DOWODY NIERÓWNOŚCI HÖLDERA I MINKOWSKIEGO (DO UŻYTKU WEWNȨTRZNEGO I DO SPRAWDZENIA) R R Tematem niniejszych notatek jest zbadanie warunków istnienia normy na ewnej rzestrzeni funkcji rzeczywistych określonych na rzestrzeni z miara ( F σ µ). Bȩdziemy siȩ oto zajmować klasami [ f ] µ funkcji (rzeczywistych) Σ- mierzalnych f : R wzglȩdem relacji równoważności f µ g µ (( ( f g) ({0}) ) c) = 0 o własności dµ f < <. Przestrzeń takich klas oznaczamy symbolem L ( Σ µ) lub L ( dµ) i określamy mianem rzestrzeni (klas) funkcji Lebesgue a klasy. W dalszej czȩści notatek bȩdziemy badać własności odwzorowania L ( Σ µ) R : [ f ] µ ( dµ f ) =: [ f ] µ. Tw.. [Nierówność Höldera] Niechaj [ f ] µ L ( Σ µ) i [g] µ L ( Σ µ) rzy czym liczby i sa hoelderowsko srzȩżone tj. sełniaja relacjȩ + =. Wówczas f g L ( Σ µ) i zachodzi nierówność [ f g] µ [ f ] µ [g] µ. Dowód: Dowód nierówności Höldera zasadza siȩ na nastȩuja cym lemacie. Lemat. [Nierówność Younga] Niechaj A B R 0 i R >0 bȩda hoelderowsko srzȩżone. Wówczas zachodzi nierówność AB A + B rzy czym nierówność jest wysycona wtedy i tylko wtedy gdy jest sełniony
warunek A = B. Dowód lematu: Ilekroć A = 0 lub B = 0 lemat trywializuje siȩ bȩdziemy go rzeto dowodzić dla A B R >0. Wybierzmy (dowolnie) α ]0 [ i rozważmy funkcjȩ ϕ(t) := αt t α określona dla t > 0. Jako że ϕ (t) = α αt α α ( t α ) wiȩc też < 0 gdy 0 < t < ϕ (t) = 0 gdy t = > 0 gdy t > a sta d ϕ(t) ϕ() oraz ( ϕ(t) = ϕ() t = ). Jest zatem αt t α = ϕ(t) ϕ() = α t α = αt + ( α) t =. Zaiszmy t [0 [ w ostaci ilorazu t = a b ewnych dodatnich liczb a b R >0. Powyższy wynik możemy teraz rzeisać w ostaci a α b α αa + ( α) b a α b α = αa + ( α) b a = b. Zdefiniujmy = ] [ i dobierzmy hölderowsko srzȩżone (= ) a α α wtedy owyższa nierówność rzyjmie ostać a b a + b. Oznaczaja c A := a i B := b dostajemy ża dana nierówność warunek zaś konieczny i wystarczaja cy jej wysycenia jest jak w treści lematu. Wracamy teraz do dowodu twierdzenia. Po ierwsze zauważamy że [ f ] µ = 0 imlikuje f = 0 µ-rawie wszȩdzie a wtedy także f g = 0 µ-rawie 2
wszȩdzie czyli też [ f g] µ = 0. Dowodzona nierówność trywializuje siȩ w tym rzyadku i analogiczne to samo dotyczy sytuacji w której [g] µ = 0. Bȩdziemy wiȩc odta d zakładać że [ f ] µ [g] µ 0. Skoro jednak zarówno f jak i g sa Σ-mierzalne to tȩ własność ma także f g co wynika z tożsamości f g = 4 [( f + g)2 ( f g) 2 ] oraz z rostego Lematu 2.6 dowiedzionego w [Bar95]. Skoro jednak funkcja f g jest Σ-mierzalna to ozostaje okazać że jej moduł jest funkcja całkowalna i na koniec udowodnić nierówność wyisana w treści twierdzenia. Połóżmy A := f (x) [ f ] B := g(x) [g] a wtedy wykazana wcześniej nierówność Younga rzybierze ostać f (x) g(x) [ f ] µ [g] µ f (x) [ f ] µ + g(x) [g] µ. Prawa strona owyższej nierówności jest całkowalna (z założenia) a to ocia ga za soba (w świetle lematu dowodzonego na ćwiczeniach) także ca lkowalność strony lewej. Sta d całkowalna jest również funkcja f g (na mocy twierdzenia dowiedzionego na ćwiczeniach). Przy tym zachodzi dµ f (x) g(x) [ f ] µ [g] µ = f (x) g(x) f (x) dµ dµ [ f ] µ [g] µ [ f ] µ dµ f (x) dµ g(x) [ f ] µ + [g] µ = + = + g(x) [g] µ co odtwarza ża dana nierówność i tym samym kończy dowód twierdzenia. Korolarium. [Nierówność Cauchy ego Bunyakovski ego Schwarza] Dla dowolnych f g L 2 ( Σ µ) zachodzi dµ f g(x) dµ f g(x) [ f ] µ 2 [g] µ 2. Nierówność Höldera okazuje siȩ być omocna rzy dowodzeniu istotnego Tw. 2. [Nierówność Minkowskiego] Niechaj [ f ] µ [g] µ L ( Σ µ). Wówczas także [ f + g] µ L ( Σ µ) i sełniona jest nierówność f + g f + g. Dowód: Przede wszystkim należy zauważyć że Σ-mierzalność funkcji f i g ocia ga za soba natychmiast Σ-mierzalność ich sumy a to na mocy wcześniej cytowanego Lematu 2.6. z [Bar95]. Zachodzi także 3
f + g ( 2 max{ f g } ) 2 ( max{ f g } ) 2 ( f + g ) co okazuje iż [ f + g] µ L ( Σ µ). Rozatrzymy najierw oddzielnie rzyadek =. Wobec monotoniczności całki Lebesgue a (dowodzonej na ćwiczeniach) oraz jej liniowości stwierdzamy [ f + g] µ = dµ ( f + g)(x) = [ f ] µ + [g] µ dµ ( f (x) + g(x) ) = dµ f (x) + dµ g(x) co jest treścia twierdzenia. Pozostaje wykazać nierówność w rzyadku >. Sełnione sa oczywiste relacje f + g f + g f + g ( f + g ) f + g f f + g + g f + g. Przyjrzymy siȩ uważniej każdemu ze składników o rawej stronie ostatniej równości z osobna. Po ierwsze skoro [ f + g] µ L ( Σ µ) to oczywiście [ f + g ] µ L ( Σ µ) a onieważ = ( ) rzeto [ f + g ] µ L ( Σ µ). Możemy zatem zastosować nierówność Höldera jak nastȩuje: dµ f f + g [ f ] µ ( [ f ] µ [ f + g] µ. dµ f + g ( ) ) [ f ] µ ( ) dµ f + g Analogicznie dowodzimy słuszności relacji dµ g f + g [g] µ [ f + g] µ co w oła czeniu z wcześniejszymi wynikami rowadzi do [ f + g] µ dµ f + g dµ f f + g + ( [ f ] µ + [g] µ ) [ f + g]µ. dµ g f + g Jeśli teraz [ f +g] µ = 0 to nierówność Minkowskiego jest trywialnie sełniona bo [ f ] µ [g] µ 0. W rzyadku rzeciwnym [ f + g] µ 0 możemy odzielić obie strony owyższej nierówności rzez [ f + g] µ a wtedy dostajemy ża dana nierówność 4
[ f ] µ + [g] µ [ f + g] µ [ f + g] µ. Wniosek: (który wymaga jeszcze kilku dowodów rzedstawionych bez wa tienia na wykładzie) ( L ( Σ µ) ) jest rzestrzenia R-liniowa z norma. Literatura [Bar95] R.G. Bartle The Elements of Integration and Lebesgue Measure Wiley Interscience 995. Warszawa. maja 20 r. 5