć można zażność odwrotną Podstawaąc (8) do () otrzymamy gdz α α =. α α α α = α α α α w( ξ ) =, ξ, ξ, ξ = N( ξ ), N( ξ ), N( ξ ), N( ξ ) α α ξ ξ N ( ξ ) = +, ξ ξ N ( ξ ) = ξ +, ξ ξ N ( ξ ) =, ξ ξ N ( ξ ) = +. (6) (7). (8), (9) Func N ( ξ ) nazywamy funcam ształtu mntu bowgo. Są on oczywśc, ta a założona wstępn funca ugęca (), womanam trzcgo stopna. Z zwązu (9) wyna, ż ażda z func ()

GRZEGORZ KRZESIŃSKI. MES_. CZĘŚĆ. MATERIAŁY DO WYKŁADU. N ( ξ ) opsu n ugęca mntu b, w tórym przmszczna węzłow są: =, a da = (rys. 5). N ( ) N ( ) N ( ) N ( ) tg = tg = Rys. 5. Func ształtu mntu b Znaąc funcę ugęca (9) możmy wyznaczyć rozłady pochodnych n ugęca w( ξ ) ao funcę położna przmszczń węzłowych. Mamy węc { } { } { } w( ξ ) = N( ξ ), w ( ξ ) = N ( ξ ), w ( ξ ) = N ( ξ ). Taż całowtą nrgę potncaną mntu b można przdstawć ao uzażnoną od przmszczń węzłowych. Całowta nrga potncana mntu b o długośc obcążongo obcążnm cągłym p( ξ ) st zgodn z (9) orśona wzorm: EI = z = ( ( ξ )) ξ ( ξ ) ( ξ ) ξ ϑ V U W w d p w d Pw M (). () Wyorzystuąc () możmy po onych przształcnach uzysać wyrażn na nrgę sprężystą form macrzow: EI EI U = ( ) ( ) { } { } w ξ w ξ dξ = N N dξ = N N N N N N N N EI N N N N N N N N = dξ { }. N N N N N N N N N N N N N N N N U w