Rozwiązywanie zagadnień nieliniowych

Rozwiązywanie zagadnień nieliniowych Wykład 4 dla kierunku Budownictwo, specjalności DUA+TOB/BIM+BIŚ+BOI Jerzy Pamin Instytut Technologii Informatycznych w Inżynierii Lądowej Politechnika Krakowska Podziękowania: A. Wosatko, A. Winnicki TNO DIANA http://www.tnodiana.com FEAP http://www.ce.berkeley.edu/feap ATENA http://www.cervenka.cz Tematyka zajęć Zagadnienia nieliniowe Analiza przyrostowo-iteracyjna Nieliniowość geometryczna Teoria umiarkowanie dużych ugięć Nieliniowość fizyczna Zarysowanie Analiza powłok chłodni kominowych

Źródła nieliniowości Spowodowane zmianą geometrii ciała (odkształcalnego) duże odkształcenia (np. guma, formowanie metali) duże przemieszczenia (np. konstrukcje smukłe, cienkościenne) kontakt (oddziaływanie stykających się ciał) obciążenie śledzące (zależne od deformacji ciała) Spowodowane nieliniowymi związkami konstytutywnymi plastyczność (odkształcenia trwałe) uszkodzenie (degradacja własności sprężystych) zarysowanie (kontynualna reprezentacja rys)... Uwagi: Nie obowiązuje zasada superpozycji. Możliwy jest opis ośrodka nieciągłego, w którym części składowe są połączone interfejsami (np. konstrukcje zespolone) lub występują pękniecia (rysy dyskretne). Interfejsy mają zazwyczaj nieliniowe charakterystyki, reprezentując np. tarcie, adhezję, pękanie. Nieliniowe kontinuum [1] Równania równowagi + statyczne warunki brzegowe L T σ + b = 0 w V, σν = ˆt na S gdzie: L macierz operatorów różniczkowych σ tensor/wektor uogólnionych naprężeń b wektor sił masowych ˆt S ν Słaba forma równań równowagi δu T (L T σ + b) dv = 0 δu V V Zasada prac wirtualnych δw int = δw (Lδu) T σ dv = δu T b dv + V V S δu Tˆt ds

Metoda Galerkina Przemieszczeniowa wersja MES u u h = n w i=1 N i (ξ, η, ζ)u i = Nd e gdzie: N - funkcje kształtu, d e - wektor stopni swobody elementu, n w - liczba węzłów Transformacja węzłowych stopni swobody d e = A e d gdzie: d - wektor stopni swobody układu Słaba forma równań równowagi dla układu zdyskretyzowanego n e e=1 A e T V e B T σ dv = f, B = LN Podejście izoparametryczne, numeryczne całkowanie macierzy ES Liniowa sprężystość Prawo Hooke a Notacja tensorowa: σ = D e : ɛ, Notacja macierzowa: σ = D e ɛ, σ = σ x σ y σ z τ xy τ yz τ zx Izotropia materiału: D e = D e (E, ν) Liniowe związki kinematyczne σ ij = Dijkl e ɛ kl, ɛ = Notacja tensorowa: ɛ = 1 2 [ u + ( u)t ], ɛ ij = 1 2 (u i,j + u j,i ) Notacja macierzowa: ɛ = Lu Zatem tensor naprężenia: σ = D e ɛ = D e Lu = D e LNd e = D e BA e d ɛ x ɛ y ɛ z γ xy γ yz γ zx Równania równowagi dla układu zdyskretyzowanego n e e=1 A e T V e B T D e B dv A e d = f, Kd = f σ 1 E loading unloading ɛ

Analiza przyrostowo-iteracyjna Nieliniowy problem: f przykładane w przyrostach t t + t σ t+ t = σ t + σ Równowaga w chwili t + t: n e A e T gdzie: e=1 n e e=1 A e T B T σ t+ t dv = f t+ t V e B T σ dv = f t+ t V e f t int = n e e=1 Ae T V e B T σ t dv Linearyzacja lewej strony w chwili czasu t: Układ równań dla przyrostu: σ = σ( ɛ( u)) K d = f t+ t f t int f t int Schemat metody przyrostowo-iteracyjnej Konieczne poprawki iteracyjne celem osiągnięcia stanu równowagi w chwili t + t algorytm Newtona-Raphsona Siły niezrównoważone (residualne): R j = f t+ t f t+ t 0 f f f t+ t f t u t u 1 du 2 u t+ t R 1 f int,1 u K d = f t+ t fint t K - operator styczny Pierwsza iteracja: d 1 =K 1 0 (f t+ t fint) t σ 1 f t+ t int,1 f t+ t Poprawki: dd j+1 =K 1 j σ j+1 (f t+ t f t+ t +1 Kryterium zbieżności: f t+ t f t+ t f δ f t+ t ) Algorytm zmodyfikowany: K j = K 0

Schemat metody przyrostowo-iteracyjnej Konieczne poprawki iteracyjne celem osiągnięcia stanu równowagi w chwili t + t algorytm Newtona-Raphsona Siły niezrównoważone (residualne): R j = f t+ t f t+ t 0 f f f t+ t f t u t u 1 du 2 u t+ t R 1 f int,1 u K d = f t+ t fint t K - operator styczny Pierwsza iteracja: d 1 = K 1 0 (f t+ t σ 1 f t+ t int,1 Poprawki: dd j+1 =K 1 j σ j+1 f t+ t (f t+ t f t+ t +1 Kryterium zbieżności: f t+ t f t+ t f δ f t int,0) f t+ t ) Algorytm zmodyfikowany: K j = K 0 Schemat metody przyrostowo-iteracyjnej Konieczne poprawki iteracyjne celem osiągnięcia stanu równowagi w chwili t + t algorytm Newtona-Raphsona Siły niezrównoważone (residualne): R j = f t+ t f t+ t 0 f f f t+ t f t u t u 1 du 2 u t+ t R 1 f int,1 u K d = f t+ t fint t K - operator styczny Pierwsza iteracja: d 1 = K 1 0 (f t+ t f int,0 ) σ 1 f t+ t int,1 f t+ t Poprawki: dd j+1 =K 1 j σ j+1 (f t+ t f t+ t +1 Kryterium zbieżności: f t+ t f t+ t f δ f t+ t ) Algorytm zmodyfikowany: K j = K 0

Schemat metody przyrostowo-iteracyjnej Konieczne poprawki iteracyjne celem osiągnięcia stanu równowagi w chwili t + t algorytm Newtona-Raphsona Siły niezrównoważone (residualne): R j = f t+ t f t+ t 0 f f f t+ t f t u t u 1 du 2 u t+ t R 2 f int,2 u K d = f t+ t fint t K - operator styczny Pierwsza iteracja: d 1 = K 1 0 (f t+ t f int,0 ) σ 1 f t+ t int,1 f t+ t Poprawki: dd j+1 =K 1 j σ j+1 (f t+ t f t+ t +1 Kryterium zbieżności: f t+ t f t+ t f δ f t+ t ) Algorytm zmodyfikowany: K j = K 0 Sposoby przykładania przyrostów Sterowanie siłą lub przemieszczeniem Sterowanie parametrem łuku

Nieliniowość geometryczna x 2, X 2 φ(x, t) S 0 u V X V 0 x S Konfiguracja początkowa i aktualna x 1, X 1 Funkcja ruchu: x = φ(x, t) Wektor przemieszczenia: u(x, t) = x X Gradient deformacji (podstawowa miara deformacji): F = φ X = X x Tensor odkształcenia Greena (jedna z możliwych miar odkształcenia): E = 1 2 (FT F I) = 1 2 [ X u + ( X u) T + ( X u) T X u] Nieliniowość geometryczna Nieliniowe związki kinematyczne, np. ε x = ε L x + ε N x = u x + ( 1 w ) 2 2 x σ = σ( ɛ( u)) Równania równowagi opisują równowagę ciała zdeformowanego. Zasadę prac wirtualnych można zapisać w konfiguracji początkowej lub aktualnej. Różnym miarom odkształcenia odpowiadają różne miary naprężenia. Małe odkształcenia: E ɛ = 1 2 [ u + ( u)t ] < 2%. Małe przemieszczenia (uogólnione): V V 0 (jeden opis, zasada zesztywnienia).

Nieliniowość geometryczna Równowaga układu zdyskretyzowanego: K d = f t+ t f t int gdzie styczna macierz sztywności: K 0 - macierz sztywności liniowej K = K 0 + K u + K σ K u - macierz sztywności przemieszczeniowej (macierz dyskretnych związków kinematycznych B zależna od przemieszczeń) K σ - macierz sztywności naprężeniowej (zależna od naprężeń uogólnionych) Teoria umiarkowanie dużych ugięć Karmana [2] Dopuszczamy ugięcie rzędu grubości Odkształcenia powierzchni środkowej ε x = ε L x + ε N x = u x + ( 1 w ) 2 2 x ε y = ε L y + ε N y = v y + 1 2 ( w y ) 2 γ xy = γxy L + γxy N = u y + v x + w w x y Krzywizny i spaczenie jak w teorii liniowej κ x = κ L x = 2 w x, κ 2 y = κ L y = 2 w y, χ 2 xy = χ L xy = 2 2 w x y Układ dwu równań teorii Karmana płyt o umiarkowanie dużych ugięciach 2 2 F (x, y) + Eh 2 L(w, w) = 0 D m 2 2 w(x, y) L(w, F ) ˆp z = 0 gdzie: F (x, y) - funkcja naprężenia (n x = F,yy, n y = F,xx, n xy = F,xy ) L(a, b) = a,xx b,yy 2a,xy b,xy + a,yy b,xx

Teoria umiarkowanie dużych ugięć Aproksymacja MES Całkowita energia potencjalna (dodatkowa energia stanu tarczowego) Π m = U m + Ũn W m Dyskretyzacja u n = { u(x, y) v(x, y) Nieliniowe związki kinematyczne } = [ Nu 0 N v 0 ] { d n d m } w m = [w(x, y)] = [ 0 N w ] { d n d m } B (6 LSSE) = B L (6 LSSE) + BN (6 LSSE) B L (6 LSSE) = [ B n 0 0 B m ], B N (6 LSSE) = [ 0 B n w 0 0 ] Teoria umiarkowanie dużych ugięć Aproksymacja MES Macierze dyskretnych związków kinematycznych B n = N u,x N v,y N u,y + N v,x, B m = Gradienty ugięcia g = B n w = { w,x } = w,y w,x N w,x w,y N w,y w,x N w,y + w,y N w,x N w,xx N w,yy 2N w,xy [ ] Nw,x d m = G m d m N w,y

Teoria umiarkowanie dużych ugięć Aproksymacja MES Macierz styczna elementu k e T = ke 0 + ke u + k e σ k e 0 = k e σ = A e k e u = A e A e [ ] B nt D n B n 0 0 B mt D m B m da [ ] 0 B nt D n B n w B nt w D n B n da 0 ] [ da, S n nx n = xy [ 0 0 0 G mt S n G m Wektor sił węzłowych reprezentujących siły wewnętrzne [ ] [ fint e B nt 0 S n = A e B nt w B mt S m n xy ] da n y ] Płyta kwadratowa Umiarkowanie duże ugięcia y z, w C a a ˆp z Dane: L = L x = L y = 2a = 1.0 m h = 0.002 m E = 200000 MPa, ν = 0.25 x 0.30 0.15 Zależność ugięcia od obciążenia: ˆp z [kpa] MES (nieliniowość geometryczna) rozwiązanie liniowe: ˆpz L4 w C = 0.00406 D 0.001 0.002 0.003 w C [m]

Nieliniowość fizyczna K d = f t+ t Linearyzacja lewej strony w chwili czasu t: σ = ( ) σ t ( ɛ t ɛ u) u D = σ ɛ, L = ɛ u Dyskretyzacja: u = N d e f t int σ = σ( ɛ( u)) Liniowe związki geometryczne macierz dyskretnych związków kinematycznych B = LN niezależna od przemieszczeń Styczna macierz sztywności n e K = A e T B T D B dv A e V e e=1 Uplastycznienie materiału siła A B C P σ y - A σ y B σ y - - C + + + przemieszczenie σ y σ y σ y zakres sprężysty pełne uplastycznienie zakres sprężysty pełne uplastycznienie

Rysy dyskretne lub rozmazane (DIANA) Energia pękania G f (zużyta na powstanie jednostki powierzchni rysy) Symulacja zarysowania żelbetowej tarczy pakietem ATENA [3]

Nośność tarcz wieloprzęsłowych (DIANA) [4] Geometrycznie i materiałowo nieliniowa analiza [5] Schemat strategii obliczeniowej realizowanej na wielu poziomach: konstrukcji elementu skończonego warstwy punktu Uwzględnione efekty: śledzenie wytężenia w przekroju zarysowanie betonu sprężysto-plastyczne zbrojenie duże przemieszczenia i ich gradienty Cele: wyznaczenie ewolucji przemieszczeń określenie mechanizmu uszkodzenia oszacowanie nośności

Model powłoki żelbetowej Zdegenerowany element powłokowy 8-węzłowy (teoria Mindlina-Reissnera) Model warstwowy powłoki żelbetowej (5 warstw betonu, 4 warstwy stali reprezentujące 2 siatki zbrojenia) Model sprężysty z rozmazanym zarysowaniem dla warstwy betonu (osłabienie betonu, redukcja sztywności na ścinanie) Model sprężysto-plastyczny dla warstw stali Analiza numeryczna powłoki chłodni kominowej [5]

Analiza numeryczna powłoki chłodni kominowej Obciążenia chłodni: ciężar własny g wiatr w ssanie wewnętrzne s obciążenia termiczne osiadania podłoża Zależności λ w K otrzymane dwoma pakietami MES przy sterowaniu siłą lub przemieszczeniem dla obciążenia g + λ(w + s) Analiza numeryczna żelbetowej powłoki Wyniki analizy numerycznej powłoki z otworem technologicznym Deformacja Mapa warstwicowa membranowych sił południkowych

Analiza numeryczna żelbetowej powłoki Kierunki naprężeń głównych w warstwie zewnętrznej Wizualizacja rozmazanych rys Uszkodzona chłodnia kominowa [6]

Analizowane przypadki przy obciążeniu g + λ(w + s) chłodnia projektowana chłodnia wybudowana ze strefami słabego betonu (f cm =11 MPa) chłodnia z dwoma otworami obwodowymi (długości 25m i 14m) chłodnia naprawiona i wzmocniona (5cm zbrojonego torkretu w strefie 18-40m) Liniowe wyboczenie powłoki chłodni (DIANA) [7] Obciążenie Projektowana Skonstruowana Uszkodzona Naprawiona λg 25.52 22.22 18.59 19.11 λ(w + s) 13.15 14.72 6.24 20.71 λ(g + w + s) 11.29 11.39 5.49 20.84 Krytyczne mnożniki obciążenia λ 1 Forma wyboczenia dla powłoki uszkodzonej

Wyniki analizy nieliniowej [6] Błąd technologiczny nie miał znaczącego wpływu na doraźną nośność, lecz na trwałość konstrukcji (korozję zbrojenia, lokalne przeciążenia betonu). Predykcja stref zarysowania (DIANA) Strefy zarysowania wewnętrznej i zewnętrznej warstwy betonu dla λ = 3.2 (DIANA)

Model chłodni z otworem (DIANA) Obliczenia nie spełniają kryterium zbieżności już dla λ 1.0 - potrzebne adaptacyjne zagęszczenie siatki i bardziej stabilny model materiału. Uwagi końcowe 1. W modelowaniu efektów nieliniowych dominuje modelowanie 3D. 2. Konsystentna linearyzacja równań zapewnia kwadratową zbieżność procedury Newtona-Raphsona. 3. Dla poprawy jakości aproksymacji MES wskazane jest adaptacyjne zagęszczanie siatki na podstawie oszacowania błędu dyskretyzacji. 4. W projektowaniu akceptuje się zazwyczaj połączenie liniowo sprężystych obliczeń statycznych celem wyznaczenia naprężeń (sił przekrojowych) z analizą stanów granicznych uwzględniających uplastycznienie lub zarysowanie. 5. W obliczeniach nieliniowych szacuje się mnożnik obciążenia, przy którym następuje uszkodzenie/zniszczenie/utrata stateczności konstrukcji - ma on interpretację globalnego współczynnika bezpieczeństwa, więc obliczenia powinno się prowadzić dla średnich wartości obciążeń i wytrzymałości.

Literatura [1] R. de Borst and L.J. Sluys. Computational Methods in Nonlinear Solid Mechanics. Lecture notes, Delft University of Technology, 1999. [2] M. Radwańska. Ustroje powierzchniowe, podstawy teoretyczne oraz rozwiązania analityczne i numeryczne. Wydawnictwo PK, Kraków, 2009. [3] M. Kwasek Advanced static analysis and design of reinforced concrete deep beams. Diploma work, Politechnika Krakowska, 2004. [4] M. Asin The behaviour of reinforced concrete continuous deep beams. PhD Thesis, Delft University of Technology, 2000. [5] Z. Waszczyszyn, E. Pabisek, J. Pamin, M. Radwańska. Nonlinear analysis of a RC cooling tower with geometrical imperfections and a technological cut-out. Engineering Structures, 2, 480-489, 2000. [6] A. Moroński. Analiza zarysowania i utraty stateczności uszkodzonej powłoki żelbetowej chłodni kominowej. Praca dyplomowa, Politechnika Krakowska, Kraków, 1996. [7] A. Moroński, J. Pamin, M. Płachecki, Z. Waszczyszyn. Fracture and loss of stability of a partly-damaged cooling tower shell. Proc. 2nd Int. DIANA Conf. on Finite Elements in Engineering and Science, Eds M.A.N. Hendriks et al, 107-110, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 1997.