Zadania do jawnej puli Mateusz Šeªyk, Bartosz Wcisªo, Piotr Wilkin 19 stycznia 2015 Przez rozwi», znajd¹ itp. mamy na my±li zapisanie odpowiedzi przy u»yciu sum, iloczynów, ilorazów, symboli Newtona, silni, funkcji wykªadniczej, logarytmu, warto±ci bezwzgl dnej, funkcji trygonometrycznych oraz funkcji arcsin, arcsin, arctan. Wszystkie odpowiedzi nale»y uzasadnia. Korzystaj c z faktu nieudowodnionego w zadaniu nale»y si na niego wprost powoªa, przytaczaj c jego sformuªowanie w takiej formie, w jakiej z niego korzystamy. Mo»na powoªywa si na fakty, które pojawiªy si na wykªadzie, wiczeniach, w zadaniach domowych lub zadaniach z niniejszej puli (oczywi±cie poza tym, nad którym Pa«stwo w danym momencie pracuj ). Nie trzeba uzasadnia stwierdze«zaczerpni tych z tych ¹ródeª. W razie jakichkolwiek w tpliwo±ci prosimy o kontakt. Zadania Zadanie 1 Udowodnij za pomoc indukcji matematycznej,»e ( n N)(n n n!). Zadanie 2 Udowodnij, korzystaj c z zasady indukcji,»e dla dowolnego n i dla dowolnych liczb caªkowitych a, b takich,»e a b, a b dzieli a n b n. Zadanie 3 Poka»,»e dla dowolnych zbiorów A, B i C zachodzi (A \ B) C = (A C) \ (B C) Zadanie 4 Dla dowolnej liczby wymiernej q napis q oznacza najwi ksz liczb caªkowit mniejsz lub równ q (tzw. podªoga, np. 3 2 = 1 i dla dowolnej liczby naturalnej n, n = n). Udowodnij,»e dla dowolnych n N i p [0, 1] n 2 ( ) n 2 p 2k (1 p) n 2k = 1 + (1 2p) n 2k : Zauwa»,»e n 2 k=0 k=0 ( ) n p 2k (1 p) n 2k = 2k n k=0, k parzyste ( ) n p k (1 p) n k. k Prosz przedstawi 1 jako (1 p + p) n, i (1 2p) jako (1 p p). Zadanie 5 Ile jest ró»nych rozwi za«równania x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 25 w zbiorze liczb naturalnych (0 jest liczb naturaln.) Zadanie 6 Niech A i B b d dowolnymi zdarzeniami. Udowodni,»e P(A B) P(A) + P(B) 1. Zadanie 7 Na ile sposobów mo»emy spo±ród 52 kart standardowej talii wyci gn 5-kartow r k tak, aby byªo na niej wi cej gur, ni» kart nie b d cych gurami?
Zadanie 8 12 uczniów (6 chªopców i 6 dziewcz t) ustawiªo si w pary, a nast pnie pary stan ªy w rz dzie (jedna za drug ). Jakie jest prawdopodobie«stwo,»e losowo wybrany ucze«lub uczennica b d mieli przed, za i obok siebie osoby tej samej pªci? Zadanie 9 Rzucamy 10 razy z rz du symetryczn monet. W nast puj cy sposób wypisujemy ci g o wyrazach w zbiorze {0, 1}: za ka»dym razem, gdy wypadnie orzeª zapisujemy 0, a gdy wypadnie reszka, zapisujemy 1. Wypisany ci g jest zapisem binarnym pewnej liczby. Jakie jest prawdopodobie«stwo,»e ta liczba jest podzielna przez 5? Zadanie 10 Rzucamy 10 razy kostk sze±cio±cienn. Jakie jest prawdopodobie«stwo,»e co najmniej dwie warto±ci nie pojawi si w±ród tych rzutów? Zadanie 11 Pewien matematyk nosi w kieszeniach (lewej i prawej) po jednym pudeªku zapaªek. Ilekro chce zapali papierosa, si ga do losowo wybranej kieszeni. Jaka jest szansa,»e gdy po raz pierwszy wyci gnie puste pudeªko, w drugim b dzie k zapaªek. (Zakªadamy,»e w standardowo w pudeªkach jest po m zapaªek, a na pocz tku matematyk ma dwa peªne pudeªka). Zadanie 12 Na odcinku [0, 1] umieszczono losowo punkty L i M. Jaka jest szansa,»e ±rodek odcinka LM nale»y do [0, 1 5 ]. Zadanie 13 Dziaªo wystrzeliwuje pocisk z pr dko±ci pocz tkow v na pªaskiej Ziemi, na której dziaªa przyspieszenie grawitacyjne g skierowane prostopadle do powierzchni Ziemi i zwrócone w jej stron. W momencie traenia pocisk wybucha wywoªuj c zniszczenia w promieniu r od miejsca uderzenia. Nie jeste±my w stanie ustali z dowoln precyzj, jaki jest k t nachylenia dziaªa i musimy przyj,»e jest to k t losowo wybrany z przedziaªu [π/4 β, π/4 + β], β < π/4 Jakie jest prawdopodobie«stwo,»e traenie pocisku zniszczy cel umieszczony w punkcie znajduj cym si w odlegªo±ci v 2 /g od dziaªa? Je±li dziaªo nachylone pod k tem γ wystrzeliwuje pocisk z pr dko±ci v to w chwili pocz tkowej skªadowa pozioma pr dko±ci pocisku v x wynosi v cos γ, a skªadowa pionowa v y wynosi v sin γ. Zasi g dziaªa dany jest wi c wzorem v x t, gdzie t to czas lotu pocisku. Ów czas zale»y od skªadowej pionowej pr dko±ci, czyli po±rednio równie» od k ta nachylenia. Zastanów si, dla jakich k tów nachylenia miejsce traenia b dzie odlegªe od punktu v 2 /g o mniej ni» r. Mog si przyda to»samo±ci trygonometryczne z liceum. Zadanie 14 Wybieramy z kwadratu ograniczonego w kartezja«skim ukªadzie wspóªrz dnych osiami x = 1, x = 1, y = 1, y = 1 losowo pewien punkt. Jakie jest prawdopodobie«stwo,»e koªo o promieniu losowo wybranym z przedziaªu [0, 1] b dzie zawarte w tym kwadracie? Wyobra¹ sobie trójki liczb (x, y, r), gdzie r to losowany promie«okr gu jako punkty z przestrzeni trójwymiarowej i zastanów si jak wygl da zbiór takich punktów (x, y, r),»e koªo o ±rodku w punkcie (x, y) i promieniu r jest zawarte w kwadracie opisanym w zadaniu. Zadanie 15 Pewna partia samochodów psuje si w przeci gu pierwszego póªrocza w 30% przypadków, je±li mamy do czynienia z wadliwym egzemplarzem i w 10% przypadków, je±li mamy do czynienia z egzemplarzem normalnym. W przeci gu drugiego póªrocza psuje si w przypadku wadliwej partii 50% (niezale»nie od tego, czy popsuªy si w pierwszym póªroczu), a w przypadku partii normalnej - 10% spo±ród tych, które zepsuªy si podczas pierwszego póªrocza i 20% tych, które nie zepsuªy si podczas pierwszego póªrocza. Jakie jest prawdopodobie«stwo,»e nasz samochód pochodzi z wadliwej partii, je±li zepsuª si przynajmniej raz podczas pierwszego roku, je±li wiemy,»e wadliwa partia stanowi 2% caªo±ci wyprodukowanej puli samochodów? Zadanie 16 Rzucamy sze±cio±cienn kostk do momentu, a» nie wypadnie 6. Jakie jest prawdopodobie«- stwo,»e suma wyrzuconych oczek b dzie mniejsza od 16, je±li wiemy,»e rzuty byªy przynajmniej trzy?
Zadanie 17 Dane s trzy urny A, B, C. W pierwszej jest 250 kul biaªych i 750 czarnych, w drugiej 500 kul biaªych i 500 kul czarnych, a w trzeciej 750 kul biaªych i 250 czarnych. Wybieramy losowo urn i wyci gamy z niej 100 kul zwracaj c je po ka»dym wyci gni ciu. Okazaªo si,»e wyci gn li±my dokªadnie 50 kul biaªych i 50 czarnych. Jakie jest prawdopodobie«stwo,»e wylosowali±my urn B? Zadanie 18 Mamy n graczy A 1,..., A n. Pierwszemu z nich podajemy kartk z napisem +, on podaje j A 2, z prawdopodobie«stwem p zmieniaj c znak na, potem A 2 przekazuje kartk A 3 z tym samym prawdopodobie«stwem zmieniaj c znak na przeciwny, ni» ten, który zobaczyª i tak dalej a» do A n, który, by mo»e znów zmieniaj c znak na przeciwny z prawdopodobie«stwem p, pokazuje kartk. Jakie jest prawdopodobie«stwo,»e A 1 nie zmieniª znaku na kartce, je±li na ko«cu A n pokazaª kartk ze znakiem +? Do zgrabnego zapisania odpowiedzi przyda si zadanie 4. Prosz skorzysta ze wzoru Bayesa i zauwa»y,»e zmiany znaku przez poszczególnych graczy s niezale»ne. Przy jakich mo»liwych przebiegach gry na ko«cu zobaczyli±my + je±li wiemy,»e A 1 nie zmieniª znaku? Zadanie 19 Dwóch graczy A, B gra w nast puj c gr : rzucaj kostk sze±cio±cienn tak dªugo, a» dwa razy z rz du warto±ci nie mniejsze ni» 5 lub trzy razy z rz du warto±ci nie wi ksze od 4. W pierwszym wypadku wygrywa gracz A, w drugim gracz B. Jakie jest prawdopodobie«stwo wygranej gracza A? Zadanie 20 Dwaj gracze rozgrywaj krótk parti w ping-ponga. Wygrywa ten gracz, który pierwszy zdob dzie 3 punkty, jednak w przypadku remisu 2:2 gra toczy si dot d, a» który± z graczy nie zdob dzie dwupunktowej przewagi. Je±li za ka»dym razem prawdopodobie«stwo zdobycia punktu przez gracza pierwszego wynosi 0.6, a przez gracza drugiego - 0.4, to jakie jest prawdopodobie«stwo wygranej gracza pierwszego? (podpowied¹ - zadanie 6 z wicze«7) Zadanie 21 Rzucamy dwa razy kostk sze±cio±cienn. Niech X i Y b d zmiennymi losowymi oznaczaj - cymi odpowiednio minimum i maksimum z liczby wyrzuconych oczek. Wyznaczy rozkªady zmiennych X, Y i 7 Y. Zgodnie z umowami z zaj policzenie rozkªadu zmiennej to znalezienie np. P(X < i) dla dowolnego i ZW X. Np. dla X prawidªowa odpowied¹ to dla i {1,..., 7} P(X < i) = 1 ( 6 i + 1) 2 6 Zadanie 22 Liczby 1, 2,..., n ustawiono w ci g a 1,..., a n. Niech X = najwi ksze N N takie,»e dla dow k N a k > a k 1. Udowodnij,»e n 1 i! Zmienna losowa X mierzy dªugo± najdªu»szego ªa«cucha ±ci±le rosn cego i zaczynaj cego si od a 1 w ci gu a 1,..., a n. Liczenie rozkªadu tej zmiennej to mo»e by do± trudne zadanie. Wygodnie jest rozbi zmienn X na sum n zmiennych X i, gdzie X 1 = 1 (zakªadamy,»e P(X 1) = 1 czyli,»e ci g dªugo±ci 1 liczymy jako ci g rosn cy dªugo±ci 1) i dla i > 1 mamy k=1 Wtedy mamy X = n n=1 X i. { 1 je±li a1 <... < a X i = i 0 w p.p. (1) Zadanie 23 Rzucamy monet symetryczn tak dªugo, a» nie wypadnie ª cznie n reszek (niekoniecznie po kolei). Niech X oznacza maksymaln liczb orªów wyrzucanych z rz du. Wyznaczy rozkªad zmiennej X.
Zadanie 24 Rzucamy monet, dla której prawdopodobie«stwo wyrzucenia orªa wynosi p (0, 1], dopóty, dopóki nie wyrzucimy k orªów (ª cznie, niekoniecznie po kolei) lub n reszek (ª cznie, niekoniecznie po kolei). Niech X oznacza liczb wykonanych rzutów. Znajd¹ rozkªad zmiennej X. Prosz przyj najpierw bez straty ogólno±ci,»e k n. Potem wygodnie jest rozwa»y poszczególne przypadki np: 1. P(X i) dla i n + k 2. P(X i) dla i < k 3. P(X = k) 4. P(X i) dla k < i < n 5. P(X i) dla n i < n + k Prosz te» pomy±le o jakim± prostym przykladzie, np. k = 3 n = 5. Zadanie 25 Rzucamy raz sze±cio±cienn kostk, a nast pnie rzucamy monet do momentu, a» liczba reszek b dzie taka, jak liczba oczek na kostce. Policz rozkªad zmiennej X, gdzie X = liczba rzutów monet. Zadanie 26 Niech X b dzie zmienn losow o warto±ciach w zbiorze {1,..., N}. Poka»,»e N P(X i). i=0 Wobec faktu,»e dla dowolnego szeregu o wyrazach dodatnich a n, warto± tego szeregu nie zale»y od kolejno±ci sumowania skªadników, rozumowaniem analogicznym do wyst puj cego w niniejszym zadaniu mo»emy pokaza nast puj cy u»yteczny wniosek: dla zmiennej losowej X o warto±ciach w N zachodzi równo± : P(X i). i=0 Zastanów si nad wypadkiem, gdy N = 2. Wówczas badany wzór przyjmuje form : 1P(X = 1) + 2P(X = 2) = P(X 1) + P(X 2). Spróbuj udowodni wzór w tym wypadku - to naprawd ªatwe. Potem spróbuj uogólni rozumowanie na dowolne N. Zadanie 27 Losujemy 13 kart z 52. Jaka jest warto± oczekiwana liczby wyci gni tych pików? Zadanie 28 Rzucamy kostk sze±cio±cienn do momentu, a» suma oczek przekroczy 30. Jaka jest warto± oczekiwana zmiennej X = liczba rzutów kostk przed przekroczeniem 30? Zadanie 29 Rzucamy kostk sze±cio±cienn tak dªugo, a» nie wypadnie dwa razy z rz du ta sama warto±. Jaka jest warto± oczekiwana liczby rzutów? Obliczaj c warto± oczekiwan, skorzystaj z zadania 26 zamiast z denicji.
Zadanie 30 Mamy dwie urny. W chwili pocz tkowej w pierwszej jest 100 kul. Co sekunda wybieramy losowo jedn kul i przekªadamy j do urny, w której nie ma jej w danym momencie. Jaka jest warto± oczekiwana liczby kul w pierwszej urnie po n sekundach? Przedstaw badan zmienn losow, jako sum zmiennych losowych i skorzystaj z addytywno±ci warto±ci oczekiwanej. Podobn metod stosowali±my ostatnio kilka razy na wiczeniach. Aby obliczy warto± oczekiwan pojedynczej zmiennej, skorzystaj z zadania czwartego, które podaje prawdopodobie«stwo uzyskania parzystej liczby sukcesów w schemacie Bernoullego.