Modelowae epewośc pzy użycu pzyblżoych ma pawdopodobeństwa d ż. Mosław Kweselewcz Wydzał Elektotechk utomatyk Kateda utomatyk Gdańsk, lstopad 998
. Wpowadzee Tadycyje do modelowaa epewośc stosoway był apaat pobablstyczy. Ops pobablstyczy stosoway może być jedak w pzypadkach, gdy występuje wystaczająca lczba daych, czyl używając języka statystyk, póba dobze epezetująca badaą populację. W welu paktyczych sytuacjach wauek te e może być spełoy. Często dae dotyczące ozważaego zagadea dostaczae są pzez ekspetów, zaówo w zakese wybou odpowedego ozkładu pawdopodobeństwa, jak jego paametów. Stąd stosowae opsu pobablstyczego, opatego o ewystaczającą lczbę daych oaz często występujący abtaly wybó ozkładów pawdopodobeństwa, jak óweż czasochłoe oblczea z wykozystaem apaatu pobablstyczego może w welu pzypadkach powadzć do ewaygodych wyków. W paktyce dae ekspeymetale są e tylko losowe, ale edokłade. Często wyażae są w postac subektywej ocey ekspetów. W ejszym opacowau pzedstawa sę alteatywe w stosuku do pawdopodobeństwa metody epezetacj epewośc, któe poza losowoścą uwzględają edokładość daych, któym sę dyspouje. Iym paktyczym poblemem jest występowae óżego typu daych. Część z ch może meć p. chaakte losowy, a część chaakte losowy, ale ze względu a zbyt małą lczbę daych ekspeymetalych moża stwedzć, że dae te są edokłade. W takm pzypadku celowe byłoby zastosowae metodyk oblczeowej, pozwalającej a opeowau óżym typam daych. Metodyka taka może być zaczepęta z teo faktów wpowadzoej pzez Shafea (976) opeająca sę a kocepcj edokładego pawdopodobeństwa obejmująca ops pobablstyczy posyblstyczy. Te ostat, pzy pewych założeach może być pzekształcoy a zbó ozmyty odwote. Z kole steją metody tasfomacj z opsu pobablstyczego a posyblstyczy odwote. W zwązku z tym kocepcja Shafea wydaje sę badzo atakcyja w sytuacj występowaa óżych typów epewośc.. Metody epezetacj epewośc Jak wspomao wcześej, teoa faktów wpowadzoa pzez Shafea (976) pozwala a opeowae óżym typam epewośc, włączając ops pobablstyczy posyblstyczy. Z kole kocepcja ozkładu możlwośc wpowadzoa pzez Zadeha (978) utożsama fukcję ozkładu możlwośc z fukcją chaakteystyczą zbou ozmytego. W zwązku z tym a guce teo faktów omówoe zostaą tzy podstawowe odzaje epezetacj epewośc: teoa zboów ozmytych, teoa pawdopodobeństwa oaz teoa możlwośc.. Teoa zboów ozmytych Teoa zboów ozmytych wyosła z klasyczej teo zboów. W odóżeu od zbou klasyczego gaca zbou ozmytego e jest okeśloa pecyzyje, atomast występuje płye pzejśce od całkowtej epzyależośc elemetu do zbou, popzez jego częścowa pzyależość, aż do całkowtej pzyależośc. To płye pzejśce okeśloe jest popzez fukcję pzyależośc µ, któa może pzyjmować watośc z pzedzału [0,]: [ ] µ : X 0,,
gdze X ozacza klasyczy zbó elemetów, atomast jest etyketą pzypoządkowaą zboow ozmytemu, zdefowaemu popzez tą fukcję. Watość fukcj µ () x wyaża stopeń pzyależośc elemetu x z X do zbou ozmytego. Zboy ozmyte mogą służyć do opsu a pzykład takch pojęć lgwstyczych jak mały, śed, duży, badzo duży, zdefowaych w pewym zamkętym pzedzale lczbowym. 0, day zbó ozmyty daje zbó eozmyty postac: Dla każdego [ ] { x X µ ( )} ; x, () azyway -pzekojem. Poeważ < pocąga za sobą, zbó óżych - pzekojów twozy zageżdżoy cąg zboów eozmytych. Day zbó ozmyty jest jedozacze okeśloy popzez zwązay z m cąg - pzekojów, zgode z astępujacą zależoścą: gdze µ () x µ () x I µ ozacza fukcję pzyależośc -pzekoju, µ x sup, () I atomast podzbó pzedzału [0,], składający sę z watośc, takch że () dla pewych x z X. I azywa sę zboem pozomu. Kocepcja -pzekojów wyaża stotą zależość pomędzy zboem klasyczym zboem ozmytym. Pozwala a dekompozycję zbou ozmytego a zboy klasycze oaz kozystae z klasyczej teo zboów. W pzypadku lczb ozmytych, któe ależy tatować jako zomalzowae wypukłe zboy ozmyte (Zob. p. Dubos ad Pade 988), okeśloe a pzestze lczb zeczywstych, aytmetykę lczb ozmytych moża spowadzć to aytmetyk pzedzałów lczbowych (Mooe 966). Moża zdefować dwa odzaje lczb kadyalych dla zboów ozmytych, okeśloych a skończoym zboze X. Skalaa lczba kadyala jest lczbą zeczywstą, zdefowaą astępująco: x X () x µ. () Iym typem lczby kadyalej jest ozmyta lczba kadyala cad(), któa jest lczbą ozmytą defowaą dla każdego I, zgode z zależoścą:. Teoa faktów µ cad. (4) ( )( ) Teoa zdazeń (faktów) (ag. Evdece Theoy) opea sę a dwóch dualych addytywych maach, way (ag. belef) ufośc (ag. plausblty). Dla daego skończoego zbou X maa way jest fukcją: taką, że: Bel : P ( X ) [ 0,]
4 Bel ( ) 0, Bel( ) Bel X, (5) (! ) Bel( j ) Bel( j k ) +! + j j< k + ( ) Bel(! ) Ze względu a własość (6) may way zwae są maam supeaddytywym. Maa ufośc jest fukcją: taką, że: Pl Pl : P ( X ) [ 0,] ( ) 0, Pl( ) Pl X, (7) (! ) Pl( j ) Pl( j k ) j +! + j< k + ( ) Pl(! ) Ze względu a własość (8) may ufośc zwae są maam subaddytywym. Pomędzy obydwema maam zachodzą astępujące zależośc: Pl ( ) Bel( ) ( ) Bel( ) + + (6) (8), (9) Pl. (0) Wygode jest zdefować powyższe may z wykozystaem fukcj zwaej podstawowym pzypoządkowaem pobablstyczym: któa speła astępujące własośc: Watość ( ) ( X ) [ ] m : P 0,, ( ) 0 m, P ( X ) ( ) m. m wyaża ułamek z jakm dostępe zaczące fakty spzyjają, że day elemet z X, któego chaakteystyka w sese stotych atybutów jest ekompleta, ależy do zbou. May way ufośc moża wyazć odpowedo jako: ( ) Bel m( B), () B; B ( ) Pl m( B). () B; B Θ Tasfomacja odwota może być wykoaa zgode z zależoścą: oaz wzoem (9). m B ( ) ( ) Bel( B) B; B ()
5 Dla daego podstawowego pzypoządkowaa pobablstyczego, każdy zbó P( X ), dla któego m ( ) 0 azywa sę elemetem fokalym. Paa (F,m), gdze F ozacza zbó wszystkch elemetów fokalych dukowaych pzez m, azywa sę zboem faktów, zdazeń.. Teoa pawdopodobeństwa Rozważmy zbó zdazeń (F,m) w sese teo zdazeń. Jest faktem dobze zaym, że jeśl F składa sę wyłącze ze zdazeń elemetaych, to zwązae z tym may way ufośc są sobe ówe oaz spowadzają sę do may pawdopodobeństwa (Shafe 976), któa speła własość addytywośc. Maa pawdopodobeństwa Po, okeśloa a skończoym zboze X, może być jedozacze wyażoa popzez fukcję ozkładu pawdopodobeństwa: zgode z zależoścą: [ ] p : X 0,, ( ) p( x) Po (4) x Z puktu wdzea teo faktów oczywstym jest że:.4 Teoa możlwośc () x m( {} x ) p. Mówmy, że odza podzboów daego zbou jest zageżdżoa, jeśl te podzboy mogą być zageżdżoe w tak sposób, że każdy z podzboów zawea sę w astępym. Na pzykład: 4 X jest zageżdżoą odzą podzboów pzestze X. Teoa możlwośc staow specjalą gałąź teo faktów, któa zwązaa jest z zageżdżoym elemetam fokalym. Odpowedkam may way ufośc w teo możlwośc są odpowedo maa potzeby maa możlwośc. Maa możlwośc (ag. possblty) jest jedozacze okeśloa za pomocą fukcj ozkładu możlwośc zgode z zależoścą: dla wszystkch P( X ) astępujący: : X [ 0,] ( ) sup ( x) Pos, (5) x. Maa potzeby (ag. ecessty) Nec okeśloa jest w sposób Nec ( ) Pos( ), (6) co staow posyblstyczy odpowedk zależośc (9). Rozkład możlwośc może być wyażoy w opacu o elemety fokale. Załóżmy, że X { x, x,!, x } oaz ech!, gdze { x, x,!, x } (,,!, ) będze kompletą sekwecją zageżdżoych podzboów, któe zaweają wszystke elemety fokale may możlwośc Pos. Wówczas, jeśl ( ) 0,,,. Nech poadto m m( ) oaz ( ) x m, to { }!. Dla wszystkch,,,. zachodzą astępujące zależośc:
6, (7) m k k m (8) + gdze + 0. Wato zauważyć, że: + dla wszystkch,,,- oaz. Teoa możlwośc może e tylko być sfomułowaa jako szczególy pzypadek teo faktów z zageżdżoym podzboam, ale óweż w opacu o zboy ozmyte. Rozkład możlwośc (Zadeh 978) defoway jest w opacu o zbó ozmyty. Dla daego zbou ozmytego ze zomalzowaą fukcją pzyależośc µ moża zdefować fukcję ozkładu możlwośc : () x () x, (9) µ dla wszystkch x z X. Maa możlwośc zdefowaa jest astępująco: dla wszystkch P( X ) ( ) sup ( x) Pos B (0) x B B. Używając tej tepetacj elemety fokale odpowadają - pzekojom zbou ozmytego.. May epewośc Rozważa sę tzy typy epewośc: ozmyce (eokeśloość), co wąże sę z edokładym gacam zboów ozmytych, eokeśloość (ag. ospecfcty) (edokładość), co zwązae jest z ozmaam (lczbą kadyalą) stotych zboów alteatyw oaz spzeczość (lub ezgodość, dysoas), co wyażą koflkt pomędzy óżym zboam alteatyw.. May eokeśloośc Maa epewośc zwązaej z ą fomacją została zapopoowaa po az pewszy w sese klasyczej teo zboów pzez Hatleya (98). Maa ta wyażoa w btach pzyjmuje postać: ( ) log U, () gdze ozacza lczebość skończoego zbou. Jede bt epewośc jest ówoważy całkowtej epewośc w stosuku do pawdy lub fałszu jedego stwedzea. Fukcja () zwaa jest fukcją Hatley a. Zaczee epewośc mezoej za pomocą fukcj Hatley a zależy od zaczea zbou. Fukcja ta może być dobze schaakteyzowaa popzez pojęce eokeśloość. Natualym ozwęcem fukcj Hatley a a teoę zboów ozmytych teoę możlwośc jest fukcja U-epewość (Hgash ad Kl 98): U ( ) d 0 log, ()
7 gdze ozacza lczbę kadyalą -pzekoju zbou. wato zwócć uwagę, że U() jest śedą ważoą fukcj Hatley a dla wszystkch -pzekojów. Dla skończoych upoządkowaych ozkładów możlwośc fukcja U-epewość może być wyażoa w astępujący sposób: U () ( ) + log log () gdze + 0. Zakładając, że ozkład możlwośc epezetuje zomalzoway zbó ozmyty moża pokazać, że U()U(), wtedy gdy + oaz jest lczbą kadyalą -pzekoju, dla któego. Kozystając za zależośc (8) otzymamy: U ( m) gdze ( m, m,!, m ) odpowadającym ozkładow możlwośc (,,, ) m log, (4) m jest podstawowym pzypoządkowaem pobablstyczym,!. Fukcja U-eokeśloość może być zastosowaa dla dowolego zbou faktów (F,m): ( m) m( ) N F log. (5) Fukcja N jest oczywśce śedą ważoą fukcj Hatley a dla wszystkch elemetów fokalych. Wagam są watośc podstawowego pzypoządkowaa pobablstyczego. Dla każdego elemetu fokalego, m() ozacza stopeń faktu zogskowaego a, podczas gdy log ozacza bak okeśloośc pzypsaa faktu. Im wększa jest watość m(), tym badzej waygode są fakty, atomast m wększy jest zbó, ( log ), ty mej okeśloy jest zbó tych faktów. Poeważ dla ozkładu pawdopodobeństwa mamy do czyea ze zdazeam elemetaym, to log 0 dla każdego elemetu fokalego w kosekwecj N(m)0.. May ezgodośc Poeważ maa eokeśloośc jest ówa zeo, tz. wszystke may pawdopodobeństwa są w peł okeśloe, dla każdego ozkładu pawdopodobeństwa, w celu pełego odóżea ma pobablstyczych celowe jest wpowadzee ej may, a maowce etop Shaoa (948): ( m) m( { x} ) m( { x} ) H x X log, (6) któa mezy śedą epewość (w btach), zwązaą z pedykcją wyków ekspeymetu losowego staow watość oczekwaą koflktu pomędzy watoścam faktów. W teo faktów zapopoowao dwe may, któe są odpowedkam etop Shaoa, a maowce maę ezgodośc (ag. dssoace) Yage (98):
8 E ( m) m( ) Pl( ) F oaz maę zameszaa (ag. cofuso) (pomyłk) (Hoele 98): C ( m) m( ) Bel( ) F log, (7) log, (8) W pzypadku may pawdopodobeństwa obydwe fukcje spowadzają sę do etop Shaoa (6). Kl (99) pokazał, że w teo faktów ajlepszą fukcją meząca koflkt jest fukcja dysoasu S (ag. stfe) zdefowaa jako: ( m) m( ) m( B) S F B F Fukcja S(m) może być óweż wyażoa jako: S B log (9) ( m) N( m) Z( m), (0) gdze N(m) jest maą eokeśloośc (5), atomast fukcja Z(m) zdefowaa jest jako: ( m) m( ) m( B) Z F B F log B () W teo możlwośc dla upoządkowaego ozkładu możlwośc fukcja dysoasu zdefowaa jest jako: S () U() ( ) + j log, () gdze U() jest maą posyblstyczej eokeśloośc (U-epewość). Fukcja S() może być óweż wyażoa jako: S () ( ). Sumaycza epewość w teo faktów + j j j log () Poeważ w teo faktów steją obok sebe dwa typy epewośc, a maowce eokeśloość oaz ezgodość, wydaje sę sesowym dokoać połączea ma dotyczących tych epewośc w jedą maę. Lamata Moal (988) popoują wykozystać sumę algebaczą obu welkośc: ( m) N( m) S( m) NS + (4)
9 Maa NS spowadza sę do astępujących zależośc odpowedo dla teo faktów teo możlwośc: NS ( m) m( ) NS F log, (5) m B B F () ( ) + ( B) log. (6) Uwag:. NS wyaża sę w btach.. W pzypadku ozkładu pawdopodobeństwa NS pzyjmuje postać etop Shaoa..4 Wykozystae ma epewośc do ocey zbou faktów W popzedm pukce pzedstawoo podstawowe may epewośc zwązae z oceą zbou faktów. May te podzeloo a dwe zasadcze gupy:. May eokeśloośc,. May ezgodośc Maa eokeśloośc opea sę a fukcj Hatley a U() () dla dowolego zbou faktów (F,m) wyaża sę fukcją eokeśloośc U(m) (5). Okeśla oa stopeń edokładośc daych. W pzypadku zageżdżoych elemetów fokalych (ozkład możlwośc) moża stosować fomułę (). Może być oa óweż stosowaa do ocey epewośc zbou ozmytego. May ezgodośc pozwalają a stwedzee stopa koflktu pomędzy daym opeają sę o etopę Shaoa N(m) (6). W pzypadku ogólym dla dowolego zbou faktów (F,m) stosuje sę dwe may, a maowce maę ezgodośc E(m) (7) oaz maę zameszaa C(m) (8). Dla ozkładu pawdopodobeństwa may te są sobe ówe spowadzają sę do etop Shaoa N(m) (6). Fukcja ezgodośc E(m) jest ówa zeo wtedy tylko wtedy, gdy loczy mogoścowy faktów jest epusty. Mówmy wtedy, że mamy do czyea ze zgodym zboem faktów. Każdy ozkład możlwośc, ze względu a własość zageżdżea zwązay jest ze zgodym zboem faktów. Poadto jeśl dla daego ezagżdżoego zbó faktów otzymamy watość fukcj ezgodośc ówą zeo, moża go popzez odpowede pzekształcee spowadzć do zbou zageżdżoego (Dubos ad Pade 988). Oblczając zatem watość fukcj ezgodośc dla daego zbou faktów możemy a tej podstawe wybać odpowed ops do ch epezetacj. Jeśl maa ezgodośc ówa sę meze zameszaa oaz fukcja eokeśloośc ówa jest zeo, mamy do czyea z ozkładem pobablstyczym. Jeśl atomast fukcja ezgodośc jest ówa zeo, moża stosować ops posyblstyczy. Jak już wspomao wcześej do pomau koflktu w ogólej teo faktów stosuje sę fukcję dysoasu S(m). Po zsumowau tej may z maą eokeśloośc otzymuje sę maę epewośc dla daego zbou faktów, któa jest użytecza w dokoywau tasfomacj z opsu pobablstyczego a ops posyblstyczy odwote. j j
0 4. Tasfomacja ozkładu możlwośc a ozkład pawdopodobeństwa odwote Isteje wele metod tasfomacj z ozkładu pawdopodobeństwa a ozkład możlwośc odwote. Metody te zależą od typu ozwązywaego poblemu, zwązaego z daą tasfomacją. W ejszym opacowau omawa sę dwa odzaje tasfomacj, a maowce klasyczą już tasfomacje wpowadzoą pzez Dubos Pade (98), opatą o kocepcję edokładego pawdopodobeństwa oaz tasfomację Kla (99) zachowującą epewość daych podczas jej dokoywaa. 4. Podejśce Dubos Pade a Podejśce do teo możlwośc zapopoowae pzez Dubos Pade a (98), opea sę a kocepcj eówych pawdopodobeństw dla zdazeń elemetaych oaz edokładego pawdopodobeństwa (Shafe 976). Jeśl weźmemy pod uwagę zut moetą to mamy do czyea z astępującym zboem zdazeń elemetaych X { x ozel, x eszka}. Jeśl poadto założymy, że moeta jest zekształcoa (ag. based): p p p, gdze p ozacza pawdopodobeństwo zajśca zdazea x,,, moża wpowadzć stopeń potzeby (ag. ecessty) a kozyść zajśca zdazea x zdefoway astępująco: p p, co óweż ozacza emożlwość zajśca zdazea x. Odpowed stopeń możlwośc zajśca zdazea x wyaz sę astępującą zależoścą: p. (7) π utozy (Dubos ad Pade 98) defują pozostałe stope astępująco: 0,. π Wato zauważyć, że daemu zdazeu pzypoządkowaa jest paa (potzeba, możlwość). W opacu o pzedstawoą deę moża zdefować tasfomację pawdopodobeństwo - możlwość odwote. X x ;!,,. Do dalszych ozważań pzyjmjmy zbó zdazeń elemetaych: { }!, gdze Po( { x }), p Załóżmy, że p p p p oaz Po jest maą pawdopodobeństwa (4) zdefowaą zgode z aksjomatyczą defcją pawdopodobeństwa Bayesa. Załóżmy poadto, że { x,x,! x } oaz 0. Dubos Pade (98) wpowadzają astępującą defcję stopa potzeby. Defcja. Stopem potzeby zajśca zdazea X jest dodatkowa lość pawdopodobeństwa zwązaego ze zdazeam elemetaym ze zbou w poówau z loścą pawdopodobeństwa pzypsaą ajczęścej występującemu zdazeu e ależącemu do zbou : Nec ( ) max p j max p k, 0. (8) x x j k
Jeśl otzymujemy Nec u ( ) ( p p ),, j!, j gdze: p + 0. Na podstawe zależośc (6) otzymujemy(dubos ad Pade 98): pzy czym spełoy jest wauek: +, (9) ( ) j j π m p, p ( ) Po( ) Pos( ), (40) Nec. (4) Zależość (4) jest badzo waża z puktu wdzea paktyczego. Maa potzeby maa możlwośc mogą być tepetowae jako odpowedo góe dole ogaczee a maę pawdopodobeństwa. Iym słowy maa pawdopodobeństwa e może być wększa od may możlwośc mejsza od may potzeby. W paktyce, gdy e mamy do czyea z daym dokładym (p. opa ekspetów, bak zgodośc op ekspetów) jesteśmy w stae oblczyć pzedzał lczbowy w któym zajduje sę pawdopodobeństwo. Pzekształcee odwote do (40) wyaża sę zależoścą (Dubos ad Pade 98): gdze: π + 0. 4. Podejśce Kla ( π π )! j, (4),, p j j + Załóżmy, że mamy skończoe upoządkowae ozkłady możlwośc (,,!, ) pawdopodobeństwa p ( p, p,, ) oaz! p. Kl (99) popouje astępujące pzekształcee ozkład pawdopodobeństwa a ozkład możlwośc: gdze wykładk powe być dobay zgode z zależoścą: p,,,!, p, (4) ( p) N() + S(), 0 < < H (44) Pzekształcee odwote powo być zealzowae zgode z fomułą: p,,,!,, (45) k k
óweż dobeając zgode z zależoścą (44), któa ma zapewć zgodość pomędzy pawdopodobeństwem możlwoścą w sese (4). Tego typu tasfomacja jest jedozacza w obydwu keukach zawsze steje (Kl 99). Zgode z (6),(6) oaz (44) współczyk pzy tasfomacj pawdopodobeństwomożlwość ależy wyzaczyć a podstawe zależośc: p log p p+ p log p p p p j j, (46) atomast pzy tasfomacj możlwość - pawdopodobeństwo kozystając z fomuły: k k log k k ( + ) log j j (47) 4. Uwag dotyczące ealzacj umeyczej tasfomacj Tasfomacja wpowadzoa pzez Dubos Pade a (98) może być zealzowaa w badzo posty sposób, poeważ wymaga postych opeacj aytmetyczych. Może być óweż w posty sposób ozwęta dla pzypadku cągłego. Tasfomacja Kla wymaga, opócz postych opeacj algebaczych wyzaczea współczyka skalującego, co spowadza sę do ozwązaa ówaa (46) lub (47) ze względu a ta zmeą, czego e moża dokoać w sposób jawy poeważ w obydwu pzypadkach mamy do czyea z ówaam w postac uwkłaej. Boąc pod uwagę fakt dostępośc skuteczych metod umeyczych do ozwązywaa takch ówań, ozwązae ch z puktu wdzea umeyczego e powo staowć wększego poblemu. 5. Pzykłady oblczeowe 5. May epewośc (Kl 987) Dae zwązae z óżym typam omawaych ozkładów zaczepęto z pacy (Kl 987). W Tablcach, oaz zestawoo odpowedo ozkład możlwośc, ozkład pawdopodobeństwa oaz ogóly ozkład zbou faktów. Dla ozkładu możlwośc zdazea twozą zbó zageżdżoych podzboów, atomast dla ozkładu pawdopodobeństwa staową zdazea elemetae. Oblczoe watośc ma ezgodośc, zameszaa oaz eokeśloośc dla poszczególych ozkładów zestawoo w Tablcy 4. Wato zwócć uwagę, że dla ozkładu pawdopodobeństwa may ezgodośc zameszaa są sobe ówe, atomast maa eokeśloośc jest ówa zeo. Rozkład pawdopodobeństwa jest zawsze dokłady, atomast e jest gdy ozkładem zgodym. W pzypadku ozkładu możlwośc ozkładu zbou faktów występuje bak dokładośc, atomast w ozważaym pzypadku obydwa ozkłady są zgode, poeważ maa ezgodośc ówa jest zeo. W ogólym pzypadku dowoly zbó faktów e mus być zgody. Zbó możlwośc zawsze staow zgody zbó faktów, gdyż mamy zawsze do czyea z zageżdżoym elemetam fokalym.
Tablca. Rozkład możlwośc X x x x Maa możlwośc : m () Bel () Pl () 0 0 0 0 x4 0. 0. x 0 0 0.7 x x x 0. 0.5 x 4 x 0 0 0.5 x x 4 0 0. x 0 0 0.7 x x 0.4 0.5 x 0 0 0. x x 4 0 0. 0. x 0 0 0.7 x x 0 0.5 x x 0 0 0.5 x x 0 0. x x x 0 0. 0.7 x x x 4 0. x4 Tablca. Rozkład pawdopodobeństwa X x x x Maa pawdopodobeństwa : m () Bel () Pl () 0 0 0 0 x4 0. 0. 0. x 0. 0. 0. x x x 0 0.5 0.5 x 4 x 0.4 0.4 0.4 x x 4 0 0.7 0.7 x 0 0.6 0.6 x x 0 0.9 0.9 x 0. 0. 0. x x 4 0 0.4 0.4 x 0 0. 0. x x 0 0.6 0.6 x x 0 0.5 0.5 x x 0 0.8 0.8 x x x 0 0.7 0.7 x x x 4 0 x4
4 Tablca. Ogóly ozkład zbou faktów X x x x Maa teo faktów : m () Bel () Pl () 0 0 0 0 x4 0 0 0.8 x 0 0 0.7 x x x 0. 0. x 4 x 0 0 0.6 x x 4 0. 0. x 0. 0. x x 0. 0.5 x 0 0 0.5 x x 4 0 0 0.9 x 0 0 0.8 x x 0. 0.4 x x 0 0 0.9 x x 0. 0. x x x 0 0. x x x 4 0. x4 Tablca 4. May epewośc dla ozkładu możlwośc, pawdopodobeństwa oaz zbou faktów Maa Rozkład możlwośc Rozkład pawdopodobeństwa Rozkład zbou faktów E(m) 0.85 0 C(m)..85.0 U(m).0 0.5 5. Tasfomacja pawdopodobeństwo-możlwość Załóżmy, że mamy ozkład pawdopodobeństwa: p {( 0.0, x )(, 0., x )(, 0.5, x )(, 0., x )(, 0.5, x )(, 0.05, x )(, 0.0, x )}, 4 5 6 7 któy po upoządkowau pzyjme postać: p {( 0., x )(, 0.5, x )(, 0.5, x )(, 0., x )(, 0.05, x )(, 0.0, x )(, 0.0, x )} 4 5 6 7. Fukcja U-eokeśloość (5) pzyjme watość: 7 N ( p) p log x 0,
5 poeważ log x 0,,,!, 7, atomast etopa Shaoa (6): 7 H ( p) p log p. 40. Rys. Różca epewośc w fukcj współczyka W celu dokoaa tasfomacj z ozkładu pawdopodobeństwa a ozkład możlwośc ależy zaleźć tak współczyk, dla któego spełoa jest zależość dotycząca zachowaa may epewośc podczas tasfomacj (44), któa dla ozważaej tasfomacj pzyjmuje postać (46). Ze względów oblczeowych wygodej pzyjąć N (, ) + S(, ) H ( p, ) 0. Różca ta dla ozważaego pzypadku w fukcj współczyka pzedstawoa jest a Rys.. Pzyjmuje oa watość 0 dla 0.480. W kosekwecj otzymujemy astępujący upoządkoway ozkład możlwośc: {(.0, x )(, 0.9, x )(, 0.9, x )(, 0.680, x )(, 0.456, x )(, 0.648, x )(, 0.054, x )} 4 5 6 7, co daje: {( 0.648, x )(, 0.680, x )(, 0.9, x )(,.0, x )(, 0.9, x )(, 0.456, x )(, 0.054, x )} 4 5 6 7. Sumaycza epewość NS(), zwązaa z ozkładem, wyos.40. Wykozystując tasfomację zapopoowaą pzez Dubos Pade a (40) otzymujemy: 4 {(.0, x )(, 0.95, x )(, 0.95, x )(, 0.5, x )(, 0., x )(, 0., x )(, 0.4, x )} 4 5 6 7 oaz w postac eupoządkowaej: {( 0., x )(, 0.5, x )(, 0.95, x )(,.0, x )(, 0.95, x )(, 0., x )(, 0.4, x )} 4 5 6 7.
6 Sumaycza maa epewośc dla otzymaego ozkładu możlwośc wyos NS().54 jest mejsza od may epewośc dla ozważaego ozkładu pawdopodobeństwa. 6. Uwag wosk W opacowau pzedstawoo tzy alteatywe metody opsu epewośc a guce teo faktów Shafea, a maowce teoę pawdopodobeństwa, teoę możlwośc oaz teoę zboów ozmytych. Omówoo podstawowe may epewośc, zwązae z ozważaym opsam oaz ch własośc. Ze względu a óże typy daych, występujących w zagadeu aalzy yzyka złożoych systemów pzemysłowych, a podstawe daych lteatuowych, zapopoowao metody tasfomacj daych pobablstyczych a posyblstycze odwote. Pokazao óweż zależość pomędzy zboem ozmytym maą możlwośc, stosowaą w opse pobablstyczym. Zawato uwag dotyczące ealzacj umeyczej pzedstawoych metod tasfomacj. Należy podkeślć, że metoda tasfomacj, zapopoowaa pzez Kla (99) zachowuje epewość daych w sese zdefowaych ma epewośc. Z dugej jedak stoy mmo, że tasfomacja wpowadzoa pzez Dubos Pade a (98) e zachowuje epewośc, jest dobze uzasadoa w opacu o kocepcję zekształcoego ekspeymetu losowego. Lteatua Dubos D., Pade H. 98. Ufa cos ad ecessty measues: towads a possblstc tepetato of hstogams. Fuzzy Sets ad Systems 0:5-0. Dubos D., Pade H. 986. Fuzzy sets ad statstcal data. Euopea J. Opeatoal Reseach 5: 45-56. Dubos D., Pade H. 988. Possblty Theoy. appoach to computezed Pocessg of Ucetaty. New Yok: Pleum Pess. Hatley R.V.L. 98. Tasmsso of fomato. The Bell System Techcal J., 7: 55-56. Hoele U. 98. Etopy wth espect to plausblty measues. Poc. th IEEE Ite. Symp. o Multple Valued-Logc: 67-69. Hgash M., Kl G.J. 98. O the oto of dstace epesetg fomato closeess: Possblty ad pobablty dstbutos. Ite. J. Geeal Systems 9 (): 0-5. Kl G., Folga T. 987. Fuzzy Sests, Ucetaty ad Ifomato, Petce Hall. Kl G.J. 99. Developmets Uceaty-Based Ifomato. I dvaces Computes (M. C. Yovts Ed.) cademc Pess: Hacout Bace Jovaovch, New Yok. Lamat M.T. Moal S. 988. Measues of etopy the theoy of evdece. Ite. J. of Geeal Systems 4 (4): 97-05. Mooe R. 966. Iteval alyss. Eglewood Clffs: Petce Hall. Shafe G. 976. Mathematcal Theoy of Evdece. Pceto Uvesty Pess, Pceto, New Jesey. Shao C.E. 948.The mathematcal theoy of Commucato. He Bell System Techcal Joual 7: 79-4,6-656. Yage R.R. 98. Etopy ad specfcty mathematcal theoy of evdece. Iteatoal Joual of Geeal Systems 9 (4):49-60. Zadeh L.. 978. Fuzzy sets as a bass fo atheoy of possblty. Fuzzy Sets ad Systems (): -8.