Całki powierzchniowe w R n

Całki powierzchniowe w R n Na początek małe uzupełnienie z algebry liniowej. Niech R n k oznacza przestrzeń liniową macierzy o n wierszach i k kolumnach. Dla dowolnej macierzy A R n k, gdzie k n, połóżmy δ(a) [A] M 2, gdzie M przebiega wszystkie minory maksymalnego rzędu macierzy A. W przypadku macierzy kwadratowej δ(a) det A. Dla dowolnej macierzy δ(a) > 0 wtedy i tylko wtedy, gdy macierz A jest maksymalnego rzędu. Wzór Cauchy ego-bineta mówi, że jeśli k n, to 0.1. Zadanie. Jeśli ponadto B R n k, to M δ(a) det A T A 1/2. δ(b T A) δ(b)δ(a). Dla wektorów a 1, a 2,..., a k będziemy pisać δ(a 1, a 2,..., a k ) δ(a), gdzie A (a 1, a 2,..., a k ) jest macierzą, której kolumny tworzą wektory a j. Dla takiej macierzy δ(a) > 0 {a j } k j1 są liniowo niezależne. Niech a j R n dla 1 j k, gdzie 1 k < n. Jeśli wektory a j są liniowo zależne, to miarę v k (R) równoległościanu R [a 1, a 2,..., a k ] określamy jako zero. Jeśli są niezależne, to definiujemy ją jako miarę Jordana tegoż równoległościanu na k-wymiarowej podprzestrzeni R n rozpiętej przez wektory a j. Podobnie określamy k-wymiarową miarę v k () sympleksu < a 1, a 2,..., a n >. 0.2. Miara k-wymiarowa równoległościanu R [a 1, a 2,..., a k ] R n jest równa v k (R) δ(a 1, a 2,..., a k ). Podobnie, miara k-wymiarowa sympleksu < a 1, a 2,..., a k > R n jest równa Dowód. Jeśli wektory są liniowo zależne, to v k () δ(a 1, a 2,..., a k )/k!. v k (R) 0 δ(a 1, a 2,..., a k ). Przyjmijmy teraz, że a j są liniowo niezależne i niech V będzie k-wymiarową podprzestrzenią R n generowaną przez te wektory. Niech e 1, e 2,..., e n będzie 0-1 bazą w R k, a A : R k R n przekształceniem liniowym, takim że Ae j a j dla 1 j k. Wtedy wektory a j stanowią bazę V. Po ortogonalizacji Grama chmidta i uzupełnieniu otrzymanej

2 bazy ON w V do bazy ON w R n macierz odwzorowania A przyjmie postać b 11 b 12... b 1k 0... 0 0 b 21... b 2k 0... 0..................... A 0 0... b kk 0... 0, 0 0... 0 0... 0..................... 0 0... 0 0... 0 skąd nietrudno odczytać, że gdzie B (b ij ). v k (R) det R k,v A det B δ(a) δ(a 1, a 2,..., a k ). 0.3. Lemat. Niech a j M i h j εm dla każdego 1 j k, gdzie ε 1. Wtedy det(a 1 + h 1, a 2 + h 2,..., a k + h k ) det(a 1, a 2,..., a k ) k2 k 1 M k ε. 0.4. Wniosek. Niech a j M i h j εm dla każdego 1 j k, gdzie ε 1/3. Niech A (a 1, a 2,..., a k ), A h (a 1 + h 1, a 2 + h 2,..., a k + h k ). Wtedy gdzie Dowód. Z nierówności δ(a h ) δ(a) CM 2k ε δ(a), a b C 3 2 k 1 k k/2+1. a b a b a + b a widzimy, że gdzie oraz Zatem gdzie δ(a h ) δ(a) det(at h A) det AT A, δ(a) A T h A h ((A h ) 1, (A h ) 2,..., (A h ) k ), A T A (A 1, A 2,..., A k ) < a 1 + h 1, a j + h j > < a 1, a j > (A h ) j < a 2 + h 2, a j + h j >..., A j < a 2, a j >.... < a k + h k, a j + h j > < a k, a j > (A h ) j A j + H j, < a 1, h j > + < h 1, a j > + < h 1, h j > H j < a 2, h j > + < h 2, a j > + < h 2, h j >... < a k, h j > + < h k, a j > + < h k, h j >,

a wobec tego Ostatecznie więc na mocy lematu H j 3ε km 2, A j km 2. δ(a h ) 2 δ(a) 2 3 2 k 1( k k ) k M 2k ε. Następujące twierdzenie motywuje naszą definicję całki i miary powierzchniowej. 0.5. Twierdzenie. Niech ϕ : [0, 1] k R n będzie odwzorowaniem regularnym. Niech π będzie podziałem kostki [0, 1] k R k na sympleksy postaci Oznaczmy Wówczas conv{a, a + w 1, a + w 2,..., a + w k }, w k r. r > 0. ϕ () conv{ϕ(a), ϕ(a + w 1 ), ϕ(a + w 2 ),..., ϕ(a + w k )}. lim v k (ϕ ()) δ(ϕ (x)) dx. δ(π) 0 π [0,1] n 0.6. waga. Zbiory ϕ (), to sympleksy wpisane w powierzchnię ϕ([0, 1] n ). Punkty ϕ(a), ϕ(a + w 1 ), ϕ(a + w 2 ),..., ϕ(a + w k ) leżą bowiem na powierzchni, a ϕ (a + ) jest ich wypukłą otoczką. Zatem suma v k (ϕ ()) π to k-wymiarowa miara powierzchni wielościanu wpisanego w ϕ([0, 1] n ), która zgodnie z naszą intuicją aproksymuje miarę k-wymiarową samej powierzchni. Dowód. Niech T ϕ (a). Dowód polega na porówaniu miary sympleksu ϕ () z miarą sympleksu T (). Jako że ϕ jest klasy C 1, dla każdego ε > 0 istnieje δ > 0, taka że dla r < δ ϕ(a + w j ) ϕ(a) T (w j ) εr i oszacowanie to jest jednostajne ze względu na wszystkie sympleksy wchodzące w podziały [0, 1] k. W takim razie ϕ(a + w j ) ϕ(a) T (w j ) + h j, gdzie h j rε, podczas gdy ϕ(a + w j ) ϕ(a) Mr i T (w j ) Mr dla pewnej stałej M 1. tosując Wniosek 0.4, otrzymujemy v k (ϕ () v k (ϕ ()) Cεr k C 1 v k (). skąd v k (ϕ ()) v k (ϕ (a)()) C 1ε v k () C 1 ε. π π π Pozostaje jeszcze zauważyć, że v k (ϕ (a)() δ(ϕ (a))v k (), by otrzymać zapowiedzianą tezę. Od tej pory będziemy zawsze zakładali, że 1 k < n. 3

4 0.7. Definicja. Niech będzie mierzalnym obszarem w R k. Niech ϕ : R n będzie różnowartościowym odwzorowaniem klasy C 1 w otoczeniu Ū, którego pochodna ma zawsze rząd k. Wtedy ϕ() będziemy nazywali płatem i mówili, że ϕ jest parametryzacją płata. Jeśli ϕ() jest płatem, to przyjmiemy też oznaczenie ϕ(ū). 0.8. Definicja. Funkcja f określona na płacie ϕ() nazywa się całkowalna, jeśli funkcja f ϕ jest całkowalna na. Dla takiej funkcji f piszemy f R() i definiujemy f(x) dx f(ϕ(u))[ϕ (u)] du. Jak wiemy, często płat może mieć wiele parametryzacji. Jeśli ψ : V jest inną parametryzacją płata, to, jak wiemy z twierdzenia o rzędzie α ϕ 1 ψ : V jest dyfeomorfizmem. Będziemy mówili, że parametryzacje są zgodnie zorientowane, jeśli det α (x) > 0. Na mocy twierdzenia o zamianie zmiennej i Zadania 0.1 f(ϕ(u))[ϕ (u)] du f(ϕ(u))[ϕ (u)] du α(v ) V f(ψ(v))[ϕ (α(v))] det α (v) dv V f(ψ(u))[ψ (v)] dv, co pokazuje, że definicja całki i definicja całkowalności funkcji nie zależą od wyboru parametryzacji. Mówimy, że podzbiór płata ϕ() jest mierzalny, jeśli zbiór ϕ 1 (F ) jest mierzalny. Jego miarę definiujemy w naturalny sposób: v k (F ) [ϕ (u)] du. ϕ 1 (F ) Podobnie jak w przypadku 2-wymiarowym definiujemy też całki powierzchniowe zorientowane f(x) dx 1... dx j 1 dx j... dx n f(ϕ(u))p j (u) du. ϕ() przyjmijmy dla wygody oznaczenie f(x) dx j f(x) dx 1... dx j 1 dx j... dx n. 0.9. Zadanie. Pokaż, że zmiana parametryzacji na inną zgodnie zorientowaną zachowuje wartość całki zorientowanej, natomiast zmiana parametryzacji na przeciwnie zorientowaną zmienia znak całki. Zauważmy, że ϕ() f(x) dx j ϕ() < f(x), n j (x) > dx. 0.10. waga. Jeśli ϕ : R n zadaje płat n 1 wymiarowy, to wektor o współrzędnych p j (x) ( 1) j (ϕ 1,..., ϕ j 1, ϕ j+1,..., ϕ n )(x) 1 2... n jest wektorem prostopadłym do ϕ() w punkcie ϕ(x) i [ϕ (x)] p(x).

Przyjmijmy oznaczenie n(x) p(x) p(x). Wektor n będziemy nazywali wektorem normalnym płata ϕ(). Niech Ω R n będzie obszarem. Jeśli jego brzeg jest postaci gdzie j są parami rozłącznymi płatami dla 1 j N, to mówimy, że Ω ma brzeg kawałkami regularny. Jeśli ponadto orientacja parametryzacji płatów jest taka, że wektor prostopadły p jest skierowany zawsze na zewnątrz obszaru, to mówimy, że jest dodatnio zorientowany. Przykład. Niech będą dane dwie funkcje ψ ϕ klasy C 1 na domknięciu zbioru otwartego, którego brzeg ma kawałkami regularną parametryzację. Niech N j1 j, Ω {(x, y, z) : (x, y), ψ(x, y) < z < ϕ(x, y)}. Taki zbiór nazwiemy walcem krzywoliniowym. Nietrudno zobaczyć, że brzeg Ω ma naturalną kawałkami regularną parametryzację Ω j j. 5 Wiadomo też, które z płatów j nazwiemy ścianami bocznymi Ω. Dla każdego j przyjmijmy, że wektor normalny p j jest skierowany na zewnątrz. Wtedy ϕ(x ) xn f(x) dx z f(x) dx x d x Ω ψ(x ) f(x, ψ(x )) dx f(x, ϕ(x )) dx ( 1) n+1 f(x) dx n. Niech F : R n będzie polem wektorowym klasy C 1 w otwartym zbiorze R n. Przypomnijmy, że dywergencją pola F nazywamy funkcję n div F (x) Tr F (x) k F k (x). Przykład. Niech Ω K(0, 1). Dla ustalonego ε > 0 niech Ω ε {(x K(0, 1) : x < 1 ε}, x (x, x n ) R n. k1 Wtedy Ω e jest walcem krzywoliniowym o osi x n, więc xn f(x) dx ( 1) n+1 Ω ε b(ω ε) f(x) dx n. Nietrudno jednak zauważyć, że v(ω) v(ω ε ) 0, v n 1 () v n 1 (b(ω ε )) 0,

6 gdy ε 0, skąd Ω xn f(x) dx ( 1) n+1 f(x) dx n. Tę samą obserwację możemy przeprowadzić dla każdej z pozostałych osi, więc ostatecznie n div F (x) dx ( 1) j+1 F j (x) dx j < F (x), x > dx K(0,1) j1 (0,1) (0,1) dla każdego pola wektorowego klasy C 1 na otoczeniu kuli, bo wektorem normalnym zewnętrznym do sfery jest n(x) x. W ten sposób wyprowadziliśmy wzór Gaussa-Greena dla kuli. 0.11. Wniosek. Jeśli F jest polem wektorowym klasy C 1 na otwartym podzbiorze R n, to dla każdego a 1 lim < F (x), x a > dx div F (a). r 0 v(k(a, r)) (a,r) Wzorem Gaussa-Greena dla mierzalnego obszaru Ω o brzegu kawałkami regularnym będziemy nazywali tożsamość n div F (x) dx ( 1) j+1 F j (x) dx j < F (x), n(x) > dx, Ω j1 gdzie n jest wektorem normalnym zewnętrznym, która zachodzi dla każdego pola wektorowaego klasy C 1 na otoczeniu Ω. 0.12. Zadanie. prawdź, że jeśli wzór Gaussa-Greena zachodzi dla obszaru Ω, to zachodzi również dla jego ortogonalnego obrazu. Niech będzie dany zbiór Ω R n. Mówimy, że Ω ma triangulację walcami krzywoliniowymi Ω j o osi OX j, jeśli Ω Ω j, j gdzie Ω j są parami rozłączne. 0.13. Twierdzenie. Jeśli obszar mierzalny Ω R n ma dodatnio zorientowany brzeg kawałkami regularny, a ponadto triangulację ze względu na każdą oś walcami krzywoliniowymi, to dla każdego pola wektorowego F klasy C 1 ( Ω) zachodzi wzór Gaussa-Greena. Pełne twierdzenie Gaussa-Greena podajemy bez dowodu. 0.14. Twierdzenie. Jeśli obszar mierzalny Ω R n ma dodatnio zorientowany brzeg kawałkami regularny, to dla każdego pola wektorowego F klasy C 1 ( Ω) zachodzi wzór Gaussa- Greena. Przykład. Niech Ω będzie obszarem mierzalnym w R 3 z brzegiem kawałkami regularnym. Niech a R 3 \. Całkę < x a, n(x) > cos < x a, n(x) > G(a) x a 3 dx x a 2 dx

nazywamy całką Gaussa względem powierzchni. Polem wektorowym, które się tu całkuje jest F (x) x a x a 3, x R3 \ {a}. Obliczmy jego dywergencję Mamy skąd div F (x) x1 F 1 (x) + x2 F 2 (x) + x3 F 3 (x). F j (x) x j a j x a 3, xj F j (x) 1 3(x j a j ) 2 x a 2, a więc div F (x) 0 dla x a. tosując wzór Gaussa-Greena < x a, n(x) > x a 3 dx Ω div F (x) dx widzimy, że całka Gaussa znika dla a R 3 \ Ω. Aby obliczyć G(a) dla a Ω wybierzmy ε > 0, tak mały, by K(a, ε) Ω i zdefiniujmy nowy obszar Ω \ K(a, ε). Jest jasne, że b() (a, ε), przy czym wektor normalny na sferze jest skierowany na zewnątrz a więc do wnętrza K(a, ε). Punkt a / Ū, więc a stąd Tak więc G(a) b() (a,ε) b() < x a, n(x) > x a 3 dx 0, < x a, n(x) > < x a, x a > x a 3 dx + (a,ε) x a 4 dx dx x a 2 v 2((0, 1)) 4π. G(a) { 4π, a Ω, 0, a / Ω. Niech ϕ() będzie płatem. Zbiór ϕ(b()) będziemy nazywali brzegiem płata i oznaczali przez. Wskazana jest tu pewna ostrożność, bo brzeg płata jest brzegiem względnym, tzn. powierzchniowym, a nie jako podzbioru R n. Będziemy mówili, że brzeg płata jest kawałkami regularny, jeśli brzeg zbioru R k jest kawałkami regularny. Jeśli γ wyznacza dodatnią orientacją brzegu, to ϕ γ wyznacza dodatnią orientację brzegu płata. Jeśli F jest polem wektorowym w R 3, to wektor 2 F 3 (x) 3 F 2 (x) rot F (x) F (x) 3 F 1 (x) 1 F 3 (x) 1 F 2 (x) 2 F 1 (x) nazywamy jego rotacją. 7

8 0.15. Twierdzenie (Wzór tokesa). Niech będzie regularnym płatem dwuwymiarowym w R 3 z brzegiem kawałkami regularnym i dodatnio zorientowanym. Wówczas dla każdego pola F klasy C 1 w otoczeniu < rot F (x), n(x) > dx F 1 (x) dx 1 + F 2 (x) dx 2 + F 3 (x) dx 3. Dowód. Niech ϕ : R 3 będzie parametryzacją płata, a γ : [a, b] R 2 parametryzacją brzegu. Wtedy ϕ γ : [a, b] R 3 jest parametryzacją brzegu płata. Niech f będzie funkcją klsy C 1 w otoczeniu. Wtedy b f(x) dx 1 f(ϕ(γ(t)))(ϕ 1 γ) (t) dt (0.16) a b a f ( 1 ϕ 1 (γ 1 ) + 2 ϕ 1 (γ 2 ) ) dt (f ϕ) 1 ϕ 1 du 1 + (f ϕ) 2 ϕ 1 du 2 b() ) )) ( 1 ((f ϕ) 2 ϕ 1 2 ((f ϕ) 1 ϕ 1 du 1 du 2, gdzie ostatnia równość wynika z twierdzenia Greena. Różniczkując wyrażenie podcałkowe przekonujemy się, że jest ono równe ( ) 3 f(ϕ(u)) 2 ϕ 1 (u) 1 ϕ 3 (u) 2 ϕ 3 (u) 1 ϕ 1 (u) ( ) 2 f(ϕ(u)) 1 ϕ 1 (u) 2 ϕ 2 (u) 1 ϕ 2 (u) 2 ϕ 1 (u) a zatem 3 f(ϕ(u)) p 2 (u) 2 f(ϕ(u) p 3 (u), f(x) dx 1 3 f(x) dx 3 dx 1 2 f(x) dx 1 dx 2. Przez cykliczną zamianę zmiennych otrzymujemy F 1 (x) dx 1 3 F 1 (x) dx 3 dx 1 2 F 1 (x) dx 1 dx 2 F 2 (x) dx 2 1 F 2 (x) dx 1 dx 2 3 F 2 (x) dx 2 dx 3 F 3 (x) dx 3 2 F 3 (x) dx 2 dx 3 1 F 3 (x) dx 3 dx 1, co po dodaniu stronami daje wzór tokesa.