Inwestycje finansowe i ubezpieczenia tendencje światowe a rynek polski

Transkrypt

1 PRACE NAUKOWE Unwersytetu Ekonomcznego we Wrocławu RESEARCH PAPERS of Wrocław Unversty of Economcs 323 Inwestycje fnansowe ubezpeczena tendencje śwatowe a rynek polsk Redaktorzy naukow Krzysztof Jajuga Wanda Ronka-Chmelowec Wydawnctwo Unwersytetu Ekonomcznego we Wrocławu Wrocław 2013

2 Redaktor Wydawnctwa: Agneszka Flasńska Redaktor technczny: Barbara Łopusewcz Korektor: Barbara Cbs Łamane: Małgorzata Czupryńska Projekt okładk: Beata Dębska Publkacja jest dostępna w Internece na stronach: w Dolnośląskej Bblotece Cyfrowej The Central and Eastern European Onlne Lbrary a także w adnotowanej bblograf zagadneń ekonomcznych BazEkon Informacje o naborze artykułów zasadach recenzowana znajdują sę na strone nternetowej Wydawnctwa Kopowane powelane w jakejkolwek forme wymaga psemnej zgody Wydawcy Copyrght by Unwersytet Ekonomczny we Wrocławu Wrocław 2013 ISSN ISBN Wersja perwotna: publkacja drukowana Druk: Drukarna TOTEM

3 Sps treśc Wstęp Adam Adamczyk: Pozom wewnętrznych źródeł fnansowana jako determnanta nwestycj w dzałalność B + R przedsęborstw Roman Asynger: Ekonomczne prawne aspekty neprawdłowośc funkcjonowana rynku NewConnect. Ocena propozycje zman Jacek Bałek: Zastosowane autorskego ndeksu wydajnośc pracy do analzy dynamk cen jednostek rozrachunkowych OFE Magdalena Chmelowec-Lewczuk: Zrównoważona Karta Wynków w zakładze ubezpeczeń Dawd Dawdowcz: Ocena efektywnośc nowych pozostałych funduszy nwestycyjnych akcj polskch w latach Ewa Dzwok: Weryfkacja model krzywej dochodowośc na podstawe metod dynamcznych Krzysztof Echaust: Zwroty dzenne a zwroty nocne porównane wybranych własnośc na przykładze kontraktów futures notowanych na GPW w Warszawe Urszula Gerałtowska: Inwestowane w metale szlachetne jako alternatywna forma lokowana kaptału Paweł Klber: Spread WIBOR-OIS jako mara ryzyka kredytowego prem płynnoścowej Karol Marek Klmczak: Struktura autoregresyjna zysku rezydualnego spółek z Polsk, Nemec Francj Anna Korzenowska: Wybrane problemy rynku fnansowego wynkające z sytuacj na rynku oszczędnośc gospodarstw domowych Meczysław Kowersk: Caterngowa teora dywdend Marzena Krawczyk: Adekwatność oferty nstytucj rynku fnansowego do potrzeb kaptałowych MŚP Paweł Kufel, Magdalena Mosonek-Schweda: Wpływ dośwadczena gełdowego na koszt pozyskwana kaptału na rynku Catalyst Robert Kurek: Ewolucja konwergencj regulacj sposobów nadzorowana na rynku ubezpeczenowym UE Sebastan Majewsk, Marusz Doszyń: Efekty wpływu czynnków behaworalnych na stopy zwrotu z akcj spółek sektora budowlanego notowanych na GPW w Warszawe

4 6 Sps treśc Sebastan Majewsk: Behaworalny portfel według Maslowa analza symulacyjna Marta Małecka: Metody oceny jakośc prognoz ryzyka rynkowego analza porównawcza Aleksander R. Merck: Wykorzystane rozkładu t-studenta do szacowana wartośc zagrożonej Artur Mkulec: Znormalzowany względem czasu τ wskaźnk Calmara jego zastosowane w analze efektywnośc nwestycj portfelowych Wojcech Msterek: Barery w zakrese pozyskana zewnętrznych źródeł fnansowana na realzacje projektów nnowacyjnych przedsęborstw Paweł Nszczota: Wpływ języka raportowana na płynność spółek zagrancznych notowanych na GPW Dorota Pekasewcz: Wyznaczane współczynnka bezpeczeństwa na podstawe kwantyla rozkładu sumy roszczeń w portfelu ubezpeczeń komunkacyjnych Agneszka Perepeczo: Reakcja akcjonaruszy na decyzje o wypłace dywdendy w spółkach publcznych wynk badań emprycznych Tomasz Psula: Metodyczne aspekty zastosowana model skorngowych do oceny zdolnośc kredytowej z wykorzystanem metod loścowych Paweł Porcenaluk: Analza wybranych mar ryzyka płynnośc dla akcj notowanych na GPW w Warszawe w latach Marcn Salamaga: Zastosowane metody średnej kroczącej do badana zyskownośc nwestycj na polskm rynku kaptałowym Rafał Sedleck: Prognozowane trudnośc fnansowych przedsęborstw z wykorzystanem mary rozwoju Hellwga Anna Sroczyńska-Baron: Możlwośc aplkacyjne ger mnejszoścowych na Gełdze Paperów Wartoścowych Mchał Stachura, Barbara Wodecka: Asymetra w ujęcu Boshnakova propozycja metody szacowana mar asymetr z próby Potr Staszkewcz: Verfcaton of the dsclosure lemma appled to the model for reputaton rsk for subsdares of non-publc group wth recprocal shareholdng on the Polsh broker-dealers market Anna Szymańska: Bayesowske szacowane stawek składk w ubezpeczenach komunkacyjnych z wybranym funkcjam straty Jacek Welc: Prognozowana dynamka zysków spółek a obcążene błędów prognoz dośwadczena polske Jerzy Węcławsk: Pożyczk hybrydowe jako alternatywna forma fnansowana przedsęborstw Ryszard Węgrzyn: Analza wrażlwośc zmennośc mplkowanej względem nstrumentu podstawowego opcj podejśce dynamczne Stansław Weteska: Obcążena obektów budowlanych śnegem jako element ryzyka w ubezpeczenach majątkowo-osobowych w Polskm obszarze klmatycznym

5 Sps treśc 7 Zuzanna Wośko: Odporność sektora bankowego w Polsce na szok zewnętrzne w kontekśce ryzyka kredytowego. Badane zależnośc mędzy zmennym makroekonomcznym Anna Zamojska: Wskaźnk Sharpe a w teor w praktyce Aneta Zglńska-Petrzak: Bootstrapowe prognozy zmennośc stóp zwrotu na podstawe modelu GARCH Monka Zelńska-Stkewcz: Ocena kondycj rynku neruchomośc meszkanowych na podstawe badana danych z raportów fnansowych frm deweloperskch Summares Adam Adamczyk: The level of nternal sources of fnance as a determnant of nvestment n R & D of enterprses Roman Asynger: Economc and legal aspects of rregulartes n the functonng of the NewConnect market. Assessment and suggestons for changes Jacek Bałek: Applcaton of the orgnal ndex of labour productvty n the analyss of open penson funds unts dynamcs Magdalena Chmelowec-Lewczuk: Balanced Scorecard n nsurance company Dawd Dawdowcz: Evaluaton of effcency of new Polsh equty nvestment funds n comparson to the other nvestment funds n the perod Ewa Dzwok: Yeld curve verfcaton based on the correlaton surface method Krzysztof Echaust: Traded perod returns and non-traded perod returns comparson of selected propertes on the bass of futures contracts quoted on Warsaw Stock Exchange Urszula Gerałtowska: Investng n precous metals as an alternatve form of captal nvestment Paweł Klber: WIBOR-OIS spread as a measure of lqudty and default rsk. 111 Karol Marek Klmczak: Autoregressve structure of resdual ncome of Polsh, French and German frms Anna Korzenowska: Selected problems of fnancal market resultng from the stuaton on household savngs market Meczysław Kowersk: Caterng theory of dvdends Marzena Krawczyk: Adequacy of the offer gven by fnancal market nsttuton to captal needs of SMEs Paweł Kufel, Magdalena Mosonek-Schweda: The mpact of the stock-market experence on the cost of captal ganed on the Catalyst market

6 8 Sps treśc Robert Kurek: The evoluton n convergence of supervson regulatons and methods on the European Unon nsurance market Sebastan Majewsk, Marusz Doszyń: The effects of mpact of behavoural factors on the rate of return of constructon companes stocks lsted on the Warsaw Stock Exchange Sebastan Majewsk: Behavoural portfolo accordng to Maslov smulaton analyss Marta Małecka: Methods for evaluatng Value-at-Rsk forecasts comparatve analyss Aleksander R. Merck: Usng the Student s t dstrbuton n Value-at-Rsk estmaton Artur Mkulec: Tau-normalzed-Calmar rato and ts applcaton n the analyss of portfolo nvestment effcency Wojcech Msterek: Barrers n obtanng external fundng to the realzaton of nnovatve projects n companes Paweł Nszczota: The language used n flngs and the tradng actvty of foregn companes lsted on the Warsaw Stock Exchange Dorota Pekasewcz: Determnaton of the safety factor based on quantle of the sum of clams dstrbuton n the portfolo of automoble nsurance Agneszka Perepeczo: Market reactons to dvdend announcements n publc companes emprcal evdence Tomasz Psula: Methodologcal aspects of the applcaton of credt scorng models to assess the credtworthness wth the use of quanttatve methods. 288 Paweł Porcenaluk: The analyss of the selected lqudty rsk measures for stocks lsted on the Warsaw Stock Exchange n perod Marcn Salamaga: An applcaton of movng average rules for testng the proftablty of Polsh stock market Rafał Sedleck: Forecastng fnancal problems of companes based on Hellwg measurement of development Anna Sroczyńska-Baron: The applcaton of the mnorty games and gamblng on the stock exchange Mchał Stachura, Barbara Wodecka: Boshnakov s approach to asymmetry proposal of estmaton of sample asymmetry measures Potr Staszkewcz: Weryfkacja lematu ujawnena dla modelu ryzyka reputacj nepublcznych grup kaptałowych z powązanam wzajemnym na polskm rynku frm nwestycyjnych Anna Szymańska: Bayesan estmaton of premum rates n motor nsurance wth selected loss functons Jacek Welc: Forecasted earnngs growth of companes and earnngs forecast bas Polsh experence Jerzy Węcławsk: Hybrd loans as an alternatve form of corporate fnance

7 Sps treśc 9 Ryszard Węgrzyn: Analyss of the senstvty of mpled volatlty to the underlyng nstrument of opton a dynamc approach Stansław Weteska: Overload of roofs of buldngs wth snow as an element of rsk n property nsurance n the Polsh clmate area Zuzanna Wośko: Reslence of the Polsh bankng sector to external shocks n the context of credt rsk. Analyss of the relatonshp between macroeconomc varables Anna Zamojska: Sharpe rato theory and practce Aneta Zglńska-Petrzak: Bootstrap predctons of returns for GARCH processes Monka Zelńska-Stkewcz: Assessment of the condton of the Polsh real estate market based on the data analyss from the fnancal statements of developers

8 PRACE NAUKOWE UNIWERSYTETU EKONOMICZNEGO WE WROCŁAWIU nr 207 RESEARCH PAPERS OF WROCŁAW UNIVERSITY OF ECONOMICS nr Inwestycje fnansowe ubezpeczena tendencje śwatowe a rynek polsk ISSN Artur Mkulec Unwersytet Łódzk ZNORMALIZOWANY WZGLĘDEM CZASU Τ WSKAŹNIK CALMARA I JEGO ZASTOSOWANIE W ANALIZIE EFEKTYWNOŚCI INWESTYCJI PORTFELOWYCH Streszczene: Znormalzowany względem czasu τ wskaźnk Calmara należy do wskaźnków zysków strat opartych na maksymalnym spadku stopy zwrotu. W porównanu z prostym wskaźnkam zysków strat Calmara, Sterlnga Burke a umożlwa jednak porównane ocenę wynków portfel nwestycyjnych: pochodzących z różnych okresów; gdy dane na temat wartośc średnej odchylena standardowego stopy zwrotu analzowanych portfel nwestycyjnych (lub ch wskaźnk Sharpe a) zostały zannualzowane lub gdy klasyczne wskaźnk Calmara dla porównywanych portfel nwestycyjnych zostały podane dla różnych okresów. W referace przedstawona została metoda oblczana znormalzowanego względem czasu wskaźnka Calmara wraz z empryczną analzą efektywnośc nwestycj Otwartych Funduszy Emerytalnych w latach z wykorzystanem tego wskaźnka. Słowa kluczowe: maksymalny spadek, znormalzowany względem czasu τ wskaźnk Calmara, efektywność nwestycj portfelowych, otwarte fundusze emerytalne. 1. Wstęp W lteraturze znanych jest wele metod oceny efektywnośc nwestycj portfelowych. W jednej z najobszernejszych stosunkowo nowych prac [Cogneau, Hübner 2009a, b] autorzy omawają aż 101 metod pomaru efektywnośc portfela nwestycj. W artykule podjęto próbę szczegółowego wyjaśnena sposobu wyznaczana mało znanego w polskej lteraturze znormalzowanego względem czasu τ wskaźnka Calmara (wskaźnka zysków strat opartego na maksymalnym spadku stopy zwrotu) oraz próbę oceny jego przydatnośc w analze efektywnośc nwestycj portfelowych. W perwszej częśc artykułu przedstawono deę oraz metodę oblczana tego wskaźnka. W drugej częśc artykułu zameszczono wynk emprycznej analzy efektywnośc nwestycj oraz rankng Otwartych Funduszy Emerytalnych w latach Ze względu na ogranczoną objętość artykułu ne dokonano porównań wskaźnka Calmara z nnym metodam oceny efektywnośc nwestycj fnansowych,

9 Znormalzowany względem czasu τ wskaźnk Calmara 213 a w prezentacj wynków rankngu OFE ne wykorzystano benchmarku zewnętrznego, lecz wewnętrzny jeden z analzowanych funduszy emerytalnych, ING. 2. Podzał metod oceny efektywnośc nwestycj W zakrese zewnętrznej oceny dzałalnośc nwestycyjnej podmotów rynku fnansowego kaptałowego (external performance analyss) wyróżna sę m.n.: (1) wskaźnk analzujące ryzyko zwrot (rsk-adjusted performance measures); (2) wskaźnk zysków strat (gans-to-losses measures): oparte na momentach częścowych stopy zwrotu: zysku-straty (gan-to-loss rato), zysków strat (gans-to-losses), oczekwanych zysków strat (expected gans-to-losses), Farnellego-Tblettego (Farnell-Tblett rato), Omega (Omega rato), potencjalnych zysków (Upsde Potental rato, U-P rato), Kappa (Kappa rato); oparte na maksymalnym spadku stopy zwrotu: Calmara (Calmar rato), Sterlnga (Sterlng rato), Burke a (Burke rato), znormalzowany względem czasu τ wskaźnk Calmara (τ-normalzed-calmar rato); (3) nne mary oceny zewnętrznej (other external measures); (4) podejśce modelowe (market tmng models, factor models, style analyss). 3. Wskaźnk zysków strat oparte na maksymalnym spadku stopy zwrotu Wskaźnk zysków strat są oparte na wartoścach średnej stopy zwrotu r ( T ) dla -tego portfela nwestycyjnego w okrese [0, T] oraz wartoścach ryzyka -tego portfela nwestycyjnego merzonego maksymalnym, absolutnym spadkem stopy zwrotu MDD (T) (maxmum drawdown) w okrese [0, T], tj. najwększą różncą pomędzy następującym po sobe najwyższą najnższą skumulowaną stopą zwrotu w okrese [0, T]. sup MDD( T ) DD T X s X T s [ 0, T] Rys. 1. Drawdown oraz maxmum drawdown stopy zwrotu Źródło: opracowane własne na podstawe [Magdon-Ismal 2004]. sup DD t t [ 0, T]

10 214 Artur Mkulec Wskaźnk Calmara można zapsać w postac [Young 1991]: Calmar T ( T ) r. (1) MDD T W analze portfelowej rozpowszechnona jest wersja wskaźnka odnosząca ( T ) r, tj. stopę zwrotu -tego portfela nwestycyjnego ponad aktywa wolne od ryzyka RFR dla okresu [0, T] do maksymalnego spadku stopy zwrotu MDD (T) w okrese [0, T]. W tej postac wskaźnk Calmara oraz prezentowane ponżej wskaźnk Sterlnga Burke a stają sę podobne do wskaźnka Sharpe a. Zmodyfkowany wskaźnk Calmara dany jest wzorem: Calmar ( T ) ( T ) r RFR MDD T. Ogólne pożądane są wyższe wartośc wskaźnka Calmara, a do jego oblczeń wykorzystuje sę mesęczne stopy zwrotu z okresu trzech lat. Wskaźnk Sterlnga [Kestner 1996] porównuje średną stopę zwrotu -tego portfela nwestycyjnego ponad aktywa wolne od ryzyka RFR w okrese [0, T] do średnego pozomu ryzyka wyrażonego przez maxmum drawdown w okrese [0, T], tj. MDD ( T ). Wskaźnk Sterlnga przybera postać: ( T) ( T) n r RFR r RFR Sterlng T Sterlng T MDD 1 T MDD T n j 1 Przyjęce jako mary ryzyka średnej wartośc odnotowanych spadków stopy zwrotu w analzowanym okrese powoduje, że wskaźnk jest mnej wrażlwy na wartośc odstające czy netypowe. Postuluje sę, aby w analze przyjmować średną z n 5 maksymalnych spadków stopy zwrotu w całym badanym okrese. Wskaźnk Burke a merzy stosunek nadwyżk średnej stopy zwrotu -tego portfela nwestycyjnego aktywów wolnych od ryzyka RFR w okrese [0, T] do perwastka sumy kwadratów najwększych spadków stopy zwrotu MDD (T) odnotowanych w analzowanym okrese stanowących swego rodzaju marę zaobserwowanego ryzyka [Burke 1994]. Burke T n j 1 ( T ) r RFR ( MDD ) 2, j T., j. (2) (3) (4)

11 Znormalzowany względem czasu τ wskaźnk Calmara 215 W praktyce przyjęce n 5 maksymalnych spadków stopy zwrotu okazuje sę wystarczające w analze. M. Caporn F. Ls sugerują przyjęce w przypadku wskaźnka Sterlnga Burke a wartośc n z przedzału n {[T/20], [T/10]}, gdze [.] oznacza najblższą lczbę całkowtą T/20 lub T/10 [Caporn, Ls 2009]. Zalety wskaźnków opartych na MDD: są stosunkowo proste w oblczenach; służą do porównań względnych (równeż względem portfela rynkowego); mają ntucyjną nterpretację odnoszą średną stopę zwrotu na jednostkę ryzyka w postac maksymalnej straty zanotowanej w okrese [0, T]. Wady wskaźnków opartych na MDD: brak możlwośc przeskalowana wartośc tych wskaźnków w czase w przypadku wskaźnka Sharpe a znany jest sposób jego annualzacj (square-root-tlaw), tj. wyrażana jego wartośc w skal roku, pozwalający sprowadzć do porównywalnośc wartośc oblczone na podstawe różnych okresów T, problem pojawa sę w przypadku konecznośc przeskalowana MDD, który oblczony został dla całego analzowanego okresu [0, T]; brak możlwośc zastosowana tych wskaźnków w typowej analze portfelowej ne ma możlwośc przeprowadzena optymalzacj portfela w oparcu np. o wskaźnk Calmara, gdyż brak jest możlwośc wyjaśnena jak MDD dla portfela nwestycyjnego powązany jest z poszczególnym jego aktywam. Powszechną praktyką rozwązana perwszego problemu jest porównywane wskaźnków oblczonych dla tych samych, np. 3-letnch okresów. Ogranczene to jest jednak sztuczne znaczne ograncza możlwośc wykorzystana wskaźnków opartych na maksymalnym spadku stopy zwrotu. Co jednak zrobć w przypadku gdy: wynk porównywanych portfel nwestycyjnych pochodzą z różnych (znanych) okresów, dane na temat średnej odchylena standardowego stopy zwrotu portfel nwestycyjnych (lub ch wskaźnk Sharpe a) podane są w skal roku, wskaźnk Calmara dla porównywanych portfel nwestycyjnych są podane dla różnych (znanych badaczow) okresów? Powstaje pytane: jak w unwersalny sposób opsać, a następne wyrazć w skal roku maksymalny spadek stopy zwrotu MDD wykorzystywany w charakterze mary ryzyka? W latach powstały prace empryczne symulacyjne Monte-Carlo na temat MDD, w 2000 r. opublkowano pracę analtyczną podejśce oparte na arytmetycznym ruchu Browna z zerowym dryfem ( r 0). W 2003 r. ukazała sę praca On the maxmum drawdown of a brownan moton [Magdon-Ismal n. 2003], a w 2004 r. praca Maxmum drawdown [Magdon-Ismal, Atya 2004]. M. Magdon- -Ismal n. [2003] podal sposób oblczena oczekwanego maksymalnego spadku stopy zwrotu E[(MDD (T)] oraz znormalzowanego względem czasu τ wskaźnka Calmara Calmar τ.

12 216 Artur Mkulec 4. Znormalzowany względem czasu τ wskaźnk Calmara Załóżmy, że wartość -tego portfela nwestycyjnego X(t) w czase T może być opsana za pomocą arytmetycznego ruchu Browna (bez renwestowana osąganych zysków): dx ( t) rdt + σˆ dw ( t), 0 t T, (5) przy czym czas nwestycj T jest merzony w latach, r σˆ oznaczają odpowedno średną stopę zwrotu na jednostkę czasu (dryf) odchylene standardowe stopy zwrotu na jednostkę czasu (zmenność), a dw jest przyrostem Wenera (zakłócene). Wówczas spadk DD (T) oscylują wokół zera DD (T) podlega ruchow Browna. Oczekwany maksymalny spadek stopy zwrotu E[(MDD (T)] dla -tego portfela nwestycyjnego w okrese [0, T] można wówczas zdefnować wzorem (6), przy czym funkcje Q p (x) Q n (x) mają złożoną postać całkową ne mają wygodnej formy analtycznej. Funkcje Q p (x) Q n (x) same w sobe są nezależne względem parametrów r, σˆ oraz T, dlatego są funkcjam unwersalnym w tym sense, że ch wartośc mogą być wyznaczane stablcowane 1 [Magdon-Ismal n. 2003]: ˆ σ ˆ rt T σ r Qp 0, ,5ln ln, T + r > r 2 ˆ ˆ σ r σ π T E MDD (, ˆ, ) ˆ 1, 2533 ˆ r σ T σ T σ T, r ˆ σ T ˆ rt σ Qn rt, 0 2 r < r ˆ 1 2σ r Perwsze spostrzeżene, które odnotowal autorzy, jest take, ż skalowane wartośc E[(MDD (T)] względem czasu wymaga różnej transformacj od T przez T do log T, gdy r przechodz od wartośc ujemnych przez zero do wartośc dodatnch, tzn. ne ma jednego sposobu ch skalowana dalsze rozważana przeprowadźmy dla r > 0. Autorzy wykazal, że E[(MDD (T)] dla -tego portfela nwestycyjnego w okrese [0, T] przelczona na jednostkę σˆ zależy od wskaźnka Sharpe a wyrażonego w skal roku: (6) 1 Ops tablce wartośc funkcj Q p (x) Q n (x): html.

13 Znormalzowany względem czasu τ wskaźnk Calmara 217 T 2 2Qp Shrp E MDD ( T ) 2 T 0, ,5ln ( T ) + ln ( Shrp ), (7) ˆ σ Shrp Shrp przy czym: Shrp r S, a r σˆ oznaczają odpowedno średną σˆ stopę zwrotu odchylene standardowe stopy zwrotu wyrażone w skal roku (zannualzowane) 2. Mając na uwadze ogólny wzór na wskaźnk Calmara (1), jego odpowednk dla oczekwanych efektów nwestycyjnych (Calmar rato of expected performance) oblczony na podstawe okresu [0, T] wyrażony w skal roku można zapsać w postac: Clmr T r T E MDD ( T ) a przekształcając powyższe wyrażene z uwzględnenem wzoru (6) lub (7) otrzymujemy kolejną postać wskaźnka Calmara dla oczekwanych efektów nwestycyjnych, względem wskaźnka Sharpe a: T 2 Shrp 2 T T Shrp Clmr. (9) T 2 T 2 0, ,5ln( T ) + ln( Shrp ) Qp Shrp 2 Można zapsać, że: Calmar T ( T) r r T Clmr T MDD ( T ) E MDD ( T ), (8). (10) Na podstawe wzoru (9) należy zauważyć, że wartość oblczonego wskaźnka Calmara zależy od wartośc r σˆ tylko poprzez przeskalowany wskaźnk Sharpe a ( Shrp ), a dla ustalonych r σˆ jego wartość wzrasta wraz ze wzrostem T. Dlatego też znajomość wartośc wskaźnka Clmr ( T ) dla -tego portfela nwestycyjnego bez znajomośc T jest bezużyteczna. Normalzacja w czase, czyl sprowadzane wartośc wskaźnków Calmara oblczonych dla różnych okresów [0, T] do porównywalnośc [0, T] [0, τ], jest dokonywana w kolejnym etape analzy. Najwygodnej jest w tym przypadku przyjąć okres referencyjny τ 1 (1 rok). 2 Przyjmjmy, że ( a r ) oraz ˆ ( a σ ˆ ), gdyż E[(MDD (T)] jest wyrażona w skal roku. r σ

14 218 Artur Mkulec Perwszy sposób normalzacj 3 polega na przeskalowanu lcznka zgodne z relacją a r T r τ : Calmar T ( T) r r T Clmr( T ), MDD ( T ) E MDD ( T ) a manownka zgodne z relacją E[(MDD (T)] E[(MDD (τ)] za pomocą proporcj: (11) ( τ) ( τ) E MDD MDD E MDD MDD T MDD MDD T E MDD T E MDD T. (12) Wykorzystując wzory (11) (12), można zapsać znormalzowany względem czasu τ wskaźnk Calmara (τ-normalzed-calmar rato) w postac: Calmar r MDD r τ MDD r T MDD ( T ) τ E T E [ MDD ( T )] [ MDD ], (13) gdze: r T MDD T Calmar T, a jest czynnkem normalzującym, wobec czego: τ E MDD T γ T E MDD Calmar ( τ) Calmar ( T ) γ. (14) Okazuje sę jednak, że tak oblczony znormalzowany wskaźnk Calmara Calmar może zależeć od wybranego do analzy okresu referencyjnego τ. Jeżel Shrp Shrp b, to relatywna sła pomędzy portfelam oraz b zależy od τ, jednak borąc pod uwagę długookresowe zachowane sę relatywnej sły pomędzy analzo- lm β τ, b β b można wyznaczyć wskaźnk relatyw- wanym portfelam, tzn. τ nej sły pomędzy portfelam nezależny od τ. Wskaźnk rs b (nezależny od τ), który może posłużyć do uporządkowana portfel nwestycyjnych, z punktu wdzena ch efektywnośc wyraża sę następująco: 3 Drug sposób normalzacj wartośc wskaźnka Calmara odnaleźć można w pracy [Domańsk (red.) 2011].

15 Znormalzowany względem czasu τ wskaźnk Calmara 219 rs b 1 Q Calmar( T) T β ( b) Calmar 1 b Tb Q T b T 2 Shrp 2. (15) Tb 2 Shrpb 2 Wskaźnk relatywnej sły mędzy portfelam ma następujące własnośc: wartość rs b 1 nformuje, że portfel jest lepszy z punktu wdzena wskaźnka Calmara nż portfel b, tzn. jest bardzej preferowany nż b ( b) ; charakteryzuje sę przechodnoścą, która jest pożądana w przypadku każdego wskaźnka opsującego relacje, preferencje; 1 jest kompletny nesymetryczny, gdyż zachodz relacja: β ( b), tak β ( b) węc ( b) lub ( b ) ( b) ( b ), relacja tworzy całkowte uporządkowane; wybór portfela wzorcowego b, spośród porównywanych portfel, ne ma wpływu na ch całkowte uporządkowane. 5. Wynk nwestycyjne OFE w latach Analzą objęto dzałalność nwestycyjną Otwartych Funduszy Emerytalnych w latach , dla których oblczono: 1) średne mesęczne logarytmczne stopy zwrotu OFE w badanym okrese (T 12) wyrażone w skal roku na podstawe wartośc jednostek rozrachunkowych; 2) skumulowane roczne stopy zwrotu; 3) średne roczne stopy zwrotu r ch odchylene standardowe σˆ w badanym okrese oraz wskaźnk Sharpe a Shrp dla poszczególnych OFE; 4) oczekwane maksymalne spadk stopy zwrotu E[MDD (T)]; 5) MDD maksymalne spadk stopy zwrotu (empryczne) dla poszczególnych OFE na podstawe skumulowanych stóp zwrotu; 6) wskaźnk Calmara Calmar (T) (1) oraz wskaźnk Calmara dla oczekwanych efektów nwestycyjnych Clmr (T) (8), 7) γ czynnk normalzujące wskaźnk Calmara Calmar (T) dla τ 1, 2, 3; 8) znormalzowane względem czasu τ wskaźnk Calmara Calmar τ (13) (14); 9) rs b wskaźnk relatywnej sły pomędzy portfelam OFE, które posłużyły do względnego uporządkowana OFE pod względem efektywnośc nwestycj (15). W tabel 1 zameszczono wymenone oblczena cząstkowe (pkt 3) 6)) dla OFE w latach , które w dalszej kolejnośc zostały wykorzystane do oblczeń p p

16 220 Artur Mkulec wartośc znormalzowanego względem czasu τ wskaźnka Calmara dla τ 1, 2, 3. Należy zauważyć, ż rzeczywśce wartośc znormalzowanego względem czasu τ wskaźnka Calmara (tab. 2) zależą od przyjętej wartośc τ wartośc wyznaczonego czynnka normalzującego. Natomast wskaźnk relatywnej sły rs b pomędzy γ -tym portfelem nwestycyjnym OFE oraz portfelem wzorcowym (b ING) 4 jest tak sam dla różnych wartośc τ 1, 2, 3, daje zatem take samo uporządkowane portfel nwestycyjnych funduszy pod względem ch efektywnośc. Warto dodać równeż, ż zmana portfela wzorcowego w grupe porównywanych portfel nwestycyjnych ne ma żadnego wpływu na ch całkowte uporządkowane (kolejność w rankngu). Tabela 1. Oblczena cząstkowe dla wskaźnka Calmara OFE w latach OFE Średna stopa zwrotu ( a r ) Odchylene standardowe stopy zwrotu ( a σˆ ) Wskaźnk Sharpe a Shrp E[MDD (T)] MDD (T) Calmar (T) Clmr (T) Allanz 7,78 7,90 0,984 14,953 12,721 7,338 6,243 AXA 7,93 8,03 0,988 15,164 13,405 7,102 6,278 General 8,27 8,78 0,941 16,960 14,260 6,957 5,849 Nordea 7,73 8,08 0,956 15,497 13,864 6,688 5,983 ING 8,36 9,13 0,916 17,829 15,714 6,386 5,629 PZU 7,90 8,72 0,906 17,113 15,252 6,216 5,540 Pocztylon 7,27 8,80 0,825 17,979 13,436 6,490 4,850 Amplco 7,52 8,78 0,857 17,650 14,774 6,108 5,113 AEGON 7,20 8,33 0,864 16,690 14,215 6,075 5,175 WARTA 7,57 9,19 0,824 18,790 15,340 5,924 4,836 PKO BP Bankowy 7,21 8,76 0,824 17,899 14,688 5,894 4,837 Pekao 7,48 8,96 0,835 18,200 15,636 5,741 4,932 Avva 7,65 8,77 0,872 17,510 16,562 5,544 5,244 POLSAT 8,28 11,20 0,739 23,874 19,698 5,042 4,160 Źródło: opracowane własne. 4 Jako punkt odnesena przyjęto efektywność nwestycj funduszu ING, który na przestrzen badanego okresu plasował sę w czołówce najlepszych funduszy emerytalnych [Domańsk (red.) 2011].

17 Znormalzowany względem czasu τ wskaźnk Calmara 221 Tabela 2. Znormalzowany względem czasu wskaźnk Calmara OFE w latach OFE Czynnk normalzujący γ Czynnk normalzujący Calmar rs b γ Czynnk normalzujący Calmar rs b τ Calmar rs γ b τ 1 τ 2 τ 3 Allanz 0,251 1,839 1,195 0,321 2,357 1,195 0,398 2,923 1,195 AXA 0,250 1,772 1,159 0,321 2,277 1,159 0,398 2,825 1,159 General 0,264 1,834 1,106 0,329 2,287 1,106 0,404 2,812 1,106 Nordea 0,259 1,731 1,072 0,326 2,181 1,072 0,402 2,689 1,072 ING 0,272 1,739 1,000 0,334 2,130 1,000 0,408 2,605 1,000 PZU 0,276 1,717 0,967 0,336 2,087 0,967 0,410 2,546 0,967 Pocztylon 0,317 2,056 0,957 0,356 2,308 0,957 0,425 2,755 0,957 Amplco 0,299 1,825 0,921 0,347 2,120 0,921 0,418 2,555 0,921 AEGON 0,295 1,792 0,920 0,345 2,098 0,920 0,417 2,533 0,920 WARTA 0,318 1,883 0,872 0,356 2,110 0,872 0,425 2,517 0,872 PKO BP Bankowy 0,318 1,874 0,868 0,356 2,099 0,868 0,425 2,505 0,868 Pekao 0,311 1,784 0,852 0,353 2,026 0,852 0,422 2,426 0,852 Avva 0,291 1,614 0,844 0,343 1,904 0,844 0,415 2,303 0,844 POLSAT 0,395 1,989 0,695 0,387 1,949 0,695 0,446 2,251 0,695 Źródło: opracowane własne. Borąc zatem pod uwagę okres 12 lat nwestycj OFE, tj. lata , z punktu wdzena znormalzowanego względem czasu τ wskaźnka Calmara pęcoma najlepszym funduszam na rynku okazały sę: Allanz, AXA, General, Nordea oraz ING. Na końcu zestawena znalazły sę: Pekao, Avva oraz POLSAT. 6. Podsumowane wnosk Metoda oceny efektywnośc nwestycj operająca sę na oblczanu znormalzowanego względem czasu τ wskaźnka Calmara jest mało znana w polskej lteraturze przedmotu. Stosunkowo prosty w końcowych w rachunkach wskaźnk opera sę na skomplkowanym aparace matematycznym być może z tego powodu ne jest tak popularną marą oceny efektywnośc nwestycj jak wskaźnk Sharpe a jego lczne modyfkacje. Wskaźnk zysków strat Calmar ma prostą nterpretację ekonomczną, a ponadto może posłużyć do budowy rankngu efektywnośc portfel nwestycj, który charakteryzuje sę pożądanym własnoścam przede wszystkm jest nezależny od wyboru portfela wzorcowego. Borąc pod uwagę własnośc omawanego wskaźnka, należy stwerdzć, że jest on cekawą alternatywą dla klasycznych, często wykorzystywanych w analzach, mar oceny efektywnośc nwestycj może stanowć cenne uzupełnene analz welowymarowych dotyczących efektywnośc nwestycj.

18 222 Artur Mkulec Lteratura Burke G., 1994, A sharper Sharpe rato, Futures, vol. 23, no. 3, s. 56. Caporn M., Ls F., 2009, Comparng and selectng performance measures for rankng assets, Marco Fanno Workng Paper, 99, ( ). Cogneau P., Hübner G., 2009a, The (more than) 100 ways to measure portfolo performance. Part 1: Standardzed rsk-adjusted measures, Journal of Performance Measurement, vol. 13, no. 4, s Cogneau P., Hübner G., 2009b, The (more than) 100 ways to measure portfolo performance. Part 2: Specal measures and comparson, Journal of Performance Measurement, vol. 14, no. 1, s Domańsk C. (red.), 2011, Neklasyczne metody oceny efektywnośc ryzyka. Otwarte fundusze emerytalne, PWE, Warszawa. Kestner L.N., 1996, Getng a handle on true performance, Futures, vol. 25, no. 1, s Magdon-Ismal M., An analyss of the maxmum drawdown rsk measure, May 6, 2004, ~magdon/talks/mdd_nyu04.pdf ( ). Magdon-Ismal M., Atya A.F., 2004, Maxmum drawdown, Rsk Magazne, vol. 17, no. 10, s Magdon-Ismal M., Atya A.F., Pratap A., Abu-Mostafa Y.S., 2003, On the maxmum drawdown of a Brownan moton, Journal of Appled Probablty, vol. 41, no. 1, s Young T.W., 1991, Calmar Rato: A smoother tool, Futures, vol. 20, no. 1, s. 40. TAU-NORMALIZED-CALMAR RATIO AND ITS APPLICATION IN THE ANALYSIS OF PORTFOLIO INVESTMENT EFFICIENCY Summary: Tau-normalzed-Calmar rato belongs to the group of proft and loss ratos based on the maxmum drawdown of the rate of return. Opposed to smple proft and loss ratos of Calmar, Sterlng and Burke t offers the advantage of comparng and evaluatng outcomes of fnancal nvestment from dfferent perods; when data on the mean and standard devaton of the portfolos return (or Sharpe ratos) have been annualzed or when classc Calmar ratos for compared portfolos have been dsclosed for dfferent perods. The paper shows the method of calculatng tau-normalzed-calmar rato and presents ts applcaton n the emprcal analyss of nvestment effcency of the open penson funds n the years Keywords: Maxmum drawdown, tau-normalzed-calmar rato, portfolo nvestment effcency, open penson funds.