Arkusz 6. Elementy geometrii analitycznej w przestrzeni

Arkusz 6. Elementy geometrii analitycznej w przestrzeni Zadanie 6.1. Obliczyć długości podanych wektorów a) a = [, 4, 12] b) b = [, 5, 2 2 ] c) c = [ρ cos φ, ρ sin φ, h], ρ 0, φ, h R c) d = [ρ cos φ cos ψ, ρ sin φ cos ψ, ρ sin ψ], ρ 0, φ, ψ R Zadanie 6.2. Obliczyć iloczyny skalarne podanych par wektorów a) a = [1, 2, 5], b = [, 1, 0] b) a = [, 4, 1], b = [2,, 0] c) u = i 2 k, v = i + j + 7 k d) u = 2 i j, v = i + 4 k Zadanie 6.. Obliczyć iloczyny wektorowe par wektorów z zadania 6.2. Zadanie 6.4. Sprawdzić, czy wektory u, v sa równoległe, czy prostopadłe, jeśli: a) u = [ 1, 0, ], v = [, 0, 9] b) u = [ 1, 0, ], v = [6, 7, 2] Zadanie 6.5. Czy można dobrać parametr m tak, aby wektory u i v były prostopadłe, jeśli: a) u = [m, 0, 1], v = [ 1, m, m] b) u = [m, m, m + 4], v = [m + 1,, 9] c) u = [2, m, 1], v = [m, 2m, 2] d) u = [m,, 4], v = [1, m, 1]? Zadanie 6.6. Czy można dobrać parametr k tak, aby wektory u i v z zadania 6.5 były równoległe? Zadanie 6.7. Znaleźć trzy wektory równoległe do wektora u = [4, 2, 8]. Zadanie 6.8. Znaleźć trzy wektory prostopadłe do wektora u = [4, 2, 8]. Zadanie 6.9. Obliczyć sin φ i cos φ, gdzie φ jest katem między wektorami: a) u = [1, 2, 2], v = [2, 1, 2] b) u = [0,, 4], v = [2, 2, 1] c) u = [1, 1, 1], v = [5, 1, 1] d) u = [5, 0, ], v = [0, 4, 0] Zadanie 6.10. Obliczyć pole równoległoboku ABCD oraz znaleźć punkt D, jeśli: a) A = (1, 2, ), B = (4, 0, ), C = ( 2,, 0) b) A = (0, 0, 0), B = (5, 0, ), C = (1, 1, 1) c) A = ( 1, 2, ), B = (4, 5, 6), C = (0, 1, 2) Zadanie 6.11. Obliczyć pole trójkata ABC, jeśli: a) A = (1, 2, ), B = ( 1, 0, 4), C = (5, 6, 0) b) A = (1, 2, 0), B = ( 1, 0, 0), C = (5, 6, 0) c) A = (0, 0, 0), B = (, 4, 5), C = (0, 0, 6) Zadanie 6.12. Sprawdzić, czy punkty P, Q, R leża na jednej prostej, jeśli: a) P = (0, 0, ), Q = ( 1, 2, 4), R = (2, 4, 1) b) P = (1, 2, 1), Q = (, 0, 2), R = ( 1, 1, 1) c) P = ( 1, 0, 0), Q = (5, 6, 7), R = ( 1, 12, 14) Aktualizacja: 16 stycznia 2012 1

Zadanie 6.1. Obliczyć iloczyny mieszane podanych trójek wektorów: a) a = [, 2, 1], b = [0, 1, 5], c = [2,, 4] b) u = i + j, v = 2 i j + k, w = i + 2 j 5 k. Zadanie 6.14. Sprawdzić, czy punkty P, Q, R, S leża na jednej płaszczyźnie, jeśli: a) P = (0,, 4), Q = ( 1, 2, 2), R = (2, 0, ), S = ( 1, 1, 1) b) P = (1, 1, 1), Q = ( 1, 0, 14), R = (0, 4, 0), S = (, 2, 0) c) P = (, 2, 2), Q = ( 1, 1, 2), R = (, 4, 1), S = ( 2, 1, 0) Zadanie 6.15. Obliczyć objętości podanych wielościanów: a) równoległościan rozpięty na wektorach a = [0, 0, 1], b = [ 1, 2, ], c = [2, 5, 1] b) czworościan o wierzchołkach A = (1, 1, 1), B = (1, 2, ), C = (2,, 1), D = ( 1,, 5). Zadanie 6.16. Napisać równanie płaszczyzny π przechodzacej przez punkt P 0 i równoległej do płaszczyzny π 1, gdy: a) P 0 = (, 2, 1), π 1 : 2x 2y 4z 7 = 0 b) P 0 = (0, 0, 0), π 1 : x + z 11 = 0 c) P 0 = (2,, 0), π 1 jest płaszczyzna d) P 0 = (2,, 0), π 1 jest płaszczyzna Oxz Zadanie 6.17. Napisać równanie płaszczyzny π przechodzacej przez punkty P 1 i P 2 i prostopadłej do płaszczyzny π 1, gdy: a) P 1 = (6, 2, 1), P 2 = (, 1, 1), π 1 : x + 2y z 6 = 0 b) P 1 = ( 2, 0, ), P 2 = (1, 1, 1), π 1 : 2x z 8 = 0 b) P 1 = (1, 2, 4), P 2 = ( 2, 4, 5), π 1 jest płaszczyzna Zadanie 6.18. Napisać równanie płaszczyzny π przechodzacej przez punkt P 0 i prostopadłej do płaszczyzn π 1, i π 2, gdy: a) P 0 = (, 2, 1), π 1 : 2x 2y 4z 7 = 0, π 2 : x + y z 1 = 0 b) P 0 = (0, 0, 0), π 1 : x + z 11 = 0, π 2 : x + 2y z = 0 b) P 0 = (1,, 4), π 1 : x z = 0, π 2 jest płaszczyzna b) P 0 = (1,, 4), π 1 jest płaszczyzna, π 2 jest płaszczyzna Oxz Zadanie 6.19. Znaleźć punkty przecięcia płaszczyzny π z osiami układu współrzędnych z, gdy a) π : 2x + y + z 6 = 0 b) π : 2x y z = 0 c) 2x + y 6 = 0 d) 2x + z 6 = 0 Zadanie 6.20. Napisać równanie płaszczyzny przechodzacej przez punkty P 1, P 2, P, gdy: a) P 1 = (5, 2, 1), P 2 = (0,, 4), P = (5, 6, 7) b) P 1 = (0, 0, 12), P 2 = (2, 2, 5), P = (4, 0, 6) c) P 1 = (4, 4, ), P 2 = (0, 6, 0), P = (8, 1, 6) Aktualizacja: 16 stycznia 2012 2

Zadanie 6.21. Znaleźć wartości parametru k, dla których płaszczyzny π 1 i π 2 sa równoległe, gdy a) π 1 : 2x + ky + z + 6 = 0, π 2 : kx + 2y + (k 1)z + = 0 b) π 1 : x + (k + 1)y + 6z + 1 = 0, π 2 : (k + 1)x + 4ky + ( 11 + k 2) z = 0 Zadanie 6.22. Dla jakich wartości parametru k płaszczyzny π 1 i π 2 z zadania 6.21 sa prostopadłe? Zadanie 6.2. Sprawdzić, że płaszczyzny π i π 2 sa równoległe, a następnie obliczyć odległość między tymi płaszczyznami, jeśli: a) π 1 : 6x y + 6z + 5 = 0, π 2 : 4x 2y + 4z = 0 b) π 1 : 6x 8z 1 = 0, π 2 : 9x 12z + 48 = 0 c) π 1 : 2x 4y 6z 2 = 0, π 2 : x 6y 9z = 0 Zadanie 6.24. Napisać równanie płaszczyzny π zawierajacej krawędź przecięcia płaszczyzn π 1 i π 2 i przechodzacej przez punkt P, gdy: a) π 1 : 2x y z 8 = 0, π 2 : x y z 6 = 0, P = (1, 0, 2) b) π 1 : x z 6 = 0, π 2 : x + y z 6 = 0, P = (1, 2, ) c) π 1 : x + y 2z = 0, π 2 : y + 2z 8 = 0, P = (0, 2, 1) d) π 1 : 2x + 2y + z 2 = 0, π 2 : x y z 2 = 0, P = (1, 1, 2) Zadanie 6.25. Napisać równanie płaszczyzny π zawierajacej krawędź przecięcia płaszczyzn π 1 i π 2 i prostopadłej do płaszczyzny π, gdy: a) π 1 : x y z 6 = 0, π 2 : 2x y z 8 = 0, π : x + y 6z 12 = 0 b) π 1 : 2x y = 0, π 2 : y + z 8 = 0, π : x + y 6z 12 = 0 c) π 1 : x + y z = 0, π 2 : 2x y z 8 = 0, π : 2x y + z 6 = 0 d) π 1 : x + y z = 0, π 2 : 2x y z 8 = 0, π : 4x y + z = 0 Zadanie 6.26. Napisać równania parametryczne prostej przechodzacej przez punkt (, 4, 2) i równoległej do osi: a) Ox b) Oy c) Oz Zadanie 6.27. Napisać równania parametryczne prostej przechodzacej l przez punkt (, 4, 2) i równoległej do prostej l 1, gdy: x = t a) l 1 : y = z = 2 t t R { b) l 1 : x = 4y = z 6 2x y z 6 = 0 c) l 1 : x + y + z 5 = 0 Zadanie 6.28. Napisać równania parametryczne prostej l przechodzacej przez punkty P = (, 4, 2) i Q = (5, 6, 2), a następnie sprawdzić, czy punkt R = (1, 2, ) należy do tej prostej. Aktualizacja: 16 stycznia 2012

Zadanie 6.29. Napisać równania parametryczne prostej przechodzacej przez punkt (, 4, 5) i przecinajacej oś Oy w punkcie o współrzędnej y = 5. Zadanie 6.0. Napisać równania parametryczne prostej przechodzacej przez punkt P = ( 1, 2, ) i prostopadłej do prostych l 1 i l 2, gdy: x = 2 + t a) l 1 : y = t z = t R, l 2 : b) l 1 : x 1 = 2 y = 2z, l 2 : { 2x y + 2z 6 = 0 x + y + z 4 = 0 { x + y 6 = 0 2x y z 8 = 0 Zadanie 6.1. Napisać równania parametryczne, kierunkowe i krawędziowe prostej przechodzacej przez punkty P = (1, 2, 0), Q = ( 1,, 4). Zadanie 6.2. Sprawdzić, że proste l 1 i l 2 sa równoległe, jeśli: { a) l 1 : x 1 = 2y = z 4x + 12y 5z = 0 2, l 2 : 4x + 4y z + 1 = 0 b) l 1 : x = y = z 1, l 2 : x+ = y + 1 = z+2. Zadanie 6.. Znaleźć (jeśli istnieja) punkty wspólne prostych l 1 i l 2, jeśli: a) l 1 : x = y = z 1, l 2 : x 2 = y = z 1 2. b) l 1 : x = y = z 1, l 2 : x 2 = y = z 4 6. Zad. 6.1 a) 1 4, c) ρ 2 + h 2, d) ρ. Zad. 6.2 a) 5 6, c) 17, d) 2. Zad. 6. a) [5, 15, 5], b) [, 2, 17], c)[6, 19, 9] d) [ 4, 8, 1]. Zad. 6.4 a) równoległe prostopadłe. Zad. 6.5 a) k może być dowolne m = 4 lub m = 9, c) nie, d) m = 1. Zad. 6.6 a) nie m = 2, c) m = 4, d) nie. Zad. 6.7 każdy wektor postaci [4k, 2k, 8s], gdzie k R jest równoległy do u. Zad. 6.8 wektor v = [x, y, z] jest prostopadły do u, gdy 4x + 2y 8z = 0. Zad. 6.9 65 9, cos φ = 4 9 sin φ = 221 15, cos φ = 2 15, c) sin φ = 4 2 9, cos φ = 7 9, d) a) sin φ = sin φ = 1, cos φ = 0. Zad. 6.10 a) 14, D = ( 5, 5, 0) 8, D = (4, 1, 2), c) 2 106, D=(-5,-4,-1). Zad. 6.11 a) 2 12, c) 15. Zad. 6.12 a) tak nie, c) tak. Zad. 6.1 a) 55 22. Zad. 6.14 a) tak tak, c) nie. Zad. 6.15 a) 9 2. Zad. 6.16 a) x y 2z = 0, b) x + z = 0, c) z = 0, d) y = 0. Zad. 6.17 a) x y z = 0 x 5y + 2z = 0, c) 2x + y 8 = 0. Zad. 6.18 a) 5x + y + 2z 15 = 0 x y z = 0, c) y = 0, d) x 1 = 0. Zad. 6.19 a) (, 0, 0), (0, 6, 0), (0, 0, 2) (0, 0, 0), c) (, 0, 0), (0, 6, 0), d) (, 0, 0), (0, 0, 2). Zad. 6.20 a) x 15y + 10z + 5 = 0 x 4y 2z 24 = 0, c) x 4z = 0. Zad. 6.21 a) k = 2 k = 1. Zad. 6.22 a) k = 5 1 19 nie ma takiego k. Zad. 6.2 a) d = 18 d = 10, c) d = 0. Zad. 6.24 a) 14x 25y + 1z 40 = 0 4x + 7y + 2z 24 = 0, c) x + y 2z = 0, d) takich płaszczyzn jest nieskończenie wiele; każda płaszczyzna postaci π : λ 1 (2x + 2y + z 2) + λ 2 (x y z 2) = 0, gdzie λ 1, λ 2 = 0. Zad. 6.25 a) 1x 49y z 114 = 0 6x + z 17 = 0, c) x + y z = 0, d) takich płaszczyzn jest nieskończenie wiele; każda płaszczyzna postaci π : λ 1 (x + y z ) + λ 2 (2x y z 8) = 0, gdzie λ 1, λ 2 = 0. Zad. 6.26 a) x = + t y = 4 z = 2 x = y = 4 + t z = 2, c) x = y = 4 z = 2 + t. Zad. 6.27 Aktualizacja: 16 stycznia 2012 4

x = + t a) y = 4 z = 2 t Zad. 6.29 a) x = 1 + 2t y = 2 t z = 4t (1, 1, 2). 6 Elementy geometrii analitycznej w przestrzeni x = t y = 5 t z = 5t x = + t y = 4 + t 4 z = 2 + t, c), Zad. 6.0 a) x = 2t y = 4 7t z = 2 + t x = 1 t y = 2 + 9t z = + 7t, x 1 2 = y 2 1 = z 4, { x + 2y 5 = 0 4y + z 8 = 0. Zad. 6.28 x = 1 + 41t y = 2 + 9t z = 12t x = + 2t y = 4 + 2t z = 2 + 4t, nie.. Zad. 6.1a). Zad. 6. a) brak (proste skośne) Aktualizacja: 16 stycznia 2012 5