Układy dynamiczne i całkowanie równań różniczkowych zwyczajnych, układy nieliniowe i chaotyczne

Układy dynamiczne i całkowanie równań różniczkowych zwyczajnych, układy nieliniowe i chaotyczne

Zagadnienia: Układy dynamiczne przykłady Całkowanie równań ruchu (Euler, Runge-Kutta) Wykładniki Lyapunowa, chaos Równanie logistyczne

Przykłady układów dynamicznych: Oscylator harmoniczny, wahadło, Słońce Ziemia (układ dwuciałowy) Oscylator anharmoniczny, Słońce Ziemia Księżyc (układ trójciałowy) Oscylator van der Pola (nieliniowe obwody elektroniczne), atmosfera, Turbulencja, rynki finansowe, ekosystemy

Całkowanie równań różniczkowych (zwyczajnych) Ewolucja wielu układów opisywana jest równaniami różniczkowymi zwyczajnymi. Numeryczne techniki całkowania tych równań bazują na metodzie Eulera: Algorytm Eulera: Rozpatrzmy równanie I rzędu: Z warunkiem początkowym y = y 0 dla x = x 0

Algorytm Eulera Efektywność/dokładność algorytmu zależy od Δx i od tego na ile uzasadnione jest liniowe przybliżenie w interwałach o długości Δx Trudno jest ustalić (w ogólności) jak małe musi być Δx aby osiągnąć zadaną dokładność

Przykład: Niech z warunkiem początkowym dla Oblicz y dla x=2 (Ścisłym rozwiązaniem jest y(x)= x 2 czyli y(2)=4)

Zmodyfikowany algorytm Eulera W zagadnieniach postaci dy dx obliczane jest w połowie odcinka między x n a x n+1 : = f x użyteczna jest modyfikacja algorytmu, gdzie f(x) y n+1 = y n + xf x n+1 = x n + Δx x n + x 2 Czy modyfikację tą można zastosować do zagadnień postaci dy = f x, y? dx

Ważną rolę odgrywa całkowanie równań różniczkowych drugiego rzędu: a = F(y, v, t)/m (II zasada dynamiki Newtona) Lub równoważnie: d 2 y dy = F(y, dt2 dt, t)/m Dla równań II rzędu algorytm Eulera można zapisać jako:

Modyfikacje: (A) Euler-Cromer (pochodna liczona w t n+1 zamiast w t n ) Integrator symplektyczny zachowuje energię układu (B) Euler - Richardson

Problem: Rozważ zagadnienie oscylatora 1-wymiarowego: Niech k=m=1. Znajdź rozwiązanie metodą Eulera w przedziale 0<t<20. Wykreśl je. Znajdź rozwiązanie zmodyfikowaną metodą Eulera: - Najpierw (z użyciem zwykłej metody Eulera) znajdujemy wartości w połowie ekstrapolowanego odcinka Δt/2: - A otrzymane wartości używamy do obliczenia propagacji o Δt Znajdź rozwiązanie w przedziale 0<t<20. Wykreśl je.

Zmodyfikowana metoda Eulera jest równoważna tzw. metodzie Runge-Kutta (R-K) drugiego rzędu. W praktyce często wykorzystywana jest metoda R-K czwartego rzędu:

Czułość na warunki początkowe Niekiedy mała zmiana r lub x 0 czyni ogromną zmianę wyniku po n generacjach ( efekt motyla ). Układ jest nieprzewidywalny!! Wahadło z poziomym wymuszaniem 12

Ilościową miarą czułości na warunki początkowe jest wykładnik Lapunowa. x 0 (x 0, t) = x 0 e lt l - wykładnik Lapunowa Chaos : l > 0 (mała różnica w warunkach szybko narasta z czasem) W jakich układach można spodziewać się l < 0?

Cechy chaosu Atraktory układów chaotycznych mają zwykle strukturę fraktalną. Czułość na warunki początkowe punkty, które początkowo są blisko siebie w chwili późniejszej stają się bardzo odległe.(dodatnie wykładniki Lyapunowa) 14

Chaos jest wszędzie Układy idealne to często nieważkie liny, powierzchnie be tarcia, czy idealna próżnia. Dla takich układów niekiedy otrzymujemy eleganckie (podręcznikowe) rozwiązania. W rzeczywistych układach tarcie, opory powietrza czy niesymetrycznośc prowadzi często do nieprzewidywalności. 15

Przykłady chaosu Astronomia (ruch planet i gwiazd) Inżynieria (dynamika statków, ruch uliczny) Turbulencja Praca serca, mózgu Biologia populacyjna, reakcje chemiczne Pogoda Ekonomia szeregi czasowe, analiza rynków finansowych Implikacje filozoficzne (nieprzewidywalność, demon Laplace a, ) 16

y Różne typy wzrostu Arithmetic Growth y = 2x + 10 70 60 50 40 30 20 10 0 0 5 10 15 20 25 30 x 17

y(x) Quadratic Growth y = x 2-2E-13x 1200 1000 800 600 400 200 0 0 5 10 15 20 25 30 35 x 18

y(x) Cyclic Growth & Decay 1.5 1 0.5 0-0.5 0 1 2 3 4 5 6 7-1 -1.5 x

y(x) Geometric Growth y = e 0.4055x 45 40 35 30 25 20 15 10 5 0 0 2 4 6 8 10 x 20

Wzrost populacji Każdego roku populacja ryb w jeziorze przyrasta o 10%. N n liczebność populacji w n-tej generacji. r=1.1 stała wzrostu. Równanie różnicowe: N n+1 =rn n. Dla N 1 =100 w kolejnych generacjach otrzymujemy 110, 121, 133, 146, 161, 21

Rozwiązanie analityczne Prędkość zmiany N : dn dt N Separacja zmiennych: Obustronne całkowanie: dn N dt N N 0 dn' N' t 0 dt' ln N N 0 t 22

Wzrost populacji c.d. Odwrócenie logarytmu: Daje: N N W tym przykładzie mamy wzrost geometryczny 0 e t N N 0 e t 23

Te systemy są przewidywalne Wzrost arytmetyczny, kwadratowy, geometryczny czy cykliczny są przewidywalne (z analitycznymi rozwiązaniami) Stan x(t) w czasie t może być przewidziany w oparciu stan układu w chwili t=0 (z użyciem prostych wzorów). Pożyczka w banku na stały procent, napełnianie wodą pojemnika czy wahadło to przykłady układów przewidywalnych. 24

Liniowość Układy liniowe są łatwe do zrozumienia: zwiększ wejście 2 razy to wyjście również wzrośnie 2 razy. 25

Nieprzewidywalność Nie wszystkie systemy są przewidywalne. Dla pewnych systemów rozwiązania analityczne nie istnieją. Rozważymy teraz przykład takiego procesu tzw. Wzrost logistyczny. Wzrost logistyczny to przykład nieliniowego układu dynamicznego 26

Wzrost logistyczny Opisuje zachowanie się populacji w warunkach ograniczonych zasobów (pożywienie, woda, energia). Wzrost populacji jest ograniczony przez pojemność środowiska K. Populacja przyrasta, lecz wzrost się nasyca w miarę osiągania pojemności środowiska. 27

Co w granicy? Chcielibyśmy znać liczebność populacji N w miarę zbliżania się do pojemności środowiska K. Czy nasyci się dla N=K? N<K? Może przekroczy wartość K i potem zacznie spadać? Może pojawią się oscylacje? Coś innego? 28

Wzrost logistyczny Wprowadźmy zmienną x taką, że: x N K x to ułamek pojemności środowiska. 29

Równanie różnicowe Zakładamy, że stała wzrostu nie jest stała, lecz jest proporcjonalna do 1- x n Stała wzrostu: r (1-x n ). Dla małych x n stała wzrostu ~r. Dla dużych x n stała wzrostu ~0. Liczebność populacji: x n+1 = r (1-x n )x n. 30

Population r=1.5 r = 1.5, N(0)=0.1, x(0)=0.1 4 3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Generations Geometric (N) Logistic (x=n/k) 31

Populacja osiąga stan równowagowy Dla r= 1.5 populacja dąży do granicznej wartości x=0.33. Czy równowaga to atraktor również dla innych wartości r? Czy zmiana wartości początkowej zmienia wartość asymptotyczną? 32

x(n) r=2.8 r = 2.8 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0 5 10 15 20 25 n x(0)=0.1 x(0)=0.2 x(0)=0.3 33

Atraktor Niezależnie od wartości x 0 wartość graniczna jest taka sama (r=2.8). Stan (w tym przypadku punkt) do którego dąży układ niezależnie od x 0 nazywamy atraktorem. 34

x(n) Podwojenie okresu r=3.14 r = 3.14 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0 5 10 15 20 25 n x(0)=0.1 x(0)=0.2 x(0)=0.3 35

x(n) r=3.45 Growth rate is 3.45(1-x n ) r = 3.45 1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 n x(0)=0.2 x(0)=0.3 Macquarie University 36

x(n) r=3.45 4-cykl r = 3.45 1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 n x=0.2 37

x(n) r=3.8 Brak regularności r = 3.8 1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0 20 40 60 80 100 x(0)=0.2 x(0)=0.3 n 38

Atraktory równania logistycznego r = 2.8 r = 3.14 r = 3.45 r = 3.8 równowaga 2-cykl 4-cykl aperiodyczne stałe oscylacje oscylacje przypadkowe 39

The Attractor The Logistic Map 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 1 2 3 3.1 3.2 3.48 3.553 3.59 3.69 3.79 3.89 3.99 r 40

Uniwersalność Measuring Feigenbaum's Number 1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 r1 0 1 2 3 4 r this length r2 r3 this length 41

Stała Feigenbauma Stała Feigenbaum wynosi: lim n r r n - n 1 r - n- 1 r n 4.669201660910299097... Punkt Feigenbauma: r=3.5699456 42

Uniwersalność c.d. Stała Feigenbauma pojawia się również w wielu innych układach chaotycznych. Obserwowana w rzeczywistych układach: Kapiący kran ( Chaos in a dripping faucet, Nunez et al.) Oscylacje w ciekłym helu Ewolucje liczebności w pewnych populacjach ciem 43

Układy dynamiczne - przykłady Klasyfikacja układów dynamicznych: Oscylator harmoniczny, Słońce Ziemia (układ dwuciałowy) Układy rozwiązywalne Oscylator anharmoniczny, Słońce Ziemia Księżyc (układ trójciałowy) Przybliżalne przez układy rozwiązywalne Oscylator van der Pola, model atmosfery Lorenza, równanie logistyczne Układy chaotyczne Turbulencja, rynki finansowe, ekosystemy Układy stochastyczne

Chaos deterministyczny

Literatura Andi Klein and Alexander Godunov, Introductory Computational Physics (Cambridge University Press 2006). Lorentz, Edward N., Deterministic Nonperiodic Flow, J. Atmos. Sci. 20 (1963) 130-141. Li, Tien-Yien & Yorke, James A., Period 3 Implies Chaos, American Mathematical Monthly 82 (1975) 343-344. Hénon, Michel, A two-dimensional mapping with a strange attractor, Comm. Math. Phys. 50 (1976) 69-77. May, Robert M., Simple mathematical models with very complicated dynamics, Nature 261 (1976) 459-467. Feigenbaum, Mitchell J., Quantitative universality for a class of nonlinear transformations, J. Stat. Phys. 19 (1978) 25-52. Mandelbrot, Benoit B., Fractal aspects of the iteration of z lz(1-z) for complex l and z, Annals NY Acad. Sciences 357 (1980) 249-257. 46

Oscylator van der Pola