Stochastyczne zagadnienie rozdziału z dyskretnym rozkładem popytu

Transkrypt

1 Stochastyczne zagadnienie rozdziału z dyskretnym rozkładem popytu Marcin Anholcer Uniwersytet Ekonomiczny w Poznaniu 19 marca 2013, Ustroń Marcin Anholcer Stochastyczne zagadnienie rozdziału 1/ 15

2 1 Zagadnienie rozdziału Sformułowanie problemu 2 Warunki optymalności Szczegóły Zbieżność i wydajność 3 Uwagi końcowe Podziękowania Marcin Anholcer Stochastyczne zagadnienie rozdziału 2/ 15

3 Zagadnienie rozdziału Zagadnienie rozdziału Sformułowanie problemu Jednorodne dobro transportowane jest od m dostawców do n odbiorców. Warunki podażowe i popytowe. Celem jest minimalizacja całkowitego (liniowego) kosztu. Ilość transportowanego dobra zmienia się w czasie transportu. Marcin Anholcer Stochastyczne zagadnienie rozdziału 3/ 15

4 Model Zagadnienie rozdziału Sformułowanie problemu m n min f (x) = c ij x ij i=1 j=1 m r ij x ij = b j, j = 1,..., n i=1 n x ij a i, i = 1,..., m j=1 x ij 0, i = 1,..., m, j = 1,..., n Marcin Anholcer Stochastyczne zagadnienie rozdziału 4/ 15

5 Losowy popyt Zagadnienie rozdziału Sformułowanie problemu Wielkości popytu: zmienne losowe B j o dyskretnych rozkładach Pr(B j = b s j ) = ps j, s = 1,..., S j Koszt nadmiaru s (1) j, koszt niedoboru s (2) j. Wartość oczekiwana dodatkowego kosztu j: f j (x j ) = s (2) j (E(X j ) x j ) + (s (1) j + s (2) j ) xj 0 Φ j (t)dt Marcin Anholcer Stochastyczne zagadnienie rozdziału 5/ 15

6 Zagadnienie rozdziału Sformułowanie problemu Stochastyczne zagadnienie rozdziału min f (x) = m i=1 j=1 n c ij x ij + n f j (x j ) (1) j=1 m r ij x ij = x j, j = 1,..., n (2) i=1 n x ij = a i, i = 1,..., m (3) j=1 x ij 0, i = 1,..., m, j = 1,..., n (4) Cel: wyznaczyć rozwiązanie minimalizujące koszt całkowity, uwzględniający wartość oczekiwaną dodatkowego kosztu. Marcin Anholcer Stochastyczne zagadnienie rozdziału 6/ 15

7 Warunki optymalności Warunki optymalności Szczegóły Zbieżność i wydajność c ij + r ij f +(x j ) u i, i = 1,..., m, j = 1,..., n, x ij = 0 c ij + r ij f (x j ) u i c ij + r ij f +(x j ), i = 1,..., m, j = 1,..., n, x ij > 0 Marcin Anholcer Stochastyczne zagadnienie rozdziału 7/ 15

8 Warunki optymalności Szczegóły Zbieżność i wydajność 1 Wyznacz rozwiązanie początkowe: x ij = a i, x ij = 0, j = n j n 2 Wyznacz jednostronne pochodne cząstkowe i kryteria optymalności. Jeżeli rozwiązanie jest optymalne, to STOP. 3 Zmień aktualne rozwiązanie i wróć do kroku 2. Marcin Anholcer Stochastyczne zagadnienie rozdziału 8/ 15

9 Warunki optymalności Warunki optymalności Szczegóły Zbieżność i wydajność Wyznacz: v i = min{k + ij j = 1,..., n + 1} j w i = max{k ij, x ij > 0, j = 1,..., n + 1} v i j α = max{w i i = 1,..., m} i Marcin Anholcer Stochastyczne zagadnienie rozdziału 9/ 15

10 Zmiana rozwiązania Warunki optymalności Szczegóły Zbieżność i wydajność Wyznacz λ = x j b j λ + = b + j x j { λ λ + } λ = min,, x i r i j r j i j x i j := x i j λ x i j := x i j + λ Marcin Anholcer Stochastyczne zagadnienie rozdziału 10/ 15

11 Zbieżność Warunki optymalności Szczegóły Zbieżność i wydajność zawsze kończy działanie po skończonej liczbie kroków. Marcin Anholcer Stochastyczne zagadnienie rozdziału 11/ 15

12 Wydajność Warunki optymalności Szczegóły Zbieżność i wydajność c ij < 5, 10), sij 1 < 1, 2), s2 ij < 5, 10), r ij < 0.8, 0.9), a i < 10, 20), t ij {1,..., 10}, rozkłady: od 10 do 20 wartości, kolejne obliczane według wzoru b s+1 j = bj s + r, r < 0.5, 1.5), 1000 problemów każdego rozmiaru, Java SE, Intel(R) Core(TM) i QM CPU 2.20 GHz Rozmiar (m, n) 10, 10 10, 20 50, 50 50, , , , , 500 AVG 0,032 0,082 2,032 5,758 12,657 39, , ,969 ST DEV 0,008 0,015 0,218 0,426 1,082 2,152 9,960 21,022 MIN 0,009 0,042 1,090 4,540 9,300 34, , ,000 MAX 0,058 0,133 2,810 7,500 18,700 48, , ,000 Marcin Anholcer Stochastyczne zagadnienie rozdziału 12/ 15

13 Uwagi końcowe Uwagi końcowe Podziękowania Efektywny algorytm. Wykorzystanie jednostronnych pochodnych pozwoliło na wykorzystanie metody gradientowej mimo, że funkcja celu nie jest rózniczkowalna w sposób ciągły. Zastosowanie metody wyrównań sprawia, że nie jest konieczne używanie w sposób jawny struktury A-lasu. Metodę można stosować dla zadań z dowolnymi rozkładami dyskretnymi, również nieskończonymi (w szczególności do zadań z rozkładem Poissona). Marcin Anholcer Stochastyczne zagadnienie rozdziału 13/ 15

14 Podziękowania Uwagi końcowe Podziękowania DZIĘKUJĘ! Marcin Anholcer Stochastyczne zagadnienie rozdziału 14/ 15

15 Uwagi końcowe Podziękowania Stochastyczne zagadnienie rozdziału z dyskretnym rozkładem popytu Marcin Anholcer Uniwersytet Ekonomiczny w Poznaniu 19 marca 2013, Ustroń Marcin Anholcer Stochastyczne zagadnienie rozdziału 15/ 15