Przykład 1 Wieloetapowe zagadnienia transportowe Dwóch dostawców o podaży 40 i 45 dostarcza towar do trzech odbiorców o popycie 18, 17 i 26 za pośrednictwem dwóch punktów pośrednich o pojemnościach równych 50. Jednostkowe koszty transportu podają tabele 1 i 2: P1 P2 D1 1 4 D2 3 5 O1 O2 O3 P1 1 2 8 P2 3 7 11 Wyznaczyć rozwiązanie minimalizujące łączne koszty, jeśli wiadomo, że dostawcy chcą się pozbyć całości swojego towaru, zaś nadmiar będzie magazynowany w punktach pośrednich w cenie 3 i 2 za jednostkę. Dla rozwiązania optymalnego obliczyć koszty transportu od dostawców do punktów pośrednich, koszty transportu z punktów pośrednich do odbiorców i koszty magazynowania. Rozwiązanie D1 (40) D2 (45) P1 (50) P2 (50) P1(50) P2 (50) O1 (18) O2 (17) O3 (26) FO (24) GUSEK set Dostawcy; set Odbiorcy; param a{dostawcy}; param b{odbiorcy}; param z{dostawcy, Odbiorcy}; var x{dostawcy, Odbiorcy} >=0; minimize cost: sum{i in Dostawcy, j in Odbiorcy} z[i,j] * x[i,j]; # popyt odbiorców nie przekracza podaży s.t. podaz{i in Dostawcy}: sum{j in Odbiorcy} x[i,j] <= a[i]; # podaż dostawców co najmniej taka jak popyt s.t. popyt{j in Odbiorcy}: sum{i in Dostawcy} x[i,j] >= b[j]; data; Przykład 2 Dwa zakłady (podaż 28,24) dostarczają towar do dwóch odbiorców (popyt 20, 17) za pośrednictwem dwóch hurtowni (pojemność 25, 30). Koszty transportu z zakładów do hurtowni i z hurtowni do odbiorców podają tabele:
H1 H2 Z1 9 10 Z2 12 6 O1 O2 H1 1 4 H2 6 5 Wyznaczyć rozwiązanie minimalizujące łączne koszty, jeśli wiadomo, że zakłady produkują dokładnie tyle towaru, ile żądają odbiorcy. Dla rozwiązania optymalnego obliczyć koszty transportu z zakładów do hurtowni i z hurtowni do odbiorców. Rozwiązanie Z1 (28) Z2 (24) H1 (25) H2 (30) H1 (25) H2 (30) O1 (20) O2 (17) FO (15) Przykład 3 Przedsiębiorstwo posiada w kraju osiem dużych domów towarowych. Dyrektor handlowy postanowił znacznie obniżyć cenę jednego z droższych towarów, aby zlikwidować nadmierne zapasy przedsiębiorstwa. Przed rozpoczęciem kampanii reklamowej, zarząd zamierza rozprowadzić między ośmioma domami zapasy tak, aby dostosować je do przewidywanych możliwości sprzedaży. Rysunek poniżej przedstawia poszczególne domy towarowe jako ponumerowane węzły. Dodatnie liczby przy węzłach oznaczają nadmierną ilość zapasów, które powinny być przekazane innym domom towarowym; liczby ujemne wskazują dodatkowe zamówienia zgłoszone przez dany dom towarowy. Jednostkowe koszty transportu między węzłami podano nad linią łączącą węzły. Podaj optymalny plan przewozów oraz minimalny koszt rozwozu towaru.
Rozwiązanie Zapisujemy problem w tablicy transportowej: F2 F3 F4 F5 F6 F7 F8 a i F1 2 M M M M M M 10 F2 0 2 M 3 M M M 12 F4 M 4 0 2 M 2 M 14 F5 M M 1 0 5 M M 12 F6 M M M M 0 3 M 12 F7 M M M M M 0 2 12 b j 12 3 12 12 13 12 8 - W tablicy wyróżniamy trzy rodzaje punktów: dostawcy (tylko wysyłają towar) tj. F1, odbiorców (tylko odbierają towar) tj. F8 i F3 oraz punkty pośrednie (zarówno wysyłają jak i odbierają towar) tj. F2, F5, F6, F4, F7, F8. Obliczamy bufor (całkowita ilość towaru w problemie). Podaż dostawców : wpisujemy ich faktyczną podaż, czyli dla F1 podaż = 10. Popyt odbiorców: wpisujemy ich faktyczny popyt, czyli dla F3 3, dla F8 8. Popyt i podaż punktów pośrednich: a) jeżeli mają nadwyżkową podaż, wówczas, a popyt, np. punkt F4: oraz b) jeżeli zgłaszają zapotrzebowanie (nadwyżka popytu, znak minus ), wówczas popyt a podaż, np. punkt F6: oraz W puste miejsca wpisujemy dostatecznie dużą liczbę M (połączenia nie istnieją). Koszty przewozu między tymi samymi węzłami wynoszą zero (tj. przewozy fikcyjne). Rozwiązanie: F2 F3 F4 F5 F6 F7 F8 F1 10 F2 2 3 7 F4 6 8 F5 6 5 1 F6 12 F7 4 8 Koszt przewozu = 90 jednostek.
Zadanie 1 Dwa zakłady o zdolnościach produkcyjnych po 50 ton produkują wyroby walcowe i dostarczają je do dwóch hurtowni: H1 o pojemności 60 ton i H2 o pojemności 60 ton. Popyt odbiorców końcowych wynosi 45 i 40 ton i jest w całości zaspokajany przez hurtownie. Koszty transportu podają tabele. Ustalić optymalny plan przewozów, zakładając, że: a) Zakłady produkują tyle, ile żądają odbiorcy; b) Zakłady produkują tyle, ile wynoszą ich zdolności produkcyjne, a nadwyżka pozostaje w magazynach hurtowni. Jednostkowe koszty magazynowania wynoszą 1 zł i 2 zł. Zadanie 2 60 60 H1 H2 50 Z1 7 3 50 Z2 4 6 45 40 O1 O2 60 H1 6 10 60 H2 3 12 Dwa zakłady produkują jednorodny towar i dostarczają go do trzech odbiorców z wykorzystaniem dwóch punktów pośrednich (magazynów). Bezpośredni transport z zakładów do odbiorców jest niemożliwy. Koszty transportu w zł za tonę podają tabele: M1 M2 Z1 18 13 Z2 10 8 O1 O2 O3 M1 8 12 10 M2 6 5 14 Moce produkcyjne zakładów wynoszą 50 i 50 ton, popyt odbiorców 25, 40 i 25 ton, zaś pojemność magazynów 40 i 70 ton. Zakłady wykorzystują w pełni swoje moce produkcyjne, zaś nadmiar podaży jest składowany w magazynach. Wiedząc, że koszty magazynowania wynoszą 23 i 30 zł za tonę, ustal plan przewozów minimalizujący łączne koszty. Ile wynoszą całkowite koszty transportu z zakładów do magazynów, ile z magazynów do odbiorców, a ile koszty magazynowania? Zadanie 3 Towar przewożony jest z dwóch zakładów (podaż 30, 40) do trzech sklepów (popyt: 22, 15, 17) za pośrednictwem dwóch hurtowni (pojemność: 27, 55). Jednostkowe koszty transportu podają tabele: H1 H2 Z1 3 4 Z2 2 7 S1 S2 S3 H1 2 3 9 H2 1 6 5
a) Wyznacz rozwiązanie minimalizujące łączne koszty przy założeniu, że zakłady produkują dokładnie tyle towaru, ile żądają odbiorcy i nic nie może zostać w hurtowniach. b) Dla optymalnego rozwiązania wyznacz koszt transportu z zakładów do hurtowni, koszt transportu z hurtowni do sklepów i koszt całkowity. Zadanie 4 Z trzech zakładów: Z1, Z2 i Z3 (podaż: 10, 10, 40) rozwożony jest towar do dwóch sklepów: O1 i O2 (popyt 30 i 30). Towar może być rozwożony do sklepów bezpośrednio lub przez punkty pośrednie P1 i P2. Koszty przewozu na poszczególnych trasach widoczne są na rysunku. a) Zapisz zadanie w formie tablicy transportowej. b) Wyznacz plan przewozów minimalizujący koszt.