Wstęp do topologii Ćwiczenia

Wstęp do topologii Ćwiczenia Spis treści Przestrzeń metryczna, metryka 2 Kule w przestrzeni metrycznej 2 3 Zbieżność w przestrzeniach metrycznych 4 4 Domknięcie, wnętrze i brzeg 6 5 Zbiory gęste, brzegowe i nigdzie gęste 7 6 Funkcje ciągłe 8 7 Przestrzeń ośrodkowa 9 8 Przestrzeń zupełna 0 9 Przestrzeń zwarta

Zestaw. Przestrzeń metryczna, metryka Zadanie.. Udowodnić, że z warunków metryki wynika jej nieujemność. Zadanie.2. Niech X oznacza dowolny niepusty zbiór. Czy funkcja d 0 : X X R określona wzorem d 0 (x, y) = gdy x y jest metryką w X? Zadanie.3. Czy podane funkcje są metrykami w zbiorze X = R? d 3 (x, y) = 3x y d 2 (x, y) = 2 x 2 y d (x, y) = minx, y} d 4 (x, y) = x + y d 5 (x, y) = x 2 + y 2 gdy x y x y gdy x, y Q x, y / Q d 6 (x, y) = x + y w przeciwnym przypadku Zadanie.4. Czy podane funkcje są metrykami w zbiorze X = R 2? d((x, y ), (x 2, y 2 )) = x x 2 + y + y 2 d e ((x, y ), (x 2, y 2 )) = (x x 2 ) 2 + (y y 2 ) 2 d((x, y ), (x 2, y 2 )) = x x 2 + y y 2 d max ((x, y ), (x 2, y 2 )) = max x x 2, y y 2 } 0 gdy (x, y ) = (x 2, y 2 ) d p ((x, y ), (x 2, y 2 )) = x + y + x 2 + y 2 gdy (x, y ) (x 2, y 2 ) Renata Wiertelak

Zestaw 2. Kule w przestrzeni metrycznej Zadanie 2.. Niech X oznacza dowolny niepusty zbiór. Jakiej postaci są kule w przestrzeni (X, d 0 )?, jeśli d 0 funkcją określoną wzorem d 0 (x, y) = gdy x y. Zadanie 2.2. Czy funkcja określona wzorem d(n, k) = n k jest metryką w N? Jeśli jest, to narysuj kule K(, 2), K(5, 2), K(2, /5), K(3, 6 ). Zadanie 2.3. Jeśli (N, d) jest przestrzenią metryczną, gdy d(n, k) = + n+k gdy x y, to narysuj kule K(, 2), K(5, 2), K(2, /5), K(3, 6 ). Zadanie 2.4. Jeśli podane funkcje są metrykami w zbiorze X = R, to narysuj kule K(0, ), K(, 2), K(2, /5), K(3, 6 ). d nat (x, y) = x y x 2y 2 x 2 y ln( + x y ) maxx, y} x + y gdy x y x 2 + y 2 gdy x y x y gdy x, y Q x, y / Q x + y w przeciwnym przypadku Zadanie 2.5. Jeśli podane funkcje są metrykami w zbiorze X = R 2, to narysuj kule K((0, 2), ), K((0, 2), 3), K((2, ), 3), K((, 2), 3). d((x, y ), (x 2, y 2 )) = x x 2 + y + y 2 d((x, y ), (x 2, y 2 )) = 2 x x 2 + 3 y + 3 y 2 d e ((x, y ), (x 2, y 2 )) = (x x 2 ) 2 + (y y 2 ) 2 Renata Wiertelak 2

d((x, y ), (x 2, y 2 )) = x x 2 + y y 2 d((x, y ), (x 2, y 2 )) = 3 x x 2 + 2 y y 2 d max ((x, y ), (x 2, y 2 )) = max x x 2, y y 2 } d((x, y ), (x 2, y 2 )) = max2 x x 2, 3 y y 2 } y y 2 gdy x = x 2 d rz ((x, y ), (x 2, y 2 )) = y + x x 2 + y 2 gdy x x 2 0 gdy (x, y ) = (x 2, y 2 ) d p ((x, y ), (x 2, y 2 )) = x + y + x 2 + y 2 gdy (x, y ) (x 2, y 2 ) Zadanie 2.6. Jeśli X = [0, ] z funkcją d: X X R określoną wzorem x y gdy x y Q 2 gdy x y / Q jest przestrzenią metryczną, to wyznacz kule K(0, ), K( 2, 4 ), K(, 2 )? Zadanie 2.7. Jeśli X = [0, ] z funkcją d: X X R określoną wzorem x y gdy x y / Q 2 gdy x y Q jest przestrzenią metryczną, to wyznacz kule K(0, ), K( 2, 4 ), K(, 2 )? Renata Wiertelak 3

Zestaw 3. Zbieżność w przestrzeniach metrycznych Zadanie 3.. Udowodnij, że ciąg zbieżny posiada dokładnie jedną granicę. Zadanie 3.2. Udowodnij, że jeśli ciąg (x n ) n N jest zbieżny do x 0, to każdy jego podciąg jest zbieżny do x 0. Zadanie 3.3. Udowodnij, że jeśli ciąg (x n ) n N x, y, x 2, y 2,... jest zbieżny do x 0 w metryce d. d n x 0 oraz (y n ) n N Zadanie 3.4. Udowodnij, że każdy ciąg zbieżny jest ograniczony. Zadanie 3.5. Udowodnij, że każdy ciąg Cauchy ego jest ograniczony. Zadanie 3.6. Niech X = N. Czy funkcja d: X X R określona wzorem d((n, m) = n m d n x 0, to ciąg jest metryką w X? Jeśli jest, to narysuj kule K(5, 2), K(2, /5), K(3, /3). Jak wygląda zbieżność w tej metryce? Zadanie 3.7. Podać przykład takiego ciągu (x n ) n N, który nie jest ciągiem Cauchy ego oraz spełnia warunek: a) d(x n, x 3n ) 0 b) d(x n, x n+ ) 0 c) d(x n, x n+k ) 0 n n k N n Zadanie 3.8. Wyznacz d nat (0, A), d nat (2, A), d 0 (0, A), d 0 (2, A), d nat (B, A), d 0 (B, A), gdy A = (5, 7), B = [0, ]. Zadanie 3.9. Udowodnij, że jeśli ciąg (x n ) n N d(a, x n ) d n d(a, x 0). d n x 0, oraz A X, to Zadanie 3.0. Czy z tego, że A (B C) wynika, że δ(a) δ(b) + δ(c)? Zadanie 3.. Która z podanych nierówności jest prawdziwa? Kiedy są one prawdziwe? d(a B) d(a) + d(b) d(a B) d(a) + d(b) Zadanie 3.2. Udowodnij, że dla dowolnych A, B zachodzi d(a B) d(a) + d(b) + dist(a, B). Renata Wiertelak 4

Zadanie 3.3. x + y gdy x y Czy podane ciągi są zbieżne w (R, d)? Czy są ciągami Cauchy ego w (R, d)? Jeśli są zbieżne, to podaj ich granicę. a)x n = 3n, b) x n = 3 n, c) x n = 2n n +, d) x n = 5 + n, e) x n = n + n Zadanie 3.4. x y gdy x, y Q x, y / Q x + y w przeciwnym przypadku Czy podane ciągi są zbieżne w (R, d)? Czy są ciągami Cauchy ego w (R, d)? Jeśli są zbieżne, to podaj ich granicę. a)x n = 2 3n, b) x n = 3, c) x n n = 2n n +, d) x n = 3 5 5 + n, e) x n = n Zadanie 3.5. d((x, y ), (x 2, y 2 )) = 0 gdy (x, y ) = (x 2, y 2 ) x + y + x 2 + y 2 gdy (x, y ) (x 2, y 2 ) Czy podane ciągi są zbieżne w (R 2, d)? Czy są ciągami Cauchy ego w (R 2, d)? Jeśli są zbieżne, to podaj( ich granicę. a)(x n, y n ) = 3n, ) ( 2n, b) (x 3 n n, y n ) = n +, 5 + ), n ( c) (x n, y n ) = n, n + ) ( ) 5 d) (x n, y n ) = 3 n n, 4n Zadanie 3.6. d((x, y ), (x 2, y 2 )) = y y 2 gdy x = x 2 y + x x 2 + y 2 gdy x x 2 Czy podane ciągi są zbieżne w (R 2, d)? Czy są ciągami Cauchy ego w (R 2, d)? Jeśli są zbieżne, to podaj ich granicę. a)(x n, y n ) = (, 2 + 3 ) (, b) (x n n, y n ) = 3 n, ), c) (x n, y n ) = ( 0, n + ) n d) (x n, y n ) = 2n ) ( n, 2 3n Renata Wiertelak 5

Zestaw 4. Domknięcie, wnętrze i brzeg Zadanie 4.. W (R, d nat ) wyznacz domknięcia, wnętrza oraz brzegi następujących zbiorów A = [0, ) 2} C = [ n N 4n, ] 4n E = n : n N} B = (, ) Q D = ( n N 2n, ) 2n F = E 0} Zadanie 4.2. W (R 2, d e ) wyznacz domknięcia, wnętrza oraz brzegi następujących zbiorów A = [0, ) (, 2] C = (/n, y): n N, y (0, )} B = (x, y): y = x 2 } D = (x, y): y x Q}. Zadanie 4.3. Niech X = [0, ] oraz w X X będzie dana funkcja: x y gdy x, y Q lub x, y / Q d((x, y) = x + y w przeciwnym wypadku. Wyznacz domknięcie, wnętrze oraz brzeg zbiorów: Q, [0, ] \ Q w (X, d). Czy są to zbiory otwarte? domknięte? Zadanie 4.4. Niech X = [0, ] oraz w X X będzie dana funkcja: x y gdy x y Q lub x, y / Q d((x, y) = 2 gdy x y / Q. Wyznacz domknięcie, wnętrze oraz brzeg zbiorów: Q [0, ), [0, ] \ Q w (X, d). Czy są to zbiory otwarte? domknięte? Zadanie 4.5. W (R, d nat ) wyznacz A, Int(A), IntA,Int(A), jeśli Zadanie 4.6. Udowodnij, że A = ([0, ) Q) 2} (3, 4) (4, 5) x F r(a) ε>0 K(x, ε) A K(x, ε) \A Zadanie 4.7. Jakie relacje (,, =) zachodzą pomiędzy zbiorami: a) A B i A B d) IntA IntB i IntA B b)a B i A B e) IntA IntB i IntA B c) A \ B i A \ B f) IntA \ IntB i IntA \ B Renata Wiertelak 6

Zestaw 5. Zbiory gęste, brzegowe i nigdzie gęste Zadanie 5.. Udowodnić, że zbiór nigdzie gęsty jest brzegowy; zbiór domknięty i brzegowy jest nigdzie gęsty; suma dwóch zbiorów nigdzie gęstych jest zbiorem nigdzie gęstym; suma zbioru brzegowego i nigdzie gęstego jest zbiorem brzegowym; Zadanie 5.2. Czy suma dwóch zbiorów brzegowych jest zbiorem brzegowym? Zadanie 5.3. Czy brzeg zbioru jest zbiorem brzegowym? Zadanie 5.4. W (R, d nat ) wyznacz domknięcie wnętrze następujących zbiorów, a następnie podaj czy są to zbiory domknięte, otwarte, gęste, brzegowe, nigdzie gęste. A = (, ) 2} B = [ n N 3n, ] 3n C = n : n N} D = (, ) Q E = n N ( 2n, 2n G = (, ) \ Q H = N ( 2n, 2n ) ) F = C 0} I = C } J = ((, ) Q) ((, ) \ Q) K = 2 + 2n : n N} (, 2) Zadanie 5.5. W (R, d 0 ) wyznacz domknięcie wnętrze następujących zbiorów, a następnie podaj czy są to zbiory domknięte, otwarte, gęste, brzegowe, nigdzie gęste. A = (, ) 2} B = [ n N 3n, ] 3n C = n : n N} D = (, ) Q E = n N ( 2n, 2n G = (, ) \ Q H = N ( 2n, 2n ) ) F = C 0} I = C } Zadanie 5.6. W (R 2, d e ) wyznacz domknięcia, wnętrza następujących zbiorów, a następnie podaj czy są to zbiory domknięte, otwarte, gęste, brzegowe, nigdzie gęste. A = [0, ] [, 2] B = (x, y): 0} /n: n N}, y [0, ]} C = (0, ) (, 2) D = (x, y): n N, y R} E = (x, y): y x Q} F = (x, y): max x, y } < 4} G = (x, y): y = x 2 } H = ([0, ] Q) ([, 2] \ Q). Zadanie 5.7. W (R 2, d 0 ) wyznacz domknięcia, wnętrza następujących zbiorów, a następnie podaj czy są to zbiory domknięte, otwarte, gęste, brzegowe, nigdzie gęste. A = [0, ] [, 2] B = (x, y): 0} /n: n N}, y [0, ]} C = (0, ) (, 2) D = (x, y): n N, y R} E = (x, y): y = x 2 } F = ([0, ] Q) ([, 2] \ Q). Renata Wiertelak 7

Zestaw 6. Funkcje ciągłe Zadanie 6.. Czy f : N R określona wzorem f(n) = ( ) n jest ciągła, jeśli: a) d X = d Y = d nat, b) d X = d nat, d Y = d 0 c) d X = d 0, d Y = d nat? Zadanie 6.2. Niech funkcja f : R R będzie określona wzorem x + gdy x > 0 f(x) = x gdy x 0 Czy jest ona ciągła, jeśli: a) d X = d Y = d nat, b) d X = d nat, d Y = d 0 c) d X = d Y = d 0, d)d X = d 0, d Y = d nat Zadanie 6.3. Niech funkcja f : R R będzie określona wzorem x gdy x Q f(x) = x gdy x / Q Podaj zbiór punktów ciągłości funkcji f, jeśli: a) d X = d Y = d nat, b) d X = d nat, d Y = d 0 c) d X = d Y = d 0, d)d X = d 0, d Y = d nat Zadanie 6.4. Czy funkcja f : R R określona wzorem f(x) = x jest ciągła, jeśli d X = d nat oraz d X (x, y) = x + y gdy x y? Podaj również zbiór punktów ciągłości funkcji f. Zadanie 6.5. Czy funkcja f : R R określona wzorem f(x) = x jest ciągła, jeśli d Y = d nat oraz d X (x, y) = x + y gdy x y? Podaj również zbiór punktów ciągłości funkcji f. Zadanie 6.6. Czy funkcja f : R R określona wzorem f(x) = 2x jest ciągła, jeśli d X = d nat oraz d Y (x, y) = 3 gdy x y? Podaj również zbiór punktów ciągłości funkcji f. Zadanie 6.7. Czy funkcja f : R R określona wzorem f(x) = 2x jest ciągła, jeśli d Y = d nat oraz d X (x, y) == 3 gdy x y? Podaj również zbiór punktów ciągłości funkcji f. Renata Wiertelak 8

Zestaw 7. Przestrzeń ośrodkowa Zadanie 7.. Udowodnij, że jeżeli (X, d X ) jest przestrzenią ośrodkową oraz funkcja f : (X, d X ) (Y, d Y ) jest funkcją ciągła i "na", to (Y, d Y ) jest przestrzenią ośrodkową. Zadanie 7.2. Udowodnij, że jeśli w przestrzeni metrycznej (X, d) istnieje nieprzeliczalny zbiór A oraz t > 0 takie, że to przestrzeń ta nie jest ośrodkowa. x,y A x y d(x, y) > t, Zadanie 7.3. Udowodnij, że przestrzeń metryczna (X, d) jest ośrodkowa wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby r > 0 przestrzeń X jest sumą co najwyżej przeliczalnej ilości kul o promieniu r. Zadanie 7.4. Czy zbiór X = R \ Q z funkcją x + y jest przestrzenią metryczną? Jeśli tak, to czy jest ona ośrodkowa? Zadanie 7.5. Czy zbiór X = [0, ] z funkcją x y gdy x, y Q lub x, y / Q x + y w przeciwnym wypadku. jest przestrzenią metryczną? Jeśli tak, to czy jest ona ośrodkowa? Zadanie 7.6. Niech będzie dana funkcja f : [0, ) [0, ) spełniająca warunki: f(t) = 0 t = 0; f jest niemalejąca; f(t + s) f(t) + f(s). Czy jeśli (X, d)) jest przestrzenią metryczną ośrodkową, to dla d (x, y) = f(d(x, y)) przestrzeń (X, d ) też jest przestrzenią metryczną ośrodkową? Od czego to zależy? Zadanie 7.7. Niech (X, d X ), (Y, d Y ) będą przestrzeniami metrycznymi ośrodkowymi. Czy przestrzeń (X Y, d ), gdzie d ((x, y ), (x 2, y 2 )) = d X (x, x 2 ) + d Y (y, y 2 ) też jest przestrzenią metryczną ośrodkową? Renata Wiertelak 9

Zestaw 8. Przestrzeń zupełna Zadanie 8.. Czy jeżeli (X, d X ) jest przestrzenią zupełną oraz funkcja f : (X, d X ) (Y, d Y ) jest funkcją ciągłą i "na", to (Y, d Y ) jest przestrzenią zupełną? Zadanie 8.2. Czy jeżeli (X, d X ) jest przestrzenią zupełną oraz funkcja f : (X, d X ) (Y, d Y ) jest ciągłą funkcją różnowartościową i "na", to (Y, d Y ) jest przestrzenią zupełną? Zadanie 8.3. Niech X = R \ Q oraz x + y gdy x y Czy (X, d) jest przestrzenią zupełną? Zadanie 8.4. Czy zbiór X = [0, ] z funkcją x y gdy x, y Q lub x, y / Q x + y w przeciwnym wypadku. jest przestrzenią metryczną zupełną? Zadanie 8.5. Czy jeżeli (X, d X ) jest przestrzenią zupełną oraz d (x, y) = maxd(x, y), } to (X, d ) jest przestrzenią metryczną? Jeśli jest, to czy jest przestrzenią zupełną? Zadanie 8.6. Czy jeżeli (X, d X ) jest przestrzenią zupełną, a jest ustalonym elementem X, X zawiera przynajmniej 2 różne elementy oraz d (x, y) = d(x, a) + d(a, y) to (X, d ) jest przestrzenią metryczną? Jeśli jest, to czy jest przestrzenią zupełną? Zadanie 8.7. Niech (X, d X ), (Y, d Y ) będą przestrzeniami metrycznymi zupełnymi. Czy przestrzeń (X Y, d ), gdzie d ((x, y ), (x 2, y 2 )) = maxd X (x, x 2 ), d Y (y, y 2 )} też jest przestrzenią metryczną? Jeśli jest, to czy jest przestrzenią zupełną? Zadanie 8.8. Niech (X, d X ), (Y, d Y ) będą przestrzeniami metrycznymi zupełnymi. Czy przestrzeń (X Y, d ), gdzie d ((x, y ), (x 2, y 2 )) = (d X (x, x 2 )) 2 + (d Y (y, y 2 )) 2 też jest przestrzenią metryczną? Jeśli jest, to czy jest przestrzenią zupełną? Renata Wiertelak 0

Zestaw 9. Przestrzeń zwarta Zadanie 9.. Czy jeżeli (X, d X ) jest przestrzenią zwartą oraz funkcja f : (X, d X ) (Y, d Y ) jest funkcją ciągłą i "na", to (Y, d Y ) jest przestrzenią zwartą? Zadanie 9.2. Czy jeżeli (X, d X ) jest przestrzenią zwartą oraz funkcja f : (X, d X ) (Y, d Y ) jest ciągłą funkcją różnowartościową i "na", to (Y, d Y ) jest przestrzenią zwartą? Zadanie 9.3. Niech X = R \ Q oraz x + y gdy x y Czy (X, d) jest przestrzenią zwartą? Zadanie 9.4. Czy zbiór X = [0, ] z funkcją x y gdy x, y Q lub x, y / Q x + y w przeciwnym wypadku. jest przestrzenią metryczną zwartą? Zadanie 9.5. Czy jeżeli (X, d X ) jest przestrzenią zwartą oraz d (x, y) = maxd(x, y), } to (X, d ) jest przestrzenią metryczną? Jeśli jest, to czy jest przestrzenią zwartą? Zadanie 9.6. Czy jeżeli (X, d X ) jest przestrzenią zwartą, a jest ustalonym elementem X, X zawiera przynajmniej 2 różne elementy oraz d(x, a) + d(a, y) gdy x y d (x, y) = to (X, d ) jest przestrzenią metryczną? Jeśli jest, to czy jest przestrzenią zwartą? Zadanie 9.7. Niech (X, d X ), (Y, d Y ) będą przestrzeniami metrycznymi zwartymi. Czy przestrzeń (X Y, d ), gdzie d ((x, y ), (x 2, y 2 )) = d X (x, x 2 ) + d Y (y, y 2 ) też jest przestrzenią metryczną? Jeśli jest, to czy jest przestrzenią zwartą? Zadanie 9.8. Niech (X, d X ), (Y, d Y ) będą przestrzeniami metrycznymi zwartymi. Czy przestrzeń (X Y, d 0 ) też jest przestrzenią metryczną? Jeśli jest, to czy jest przestrzenią zwartą? Renata Wiertelak