etody Plnowni Eksperyentów Rozdził 5. Plny Wielopozioowe opozycyjne Stron z 9 5. PANY WIEOPOZIOOWE - OPOZYCYJNE Szcownie pretrów odeli liniowo kwdrtowych n podstwie eksperyentów trójpozioowych jest ło efektywne. Wynik to przede wszystki z gwłtownego (wykłdniczego N = 3 ) wzrostu liczby koniecznych do wykonni doświdczeń orz z brku eksperyentów ułkowych. Równocześnie wzory, jkie nleży stosowć do obliczni współczynników regresji orz oceny sttystycznej strciły n prostocie wzorów w plnowniu dwupozioowy. Dodtkowo plny czynnikowe n trzech pozioch typu 3 są nie ortogonlne i syetryczne pod względe rozkłdu inforcji (nie rottbilne) Z tych względów są one rzdko stosowne w zgdnienich optylizcyjnych. Rozwiąznie, jkie ożn w tej sytucji zproponowć to plny wielopozioowe kopozycyjne. Njczęściej są to plny pięciopozioowe. Plny kopozycyjne powstją z plnów dwupozioowych cłkowitych typu lub ułkowych typu - uzupełnionych o tk zwne doświdczenie (punkty) gwiezdne orz doświdczeni centrlne. W doświdczenich gwiezdnych zieniy kolejno poszczególne zienne n dwóch pozioch ±, utrzyując pozostłe zienne n pozioie. Jk stąd wynik punkty gwiezdne leżą n osich współrzędnych, ułożone syetrycznie po dw n kżdej z osi orz w odległości ± od środk plnu. Wielkości jkie przyjują poszczególne zienne nzywne są często proienii gwiezdnyi. Doświdczeni centrlne wykonuje się w środku obszru bdń. Zwykle plny kopozycyjne buduje się korzystjąc z ziennych (czynników) stndryzownych. Również długość proieni gwiezdnego wyrżon jest jko wielkość stndryzown, jednkow dl wszystkich czynników (ziennych). Chcąc wyrzić wielkość tego proieni w jednostkch nturlnych, nleży zstosowć trnsforcję odwrotną i = i ±, i i =,, (5.) gdzie * i ozncz wrtość i-tego proieni gwiezdnego wyrżoną w jednostkch nturlnych, i ozncz i-tą współrzędną środk plnu wyrżone w jednostkch nturlnych, i wielkość przedziłu zin. Cłkowit liczb doświdczeń wykonywnych zgodnie z kopozycyjny plne eksperyentu w przypdku, gdy jego podstwę stnowi pln czynnikowy cłkowity n dwóch pozioch wynosi riusz B. Bogcki Zkłd Inżynierii Procesowej Politechnik Poznńsk
etody Plnowni Eksperyentów Rozdził 5. Plny Wielopozioowe opozycyjne Stron z 9 N = N (5.) orz w przypdku plnów ułkowych N = N (5.3) gdzie to cłkowit liczb czynników (ziennych); ułkowość plnu; N liczb doświdczeń centrlnych. Jk z powyższego zpisu wynik, n cłkowitą liczbę doświdczeń w tk plnowny eksperyencie skłdją się trzy grupy doświdczeń: (i) (ii) (iii) lub - doświdczeń wykonnych zgodnie z plne czynnikowy cłkowity lub ułkowy n dwóch pozioch; syetrycznie wokół środk obszru bdń rozłożonych doświdczeń gwiezdnych typu (,...,, ±,,..., ), gdzie ± występuje kolejno n,,..., iejscu; N tk zwnych doświdczeń centrlnych typu (,,..., ) wykonywnych w środku obszru bdń. Ze względu n uzyskiwną w plnch ułkowych rozdzielczość oszcowń współczynników regresji przyjuje się nstępującą zsdę: - gdy < 5 wtedy nie zlec się stosowni plnów ułkowych ( = ); - gdy 5 wtedy ożn stosowć plny połówkowe( = ) z kontrste określjący = ± W zleżności od sposobu, w jki zdefiniowny jest (i od wielkości) proień gwiezdny () orz liczby doświdczeń centrlnych (N ) rozróżniy trzy rodzje plnów wielopozioowych: plny kopozycyjne, plny kopozycyjne ortogonlne orz plny kopozycyjne rottbilne. Plny wielopozioowe kopozycyjne pozwlją n oszcownie współczynników regresji w odelch liniowo kwdrtowych o ogólnej postci riusz B. Bogcki Zkłd Inżynierii Procesowej Politechnik Poznńsk
etody Plnowni Eksperyentów Rozdził 5. Plny Wielopozioowe opozycyjne Stron 3 z 9 E ( y) = 3 3 (5.) Jk ożn zuwżyć są to odele uproszczone, nie zwierjące wszystkich wyrżeń. W odelch tych obok członów liniowych i kwdrtowych obecne są jedynie interkcje pierwszego rzędu poiędzy członi liniowyi. 5.. Plnownie kopozycyjne W plnch kopozycyjnych liczb doświdczeń centrlnych ogrniczon jest do jednego, czyli N =, ntoist długość proieni gwiezdnego dobiern jest przez eksperyenttor w sposób dowolny. Jedyny ogrniczenie jest konieczność poruszni się w zdny obszrze bdń. Nie niej njczęściej w plnch kopozycyjnych przyjuje się jednostkową długość proieni gwiezdnego. Plny kopozycyjne w porównniu do plnów czynnikowych trzypozioowych typu 3 pozwlją n dość znczne ogrniczenie liczby wykonywnych doświdczeń. Jk z przedstwionego w tbeli 5. porównni wynik podstwową zletą plnów kopozycyjnych jest zdecydownie niejsz liczb doświdczeń niżeli w plnch czynnikowych n trzech pozioch. Różnic t wzrst wrz ze wzroste liczby ziennych (czynników). Dodtkowy tute plnów kopozycyjnych jest to, że cłkowit liczb doświdczeń w eksperyencie wykonywny zgodnie z cłkowity plne kopozycyjny jest niewiele większ od liczby doświdczeń wykonywnych w eksperyencie wykonywny zgodnie z odpowiedni plne czynnikowy n dwóch pozioch. Ozncz to, że w przypdku zstosowni plnów kopozycyjnych, wprowdzenie do odelu liniowego dodtkowych członów kwdrtowych wyg jedynie niewielkiego wzrostu kosztu bdń. Tbel 5.. Porównnie liczby doświdczeń wykonywnych zgodnie z plni eksperyentów czynnikowych n trzech pozioch typu 3 i dwóch pozioch typu orz kopozycyjnych dl różnej liczby ziennych (czynników). riusz B. Bogcki Zkłd Inżynierii Procesowej Politechnik Poznńsk 3
etody Plnowni Eksperyentów Rozdził 5. Plny Wielopozioowe opozycyjne Stron z 9 iczb iczb ziennych, Typ plnu doświdczeń, N 3 5 6 7 Trzypozioowy 3 9 7 3 79 7 656 Dwupozioowy 6 3 6 56 cłkowity Dwupozioowy - - - - 6 3 6 połówkowy opozycyjny 9 5 5 3 77 3 73 cłkowity opozycyjny ułkowy - - - - 7 5 79 5 Tworząc plny kopozycyjne eksperyentu nleży piętć, że w jego skłd wchodzą trzy grupy doświdczeń: (i) doświdczeni zgodne z plne czynnikowy n dwóch pozioch typu - ; (ii) doświdczeni gwiezdne; (iii) doświdczeni centrlne. Pierwszą grupę doświdczeń generuje się identycznie jk dl doświdczeń czynnikowych n dwóch pozioch. Tk, więc kżdy z czynników przyjuje wrtości n górny () i dolny (-) pozioie. olejne plny dl corz większej liczby ziennych tworzy się powtrzjąc dwukrotnie pln o stopień niższy, przyjując dl nowej ziennej wrtości rz n pozioie górny () i drugi rz n pozioie dolny (-). Do tk utworzonego głównego szkieletu plnu eksperyentu kopozycyjnego dodje się punkty gwiezdne (±) orz doświdczeni centrlne (). Sposób budowy orz włściwości plnów kopozycyjnych oówione zostną n przykłdzie plnów dl dwóch i trzech ziennych. Plnownie kopozycyjne n płszczyźnie dl = zienne pozwl n oszcownie pretrów odelu liniowo kwdrtowego postci E ( y) = (5.5) riusz B. Bogcki Zkłd Inżynierii Procesowej Politechnik Poznńsk
etody Plnowni Eksperyentów Rozdził 5. Plny Wielopozioowe opozycyjne Stron 5 z 9 W przypdku ziennych stndryzownych cierz wejść tkiego doświdczeni przedstwiono w tbeli 5.. olore żółty zznczono koluny zwierjące pln eksperyentu. W plnie ty wyróżniono kżdą z grup doświdczeń skłdjącą się n pln kopozycyjny oddzieljąc pozioą linią przerywną główny szkielet plnu zwierjący doświdczeni zgodne z plne czynnikowy n dwóch pozioch typu od punktów gwiezdnych i doświdczeń centrlnych. Tbel 5.. cierz wejść dl plnu kopozycyjnego eksperyentu dl = ziennych. olore żółty zznczono pln kopozycyjny. Pln pozwl n oszcownie współczynników regresji w odelu liniowo kwdrtowy (5.5). Nr t t t t t (t ) (t ) y Pln czynnikowy typu y - - y 3 - - y 3 - - y Punkty gwiezdne, 5 - y 5 6 y 6 7 - y 7 Doświdczenie y centrlne, N 9 y 9 Eksperyent wykonny zgodnie z plne kopozycyjny dl dwóch ziennych wyg wykonni 9 doświdczeń. Jeżeli przyjąć typową dl plnów kopozycyjnych jednostkową (±) długość proieni gwiezdnego (), to okże się, że pln ten jest identyczny, zrówno pod względe ilości koniecznych do wykonni doświdczeń, jk też struktury, z plne czynnikowy n trzech pozioch typu 3 dl dwóch ziennych (tbel.). Ozncz to, że z punktu widzeni kosztów wykonni bdń, plny kopozycyjne dl dwóch czynników nie dją żdnych korzyści. riusz B. Bogcki Zkłd Inżynierii Procesowej Politechnik Poznńsk 5
etody Plnowni Eksperyentów Rozdził 5. Plny Wielopozioowe opozycyjne Stron 6 z 9 Interpretcję geoetryczną plnu z tblicy 5. przedstwiono n rysunku 5.. Punkty doświdczlne w ty plnie leżące w nrożch kwdrtu reprezentują doświdczeni czynnikowe n dwóch pozioch typu. N osich współrzędnych w stłej odległości ± od środk plnu (środk ukłdu współrzędnych) zznczono punkty gwiezdne. Ntoist w środku ukłdu współrzędnych znjduje się doświdczenie centrlne. - - - - Rysunek 5.. Pln kopozycyjny dl dwóch ziennych stndryzownych. - punkty zgodne z plne czynnikowy n dwóch pozioch typu ; - punkty gwiezdne; - punkt centrlny. Jk w Rozdzile 3 pokzno plny czynnikowe n dwóch pozioch typu są plni ortogonlnyi o syetrii środkowej. Tk włściwość plnów jest brdzo cenn, stąd oczekiwnie, by plny innego rodzju również ją spełniły. Aby sprwdzić spełnienie tej włściwości przez plny kopozycyjne wyliczyć nleży cierz inforcyjną T T T, gdzie T jest cierzą eksperyentu podną w tbeli 5.. W przypdku plnów ortogonlnych cierz t powinn być cierzą digonlną. Dl rozptrywnego przypdku dwóch ziennych otrzyy riusz B. Bogcki Zkłd Inżynierii Procesowej Politechnik Poznńsk 6
etody Plnowni Eksperyentów Rozdził 5. Plny Wielopozioowe opozycyjne Stron 7 z 9 = 9 T T T (5.6) Jk ożn zuwżyć cierz inforcyjn nie jest cierzą digonlną, skąd wypływ wniosek, że nlizowny pln kopozycyjny nie jest plne ortogonlny. Dodtkową konsekwencją nieortogonlności przedstwionego plnu kopozycyjnego jest to, że oszcowni współczynników regresji w odelu liniowo kwdrtowy (5.5) nie będą niezleżne, gdyż niektóre z kowrincji są niezerowe. Poszczególne wiersze i koluny cierzy inforcyjnej (5.6) związne są z odpowiednii wyrzi w odelu. Przeprowdzjąc, podobnie jk dl plnów czynnikowych n trzech pozioch typu 3, nlizę poszczególnych wierszy i kolun cierzy inforcyjnej dojść ożn do wniosku, że z nieortogonlność plnów kopozycyjnych odpowidją człony kwdrtowe w odelu. W przypdku trzech ziennych (czynników) ( = 3) cele nszy jest oszcownie współczynników regresji w odelu liniowo kwdrtowy postci ( ) 3 33 3 3 3 3 3 3 y E = (5.7) Chcąc je wyznczyć nleży zrelizowć odpowiedni eksperyent zgodnie z plne kopozycyjny dl trzech ziennych. Podstwą plnu kopozycyjnego w przestrzeni trójwyirowej dl = 3 zienne (rysunek 5.) jest sześcin, w którego nrożch znjdują się punkty reprezentujące doświdczeni czynnikowe n dwóch pozioch. N osich współrzędnych uieszczone zostły 3 pry punktów gwiezdnych w stłej odległości ± od środk ukłdu współrzędnych (środk obszru bdń). W środku plnu znjduje się punkt centrlny. riusz B. Bogcki Zkłd Inżynierii Procesowej Politechnik Poznńsk 7
etody Plnowni Eksperyentów Rozdził 5. Plny Wielopozioowe opozycyjne Stron z 9 Rysunek 5.. Schet plnu kopozycyjnego dl = 3 zienne. Pln pozwl n oszcownie współczynników regresji w odelu liniowo kwdrtowy (5.7). cierz wejść plnu wielopozioowego kopozycyjnego dl trzech ziennych (czynników) pozwljącą n oszcownie współczynników regresji w odelu liniowo - kwdrtowy (5.7) przedstwiono w tbeli 5.3. olore żółty zznczono koluny zwierjące nlizowny pln eksperyentu. Wrz z pozostłyi koluni tworzą one cierz wyjść uzyskną dl tego plnu. Poszczególne części plnu zznczono przerywną linią pozioą oddzieljąc punkty plnu czynnikowego n dwóch pozioch od punktów gwiezdnych i punktu centrlnego. Zprezentowny tu eksperyent wykonny zgodnie z plne kopozycyjny dl trzech ziennych wyg wykonni 5 doświdczeń. Jest to o doświdczeń niej, niżeli w doświdczeniu wykonny zgodnie z plne czynnikowy dl trzech ziennych (tbel 5.). Od tego oentu zwiększenie plnu eksperyentu przez dodnie kolejnego czynnik (ziennej) do obszru bdń powoduje gwłtowny wzrost różnicy w wielkości plnów czynnikowych n trzech pozioch i plnów wielopozioowych kopozycyjnych. riusz B. Bogcki Zkłd Inżynierii Procesowej Politechnik Poznńsk
etody Plnowni Eksperyentów Rozdził 5. Plny Wielopozioowe opozycyjne Stron 9 z 9 Tbel 5.3. cierz wejść dl plnu kopozycyjnego eksperyentu dl = 3 zienne. olore żółty zznczono pln kopozycyjny. Pln pozwl n oszcownie współczynników regresji w odelu liniowo kwdrtowy (5.7). Nr t t t t 3 t t t t 3 t t 3 (t ) (t ) (t 3 ) y y - - - y 3 - - - y 3 - - - - y 5 - - - y 5 6 - - - - y 6 7 - - - - y 7 - - - y 9 - y 9 y - y y 3 - y 3 y 5 y 5 Podobnie jk w przypdku dwóch ziennych (czynników) wyliczyć ożn cierz inforcyjną T T T (równnie 5.). W cierzy tej występują niezerowe eleenty poz digonlą główną. Również cierz kowrincyjn (T T T) - też nie będzie cierzą digonlną. Nleży stąd wnosić, że pln kopozycyjny eksperyentu dl trzech ziennych jest nie ortogonlny, współczynniki regresji w odelu (5.7) nie będą wyznczne w sposób niezleżny. Poniewż kolejne koluny (wiersze) cierzy inforcyjnej (5.) związne są z kolejnyi wyrzi równni regresji (5.7), stwierdzić ożey, że z nieortogonlność plnu kopozycyjnego dl trzech ziennych odpowidją człony kwdrtowe. riusz B. Bogcki Zkłd Inżynierii Procesowej Politechnik Poznńsk 9
etody Plnowni Eksperyentów Rozdził 5. Plny Wielopozioowe opozycyjne Stron z 9 = 5 T T T (5.) Wniosek ten uogólnić ożey n wszystkie plny kopozycyjne dowolnego stopni. W przypdku ogólny jąc ziennych (czynników) oszcowć ożey współczynniki regresji w odelu liniowo kwdrtowy dny równnie (5.), w który człony kwdrtowe występują n końcu równni. cierz wyjść dl tkiego eksperyentu przedstwiono w tbeli 5.. Tbel 5.. cierz wejść dl plnu kopozycyjnego eksperyentu dl ziennych. olore żółty zznczono pln kopozycyjny. Pln pozwl n oszcownie współczynników regresji w odelu liniowo kwdrtowy (5.). Nr (-) - - 3 - O - - - - - N riusz B. Bogcki Zkłd Inżynierii Procesowej Politechnik Poznńsk
etody Plnowni Eksperyentów Rozdził 5. Plny Wielopozioowe opozycyjne Stron z 9 W ogólny przypdku dl plnu kopozycyjnego dl ziennych zbudownego n bzie plnu czynnikowego n dwóch pozioch typu z dodnyi doświdczenii gwiezdnyi i doświdczenii centrlnyi (tbel 5.) otrzyy cierz inforcyjną o postci = p e p e p e e e e e e N T O O O O O O O O O T T (5.9) gdzie liczb N ozncz liczbę doświdczeń wykonywnych w rch plnownego eksperyentu i dn jest wzore 5.. Pozostłe sybole dne są zleżnościi e = (5.) p = (5.) = (5.) Jk ożn zuwżyć, cierz inforcyjn (5.9) jest cierzą syetryczną. Jej poszczególne koluny (wiersze) związne są z kolejnyi wyrzi odelu kwdrtowego, którego współczynniki szcujey. I tk kolun pierwsz zczynjąc się liczbą N związn jest z wyrze wolny w odelu. Po niej nstępuje kolun zczynjących się liczbą i związnych z wyrzi liniowyi w odelu. W tych kolunch n digonli głównej y liczby e. olejne koluny (jest ich ) zczynjące się liczbą związne są z interkcji poiędzy wyrzi liniowyi. W kolunch tych n digonli głównej y liczby. N końcu występuje kolun zczynjących się liczbą e. riusz B. Bogcki Zkłd Inżynierii Procesowej Politechnik Poznńsk
etody Plnowni Eksperyentów Rozdził 5. Plny Wielopozioowe opozycyjne Stron z 9 W ogólny przypdku plnownie kopozycyjne nie jest plnownie ortogonlny, cierz kowrincyjn (T T T) - nie jest cierzą digonlną. Njwiększy proble (powodujący njwiększe zkłóceni w ortogonlności plnów kopozycyjnych) stnowi blok związny z członi kwdrtowyi i zwierjący wyrżeni i p, czyli blok p p p p (5.3) Brk ortogonlności plnów kopozycyjnych stnowi ich njwiększą wdę. olejne koncepcje związne z rozwoje tego typu plnów poszły w kierunku ich ortogonlizcji. 5.. Plnownie wielopozioowe kopozycyjne ortogonlne Poszczególne eleenty cierzy inforcyjnej otrzyywne są jko iloczyny odpowiednich wektorów kolunowych cierzy wejść w plnie eksperyentu kopozycyjnego dl ziennych (tbel 5.). z zpisu cierzy inforcyjnej (5.9) wynik, że nie ortogonlne (nie zerowe) są iloczyny wektorów kolunowych wyrzów kwdrtowych u= iu ju =, i j (5.) orz iloczyny wektorów kolunowych wyrzu wolnego i dowolnego wyrzu kwdrtowego u= = e, u iu = i,, (5.5) Dokonując odpowiedniej trnsforcji ziennych doprowdzić ożn do tego, że iloczyny sklrne wektorów kolunowych wyrzu wolnego i dowolnego wyrzu kwdrtowego (równnie 5.5) będą równe zero. Ntoist ortogonlność iloczynów wektorów kolunowych wyrzów kwdrtowych (5.) uzyskć ożn poprzez włściwy dobór proieni gwiezdnego () orz wykonując odpowiednio dużą liczbę doświdczeń centrlnych (N ). Anlizując cierz wejść dl przypdku ogólnego pokzć ożn [ńczk, 976], że wł- riusz B. Bogcki Zkłd Inżynierii Procesowej Politechnik Poznńsk
etody Plnowni Eksperyentów Rozdził 5. Plny Wielopozioowe opozycyjne Stron 3 z 9 ściwą długość rieni gwiezdnego () gwrntującą pełną ortogonlność plnów kopozycyjnych w przypdku pełnego eksperyentu wynosi ( N ) = (5.6) Dl dużych > 5 dogodniej jest stosowć ułkowe plny dwupozioowe typu -. Wtedy długość proieni gwiezdnego wyznczy z zleżności ( N ) = (5.7) Przeprowdzon w cytownej prcy nliz nie nkłd żdnych ogrniczeń n liczbę doświdczeń centrlnych (N ). Ozncz to, że ilość wykonywnych doświdczeń centrlnych zleży jedynie od eksperyenttor i oże być dowoln, w szczególności oże to być tylko jedno doświdczenie (N = ). Jednkże ze względu n powtrzlność bdń orz późniejszą nlizę sttystyczną zlec się wykonywnie większej liczby doświdczeń centrlnych, (przynjniej, 5). Jk z podnych zleżności wynik długość proieni gwiezdnego zleży zrówno od wyirowości plnu (liczby ziennych/czynników) jk też od liczby doświdczeń centrlnych. Wrtości proieni gwiezdnego dl różnej liczby czynników orz różnej liczby doświdczeń centrlnych podno w tbeli 5.5. Podne t wrtości proieni gwiezdnych wyliczono przy złożeniu, że wykonywny jest pełen eksperyent. W przypdku, gdy podstwę eksperyentu stnowi pln ułkowy proienie gwiezdne przyją inne wrtości. Zsdniczą wdą oówionego plnowni ortogonlnego jest różn wrincj vr ( ŷ) szcownej n podstwie otrzynego równni (5.) wrtości ŷ, w zleżności od przyjętego kierunku oddlni się od środk plnowni eksperyentu (jest to tk zwn syetri obrotow lub nierottbilność). Okzuje się również, że współczynniki regresji w odelu wyznczne są z różnyi wrincji, gdyż nie jest spełniony wrunek równości suy kwdrtów we wszystkich kolunch cierzy eksperyentu T. Poz ty okzuje się, że niektóre kowrincje są niezerowe, co ozncz, że oszcowne współczynniki regresji są ze sobą powiązne. riusz B. Bogcki Zkłd Inżynierii Procesowej Politechnik Poznńsk 3
etody Plnowni Eksperyentów Rozdził 5. Plny Wielopozioowe opozycyjne Stron z 9 Tbel 5.5. Wrtości proieni gwiezdnego () w zleżności od wyirowości probleu () orz liczby doświdczeń centrlnych (N ). Złożono, że trzon eksperyentu stnowi pełny eksperyent czynnikowy n dwóch pozioch typu. [ńczk, 976]. Wyirowość probleu N 3 5 6..5..596.76.7.7.3.66. 3.7.353.57.7.5...67.7.93 5.67.7.66.. 6.3.55.79.96.55 7.369.575.77.99...63...59 9.57.66.6.9.9.9.7.9.97.57.536.75.95.3.3.67.79..7.35 Proble ten rozwiązuje kolejn odyfikcj plnów kopozycyjnych, w której obok wrunku n długość proieni gwiezdnego () nłożono dodtkowy wrunek n liczbę doświdczeń (N ) wykonywnych w punkcie centrlny plnu uzyskując w ten sposób plny rottbilne. 5.. Plny wielopozioowe kopozycyjne rottbilne Aby uzyskć rottbilne plny eksperyentów kopozycyjnych n 5 pozioch proponuje się postępownie podobne do oówionego już plnowni ortogonlnego. Różnic poleg n inny sposobie definiowni długości proieni gwiezdnego () orz nłożeni dodtkowego wrunku n liczbę doświdczeń (N ) wykonywnych w punkcie centrlny. riusz B. Bogcki Zkłd Inżynierii Procesowej Politechnik Poznńsk
etody Plnowni Eksperyentów Rozdził 5. Plny Wielopozioowe opozycyjne Stron 5 z 9 Sposób wyznczni długości proieni gwiezdnego jest dość kłopotliwy [ńczk, 976]. Nie niej pokzć ożn, że wrunkie konieczny rottbilności plnu eksperyentu kopozycyjnego jest wrtość proieni gwiezdnego zdefiniownego jko = (5.) W prktyce dl dużych wrtości ( 5) do szcowni współczynników odelu proponuje się, jko główny trzon plnów kopozycyjnych, stosownie ułkowych plnów dwupozioowych typu -. Wtedy cele spełnieni wrunku rottbilności, przyjąć nleży wrtość długości proieni gwiezdnego = (5.9) Tbel 5.6. Długość proieni gwiezdnego orz liczb doświdczeń centrlnych N dl różnej wyirowości (różnej liczby czynników) plnu eksperyentu. N liczb doświdczeń centrlnych, N cłkowit liczb doświdczeń [ńczk, 976]. 3 5 6 3 5 6..6..37. N 5 6 7 5 N= N 3 3 5 9 Jeżeli chodzi o liczbę doświdczeń centrlnych, to przyjuje się, że N powinno być dosttecznie duże. W efekcie w literturze spotkć ożn różne sugestie. I tk [ńczk, 976] proponuje, by liczbę doświdczeń w punkcie centrlny plnu wyliczyć w tki sposób, by wrincj ( ŷ ) vr wrtości oszcownej z odelu był tk s w punkcie centrlny plnu, jk i w punktch leżących n kuli o proieniu ρ =. Wrunek ten ozncz, że dl punktów zwrtych w tej kuli wrincj jest prwie stł. Proponowne w tej prcy długości proieni gwiezdnego () orz liczby doświdczeń centrlnych (N ) podno w tbeli 5.6. Wrtości te riusz B. Bogcki Zkłd Inżynierii Procesowej Politechnik Poznńsk 5
etody Plnowni Eksperyentów Rozdził 5. Plny Wielopozioowe opozycyjne Stron 6 z 9 zostły obliczone przy złożeniu, że trzone plnu kopozycyjnego jest pełny pln czynnikowych n dwóch pozioch typu. Tk zdefiniowny pln nie zchowuje pełnej ortogonlności dl = 3 i 6. Chcąc ją utrzyć niektórzy utorzy [Steller, 977] proponują niewielką odyfikcją proieni gwiezdnego w porównniu z wrunkie ścisłej syetrii obrotowej (równnie 5.9) przyjętej w cytownej wyżej prcy. inie inforcji w ty przypdku nie są ściśle koliste, jednkże odchylenie to jest stosunkowo niewielkie. Proponowne przez niego wrtości proieni gwiezdnego () orz liczby doświdczeń centrlnych (N ) podno w tbeli 5.7. Tbel 5.7. Długość proieni gwiezdnego () orz liczb doświdczeń centrlnych (N ) dl różnej wyirowości (różnej liczby czynników) plnu eksperyentu [Steller, 977]. 3 5 6 7-3 5-6- 7-..66...3. N 9 5 N 6 3 36 36 59 Plny kopozycyjne rottbilne chrkteryzują się syetrią obrotową. Ozncz to, że w stłej odległości od środk plnu błędy, jkii obrczone są oszcowni różnych wielkości są stłe. Z tego względu plny tego typu trktowć ożn jko nlogi plnów czynnikowych dwupozioowych dl plnowni drugiego rzędu Przykłd 5.. (Źródło: Steller, R., 977) Bdno przebieg ktlitycznej izoeryzcji pewnego węglowodoru otrzyywnego podczs destylcji ropy nftowej. Jko wielkość bdną przyjęto stopień przeiny α węglowodoru wyjściowego w żądny produkt. Cele bdń jest wskznie optylnych wrunków riusz B. Bogcki Zkłd Inżynierii Procesowej Politechnik Poznńsk 6
etody Plnowni Eksperyentów Rozdził 5. Plny Wielopozioowe opozycyjne Stron 7 z 9 prowdzeni procesu, to znczy tkich, w których stopień przeiny interesującego węglowodoru jest njwiększy. W wrunkch ustlonego przepływu pr węglowodoru przez rektor w stłej teperturze T = 57 stopień przeiny α zleży od dwóch ziennych: X czsu kontktu pr z ktliztore [s], X prężności pr węglowodoru [ Hg]. Tbel 5.. Pozioy zin dl bdnych czynników; X czsu kontktu pr orz X prężności pr. Pozio Czynnik X, s X, Hg Podstwowy () 5 5 Górny () 35 6 Dolny (-) 5 3 Przedził zin 5 Optylizcj procesu sprowdz się do znlezieni ekstreu funkcji opisującej bdny proces. W ty celu nleży znleźć odel kwdrtowy wiążący wpływ bdnych czynników z wydjnością procesu izoeryzcji. y = ε (5.) gdzie jest wektore nieznnych współczynników regresji w przyjęty odelu, ε jest nieznny błęde losowy. cierz eksperyentu orz wyniki bdń przedstwiono w tbeli 5.9. olore żółty zznczono pln eksperyentu. inią przerywną oddzielono poszczególne bloki skłdjące się n przeprowdzony eksperyent: doświdczeni wykonne w rch plnu eksperyentu czynnikowego n dwóch pozioch, doświdczeni gwiezdne orz doświdczeni centrlne. riusz B. Bogcki Zkłd Inżynierii Procesowej Politechnik Poznńsk 7
etody Plnowni Eksperyentów Rozdził 5. Plny Wielopozioowe opozycyjne Stron z 9 Tbel 5.9. cierz wejść rottbilnego plnowni ortogonlnego dl = czynniki orz wyniki eksperyentu optylizcyjnego [Steller, 977]. Nr y Doświdczenie czynnikowe - - 65.3 n dwóch - - 5. pozioch 3 - - 6.5 5.5 Doświdczenie gwiezdne () Doświdczeni centrlne N = 5. 6. 6-69.. 7. 6. - 5.3. 9 55. 56. 55. 5. 3 55.6 56. 5 56. 6 55. Stosując etodę njniejszych kwdrtów oszcowno współczynniki regresji w odelu (5.) uzyskując nstępujący wektor T ( 55. 7.. 7. 5. 3 b = ) (5.) orzystjąc z oszcowń współczynników regresji w odelu 5. nrysowno powierzchnię funkcji odpowiedzi (rysunek 5.3). riusz B. Bogcki Zkłd Inżynierii Procesowej Politechnik Poznńsk
etody Plnowni Eksperyentów Rozdził 5. Plny Wielopozioowe opozycyjne Stron 9 z 9.5 5.67 6.6 57.5 65 5.67 6.5 6.6 57.5 6.6 57.5 57.56.6 57.5 6.6 55 3 3.5.5 Rysunek 5.. Stopień przeregowni (α) interesującego węglowodoru w procesie ktlitycznej izoeryzcji od czsu rekcji (X ) i prężności pr wyjściowego węglowodoru (X ). Powierzchni odpowiedzi uzyskn w wyniku przeprowdzeni eksperyentu kopozycyjnego rottbilnego. Ide plnowni kopozycyjnego stnowił istotny krok nprzód w dziedzinie wyznczni odeli liniowo kwdrtowych. Plny te pozwlją w porównniu do plnów czynnikowych n trzech pozioch w znczny sposób ogrniczyć liczbę koniecznych do wykonni w rch eksperyentu doświdczeń. Plnownie ortogonlne iło n celu uproszczenie nipulcji rchunkowych przy wyznczniu współczynników regresji. W dobie współczesnej probley obliczeniowe nie są tk istotne jk kiedyś. Stąd przyjąć ożn, że plnownie ortogonlne rczej wrtość historyczną. Plnownie rottbilne, o kulisty rozkłdzie inforcji zwne jest również plnownie o syetrii obrotowej. Gwrntuje ono stłość dokłdności otrzynego odelu orz stłość oszcowni funkcji regresji w pewny otoczeniu punktu centrlnego plnu. Stąd też plny rottbilne posidją ndl wrtość prktyczną. riusz B. Bogcki Zkłd Inżynierii Procesowej Politechnik Poznńsk 9