WYKŁAD 2 1 2. FUNKCJE. 2.1.PODSTAWOWE DEFINICJE. Niech będą dane zbiory i. Jeżeli każdemu elementowi x ze zbioru,, przyporządkujemy jeden i tylko jeden element y ze zbioru, to takie przyporządkowanie nazwiemy FUNKCJĄ, lub inaczej powiemy, że na zbiorze została określona FUNKCJA o wartościach w zbiorze : y fx. Przyporządkowanie, odwzorowanie lub przekształcenie to pojęcia, którymi zamiennie określa się funkcje. Elementy zbioru nazywamy argumentami funkcji, zaś elementy y fx zbioru nazywamy wartościami funkcji lub obrazami elementów x. Zbiór nazywamy DZIEDZINĄ funkcji i zwykle oznaczamy symbolem :. Zbiór wszystkich y fx jest podzbiorem zbioru Y i nazywamy go PRZECIWDZIEDZINĄ lub ZBIOREM WRTOŚCI FNKCJI lub OBRAZEM funkcji f i oznaczamy :. WYKRESEM funkcji f nazywamy podzbiór produktu kartezjańskiego taki, że : para x, y y fx. FUNKCJE możemy przedstawiać wzorem, w postaci grafu, tablicy lub wykresu. Najczęstszym sposobem przedstawiania funkcji jest podanie jej wzoru. Nie należy jednak utożsamiać funkcji z jej wzorem. Weźmy następujące przykłady :,,,,
Jak widać na powyższym rysunku, każda z funkcji, jest inna, mimo że wzór dla wszystkich trzech funkcji jest taki sam. 2 Jeżeli funkcja podana jest wzorem, lecz nie narzucono jej dziedziny, to należy rozumieć, że jej dziedziną jest zbiór tych wszystkich liczb rzeczywistych, dla których wykonalne jest działanie określone podanym wzorem. Na przykład : : ZADANIA : = Określ dziedzinę następujących funkcji : =, =. + = =,, = +, + = =, ), = + +, + = =,, =, > 0 = > 1 > 0 + > 0 =,,., Wyznaczenie zbioru wartości funkcji na podstawie jej wzoru jest zwykle trudne. Dużo łatwiej jest określić zbiór wartości funkcji jeśli wykona się jej wykres. ZADANIA : Określ zbiór wartości następujących funkcji : =, ś =,,, =,,,,, =, ś = = = ó h h = 0, 2, 4, 6, 8,.., =, ś =, = 4, 4, =, ś = =, =, ś = =, ). WYKRESEM funkcji f nazywamy podzbiór produktu kartezjańskiego taki, że : = para x, y y = fx. Sporządzając wykres funkcji korzystnie jest wykonać uprzednio tabelkę, określającą wartości funkcji argumentów tej funkcji. Wykonanie takiej pełnej tabelki wielokrotnie nie jest możliwe.
Wykonujemy zatem częściową tabelkę, w której dobieramy tak wartości argumentów, aby uchwycić najważniejsze własności funkcji. - przykłady : 3 1,, 0,,,,,,, x -2 2 y -4 4,,, x y -4-2 0 2 4 4 2 0 2 4
4,,,, x 0 y 0 1 2.25 4 6.25 9-1 -1.5-2 -2.5-3 2.2.WŁASNOŚCI FUNKCJI. MIESCEM ZEROWYM FUNKCJI nazywamy wartość tego argumentu, dla którego wartość funkcji wynosi zero, tzn.. - przykłady :,,,,, ale -3 - zatem funkcja nie posiada miejsca zerowego.,. Funkcja jest ODWZOROWANIEM RÓŻNOWARTOŚCIOWYM, krótko, wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej pary, należących do zbioru takich, że, odpowiednie wartości funkcji x i x są różne, czyli : - przykłady funkcji różnowartościowych:,, ż x x.
- przykłady funkcji nie różnowartościowych: 5 Funkcja STAŁA :,, to taka funkcja, która dla każdego x, należącego do zbioru, przyjmuje wartość stałą c ze zbioru : : =, dla =. RÓWNOŚĆ DWÓCH FUNKCJI Funkcje są równe wtedy i tylko wtedy, gdy mają identyczne dziedziny oraz gdy dla każdego argumentu należącego do ich wspólnej dziedziny, wartości obu funkcji są równe : = = =. - przykłady : = =, = =, ą ó, ż. = + =, = = + =, ą ó, ż. MONOTONICZNOŚĆ FUNKCJI Funkcję liczbową nazywamy ROSNĄCĄ w zbiorze ż żąh h, ż < <. Funkcję liczbową nazywamy MALEJĄCĄ w zbiorze ż żąh h, ż < >. Jeśli funkcja jest rosnąca (malejąca) w zbiorze to jest ona w tym zbiorze różnowartościowa.
- przykład : 6 Zbadaj monotoniczność funkcji, - przeprowadźmy analizę dla : 1 -, 0 niech na przykład czyli to, - czyli w tym przedziale funkcja jest malejącą, 2-0, niech na przykład czyli to, - czyli w tym przedziale funkcja jest również malejącą, 3 -, 0 0, niech na przykład czyli to,, - czyli w całej dziedziniee funkcja nie jest malejącą, natomiast jest malejąca w zbiorach,,. FUNKCJE PARZYSTE I NIEPARZYSTE Funkcję liczbową nazywamy PARZYSTĄ wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby, liczba, oraz :. Przykłady funkcji parzystych przedstawiono na poniższym rysunku : Przykładami funkcji parzystych są następujące funkcje:,,.
7 Funkcję liczbową nazywamy NIEPARZYSTĄ wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby, liczba, oraz = : =. Przykłady funkcji nieparzystych przedstawiono na poniższym rysunku Przykładami funkcji nieparzystych są następujące funkcje : =, = =. Dziedziny funkcji parzystych i nieparzystych muszą być zbiorem symetrycznym względem =. Wykres funkcji parzystej jest symetryczny względem osi OY układu współrzędnych, zaś wykres funkcji nieparzystej jest symetryczny względem początku układu współrzędnych. Większość jednak spotykanych funkcji nie spełnia warunków parzystości i nieparzystości. Są to funkcje, które nie są ani parzyste, ani nieparzyste. ZADANIA : Zbadaj czy dana funkcja jest parzysta lub nieparzysta: = +. - określamy dziedzinę funkcji =,czyli zbiór symetryczny względem x=0, - określamy wartość funkcji dla argumentu -x = + = + = funkcja ta jest parzysta. =. - określamy dziedzinę funkcji =,czyli zbiór symetryczny względem x=0, - określamy wartość funkcji dla argumentu -x = = funkcja ta nie jest parzysta, ale = = + funkcja ta nie jest też nieparzysta. =. - określamy dziedzinę funkcji =,czyli zbiór symetryczny względem x=0, - określamy wartość funkcji dla argumentu -x = =. = funkcja ta jest parzysta.
8 =. - określamy dziedzinę funkcji = 2, 2,czyli zbiór symetryczny względem x=0, - określamy wartość funkcji dla argumentu -x = () = = = funkcja ta jest nieparzysta. =. () - określamy dziedzinę funkcji = 1, 4, czyli zbiór, który nie jest symetryczny względem x=0, a zatem funkcja ta nie jest parzystą ani też nieparzystą. FUNKCJE OKRESOWE. Funkcję nazywamy OKRESOWĄ wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taka liczba, że dla każdej liczby, liczba + i zachodzi równość + =. + + =. Przykładami funkcji okresowych są następujące funkcje : =, =, =, =,
= +, =. 9 FUNKCJE OGRANICZONE. Funkcję nazywamy OGRANICZONĄ Z DOŁU wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taka liczba, że dla każdej liczby, jest spełniony warunek. Funkcję nazywamy OGRANICZONĄ Z GÓRY wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taka liczba, że dla każdej liczby, jest spełniony warunek. Funkcję nazywamy OGRANICZONĄ wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją takie liczby, że dla każdej liczby, jest spełniony warunek. - przykłady : : = ł. ę 0, : = ł, ó, : = ł. ę 1 ó 1. WARTOŚĆ NAJWIĘKSZA I NAJMNIEJSZA FUNKCJI. Funkcja liczbowa przyjmuje WARTOŚĆ NAJWIĘKSZĄ, wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego zachodzi nierówność. Funkcja liczbowa przyjmuje WARTOŚĆ NAJMNIEJSZĄ, wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego zachodzi nierówność. TWIERDZENIE 1. Funkcja liczbowa, która przyjmuje WARTOŚĆ NAJWIĘKSZĄ jest OGRANICZONA Z GÓRY. 2. Funkcja liczbowa, która przyjmuje WARTOŚĆ NAJMNIEJSZĄ jest OGRANICZONA Z DOŁU.
2.3 FUNKCJE ZŁOŻONE. 10 ZŁOŻENIEM DWÓCH FUNKCJI nazywamy FUNKCJĘ : = = kż. Funkcję nazywamy pierwszą (wewnętrzną), zaś funkcję nazywamy drugą (zewnętrzną). Złożenie dwóch funkcji f i g przedstawia poniższy rysunek : - na przykład : - = + 2 oraz g = to złożenie : = = = + 2, oraz k = = = + 2 = + 2. SKŁADANIE FUNKCJI NIE JEST OPERACJĄ PRZEMIENNĄ, tzn. istnieją takie funkcje f i g, że :. Składać można więcej niż dwie funkcje, np., to = =. SKŁADANIE FUNKCJI JEST OPERACJĄ ŁĄCZNĄ, tzn. =. 2.4 FUNKCJA ODWROTNA Jeżeli funkcja f jest funkcją różnowartościową to istnieje do niej funkcja odwrotna. Z grubsza mówiąc, FUNKCJĄ ODWROTNĄ do danej funkcji różnowartościowej f jest taka FUNKCJA, która cofa działanie funkcji f. Wyznaczając najpierw wartość funkcji f dla argumentu x, a następnie wartość funkcji odwrotnej dla argumentu, otrzymujemy wartość argumentu x, dla którego wykonywaliśmy obliczenia. FUNKCJA jest ODWRACALNA wtedy i tylko wtedy, gdy jest RÓŻNOWARTOŚCIOWA i przekształca zbiór X NA zbiór Y. FUNKCJĘ nazywamy ODWROTNĄ do funkcji, jeżeli : = i = ZW oraz = h
11 Przykład tak zdefiniowanej funkcji przedstawiono w sposób graficzny na rysunku : = =, =, = =, =, Nie wszystkie funkcje mają funkcje odwrotne. Funkcje, które mają funkcję odwrotną nazywamy FUNKCJAMI WZAJEMNIE ODWRACALNYMI. - na przykład : - funkcje = i = o dziedzinach = = < 0, ) są wzajemnie odwracalnymi. - funkcje = i = o dziedzinach = i = są wzajemnie odwracalnymi. - funkcje = jest funkcją odwrotną dla samej siebie w zbiorze R\.