WERYFIKACJA EKONOMETRYCZNA MODELU CAPM II RODZAJU DLA RÓŻNYCH HORYZONTÓW STÓP ZWROTU I PORTFELI RYNKOWYCH

SCRIPTA COMENIANA LESNENSIA PWSZ m. J. A. Komeńskego w Leszne R o k 0 0 8, n r 6 TOMASZ ŚWIST* WERYFIKACJA EKONOMETRYCZNA MODELU CAPM II RODZAJU DLA RÓŻNYCH HORYZONTÓW STÓP ZWROTU I PORTFELI RYNKOWYCH ECONOMETRIC VERIFICATION OF CAPM MODEL OF THE II KIND FOR VARIOUS HORIZONS OF RATES OF RETURN AND MARKET PORTFOLIOS Słowa kluczowe: arytmetyczny pseudogeometryczny ruch Browna, model CAPM I II rodzaju, regresja, współczynnk determnacj. Key words: arthmetc and pseudogeometrc Brownan movement, CAPM of I and II knd, regresson, determnaton coeffcent Streszczene. Artykuł porusza problematykę modelowana ewolucj wartośc aktywów kaptałowych za pomocą procesów stochastycznych. W częśc teoretycznej przedstawono ops model będących teoretyczną podstawą przeprowadzonych badań. Część empryczna skupa sę na analze porównawczej model CAPM I II rodzaju. Zaprezentowane badana dotyczą polskego rynku kaptałowego zostały przeprowadzone dla różnych horyzontów stóp zwrotu portfel rynkowych. Analza otrzymanych wynków stanow przesłankę do wysunęca hpotezy, że model CAPM II rodzaju stanow efektywnejsze narzędze zarządzana ryzykem krótkotermnowej stopy zwrotu. Abstract. The artcle descrbes the problems of modelng of evoluton of the value of captal actves usng stochastc processes. In the theoretcal part, the models consttutng theoretcal bass of the research were presented. The emprcal part s focused on comparatve analyss of CAPM model of the I and II knd. Presented research concerns Polsh captal market and was * Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa m. J. A. Komeńskego w Leszne, Instytut Ekonom Zarządzana.

166 T. ŚWIST Weryfkacja ekonometryczna modelu CAPM II rodzaju dla różnych horyzontów... prepared for varous horzons of rates of return and market portfolos. The analyss of the research results leads to the hypothess that CAPM model of the II knd s a more effectve nstrument of managng the rsk of short-term rate of return. WSTĘP INTRODUCTION Na podstawe wynków formalnych otrzymanych przez K. Paseckego [004] podejmujących problem modelowana ewolucj wartośc aktywów kaptałowych za pomocą procesów stochastycznych otrzymano podstawy teoretyczne do podjęca trudów ekonometrycznej weryfkacj modelu CAPM II rodzaju wcześnej zaprezentowanego przez T. Śwsta [005, 37 43] jako mcapm. Rezultaty plotażowych badań emprycznych zameszczonych w [Śwst 005, 37 43] stanową przesłankę do wysunęca hpotezy, że model CAPM II rodzaju może w lepszym stopnu wyjaśnać dynamkę zmennośc stóp zwrotu. Operając sę na polskm rynku fnansowym, przeprowadzono analzę pozwalająca na ocenę porównawczą wspomnanego modelu z zaproponowanym przez Sharpe a, Lntnera Mossna [por. Elton Gruber 1998, 351 370]. Nnejsza praca jest zarówno poszerzenem zakresu badań przedstawonych we wskazanej wyżej pracy [Śwst 005] jak kolejnym krokem do znalezena odpowedz, który z model wernej oddaje obraz rynku. Opracowane powstało pod kerunkem prof. dr. hab. Krzysztofa Paseckego w ramach semnarum doktoranckego prowadzonego w Pracown Zastosowań Matematyk w Zarządzanu AE w Poznanu. 1. OPIS ARYTMETYCZNEGO I PSEUDOGEOMETRYCZNEGO 1. RUCHU BROWNA 1. DESCRIPTION OF PSEUDOGEOMETRIC BROWNIAN MOMENT Problem formowana ewolucj wartośc kaptałowych za pomocą procesów stochastycznych jest obecne szeroko dyskutowany w nurce lteratury badawczej zajmującej sę zagadnenam loścowym na rynkach kaptałowych. Jednym z ważnejszych model teoretycznych dotyczących opsu ewolucj wartośc aktywów kaptałowych jest stacjonarny ruch Browna, jednakże ze względu na właścwośc jest on mnej użyteczny w proflowanu stochastycznych procesów fnansowych nż jego modyfkacje. W myśl wspomnanych nedogodnośc wprowadzono pewne jego uogólnene do procesu losowego nazwanego ruchem Browna, który może być opsany za pomocą stochastycznego równana różnczkowego postac: dx ~ =, (1) () t µ ( X () t, t) dt + σ( X ( t), t) dw ( t) X () 0 = X 0, ()

SCRIPTA COMENIANA LESNENSIA NR 6 167 gdze poszczególne symbole oznaczają: µ ( X () t, t) współczynnk przesunęca (dryfu), σ ( X () t, t) współczynnk zmennośc, W ~ () t standardowy proces Wenera, X 0 zadana wartość początkowa procesu. Zakładając, że współczynnk dryfu zmennośc są stałe: ( X () t, t) µ X 0 µ =, (3) ( X () t, t ) = σ X 0 > 0 σ (4) otrzymujemy w konsekwencj arytmetyczny ruch Browna opsany równanem () oraz zależnoścą: dx ~ =. (5) () t µ X dt + σ X dw () t 0 W tym przypadku, oczekwana stopa zwrotu z każdego efektywnego nstrumentu fnansowego jest wyrażona za pomocą modelu CAPM I rodzaju opsanego późnej równanem (9). Zakładając, że współczynnk dryfu zmennośc są wprost proporcjonalne do wartośc oczekwanej E( X () t ) procesu losowego: ( X () t t) = µ E( X ( t) ) 0 µ,, (6) ( X () t, t) = σ E( X ( t) ) > 0 σ (7) otrzymujemy zaproponowany przez K. Paseckego [00, 39 5] pseudogeometryczny ruch Browna opsany za pomocą równana stochastycznego () zależnoścą: dx ~ =. (8) () t µ E( X () t ) dt + σ E( X ( t) ) dw ( t) W [Paseck 004] dowedzono, że w tym przypadku oczekwana stopa zwrotu z każdego efektywnego nstrumentu fnansowego jest wyrażona za pomocą modelu CAPM II rodzaju opsanego późnej równanem (11).

168 T. ŚWIST Weryfkacja ekonometryczna modelu CAPM II rodzaju dla różnych horyzontów.... METODOLOGIA PRZEPROWADZONEJ ANALIZY. PORÓWNAWCZEJ. METHODOLOGY OF COMPARATIVE ANALYSIS Model CAPM I rodzaju zaproponowany przez Sharpe a, Lntnera Mossna opsany jest za pomocą zależnośc: E r ) r = β [ E( r ) r ], (9) ( f m f gdze poszczególne symbole oznaczają: r stopa zwrotu z nstrumentu fnansowego, r m stopa zwrotu z portfela rynkowego, r f stopa zwrotu z nstrumentu wolnego od ryzyka. Stosując metodę najmnejszych kwadratów otrzymano wartośc estymatorów współczynnka β dla poszczególnych spółek rozważając różne horyzonty stóp zwrotu oraz portfele rynkowe. Dla każdego rozpatrywanego przypadku określono dopasowane regresj wykorzystując współczynnk determnacj opsany zależnoścą: R n j = 1 = n ( β ) ( j) ( j ) ( r rˆ ) ( j) ( r r ) j = 1, (10) gdze poszczególne symbole oznaczają: ( j ) r obserwowana stopa zwrotu z akcj -tej spółk w j-tym okrese, ( j ) rˆ estymowana za pomocą modelu CAPM I rodzaju stopa zwrotu z akcj -tej spółk w j-tym okrese, r przecętna stopa zwrotu z akcj -tej spółk wyznaczona dla całego okresu badana. Konsekwencją zapoczątkowanych w [Paseck 00] [Paseck Klber 000] rozważań teoretycznych jest przedstawony w [Paseck 004] model CAPM II rodzaju opsany za pomocą zależnośc: 1+ rf 1+ rf κ 1 = 1 E(1 rm ), (11) + E(1 + r ) gdze poszczególnym symbolom przypsano take samo znaczene, jak w przypadku zależnośc (9).

SCRIPTA COMENIANA LESNENSIA NR 6 169 Stosując analogczny aparat aproksymacyjny otrzymano wartośc estymatorów współczynnka κ dla badanych spółek przeprowadzono analzę dopasowana modelu wykorzystując współczynnk determnacj określony zależnoścą: R n j = 1 = n ( κ ) ( j ) ( j ) ( r ~ r ) ( j) ( r r ) j = 1, (11) gdze: ( j ) r obserwowana stopa zwrotu z akcj -tej spółk w j-tym okrese, ( j ) r~ wyznaczona za pomocą modelu CAPM II rodzaju oczekwana stopa zwrotu z akcj -tej spółk w j-tym okrese, r przecętna stopa zwrotu z akcj -tej spółk wyznaczona dla całego okresu badana. 3. SPECYFIKACJA ZAŁOŻEŃ BADAŃ EMPIRYCZNYCH 3. SPECIFICATION OF EMPIRICAL RESEARCH HYPOTHESIS Operając sę na polskm rynku kaptałowym przeprowadzono analzę porównawczą model CAPM I II rodzaju. Jako podstawę tej analzy przyjęto następujące założena: za portfele rynkowe przyjęto ndeksy WIG, WIG0 oraz MIDWIG, analzę przeprowadzono dla spółek wchodzących w skład ndeksów WIG0 oraz MIDWIG w dnu 8.03.005, z analzy usunęto spółk, których notowana ne były cągłe, za stopę wolną od ryzyka przyjęto rentowność 5-tygodnowych bonów skarbowych (w przypadku braku notowań przyjęto rentowność za okres poprzedn), analza obejmuje okres 0.01.001 8.03.005. Rezultaty przeprowadzonej analzy porównawczej przedstawono w Tabelach 1 6. Zaznaczono w nch pogrubonym drukem te wartośc współczynnków determnacj R ( κ ) wyznaczonych dla modelu CAPM II rodzaju, które są ne mnejsze od wartośc współczynnków R ( β ) wyznaczonych dla odpowednch model CAPM I rodzaju.

170 T. ŚWIST Weryfkacja ekonometryczna modelu CAPM II rodzaju dla różnych horyzontów...

SCRIPTA COMENIANA LESNENSIA NR 6 171

176 T. ŚWIST Weryfkacja ekonometryczna modelu CAPM II rodzaju dla różnych horyzontów... PODSUMOWANIE CONCLUSIONS Operając sę na powyższym materale emprycznym opracowano zestawene zborcze lośc przypadków, dla których R ( κ ) R ( β ). W tabel 7 przedstawono wynk analzy porównawczej dla spółek wchodzących w skład ndeksu WIG0, Tabela 8 zawera natomast zestawene dla spółek będących składnkam ndeksu MIDWIG. Tab. 7. Zestawene zborcze dla spółek wchodzących w skład ndeksu WIG0 Tab. 7. Summary lst for the companes from Warsaw Stock Exchange Index 0 PORTFEL RYNKOWY STOPA ZWROTU DZIENNA TYGODNIOWA MIESIĘCZNA KWARTALNA WIG 1 1 3 4 WIG0 9 9 4 4 MIDWIG 1 4 7 Tab. 8. Zestawene zborcze dla spółek wchodzących w skład ndeksu MIDWIG Tab. 8. Summary lst for the companes from Warsaw Stock Exchange Index MIDWIG PORTFEL RYNKOWY STOPA ZWROTU DZIENNA TYGODNIOWA MIESIĘCZNA KWARTALNA WIG 11 7 5 6 WIG0 11 8 7 5 MIDWIG 7 6 6 3 Wynk przeprowadzonych badań emprycznych podtrzymują wysunętą w [Śwst 005] hpotezę, że model CAPM II rodzaju w lepszym stopnu wyjaśna zmenność stopy zwrotu w przypadku krótkego (dzennego tygodnowego) horyzontu nwestycyjnego w szczególnośc dla portfel rynkowych WIG WIG0. Obecne koneczna jest weryfkacja wysunętej hpotezy już ne tylko na polskm rynku akcj bonów skarbowych. Obszar tych badań pownen być teraz reprezentatywny dla pełnego spektrum rynku kaptałowego. Do tej pory stosowano jedyne proste kryterum aproksymacyjne, teraz nezbędne jest także użyce bardzej wnklwych narzędz analzy statystycznej ekonometrycznej. Przedstawone w tym artykule wynk należy traktować jako uzasadnene podjęca dalszych badań, które wykażą ostateczne model wernej oddający obraz rynku.

SCRIPTA COMENIANA LESNENSIA NR 6 177 LITERATURA BIBLIOGRAPHY ELTON E. J., GRUBER M. J., 1998, Nowoczesna teora portfelowa analza paperów wartoścowych, WIG-Press, Warszawa. PIASECKI K., 00, Propozycje składnków portfela fnansowych składnków losowych, [w:] Ignasak E. (red.), Optymalzacja decyzj, symulacja prognozowane procesów gospodarczych, Zeszyty Naukowe AE 1, Wydawnctwo AE w Poznanu, Poznań. PIASECKI K., 004 Model CAPM dla portfela pseudogeometrycznych ruchów Browna, [w:] Panek E. (red.), Matematyka w ekonom, Zeszyty Naukowe AE, Wydawnctwo AE w Poznanu, Poznań. PIASECKI K., KLIBER P., 000, O portfelu procesów losowych, [w:] Tarczyńsk W. (red.), Rynek Kaptałowy skuteczne nwestowane, Wydawnctwo Naukowe Unwersytetu Szczecńskego, Szczecn. ŚWIST T., 005, Weryfkacja ekonometryczna modelu wyceny aktywów kaptałowych dla portfela pseudogeometrycznych ruchów Browna, [w:] Paseck K., Skora W. (red.), Z prac Katedry Badań Operacyjnych, Zeszyty Naukowe AE 6, Wydawnctwo AE w Poznanu, Poznań. WERON A., WERON R., 1998, Inżynera fnansowa, WNT, Warszawa.