Oga Kopacz, Aa Łoygows, Wocech Pawłows, Mchał Płotowa, Krzysztof Tyber Konsutace nauowe: prof. r hab. JERZY RAKOWSKI Poznań / MECHANIKA BUDOWI 4 Rozzał ten pośwęcony est wyprowazenu twerzena o pracy wrtuane, przygotowane. W asze ego częśc oówy pratyczne zastosowane tego twerzena. Słowa uczowe: praca wrtuana, przeeszczene wrtuane. TWIERDZENIE.. Twerzene Jeże na uła zała obcążene rzeczywste spełnaące warun równowag, to obcążene zewnętrzne wyonue na przeeszczenu wrtuany pracę równą pracy uogónonych sł przeroowych na wrtuanych oształcenach na wrtuanych przeeszczenach wewnętrznych... Interpretaca Przyuey owony uła pozostaący w równowaze Rys... Rzeczywsty oe ułau prętowego, obcążony rzeczywsty sła p po wpływe, tórych oznae przeeszczeń Potechna Poznańsa Kopacz, Łoygows, Pawłows, Płotowa, Tyber
Rys... Ten sa uła ae z wyuszony przeeszczene wrtuany u neatyczne opuszczany w z z - praca wszystch rzeczywstych sł czynnych obcążaących uła oraz bernych pracuących na przeeszczenach wrtuanych wyuszonych neatyczne W - praca wszystch sł wewnętrznych rzeczywstych na oształcenach wrtuanych na wrtuanych przeeszczenach wewnętrznych p u R n s przy czy: N ε, EA N ε M χ n s s s M χ, EJ κt γ γ T GA...... Wyprowazene Przyuey owony pręt Rys... o ługośc sończone ońcach, oraz owone obcążony sła zewnętrzny p: Potechna Poznańsa Kopacz, Łoygows, Pawłows, Płotowa, Tyber
Rys... Wyobraźy sobe następne barzo ały fragent tego pręta o ługośc Rys... Dzałaą na nego sły uogónone wewnętrzne przyuące owoną obnacę noranych, tnących oentów. Rys... Upraszczaąc obczena sprowazay tę sytuacę o następuących przypaów: Załaay, że owone obcążene pręta słą p powoue powstane tyo sł bernych pozoych Q Q, wobec czego na nasz eeent bęze załała tyo uogónona sła norana połużna, osowa N Rys...: Potechna Poznańsa Kopacz, Łoygows, Pawłows, Płotowa, Tyber
4 Rys... Zapsuąc równane równowag a tego eeentu tzn. w aży punce tego pręta otrzyuey zaps: X N N N p N p / : N p.. Następne wprowazay o tego pręta pewne wrtuane przeeszczene Rys...4., zgone z załane uogónonych sł noranych. Paętay, że us ono spełnć warune neatyczne opuszczanośc, us być nezaeżne o wszech obcążeń zewnętrznych oraz o czasu, ałe w porównanu z wyara pręta cągłe. Przyey ego wartość równą: δ u Potechna Poznańsa Kopacz, Łoygows, Pawłows, Płotowa, Tyber
Rys...4. Ponóży równane.. obustronne przez δ u scałuy w grancach o o N p δ u N δ u p N δ u δ u p 5.. aby obczyć całę: z z z N δ u sorzystay z całowana przez częśc, N z δ u δ u N z N N δ u δ u δ u N N / Potechna Poznańsa Kopacz, Łoygows, Pawłows, Płotowa, Tyber
6 Równane.. uzysa węc postać: δ u δ u N / N p δ u N δ u Q u N δ u δ u N δ u Q u p δ u N p δ u Zna wynaą z tego, że zna oatn sły N est przecwny o założonego oatnego Q a zna oatn sły N est zgony z założony oatn Q Na rys..5. przyęto zasaę zgonośc oatnch zwrotów sł Q Q oraz przeeszczeń opowaaących.. Q u Q u Rys...5. Znaowane p δ u N ε Q u Q u - całowta praca sł zewnętrznych bernych na przeeszczenach wrtuanych p δ u - całowta praca sł zewnętrznych czynnych na przeeszczenach wrtuanych δ u N N ε - całowta praca sł wewnętrznych noranych na oształcenach wrtuanych na wrtua- nych przeeszczenach wewnętrznych..4 Potechna Poznańsa Kopacz, Łoygows, Pawłows, Płotowa, Tyber
Wobec oznaczeń: ay: z WYKŁ ADY Z MECHANIKI BUDOWI Q u W Q u p δ u N ε Z W..5 7 Wnose: Q u P u qn u n n N ε Warto zaznaczyć, że we wzorze ty naa obowązuą zaeżnośc fzyczne opowaaące stanow wrtuaneu: N ε EA..6 Załaay, że owone obcążene pręta słą p powoue powstane sł bernych ponowych T T, wobec czego na nasz eeent bęze załała uogónona sła tnąca poprzeczna T Rys...6.: Potechna Poznańsa Kopacz, Łoygows, Pawłows, Płotowa, Tyber
Rys...6. 8 Zapsuąc równane równowag a tego eeentu tzn. w aży punce tego pręta, otrzyuey: Z T T T T p / T p p..7 Następne wprowazay o tego pręta wrtuane przeeszczene spełnaące te sae warun, co wcześne zgone z załane uogónonych sł poprzecznych tnących, o nezerowe wartośc równe: δ Rys...7. Ponóży równane..7 obustronne przez δ scałuy w grancach o o T p δ..8 Stosuąc przeształcena a wcześne z ty, że w całowanu przez częśc bęze: T Potechna Poznańsa Kopacz, Łoygows, Pawłows, Płotowa, Tyber
Potechna Poznańsa Kopacz, Łoygows, Pawłows, Płotowa, Tyber 9 T p T T p T T T p T T / δ δ δ δ δ δ δ δ δ Zna wynaą z tego, że zna oatn sły T est przecwny o założonego oatnego T a zna oatn sły T est zgony z założony oatn T Na rys..8. przyęto zasaę zgonośc oatnch zwrotów sł T T oraz przeeszczeń opowaaących..9 Rys...8. Znaowane sr s T s p T T γ δ Wobec oznaczeń: z p T T δ sr W T γ ay: Z W..
Wnose: T P qn n n T γ sr gze: γ sr κγ Warto zaznaczyć, że we wzorze ty naa obowązuą zaeżnośc fzyczne opowaaące stanow wrtuaneu: T γ EA.. Załaay czyste zgnane tzn. owone obcążene pręta powoue powstane tyo sł bernych w postac oentów zgnaących M M, stą na nasz yśowo wycęty eeent bęze załał tyo uogónony oent zgnaący M Rys...9.: Rys...9. Potechna Poznańsa Kopacz, Łoygows, Pawłows, Płotowa, Tyber
Zapsuąc równane równowag otrzyuey: M M M M M / M.. Postępuąc anaogczne a w poprzench przypaach, wprowazay wrtuane przeeszczene zgone z załane uogónonych oentów zgnaących o wartośc równe: δ Rys... Ponóży równane.. obustronne przez δ scałuy w grancach o o δ.. Stosuąc przeształcena a wcześne z ty, że w całowanu przez częśc bęze: M Potechna Poznańsa Kopacz, Łoygows, Pawłows, Płotowa, Tyber
δ M M M / δ M WYKŁADY Z MECHANIKI BUDOWI δ M δ M δ M δ δ δ δ M / Zna wynaą z tego, że oatn oent M est zgony z założony oatn oente M a oatn oent M est przecwny o założonego oatnego M Na rys... przyęto zasaę zgonośc oatnch zwrotów M M oraz przeeszczeń opowaaących Rys... Znaowane M M M δ M δ M δ M χ..4 Wobec oznaczeń: ay: Wnose: z M W M δ M χ Z W..5 Potechna Poznańsa Kopacz, Łoygows, Pawłows, Płotowa, Tyber
M P qn n n M χ Warto zaznaczyć, że we wzorze ty naa obowązuą zaeżnośc fzyczne opowaaące stanow wrtuaneu:..6 χ M EA 4 Załaay, że owone obcążene pręta p powouę powstane owonych sł bernych w postac uogónonych sł pozoych, ponowych oentów zgnaących Rys...9.: Rys... Potechna Poznańsa Kopacz, Łoygows, Pawłows, Płotowa, Tyber
4 Zapsuąc równana równowag a tego eeentu tzn. w aży punce tego pręta, otrzyuey: X Y M a wcześne z ty, że oent o sł tnących poay, gyż raę tych sł est bse zeru...7 Posuowuąc: orzystaąc z zasay superpozyc oonuey suowana powyższych rozwązań: R P u q u N ε κt γ M χ n s s s praca sł zewnętrznych praca sł wewnętrznych na na przeeszczenach wrtuanych oształcenach wrtuanych n n..8 gze: R - całowta praca sł bernych reac na przeeszczenach osaanach wrtuanych P - całowta praca sł suponych na przeeszczenach u n n wrtuanych q u - całowta praca obcążeń cągłych na przeeszczenach wrtuanych Warto zaznaczyć, że we wzorze ty naa obowązuą zaeżnośc fzyczne opowaaące stanow wrtuaneu: N ε, EA T γ, EA χ M EA Potechna Poznańsa Kopacz, Łoygows, Pawłows, Płotowa, Tyber
5.4. Przyła Obczyć ponową reacę w punce R be przestawone na Rys..4.. Rys..4.. Narzucay ożwe przeeszczene wrtuane, o enostowe wartośc w punce R Rys..4... Z proporc otrzyuey: u 5 c u b Rys..4.. u a a c c a u u 5 u b b.4. Zapsuey równana prac wrtuanych a ane be: Z V H R V4 P u5 W.4. Praca sł wewnętrznych est równa zeru gyż: - M bea to bryła sztywna węc ne oznae rzywzn tzn. e przeeszczena opsue funca nowa, tóre pochona wynos zero Potechna Poznańsa Kopacz, Łoygows, Pawłows, Płotowa, Tyber
WYKŁADY Z MECHANIKI BUDOWI M - T eże M to T 6 - N ne uwzgęnay wpływu sł pozoych na przeeszczena ponowe Po porównanu prac otrzyuey: u5 R P.4. a po postawenu opowench wartośc otrzyuey szuaną weość: c a R P b.4.4 Wnose: Ten sa wyn otrzyabyśy orzystaąc z asycznych równań równowag.. TWIERDZENIE.. Twerzene Jeże na uła zała owone zewnętrzne obcążene wrtuane, spełnaące warun równowag to wyonue ono pracę na rzeczywstych przeeszczenach wywołanych przez rzeczywste obcążene zewnętrzne równą pracy wrtuanych sł przeroowych na rzeczywstych oształcenach na rzeczywstych przeeszczenach wewnętrznych... Interpretaca Dotychczas orzystaśy z twerzena, że sły zewnętrzne wyonywały pracę na wrtuanych przeeszczenach. Teraz zróby owrotne tzn. stwórzy rzeczywsty oe ułau Rys..., a następne obcąży go sła wrtuany poyśany Rys... obczy rzeczywste przeeszczena naszego ułau prętowego. Musy przy ty zaznaczyć, że wrtuane obcążene spełna warun statyczne opuszczanośc, est nezaeżne o obcążeń zewnętrznych rzeczywstych czasu, a zaraze est obcążene stosunowo ały oraz cągły przynane raz różnczowany. Potechna Poznańsa Kopacz, Łoygows, Pawłows, Płotowa, Tyber
7 Rys.... Rzeczywsty oe ułau prętowego, obcążony rzeczywsty sła p po wpływe, tórych oznae przeeszczeń Rys.... Ten sa uła, ae obcążony słą wrtuaną P po wpływe, tóre oznae przeeszczeń wrtuany u w z.. z - praca sł wrtuanych pracuących na rzeczywstych przeeszczenach tzn. wytworzonych przez rzeczywste obcążena zewnętrzne W - praca wszystch wrtuanych sł wewnętrznych pracuących na rzeczywstych oształcenach Potechna Poznańsa Kopacz, Łoygows, Pawłows, Płotowa, Tyber
n s n Przy czy: stą: n s n p u s WYKŁADY Z MECHANIKI BUDOWI N ε R s M χ s κt γ N M T ε, χ, γ EA EJ GA p u s N N EA R s M M EJ s κ T T GA 8.. gze:.. R - całowta praca wrtuanych sł bernych reac na przeeszczenach osaanach rzeczywstych n s p u - całowta praca wrtuanych obcążeń na rzeczywstych przeeszczenach N - funca sł noranych wywołana o obcążena zewnętrznego rzeczywstego N - funca sł noranych wywołana o obcążena wrtuanego T - funca sł poprzecznych wywołana o obcążena zewnętrznego rzeczywstego T - funca sł poprzecznych wywołana o obcążena wrtuanego M - funca oentów wywołana o obcążena zewnętrznego rzeczywstego M - funca oentów wywołana o obcążena wrtuanego Potechna Poznańsa Kopacz, Łoygows, Pawłows, Płotowa, Tyber
9.. Wyprowazene Dowó tego twerzena ożna ponąć, oonuąc forane zany nterpretac czynnów oczynów pocałowych w równanu I..4. Przyła Obczyć przeeszczene ponowe puntu A be wspornowe przestawone na Rys..4..a oraz ąt obrotu w połowe rozpętośc te be: Rys..4.. a bea wspornowa obcążona słą rzeczywstą q z oształcena u b ta saa bea obcążona wrtuaną słą P Naperw oonuey obczeń sł wewnętrznych w ułaze rzeczywsty q M.4. Potechna Poznańsa Kopacz, Łoygows, Pawłows, Płotowa, Tyber
Następne aną beę obcążay wrtuaną słą P [-] Rys..4..b ponowne obczay wartośc sł wewnętrznych M.4. Równana prac wrtuanych przyą węc postać: Z u R W A q EJ Korzystaąc z twerzena rugego, zapsuey: q u A EJ Po scałowanu przeształcenu otrzyuey następuący wyn:.4..4.4 4 4 u q q A EJ 4 8 EJ.4.5 W ceu obczena ąta obrotu te be zaast eynowe sły P [-] przyłaay eynowy oent M [-] w połowe e ługośc Rys.4.. ponowne obczay wartośc sł wewnętrznych: Potechna Poznańsa Kopacz, Łoygows, Pawłows, Płotowa, Tyber
Rys..4.. Bea wspornowa obcążona eynowy oente wrtuany Postępuąc a w przypau perwszy orzystay z twerzena rugego: q q B EJ Po scałowanu przeształcenu otrzyuey następuący wyn:.4.6 q 8 7q B.4.7 6EJ 48EJ Mnus w wynu ońcowy wsazue na na to, że bea ta obróc sę w rugą stronę nż założyśy..5. Przyła Obczyć przeeszczene ponowe w punce A łuu o przerou ołowy, przestawony na Rys..5.a. Dane: r 5, κ ν, M es 5 N patrz Rys..5. 9 6 N N E 5 GPa 5, σ MPa op.5. Potechna Poznańsa Kopacz, Łoygows, Pawłows, Płotowa, Tyber
σ op σ WYKŁADY Z MECHANIKI BUDOWI E N G 76875 ν M M es es 6, W 5, σ W σ R W W,7854 R R 6,8 4,7854.5. Przyęśy: R,69 stą: 4 4 R 4 8 4 A R 5, I,7854 R 78 4.5. op Reasuuąc w zaanu przyęte zostały następuące weośc: 4 8 4 A 5, I 78, E 5 6 N, G 76875 N.5.4 Ponowne stosuąc tę saą etoę, przyłaay eynową słę wrtuaną w punce A łuu Rys..5.b Potechna Poznańsa Kopacz, Łoygows, Pawłows, Płotowa, Tyber
Rys..5..a łu obcążony sła rzeczywstą q z przeeszczene puntu A równy A, b łu obcążony eynową słą wrtuaną W ceu ułatwena sobe obczeń przyuey begunowy uła współrzęnych Rys..5... Potechna Poznańsa Kopacz, Łoygows, Pawłows, Płotowa, Tyber
4 Rys..5.. Przyęce ułau begunowego sn r r sn r y r y r r r s s r r.5.5 Stą: q y q M P r T q y q r P N P q sn q r sn M r sn T N sn.5.6 Korzystaąc z rugego twerzena o pracy wrtuane uzysay: Potechna Poznańsa Kopacz, Łoygows, Pawłows, Płotowa, Tyber
5 A EA κ GA EJ q r r sn sn q r sn r [ q r ] r r A 4 qr EJ κ qr GA sn qr EA sn.5.7 Potechna Poznańsa Kopacz, Łoygows, Pawłows, Płotowa, Tyber
Potechna Poznańsa Kopacz, Łoygows, Pawłows, Płotowa, Tyber 6 / / sn sn sn * Λ t t t t t t t t t t t / / sn sn sn sn sn sn * Κ t t t t t t t,4 4 * / sn sn / sn sn ** 4 / sn 4 ** * Κ Κ Κ Κ t t t t t t.5.8 c GA qr EA qr EJ qr A,4,48,,,49,4 4 κ.5.9 Wnose:
W zgnany łuu ecyuący wpływ na przeeszczena aą oenty zaś wpływ pozostałych sł wewnętrznych ożey ponąć łatwe pręt zgąć nż na przyła ścsnąć czy rozcągnąć.6. Przyła Da ułau ratowego przestawonego na Rys..6.. obczyć: a ponowe przeeszczene puntu b ąt obrotu pręta S obrót cęcwy c wzaeny obrót prętów S B S D wzaeny obrót cęcw srócene pręta S zbżene puntów, 7 Wzór: δ N N E A.6. Dane: N 6 E 5 GPa 5, σ MPa op N.6. Rys..6. Kratownca z obcążene rzeczywsty Potechna Poznańsa Kopacz, Łoygows, Pawłows, Płotowa, Tyber
WYKŁADY Z MECHANIKI BUDOWI N N σ op σ, σ A A σ op 8 Przyęśy: A B 5 6,5 A A r r r B,4 r B,5 stą: 4 A B 4 7,7 Przyęśy: A BA 5, r B,6 r BA, stą: 4 A BA 4 5, Przyęśy: A A 75,75 r A,9 r A, stą: 4 A A 4,8.6. Reasuuąc w zaanu przyęte zostały następuące weośc: 6 N N E 5 GPa 5, σ op MPa 4 4 4 A 7,7, A 5,, A,8 B BA A.6.4 Potechna Poznańsa Kopacz, Łoygows, Pawłows, Płotowa, Tyber
a. a W ceu obczena ponowego przeeszczena puntu, przyłaay w ty punce eynową, ponową słę wrtuaną Rys..6. 9 Rys..6. Kratownca z obcążene wrtuany,75 75 4,5 5 5, 4 4 4 E,8 E 5, E 7,7 A.6.5 a. b W ceu obczena ąta obrotu pręta S obrót cęcwy, przyłaay w ońcach tego pręta parę sł wrtuanych, tóre raze tworzą oent eynowy Rys..6. Potechna Poznańsa Kopacz, Łoygows, Pawłows, Płotowa, Tyber
Rys..6. Kratownca z obcążene wrtuany,5 75 4 4 E,8 E 5,,5 4 7, ra E A B 4 5 5 E 7,7 4.6.6 a. c W ceu obczena wzaenego obrotu prętów S B S D wzaeny obrót cęcw przyłaay w ońcach ażego z tych prętów parę sł wrtuanych, tóre raze tworzą oent eynowy Rys..6.4 Rys..6.4 Kratownca z obcążene wrtuany B D,4 5 5 8, 4 E 7,7 4 ra.6.7 Potechna Poznańsa Kopacz, Łoygows, Pawłows, Płotowa, Tyber
a. W ceu obczena srócena pręta S zbżene puntów, przyłaay w ońcach tego pręta, wzłuż ego erunu, parę sł wrtuanych, eynowy Rys..6.5 Rys..6.5 Kratownca z obcążene wrtuany 4.6.8 E A Potechna Poznańsa Kopacz, Łoygows, Pawłows, Płotowa, Tyber