Ciągi rozbieżne do Def. Mówimy, że ciąg jest rozbieżny do, jeśli Zapisujemy to symbolicznie jako równość:. Mówimy też, że ciąg posiada granicę niewłaściwą (równą nieskończoności). Można obrazowo powiedzieć, że ciąg rozbieżny do dowolnie duże. to taki, którego dostatecznie dalekie wyrazy są Analogicznie określamy rozbieżność do : Mówimy, że ciąg jest rozbieżny do, jeśli ciąg jest rozbieżny do. Przykład ;. Twierdzenie Ciąg niemalejący nieograniczony z góry jest rozbieżny do. Ponieważ ciąg jest nieograniczony z góry, więc. Ponieważ ciąg jest niemalejący, to dla mamy, zatem. Tak więc. CBDO Ciągi zbieżne Analogicznie dla ciągów nierosnących: jeśli ciąg niewłaściwą. jest nieograniczony z dołu, to ma granicę Przyjmując powyższą terminologię, możemy przeformułować twierdzenie o tym, że każdy ciąg monotoniczny i ograniczony jest zbieżny: Rozszerzamy to do postaci: Każdy ciąg monotoniczny posiada granicę właściwą lub niewłaściwą (w zależności od tego, czy jest ograniczony, czy nieograniczony). Twierdzenie X
Jeśli, to. Niech i niech. Biorąc, widzimy, że istnieje takie, że dla zachodzi, tzn., a to oznacza, że. Uwaga Twierdzenie odwrotnie nie jest prawdziwe: Jeśli ciąg dąży do 0, to ciąg nie musi być rozbieżny do lub. Jest tak np. z ciągiem, zbieżnym do zera: Ciąg nie jest rozbieżny do ani do. Suma i iloczyn ciągów rozbieżnych Naturalne jest oczekiwać, że suma i iloczyn ciągów rozbieżnych do też są rozbieżne do. Tak też jest w istocie. Pokażemy tu nieco wzmocnione wersje tych stwierdzeń. Twierdzenie XX Jeśli, a ciąg jest ograniczony z dołu, to. Niech będzie stałą ograniczającą ciąg od dołu:. Ponieważ, to dla danego (dowolnego) istnieje taka liczba, że dla zachodzi. Stąd, a to znaczy, że. Twierdzenie XXX Jeśli oraz ciąg jest ograniczony z dołu przez dodatnią stałą :, to. Weźmy jakąś (dowolną) liczbę. Z założenia (o rozbieżności do ) istnieje takie, że dla mamy. Mnożąc obie strony tej nierówności przez strony nierówności,
otrzymujemy, co znaczy, że. Twierdzenie XXXX analogon "stwierdzenia o zachowaniu nierówności w granicy" Jeśli oraz, to. Jeśli, to tym bardziej. Przykłady, w tym granice ważnych ciągów Przykład 1 Jeśli, to. Wynika to natychmiast z tw. XXX. Przykład 2 Jeśli, to.weźmy ; mamy:. Na mocy nierówności Bernoulliego mamy: i z Przykł. 1 oraz tw. XXXX mamy. Przykład 3 Jeśli, to. Rozpatrzmy najsampierw przypadek. Wówczas, a więc. Stąd na mocy Tw. X mamy. Gdy zaś mamy, to wtedy, ale wtedy z Tw.... wynika, że również. Przykład 4 Jeśli, to
Wynika to z równości: oraz dopiero co pokazanego faktu, że. Liczba e Wprowadzimy teraz ważną w analizie (i nie tylko) liczbę, zwaną, wykorzystując przy tym poznane uprzednio twierdzenia dotyczące granic ciągów. Rozważmy ciąg No reference identifier provided Stwierdzenie Ciąg jest rosnący. Rozwińmy wyrażenie na korzystając ze wzoru dwumiennego Newtona: Jeśli teraz przejdziemy od do, to w wyrażeniu powyżej przybędzie jeszcze jeden dodatni wyraz, a każdy z już istniejących się zwiększy, bo dowolny czynnik w nawiasach postaci: zmieni się na. Stąd wynika, że czyli ciąg jest ciągiem rosnącym. CBDO Stwierdzenie Pokażemy dalej, że zachodzi też STW. Ciąg jest ograniczony z góry. Każdy z czynników w nawiasach w (1) jest mniejszy od 1, zatem zamieniając wszystkie czynniki w nawiasach na 1 zwiększamy to wyrażenie.
Mamy więc: a ciąg jest ograniczony z góry, bo jego dowolny wyraz jest mniejszy od 3, jak to wynika z następującego oszacowania: Ciąg jest zatem monotoniczny (rosnący) i ograniczony, a więc zbieżny. Granicę ciągu oznaczamy jako : Inna postać liczby e Powróćmy do równości (1). Weźmy jakąś liczbę naturalną i pomińmy w równości (1) wszystkie wyrazy poza pierwszymi. Pominięte wyrazy są dodatnie, mamy więc Przejdźmy teraz do granicy Pamiętajmy, że jest dowolne, ale ustalone, gdy przechodzimy do granicy. Każdy z nawiasów wtedy dąży do 1; mamy więc Nierówność ta jest prawdziwa przy dowolnym. W połączeniu z nierównością (4) mamy więc skąd wynika na podstawie twierdzenia o trzech ciągach że również Jest to inna, równoważna (3) a łatwiejsza do wyliczeń, postać liczby.
Pokażemy jeszcze, że No reference identifier provided Mamy bowiem: a więc bo To tyle na razie o ciągach i ich granicach. Do tematu będziemy w miarę potrzeby powracać; kilka ciekawych granic pojawi się, gdy będzie trochę więcej o funkcjach log i exp